Calcul et dimensionnement des échangeurs de chaleur

Ce matériel couvre les méthodes de calcul et de dimensionnement des échangeurs de chaleur, destinées aux étudiants de master en énergétique. Il présente les principes fondamentaux de la distribution de température, le calcul du coefficient global d’échange, ainsi que les méthodes DTM (Différence de Température Moyenne logarithmique) et NUT (Nombre d’Unités de Transfert) pour évaluer les performances thermiques des échangeurs.

Distribution de température dans un échangeur de chaleur

Le transfert thermique entre un fluide chaud et un fluide froid provoque une variation de température dans l’échangeur. Selon le type d’échangeur, la distribution de température varie :

• Dans un échangeur à contre-courant, la hausse de température du fluide froid est presque égale à la baisse de température du fluide chaud.
• La différence de température entre les deux fluides varie le long du chemin du fluide chaud.

Les principales configurations sont illustrées dans la figure 3.1 :

• Différence de température uniforme ou flux de chaleur uniforme
• Condenseur
• Bouilleur
• Échangeur à co-courant
• Échangeur à contre-courant

Coefficient global d’échange thermique (U ou KG)

Dans un échangeur constitué de deux conduites, trois résistances thermiques s’opposent au transfert de chaleur :

• Convection interne (coefficient hi)
• Conduction à travers la paroi (conductivité k)
• Convection externe (coefficient he)

Le flux de chaleur Φ en régime permanent s’exprime par :

= Φ = 1/hi + ln(re/ri)/(2πkL) + 1/he

On définit alors un coefficient global d’échange U (ou KG) tel que :

= Φ = U × S × ΔTmoyenne

où S est la surface d’échange (interne ou externe selon le choix).

Si la surface interne est utilisée :

Φ = U × Si × ΔTmoyenne
avec 1/U = 1/hi + ln(re/ri)/(2πkL) + 1/he

Si la surface externe est utilisée :

Φ = U × Se × ΔTmoyenne
avec 1/U = (re/ri)(1/hi) + ln(re/ri)/(2πkL) + 1/he

Remarque : ces expressions ne tiennent pas compte des résistances dues à l’encrassement (fouling), qui ajoutent des résistances thermiques supplémentaires internes (Rf int) ou externes (Rf ext).

Évaluation des performances thermiques en régime permanent

Hypothèses de calcul

• Capacité calorifique massique constante des fluides
• Coefficient global d’échange constant sur toute la surface
• Échange sans perte thermique

Méthode de la différence de température logarithmique (∆TLM)

Considérons un échangeur simple à co-courant. Le flux élémentaire de chaleur dφ échangé sur une surface élémentaire dS est :

dφ = K × (Tc - Tf) × dS

Le flux de chaleur perdu par le fluide chaud est :

dφ = - pc × Cm,c × dTc

Le flux de chaleur gagné par le fluide froid est :

dφ = pf × Cm,f × dTf

Avec :

• pcCm,c : capacité calorifique massique du fluide chaud
• pfCm,f : capacité calorifique massique du fluide froid
• dTc, dTf : variations élémentaires de température

En combinant ces équations et en intégrant entre l’entrée (e) et la sortie (s) de l’échangeur, on obtient la relation :

ln[(Tce - Tfs) / (Tcs - Tfe)] = (U × S) / (pcCm,c + pfCm,f)

On définit la différence de température logarithmique moyenne ∆TLM par :

∆TLM = (∆Ta - ∆Tb) / ln(∆Ta / ∆Tb)

avec :

• ∆Ta = température différence à l’entrée = (Tce - Tfe)
• ∆Tb = température différence à la sortie = (Tcs - Tfs)

Le flux de chaleur total est alors :

Φ = U × S × ∆TLM

Cas d’un échangeur à contre-courant

La même méthode s’applique, mais avec :

• ∆Ta = (Tce - Tfs)
• ∆Tb = (Tcs - Tfe)

Cas particulier du condenseur

La température du condensât (fluide chaud) reste constante. La différence de température moyenne logarithmique est calculée avec :

∆Ta = Tce - Tc
∆Tb = Tfe - Tc

Cas particulier de l’évaporateur

La température du fluide froid (vapeur) reste constante. La différence de température moyenne logarithmique est calculée avec :

∆Ta = Tce - Tf
∆Tb = Tse - Tf

Autres configurations (courants croisés, mixtes, etc.)

La différence de température logarithmique moyenne ∆TLM ne correspond plus à la réalité. On introduit alors un facteur correctif F (F < 1) fourni par des abaques selon la configuration d’écoulement :

Φ = U × S × F × ∆TLM

Méthode NUT (Nombre d’Unités de Transfert) et efficacité d’un échangeur

Définition de l’efficacité ε

L’efficacité ε d’un échangeur est le rapport entre la puissance thermique réellement échangée et la puissance maximale théorique possible avec les mêmes conditions d’entrée :

ε = Φréel / Φmax

Avec :

Φréel = pcCm,c × (Tce - Tcs) = pfCm,f × (Tfs - Tfe)

La puissance maximale correspond à :

Φmax = Cmin × (Tce - Tfe)

où Cmin est la plus petite des capacités calorifiques massiques (pcCm,c ou pfCm,f).

Formules d’efficacité selon la configuration

• Échangeur à courant parallèle :

ε = 1 - exp[-NUT × (1 + Cmin/Cmax)] / [1 + Cmin/Cmax]
  

• Échangeur à contre-courant :

ε = [1 - exp(-NUT × (1 - Cmin/Cmax))] / [1 - (Cmin/Cmax) × exp(-NUT × (1 - Cmin/Cmax))]
  

Définition du nombre d’unités de transfert (NUT)

Le NUT est un nombre sans dimension qui caractérise la capacité d’échange thermique de l’appareil :

NUT = (U × A) / Cmin

où :

• U : coefficient global d’échange
• A : surface d’échange
• Cmin : capacité calorifique massique minimale des fluides

Utilisation pratique

Pour dimensionner un échangeur par la méthode NUT, on procède ainsi :

1. Déterminer U, le coefficient global d’échange
2. Calculer les capacités calorifiques massiques des fluides, puis Cmin et Cmax
3. Calculer NUT = UA / Cmin
4. Déterminer l’efficacité ε à partir des abaques selon NUT, Cmin/Cmax et la configuration
5. Calculer le flux de chaleur Φ = ε × Cmin × (Tce - Tfe)

Glossaire des termes clés

• Coefficient global d’échange (U ou KG) : Coefficient qui regroupe toutes les résistances thermiques (convection interne, conduction, convection externe) dans un échangeur.
• Différence de température logarithmique moyenne (∆TLM) : Moyenne logarithmique des différences de température entre les fluides à l’entrée et à la sortie de l’échangeur, utilisée pour calculer le flux thermique.
• Flux de chaleur (Φ) : Quantité de chaleur transférée par unité de temps entre les deux fluides.
• Capacité calorifique massique (Cm) : Quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d’une unité de masse d’un fluide d’un degré.
• Nombre d’unités de transfert (NUT) : Nombre sans dimension caractérisant la capacité d’échange thermique d’un échangeur.
• Efficacité (ε) : Rapport entre la puissance thermique réellement échangée et la puissance maximale théorique possible.
• Facteur correctif (F) : Coefficient inférieur à 1 utilisé pour corriger la différence de température logarithmique moyenne dans les configurations complexes (courants croisés, mixtes).
• Encrassement (Fouling) : Dépôt de substances sur les surfaces d’échange qui augmente la résistance thermique.

Points clés à retenir

• La distribution de température dépend du type d’échangeur (co-courant, contre-courant, condenseur, évaporateur).
• Le coefficient global d’échange U intègre toutes les résistances thermiques internes et externes.
• La méthode de la différence de température logarithmique moyenne (∆TLM) est essentielle pour calculer le flux thermique dans les échangeurs simples.
• Pour les configurations complexes, un facteur correctif F est nécessaire pour ajuster ∆TLM.
• La méthode NUT permet d’évaluer l’efficacité d’un échangeur à partir des seules températures d’entrée et des propriétés des fluides.
• L’efficacité ε est un indicateur clé de la performance thermique réelle par rapport à la performance maximale théorique.