Approximation of a Function by Polynomials and Trigonometric Polynomials

Ce document présente les méthodes d’approximation des fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Il s’adresse aux étudiants en mathématiques appliquées et en analyse numérique souhaitant comprendre les fondements théoriques et pratiques de l’interpolation, de la quadrature, des développements de Taylor et des séries de Fourier.

Interpolation polynomiale

L’interpolation polynomiale consiste à approcher une fonction continue f sur un intervalle [a, b] par un polynôme Pn de degré n qui coïncide avec f en n + 1 points distincts x0 < x1 < ... < xn.

Définition et construction

On définit les polynômes de Lagrange (λi) associés aux points (xi) par :

λi(x) = ∏j ≠ i (x - xj) / (xi - xj)

Le polynôme d’interpolation de f est alors :

Pn(f)(x) = ∑i=0n f(xi) λi(x)

Ce polynôme est unique dans Rn[X] et vérifie Pn(f)(xi) = f(xi) pour tout i.

Exemple simple

Pour n = 1, avec x0 = a, x1 = b, P1(f) est la droite joignant les points (a, f(a)) et (b, f(b)) :

P1(f)(x) = f(a) * (x - b) / (a - b) + f(b) * (x - a) / (b - a)

Erreur d’interpolation

Si f est (n+1) fois dérivable sur [a, b], alors pour tout x ∈ [a, b], il existe ξx ∈ [a, b] tel que :

f(x) − Pn(f)(x) = πn+1(x) / (n + 1)! * f^(n+1)(ξx),

où πn+1(x) = ∏_j=0ⁿ (x - xj).

On en déduit la majoration :

||f − Pn(f)||∞ ≤ ||πn+1||∞ / (n + 1)! * ||f^(n+1)||∞.

Phénomène de Runge

Pour la fonction fα(x) = 1 / (x² + α²) sur [−1, 1], avec α > 0, l’interpolation par polynômes aux points équidistants diverge lorsque n → ∞, malgré l’analyticité de f.

Stabilité et convergence

L’opérateur d’interpolation de Lagrange Pn : C([a, b]) → C([a, b]) est linéaire et continu pour la norme uniforme, de norme Λn donnée par :

Λn = sup_{x ∈ [a,b]} ∑_i=0ⁿ |λi(x)|.

Pour les points de Tchebychev, on a asymptotiquement :

Λn ~ (2/π) ln(n) lorsque n → ∞.

Cependant, il existe des fonctions continues pour lesquelles la suite des polynômes d’interpolation aux points de Tchebychev ne converge pas uniformément.

Quadrature de Newton-Cotes

La quadrature consiste à approximer l’intégrale I(f) = ∫_a^b f(x) dx par :

In(f) = ∫_a^b Pn(f)(x) dx,

où Pn(f) est le polynôme d’interpolation de f aux points équidistants.

La quadrature est dite d’ordre k si elle est exacte pour tout polynôme de degré ≤ k, et qu’il existe un polynôme de degré k+1 pour lequel elle n’est pas exacte.

La méthode de Newton-Cotes est d’ordre :

• n si n est impair,
• n + 1 si n est pair.

Exemples :

• n = 1 : méthode des trapèzes (ordre 1),
• n = 2 : méthode de Simpson (ordre 3).

Approximation uniforme

Soit f ∈ C([a, b]). On cherche le polynôme Pn ∈ Rn[X] minimisant l’erreur uniforme :

||f − Pn||∞ = inf_{P ∈ Rn[X]} ||f − P||∞.

Le polynôme qui réalise ce minimum est appelé polynôme de meilleure approximation uniforme.

Pour des points équidistants xi = 2i/n − 1 sur [−1, 1], la norme ||πn+1||∞ est très grande, ce qui nuit à la convergence.

En revanche, pour les points de Tchebychev :

xi = cos((2i + 1)π / (2n + 2)),

on a une meilleure maîtrise de ||πn+1||∞, favorisant la convergence.

Approximation locale : formules de Taylor

Soit f ∈ Cn(I, R) avec I un intervalle ouvert et a ∈ I. Le polynôme de Taylor d’ordre n de f en a est :

Tn_a(f)(x) = ∑_k=0ⁿ f^(k)(a) / k! * (x − a)^k.

Théorèmes importants :

• Taylor-Young : f(x) = Tn_a(f)(x) + o((x − a)^n) lorsque x → a.
• Reste intégral : si f ∈ Cn+1([a, x]), alors :

f(x) = Tn_a(f)(x) + ∫ax f^(n+1)(t) * (x − t)^n / n! dt.

• Taylor-Lagrange : il existe c ∈ ]a, x[ tel que :

f(x) = Tn_a(f)(x) + f^(n+1)(c) / (n + 1)! * (x − a)^(n+1).

En particulier, on a la majoration :

|f(x) − Tn_a(f)(x)| ≤ ||f^(n+1)||∞ / (n + 1)! * |x − a|^(n+1).

Exemple

Au voisinage de 0, le développement de cos(x) est :

cos(x) = ∑_k=0ⁿ (−1)^k x^(2k) / (2k)! + o(x^(2n+1)).

Polynômes trigonométriques

On considère le cercle T = R / 2πZ et les fonctions périodiques de période 2π.

Définitions

Le sous-espace vectoriel P des polynômes trigonométriques est engendré par les fonctions :

e_n : t ↦ e^{i n t}, n ∈ Z.

Le théorème de Weierstrass affirme que P est dense dans C(T).

Pour f ∈ L¹(T), on définit les coefficients de Fourier :

c_n(f) = (1 / 2π) ∫₀^2π f(t) e^{−i n t} dt.

La série de Fourier de f est :

∑_{n ∈ Z} c_n(f) e_n.

Propriétés

La famille (e_n)_{n ∈ Z} forme une base hilbertienne de L²(T).

Le théorème de Parseval établit que pour f ∈ L²(T) :

||f||² = ∑_n=−∞^+∞ |c_n(f)|².

Convergence des séries de Fourier

Le théorème de Dirichlet stipule que si f est continue et C¹ par morceaux sur T, alors sa série de Fourier converge normalement vers f dans (C(T), ||·||∞).

Application : équation de la chaleur

Considérons u₀ ∈ C([0, 2π], R), C¹ par morceaux, avec u₀(0) = u₀(2π). La solution du problème aux limites :

• ∂²u / ∂x² (t, x) = ∂u / ∂t (t, x) pour (t, x) ∈ R⁺ × ]0, 2π[,
• u(0, x) = u₀(x) pour x ∈ [0, 2π],
• u(t, 0) = u(t, 2π) pour t ∈ R⁺,

est unique, continue sur R⁺ × [0, 2π] et C∞ sur R⁺* × ]0, 2π[.

Glossaire des termes clés

• Interpolation polynomiale : Approximation d’une fonction par un polynôme passant par un ensemble de points donnés.
• Polynômes de Lagrange : Polynômes utilisés pour construire l’interpolant polynomiale à partir de valeurs en points donnés.
• Quadrature : Méthode d’approximation numérique d’une intégrale.
• Newton-Cotes : Famille de formules de quadrature basées sur l’intégration du polynôme interpolateur aux points équidistants.
• Polynôme de meilleure approximation uniforme : Polynôme minimisant l’erreur maximale entre la fonction et son approximation.
• Formule de Taylor : Développement local d’une fonction en série polynomiale autour d’un point.
• Polynômes trigonométriques : Combinaisons linéaires des fonctions e_{i n t}, utilisées pour approximer des fonctions périodiques.
• Série de Fourier : Représentation d’une fonction périodique comme somme infinie de fonctions trigonométriques.
• Théorème de Weierstrass : Densité des polynômes trigonométriques dans l’espace des fonctions continues périodiques.
• Théorème de Parseval : Relation entre la norme L² d’une fonction et la somme des carrés de ses coefficients de Fourier.
• Théorème de Dirichlet : Convergence de la série de Fourier pour les fonctions continues et C¹ par morceaux.

Points essentiels à retenir

• L’interpolation polynomiale permet d’approximer une fonction continue par un polynôme passant par des points donnés, mais peut souffrir du phénomène de Runge avec des points équidistants.
• Les points de Tchebychev améliorent la stabilité et la convergence de l’interpolation polynomiale.
• La quadrature de Newton-Cotes utilise l’intégrale du polynôme interpolateur pour approximer une intégrale, avec un ordre dépendant de n pair ou impair.
• Le polynôme de meilleure approximation uniforme minimise l’erreur maximale et est unique.
• Les formules de Taylor fournissent une approximation locale avec un contrôle précis de l’erreur via le reste.
• Les polynômes trigonométriques et les séries de Fourier sont essentiels pour approximer les fonctions périodiques.
• Le théorème de Weierstrass garantit la densité des polynômes trigonométriques dans C(T), assurant une approximation arbitrairement précise.
• Les séries de Fourier convergent normalement pour les fonctions continues et C¹ par morceaux, avec des applications en résolution de PDE comme l’équation de la chaleur.