Chapitre 18 de Maths niveau Maths SPE PC / PC*
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RRéédduuccttiioonnss ddeess EEnnddoommoorrpphhiissmmeess
I – Généralités :
Propriété :
Toute famille de p vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est une famille libre.
Propriété :
La somme de p sous-espaces propres de l'endomorphisme u associés à des valeurs propres distinctes
est une somme directe.
Définition :
Soit E un K-espace vectoriel de dimension quelconque. Soit u∈L(E).
Soit P ∈K[x], P(X)=∑
. On pose P(u)=∑
et u0=Id.
p
p
k
k
.
k Xa
.
k ua
k
0
=
=
0
On dit que P(u) est un polynôme de l'endomorphisme u. On note K[u] l'ensemble des polynômes de
u. Donc K[u] = {P(u) | P ∈ K[X] }. P(u) est une partie de L(E). On dit que u annule le polynôme P
si et seulement si P(u) = 0 (l'endomorphisme nul).
k
Propriété :
u ∈ L(E) étant fixé, l'application K[X]→L(E) , P ! P(u) est un morphisme d'algèbre.
Propriété :
∀ u ∈ L(E). ∀ P ∈ K[X]. Si λ ∈ sp(u), alors P(λ) ∈ sp(P(u)).
Propriété :
Si P est un polynôme annulateur de u, alors sp(u) ∈ { zéros de P }
II – Cas de la dimension finie :
Définition :
Soit u ∈ L(E) où E est de dimension n finie. On appelle polynôme caractéristique de
l'endomorphisme u le polynôme de degré n (=dim E) défini par la formule : Pu(λ) = det ( u – λ.IE ).
Propriété :
Les valeurs propres de u sont les racines du polynôme caractéristique de u : sp(u) = { zéros de Pu }.
Définition :
Si λ ∈ sp(u), on appelle multiplicité de λ sa multiplicité en tant que zéro du polynôme
caractéristique.
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Propriété :
Soit u ∈ L(E) avec dim E = n. Si Pu est scindé (ce qui est en particulier le cas si K=C), alors en
comptant chaque valeur propre autant de fois que sa multiplicité, on a :
1°)
2°)
n
=∑
λ
i
i
=
1
n
=∏
λ
i
)(
utr
)(
utr
=
1
i
Remarque : (souvent considéré comme résultat de cours)
Soit E de dimension n et u ∈ L(E). Si λ est une valeur propre de u de multiplicité r, et si Eλ est le
sous-espace propre associé à λ. Alors : 1 ≤ dim Eλ ≤ r.
III – Diagonalisation :
Définition :
On dit qu'un endomorphisme u de E (dim E = n) est diagonalisable si et seulement si la somme de
ses sous-espaces propres (dont on sait qu'elle est directe) est égale à E.
Propriété : ( Caractérisation des endomorphismes diagonnalisables )
Pour u ∈ L(E) donné, on a les équivalences :
1°)
2°)
3°)
4°)
u est diagonnalisable.
Il existe une base de E formée de vecteurs propres de u.
Il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonnale.
Σ dim Eλ = dim E.
Propriété : ( Condition suffisante pour qu'un endomorphisme soit diagonnalisable )
Soit u ∈ L(E). Si le polynôme caractéristique Pu est simplement scindé (c'est-à-dire scindé et toutes
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les racines sont simples). Alors u est diagonnalisable.
Définition :
Soit U une matrice carrée d'ordre n. On dit que U est diagonnalisable si et seulement si
l'endomorphisme u de Kn canoniquement associé à U est diagonnalisable.
Propriété : ( Caractérisation )
Soit U ∈ Mn(K) donnée. Alors, U est diagonnalisable si et seulement si U est semblable à une
matrice U' diagonnale. C'est-à-dire s'il existe une matrice P∈GLn(K) telle que : U' = P-1.U.P . U' est
alors appelée matrice réduite de U et P matrice de passage à une base de vecteurs propres.
Propriété : ( Condition nécessaire et suffisante pour qu'un endomorphisme soit diagonnalisable )
Pour qu'un endomorphisme soit diagonnalisable, il faut et il suffit qu'il annule un polynôme
simplement scindé. Plus précisément :
1°)
Si u est diagonnalisable, alors u annule le polynôme P = ∏
λ .
)
X
−
(
)(
usp
λ
∈
2°)
Réciproquement, si u annule un polynôme simplement scindé, alors u est diagonnalisable.
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Remarque :
Le polynôme P = ∏
(
)(
usp
λ
∈
X
−
λ divise le polynôme caractéristique mais ne lui est pas forcément
)
égal.
Propriété : ( Théorème de Cayley-Hamilton )
En dimension finie, tout endomorphisme annule son polynôme caractéristique.
∀ u ∈ L(E) , Pu(u) = 0.
(Hors-programme)
Propriété :
Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable (sur R). De plus, on peut trouver une base de
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vecteurs (de Rn) orthonormale pour le produit scalaire canonique.
On cherches des valeurs propres apparentes. Si on arrive à en trouver (n – 1), on utilise la
Méthodes pratiques pour diagonnaliser un endomorphisme :
1°)
trace pour trouver la dernière.
On cherche un polynôme annulateur, si possible simplement scindé.
2°)
3°)
Si la matrice A s'écrit sous la forme A = a.I + b.J avec b ≠ 0. On étudie la diagonalisation de
J. Si J est diagonnalisable, alors J' = P.J'.P-1 et on en déduit la diagonnalisation de A : A = P.A'.P-1
avec A' = a.I + b.J' .
4°)
Si on peut écrire A = ∑
p
=
0
k
k
.
k Ja
et si J est diagonnalisable, alors A est diagonnalisable et on
en déduit une diagonnalisation de A.
Propriété :
Si u ∈ L(E) est diagonnalisable et si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u, alors
l'endomorphisme de F induit par u est diagonnalisable.
IV – Applications de la diagonnalisation des endomorphismes :
! METHODE !
Si on peut écrire A sous la forme : A = a.I + b.J avec J nilpotente par exemple, alors on
Calcul de la puissance n-ième d'une matrice A :
1°)
applique la formule du binôme de Newton (I et J commutent)
2°)
Si A est diagonalisable, alors 2 solutions :
→ On utilise le polynôme annulateur.
→ On utilise A = P.A'.P-1 , d'où : An = P.(A')n.P-1.
Etude de certaines suites récurrentes :
Soient deux suites (un) et (vn) définies par la donnée de u0 , v0 et
u
v
+
1
n
+
1
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n
=
=
.
ua
n
.
uc
n
+
.
vb
+
.
vd
n
n
On pose Xn =
u
n
v
n
et A =
a
c
db
. Alors Xn = An.X0
Mais aussi : trouver le commutant d'une matrice, résolution d'équations différentielles, …
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