Module: Calcul et dimensionnement des échangeurs de chaleur.
Université de M'sila Année universitaire 2016/2017 Département de Génie Mécanique Année d'Etude : Master (2eme année) Option : Energétique
Chapitre 3 : Méthodes DTM et NUT-ε.
3.1 La distribution de température dans un échangeur de chaleur:
Le transfert de chaleur du fluide chaud vers le fluide froid cause un changement de température de l’un ou des deux fluides circulant dans l’échangeur de chaleur (figure (3.1)). A partir des distributions de température des divers types d’échangeurs de chaleur les observations communes sont :
1- Dans l’échangeur à contre-courant, l’augmentation de la température du fluide froid est
presque égale à la chute de température du fluide chaud.
2- Dans tous les cas la différence de température entre les fluides chaud et froid varie avec
la position le long du chemin du fluide chaud.
Fluide chaud
∆T1
Condensât
∆T2
Fluide chaud
∆T2
∆T1
Fluide froid
(a)
Fluide chaud
Fluide froid
∆T1
∆T1
∆T2
Fluide froid
Fluide en ébullition
(b)
Fluide chaud
(c)
∆T2
∆T2
∆T1
Fluide froid
(d)
(e)
Figure (3.1) : La distribution de température dans les échangeurs de chaleur :
1- Différence de température uniforme ou flux de chaleur uniforme ; 2- Condenseur ; 3- Bouilleur ;
- 1 -
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4- A co-courant ; 5- A contre-courant.
3.2 Le coefficient global d’échange (U) ou (KG):
Si on considère un échangeur de chaleur constitué de deux conduites dans lesquelles s’écoulent deux fluides tel qu’illustré sur la figure (3.2) (a) et (b).
Nous avons trois résistances au transfert :
Sur la paroi interne du tube, convection hi
Dans l’épaisseur du tube conduction, k
Sur la paroi externe du tube, convection he.
En régime permanent, le flux de chaleur s’exprime :
=Φ
1 Sh i
i
+
Ln
_ TT i e r e r i π 2 kL
(
)
+
1 Sh e
e
(3-1)
On introduit le coefficient global d’échange U ou kG, le flux s’écrit :
=Φ
TSk ∆ G
moyenne
(3-2)
(a)
- 2 -
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(b) Figure (3.2) : Echangeur de chaleur entre deux conduites : (a) Représentation des conduites ; (b) Vue de coup de l’échangeur.
Le coefficient de transfert est basé sur l’utilisation de la surface externe ou interne de la conduite selon le choix de l’utilisateur. -Si la surface interne est utilisée alors le coefficient global d’échange et le flux de chaleur s’exprime :
=Φ
=Φ
LnS i
_ TT e i r e r i kL
π2
(
)
moyenne
+
1 h i TSk iGi
∆
+
S i Sh e
e
(3-3a)
(3-3b)
-Si la surface externe est utilisée alors le coefficient global d’échange et le flux de chaleur s’exprime :
=Φ
=Φ
S
_ TT e i r e r i kL
π 2
Ln
(
e
moyenne
+
S e hS i i TSk e Ge
∆
)
+
1 h e
(3-4a)
(3-4b)
- 3 -
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La détermination du flux de chaleur nécessite la détermination d’une différence de température moyenne.
Remarque : L’expression précédente ne tient pas compte des problèmes d’encrassement (Fouling), exemple le dépôt du tartre sue les conduites d’eau. Le dépôt du tartre dans ou sur les tubes provoque une résistance thermique supplémentaire. On introduit une résistance d’encrassement interne Rf Rf
int et une résistance d’encrassement externe
ext.
3.3 Evaluation des performances thermiques d’un échangeur en régime
permanant :
Dans l’étude d’un échangeur de chaleur, on cherche à atteindre la puissance d’échange nécessaire avec la plus faible surface possible. L’aspect thermique de l’étude consiste en fait évaluer principalement les performances thermiques c'est-à-dire le flux de chaleur dégagé.
3.3.1 Hypothèses de calcul :
Les hypothèses admises sont : ♦ La chaleur massique des fluides caloporteurs est constante ; ♦ Le coefficient d’échange global est constant tout le long de la surface d’echange ; ♦ L’échange est sans perte.
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3.3.2 Méthode de la moyenne logarithmique ∆TLM :
A) Cas d’un échangeur à courant parallèle :
Considérons un élément de surface dS appartenant à la surface d’échange d’un échangeur simple passe à courant parallèle (figure 3.3).
Figure (3.3) : Distribution de la température dans un échangeur simple à co-courant.
Le flux de chaleur échangé entre les deux fluides à travers la surface dS est :
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dφ
=
( )f TTdSK
−
G
c
D’autre part, le flux de chaleur perdu par le fluide chaud est donné par :
• cdTCm pc
−=
c
dφ Avec : dφ : le flux de chaleur perdu par le fluide chaud ; pcC : la chaleur massique du fluide chaud ; cdT : la variation élémentaire de la température du fluide chaud( De même pour le fluide froid le flux de chaleur gagné est donné par:
(3.5)
(3.6a)
cdT <0) voir la figure(3-3).
• fdTCm pf
=
f
dφ Avec : dφ : le flux de chaleur gagné par le fluide froid ; pfC : la chaleur massique du fluide froid ; fdT : la variation élémentaire de la température du fluide froid( A partir des équations (3.6a) et (3.6b), nous avons :
dTc
−=
dTf
=
pc
dφ • cCm dφ • f Cm
pf
D’onc ;
dT
−
dT f
c
−=
dφ • Cm c
−
dφ • Cm f
pf Remplaçant le flux de chaleur par ça valeur, on aura :
pc
d(T c (T c
− −
)T f )T f
−=
dSK G
1 • Cm c
pc
+
1 • Cm f
pf
(3.6b)
fdT >0) voir la figure(3-3).
(3.7a)
(3.7b)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
Puisque les chaleurs massiques des deux fluides sont constantes et le coefficient d’échange global est de même, intégrant entre l’entrée et la sortie(e et s).
ln
T cs T ce
− −
T fs T fe
−=
SK G
1 • Cm c
pc
+
1 • Cm f
pf
(3.11)
A partir des relations (3.6a) et (3.6b), on remplace le produit du débit massique et la chaleur massique en fonction du flux de chaleur des deux fluides, on obtient :
l
n
l
n
cs
T T ce
− −
T fs T fe
T ce T cs
− −
T fe T fs
= =
SK G
SK G
T cs
−
T ce
+
T fe
−
T fs
T ce
−
T fe
φ
−
φ
T cs
+
T fs
(4.12)
(3.13)
- 5 -
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( T cs − T
Donc, le flux de chaleur est donné par la relation suivante : ] )
[ ( T ce
T
T
−
−
−
)
fe
fs
φ
=
SK G
fs
fe
−
T
ln
T ce T cs
On introduit les indices suivants : ∆T=Tc –Tf a et b sont des indices d’entrée et de sortie de l’échangeur. Nous aurons : dφ Avec :
LMTS∆
= GK
ΔT
LM
=
ΔT a
ln
ΔT b
− ΔT a ΔT b
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
LMΔT étant la température logarithmique de la différence de température globale entre les deux fluides. La différence de température à l’entrée
(3.18a)
=
−
La différence de température à la sortie
ΔT a ΔT b
T ce T cs
T fe T fs
−
=
B) Cas d’un échangeur à contre courant : De la même façon que le co-courant (figure 3.4) on trouve que : dφ Avec :
LMTS∆
= GK
ΔT
LM
=
ΔT a
ln
ΔT b
− ΔT a ΔT b
Avec : La différence de température à l’entrée
La différence de température à l’entrée
ΔT a ΔT b
=
=
T ce T cs
−
−
T fs T fe
(3.18b)
(3.19)
(3.20)
(3.21a)
(3.21b)
Figure (3.4) : Distribution de la température dans un échangeur simple à contre courant.
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C) Cas d’un condenseur :
La distribution de température est donnée sur la figure (4.3b), la température du condensât (fluide chaud) reste constante. Donc, les différences de températures peuvent être utilisées avec² les équations (3.16) et (3.17):
ΔT a ΔT b
=
− TT fe c = − T T fs c
D) Cas d’un évaporateur :
(3.22a)
(3.22b)
La distribution de température est donnée sur la figure (4.3c), la température du fluide froid (vapeur) reste constante. Donc, la différence de température moyenne logarithmique peut être calculer on utilisant équations (3.17) avec:
ΔT a
=
T ce
−
T s
ΔT a
=
T ce
−
T f
(3.23a)
(3.23b)
E) Cas d’autre configuration : courants croisés, configuration mixtes,ect…..:
Pour les échangeurs à courants croisés ou autres, la quantité ∆TLM ne présente plus la différence de température logarithmique moyenne réelle. On introduit alors un facteur de correction F (inférieur à l’unité) fourni par des abaques (figure(3.5a,b,c)) et traduisant la nature de l’écoulement tel que : dφ ∆TLM est obtenue à partir de l’analyse effectuée pour le cas contre-courant.
∆ LMTS
(3.24)
GK
F
=
(a)
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(b)
© Figure (3.5) : Facteur correctif F pour quelques types d’échangeur à courants croisés.
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3.3.3 La méthode NUT (Efficacitè d’un échangeur) :
La méthode de DTLM est basée sur la connaissance des températures des deux fluides aux extrémités de l’échangeur de chaleur (entrée et sortie). Comme on n’a pas souvent accès à ces températures, il serait intéressant de pouvoir évaluer l’échange thermique entre les deux fluides en partant des températures à l’entrée de l’échangeur uniquement. Ceci est envisageable en utilisant la méthode NUT (Nombre d’Unité de Transfert qui sera exposée ci- àprès. A) L’efficacité d’un échangeur de chaleur : Elle est définie comme le rapport de la puissance thermique réellement échangée à la puissance d’échange maximum théoriquement possible avec les mêmes conditions d’entrée des fluides dans l’échangeur (mêmes fluides, débits et températures d’entrée).
ε =
φ
réel
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φ
maximum
φ
réel
=
φ
réel
=
c
pc
• ( TCm ce • ( TCm
f
pf
fc
−
−
)cs T )fe
T
=
φ
• ( Cm T ce Donc, l’efficacité :
max
min
)
(
pc
−
)cs T
Pour un fluide chaud :
ε
=
• TCm ce pc
(
c
−
T cs
)
(
mC
)
p
min
• T ( ce
−
T
)
fe
Pour un fluide froid εφ= Cmin (Tce-Tfe) L’efficacité d’un échangeur de chaleur à courant parallèle :
1
−
exp
=ε
C C
min
max
)
NUT
1(
−
1
+
C C
min
max
1
−
L’efficacité d’un échangeur de chaleur à contre courants : ))
exp
NUT
C C
=ε
exp
( −
1(
1(
C
N
max
−
−
−
min
min
1
)
C C
(3.24)
(3.25a)
(3.25b)
(3.26)
(3.27a)
(3.28)
(3.29a)
(3.29b)
max B) NUT : C’est un groupement à dimensionnelle, il est appelé nombre d’unité de transfert en abrégé NUT, il représente le pouvoir d’échange de l’appareil.
NUT=
UA minC
(3.29)
Des abaques fournissent l’efficacité à partir du NUT et du rapport Cmin/ Cmax ont été dressés pour la plupart de configurations courantes d’écoulements.
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Figure(3.6a) : L’efficacité d’un échangeur à courants parallèles.
t
Figure(3.6b) : L’efficacité d’un échangeur à contre-courants.
Ainsi la méthode de calcul d’un échangeur par la méthode NUT revient à évaluer dans l’ordre : ♦ U le coefficient d’échange global ♦ Cf Cc et Cmin/ Cmax ♦ E à partir des abaques du type E=f(Nut,Cmin/Cmax, configuration) ♦ φ par l’équation(4.28).
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