Chapitre 1 : Modulation Numérique – Bande Infinie

Ce document présente les principes fondamentaux de la modulation numérique sur un canal à bande infinie, destiné aux étudiants en communication numérique avancée. Il détaille les techniques de modulation, leurs objectifs, les étapes de mise en forme et de transposition spectrale, ainsi que des exemples concrets de modulations numériques couramment utilisées.

Techniques d’une modulation numérique

Les différents modes de transmission

• Transmission en bande de base : Utilisation d’un code en ligne pour façonner la suite numérique à transmettre. Le signal est directement envoyé sans modulation sur une porteuse.
• Transmission sur onde porteuse : En plus du code en ligne, une onde porteuse sinusoïdale de fréquence F0 (très supérieure à 1/T) est utilisée pour porter le signal en bande de base. Cette modulation permet d’adapter le signal à la bande passante du canal.

Objectifs d’une modulation numérique

Un canal de transmission réel possède une bande passante limitée, centrée autour d’une fréquence F0 avec une largeur Wc. La modulation numérique a pour but :

1. D’adapter la largeur de bande du signal codé (We) à celle du canal (Wc).
2. Transposer le spectre fréquentiel du signal autour de la fréquence porteuse F0, afin qu’il s’insère dans la bande passante du canal.

Les deux étapes d’une modulation numérique

La modulation numérique s’effectue en deux étapes :

1. Mise en forme du signal : Transformation de la suite binaire en un signal en bande de base e(t) dont la largeur spectrale We est inférieure à Wc.
2. Transposition du spectre : Le signal en bande de base est porté par une onde sinusoïdale de fréquence F0 pour obtenir un signal en bande étroite s(t) centré sur F0.

Le signal en bande de base contient des fréquences basses proches de 0, tandis que le signal modulé occupe une bande étroite autour de F0.

Exemple : Modulation OOK (On-Off Keying)

La suite binaire {αk} est codée par un signal e(t) où :

• ak = 1 si αk = 1
• ak = 0 si αk = 0

La porteuse h(t) est une porte de durée Tb et amplitude 1. La largeur de bande du signal est alors :

We = 2 Db

Si We < Wc, la transmission est possible. Sinon, il faut réduire We, par exemple en passant à un code 4-aire où :

W'e = We / 2

Transposition du spectre

Les symboles transmis sont des symboles complexes :

Ck = ak + i bk

Le signal en bande de base est :

e(t) = Σ Ck h(t - kT)

La modulation consiste à multiplier ce signal par l’onde porteuse complexe :

s(t) = Re { Σ Ck h(t - kT) e^(i 2π F0 t + i φ0) }

où e^(i 2π F0 t + i φ0) est l’onde porteuse sinusoïdale.

Méthode 1 : Composantes en phase et en quadrature

On décompose Ck(t) en parties réelle et imaginaire :

Ck(t) = ak(t) + i bk(t)

Le signal modulé s(t) s’écrit :

s(t) = a(t) cos(2π f0 t + φ0) - b(t) sin(2π f0 t + φ0)

avec :

• a(t) = Σ ak h(t - kT) : composante en phase
• b(t) = Σ bk h(t - kT) : composante en quadrature

Méthode 2 : Composantes amplitude et phase (angulaire)

Les symboles complexes s’écrivent en forme polaire :

Ck = Ak e^(i θk)

Le signal complexe correspondant est :

C(t) = A(t) e^(i v(t))

Le signal modulé est :

s(t) = Re { A(t) e^(i v(t)) e^(i 2π f0 t) } = A(t) cos(2π f0 t + v(t))

Récapitulation

• Le signal modulé est porté par une onde porteuse à fréquence F0 ≫ Db et phase initiale φ0.
• L’information peut être insérée dans la composante en phase a(t), en quadrature b(t), ou les deux simultanément.
• Elle peut aussi être codée dans l’amplitude A(t), la phase v(t), ou une combinaison des deux.

Notion de constellations

La constellation est la représentation des symboles complexes Ck dans le plan complexe :

Ck = ak + i bk = Ak e^(i θk)

Les deux formes sont équivalentes et permettent de visualiser la modulation.

Densité spectrale de puissance

La densité spectrale du signal modulé s(t) est liée à celle du signal en bande de base e(t) :

γs(f) = 1/4 [ γe(f - f0) + γe(f + f0) ]

où γe(f) est la densité spectrale du signal en bande de base.

Exemples de modulations numériques

Modulation d’amplitude (MDA, ASK, PAM)

• Les symboles sont réels : Ck = Ak e^(i0) = Ak
• Durée du symbole : T = n Tb, avec n bits par symbole
• Nombre de symboles dans le dictionnaire : M = 2^n
• Débit en symbole : D = R = Db / n
• Les amplitudes Ak sont centrées selon :

Ak ∈ 2m - (M - 1) d,  m = 0 ... M-1 ;  d = constante > 0

La constellation est alignée sur une droite réelle.

Exemples de constellations PAM

• PAM à deux états : symboles Ak ∈ {-1, +1}
• PAM à quatre états : symboles Ak ∈ {-3, -1, +1, +3}

Exemple : Modulation 4-PAM

Paramètres :

• Débit binaire Db
• Durée symbole T = 2 Tb
• Fréquence porteuse f0 = 2 Db
• Symboles Ak ∈ {-3, -1, +1, +3}
• Nombre de bits par symbole : N = 2

Correspondance bits → symbole :

Bits	Symbole Ak
(00)	-3
(01)	-1
(11)	+1
(10)	+3

Modulation de phase (MDP, PSK)

• Symboles : Ck = A e^(i θk)
• Durée symbole : T = n Tb
• Nombre de symboles : M = 2^n
• Débit en symbole : D = Db / n
• Phases des symboles :

θk ∈ 2π m / M + ρ,  m = 0 ... M-1 ; ρ = phase à l’origine

La constellation est située sur un cercle de rayon A constant.

Exemples de modulations de phase

BPSK (Binary Phase Shift Keying)

• M = 2, n = 1, ρ = 0, A = 1
• Symboles :

C0 = e^(i 0) = 1 + i 0

C1 = e^(i π) = -1 + i 0

QPSK (Quadrature Phase Shift Keying)

• M = 4, n = 2, ρ = π/4, A = 1
• Symboles :

Bits	Symbole Ck	Valeur complexe
(00)	e^(i π/4)	√2/2 + i √2/2
(01)	e^(i 3π/4)	-√2/2 + i √2/2
(11)	e^(i 5π/4)	-√2/2 - i √2/2
(10)	e^(i 7π/4)	√2/2 - i √2/2

Modulation d’amplitude en quadrature (QAM)

Cette modulation combine amplitude et phase :

Ck = Ak e^(i θk) = ak + i bk

Exemple de constellation QAM :

Symbole	Amplitude Ak	Phase θk
C0	1	0
C1	1	π/2
C2	1	π
C3	1	3π/2
C4	3	π/4
C5	3	3π/4
C6	3	5π/4
C7	3	7π/4

Modulation de fréquence (MDF, FSK)

Chaque symbole Ck est associé à une fréquence fk :

sk(t) = cos(2π f0 t + 2π fk t)

Les fréquences fk sont choisies selon :

fk ∈ (2m - M - 1) Δf / 2,  m = 0 ... M-1

Exemple : modulation 4-FSK (M=4)

Bits	Fréquence fk
(00)	f0 - 3 Δf/2
(01)	f0 - Δf/2
(11)	f0 + Δf/2
(10)	f0 + 3 Δf/2

Glossaire des termes clés

• Bande de base : Signal numérique avant modulation, centré autour de la fréquence zéro.
• Onde porteuse : Onde sinusoïdale utilisée pour porter le signal modulé à une fréquence élevée.
• Constellation : Représentation graphique des symboles complexes dans le plan complexe.
• Modulation numérique : Technique de transmission d’informations numériques par modification d’une onde porteuse.
• Modulation d’amplitude (ASK, PAM) : Modulation où l’information est codée dans l’amplitude du signal.
• Modulation de phase (PSK) : Modulation où l’information est codée dans la phase de la porteuse.
• Modulation d’amplitude en quadrature (QAM) : Combinaison de modulation d’amplitude et de phase.
• Modulation de fréquence (FSK) : Modulation où l’information est codée dans la fréquence de la porteuse.
• Débit binaire (Db) : Nombre de bits transmis par seconde.
• Débit en symbole (D) : Nombre de symboles transmis par seconde.
• Largeur de bande (We, Wc) : Étendue des fréquences occupées par un signal ou un canal.
• Phase à l’origine (φ0, ρ) : Phase initiale de l’onde porteuse ou des symboles.
• Symboles complexes : Représentation des symboles par des nombres complexes, avec parties réelle et imaginaire.

Points clés à retenir

• La modulation numérique permet d’adapter un signal binaire à la bande passante limitée d’un canal réel.
• Elle se réalise en deux étapes : mise en forme du signal en bande de base, puis transposition sur une porteuse.
• Les symboles peuvent être représentés par des nombres complexes, codant amplitude et phase.
• Les principales modulations numériques sont : ASK (amplitude), PSK (phase), QAM (amplitude + phase) et FSK (fréquence).
• La constellation des symboles est un outil essentiel pour visualiser et analyser la modulation.
• Le choix de la modulation dépend des contraintes de bande passante, de puissance et de robustesse au bruit.