209. Approximation d’une fonction par des polynômes et des
polynômes trigonométriques. Exemples et applications.
Introduction : Les polynômes sont les fonctions les plus faciles à évaluer
numériquement, d’où l’intérêt de savoir approximer une fonction arbitraire par des
polynômes.
1 Interpolation polynomiale
1.2 Stabilité et convergence
Définition 6. On définit alors l’opérateur d’interpolation de Lagrange aux points
(xi) par Pn
(cid:26) C([a, b]) → C([a, b])
f
7→ Pn(f )
.
Proposition 7. Pn est linéaire continu pour k·k∞, de norme Λn = sup
x∈[a,b]
Proposition 8. Pour les points de Tchebychev, on a Λn ∼
n→∞
2
π
ln(n).
n
X
i=0
|‘i(x)|.
Soient a < b ∈ R, soit f ∈ C([a, b], R), soient x0 < x1 < · · · < xn ∈ [a, b].
Corollaire 9. Il existe une fonction continue dont le polynôme d’interpolation aux
points de Tchebychev ne converge pas uniformément.
1.1 Généralités
par ‘i(X) =
Y
j6=i
X − xj
xi − xj
Définition 1. On définit la famille des polynômes de Lagrange aux points (xi)i
, i ∈ [[0, n]]. On définit le polynôme d’interpolation de f aux
points (xi)i par Pn(f ) =
n
X
i=0
f (xi)‘i. On note aussi πn+1(X) =
n
Y
j=0
(X − xj).
Proposition 2. Pn(f ) est le seul polynôme de Rn[X] vérifiant
∀i ∈ [[0, n]], Pn(f )(xi) = f (xi).
Exemple 3. Si n = 1, x0 = a, x1 = n, P1(f ) est la corde joignant (a, f (a)) et
(b, f (b)).
Théorème 4. On suppose f ∈ Cn+1([a, b]).
Alors, pour tout x ∈ [a, b], il existe ξx ∈ [a, b], f (x) − Pn(f )(x) =
πn+1(x)
(n + 1)!
f (n+1)(ξx).
Ainsi kf − Pn(f )k∞ ≤
kπn+1k∞
(n + 1)!
kf (n+1)k∞.
Exemple 5. On suppose a = −1, b = 1.
Exemple 10 (Phénomène de Runge). Soit α > 0. Pour x ∈ [−1, 1], soit
1
fα(x) =
(points équidistants) diverge.
x2 + α2 . f est analytique mais la suite de ses polynômes d’interpolation
1.3 Application : Quadrature de Newton-Cotes
Z b
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Z b
L’idée est d’approximer I(f ) =
f (x)dx par In(f ) :=
Pn(f )(x)dx, où Pn(f )
est pris avec des points équidistants.
a
a
Définition 11. La quadrature est dite d’ordre k si pour tout f ∈ Rk[X], In(f ) =
I(f ), et s’il existe g ∈ Rk+1[X], I(g) 6= Ik(g).
Proposition 12. La méthode de Newton-Cotes est d’ordre n si n est impair et
d’ordre n + 1 si n pair.
Exemple 13. Si n = 1, c’est la méthode des trapèzes (d’ordre 1). Si n = 2, c’est la
méthode de Simpson (ordre 3).
2 Approximation uniforme
Soit f ∈ C([a, b]).
— Points équidistants : xi =
2i
n
− 1, alors kπn+1k∞ ≥
(cid:19)n+1
1
√
n
n
(cid:18) 2
e
Théorème 14. Pour n ∈ N, il existe un unique Pn ∈ Rn[X] tel que kf − P k∞ =
(n → ∞).
inf
P ∈Rn[X]
kf − P k∞.
— Points de Tchebychev : xi = cos
(cid:18) 2i + 1
2n + 2
(cid:19)
π
, alors kπn+1k∞ ≥ 2
(cid:19)n+1
.
(cid:18) 1
2
Définition 15. Ce polynôme est appelé polynôme de meilleure approximation uni-
forme de f .
Théorème 16. Soit f ∈ C([0, 1]). On définit son module de continuité par wf (h) =
|f (x) − f (y)|. Pour p ∈ [0, 1], soient X1(p), · · · , Xn(p) iid suivant une loi
sup
|x−y|<h
de Bernoulli de paramètre p. On pose Sn(p) =
p ∈ [0, 1], Bn(p) = E
(cid:20)
f
(cid:18) Sn(p)
n
(cid:19)(cid:21)
.
n
X
i=1
Xi(p). On pose enfin pour tout
(Bn)n∈N est une suite de fonctions polynomiales qui converge uniformément vers f ,
Application 23.
xex − sin(x)
x2
−→
x→0
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1.
Application 24 (Théorème central
aléatoires iid dans L2. Alors, si on pose Sn =
Xk,
converge en loi vers une variable de loi N (0, 1).
k=1
limite). Soit (Xn)n∈N suite de variables
(cid:19)
r n
n
X
(cid:18) Sn
n
− E[X1]
Var(X1)
on a kBn − f k∞ ≤
3
2
wf
(cid:19)
(cid:18) 1
√
n
et cette inégalité est optimale.
0. On se donne x0 ∈ I, et on pose xk+1 = xk −
. S’il existe δ > 0 tel que f
Théorème 25 (Méthode de Newton). Soit f ∈ C1(R, R), soit α ∈ R tel que f (α) =
f (xk)
f 0(xk)
3 Approximation locale : formules de Taylor
Soit I intervalle ouvert de R, soit f ∈ C(I, Rd).
3.1 Rappel des formules de Taylor
Soit a ∈ I tel que f soit n fois dérivable en a. On définit le polynôme de Taylor
d’ordre n de f en a : T n
a (f ) =
n
X
k=0
f (k)(a)
k!
(X − a)k. Alors :
Théorème 17 (Taylor-Young). ∀x ∈ I, f (x) = T n
Théorème 18 (reste intégral). ∀x ∈ I, si f ∈ Cn+1([a, x]), on a
a (f )(x) + ox→a((x − a)n).
f (x) = T n
a (f )(x) +
f (n+1)(t)dt.
Z x
a
(x − t)n
n!
Théorème 19 (Taylor-Lagrange). ∀x ∈ I, si f ∈ Cn([a, x], R), n + 1 fois dérivables
sur ]a, x[, alors il existe c ∈]a, x[ tel que f (x) = T n
a (f )(x) +
f (n+1)(c)
(n + 1)!
(x − a)n+1.
Corollaire 20. Si f ∈ Cn+1([a, x], R), on a
|f (x) − f (a) − T n
a (f )(x)| ≤
kf (n+1)k∞
(n + 1)!
(x − a)n+1.
soit de classe C2 sur ]α − δ, α + δ[ et si f 0 ne s’annule pas sur cet intervalle, alors
pour tout x0 ∈]α − δ, α + δ[, la suite converge quadratiquement vers α.
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4 Polynômes trigonométriques
On note T = R/2πZ et on identifie les fonctions f : T → C aux fonctions f : R → C
2π-périodiques.
4.1 Généralités
Définition 26. On appelle ensemble des polynômes trigonométriques, et on note
P, le sous-espace vectoriel de C(T) engendré par les (en)n∈Z où en : t 7→ eint.
Théorème 27 (Weierstrass). P est dense dans C(T).
Définition 28. Si f ∈ L1(T), on définit son n-ème coefficient de Fourier par
cn(f ) =
1
2π
Z 2π
0
f (t)e−intdt. On appelle série de Fourier de f la série
X
n∈Z
cn(f )en.
Proposition 29. (en)n∈Z forme une base hilbertienne de L2(T).
3.2 Applications
Théorème 30 (Parseval). Si f ∈ L2(T), on a kf k2 =
Proposition 21. Soit a ∈ I. Si f est n fois dérivable en a, alors f admet un
développement limité à l’ordre n en a, donné par la formule de Taylor-Young.
Exemple 22. Pour n ∈ N, au voisinage de 0 :
(−1)k x2k
(2k)!
+ o(x2n+1).
+ o(xn)
cos(x) =
xk
k!
ex =
n
X
n
X
k=0
k=0
4.2 Convergence des séries de Fourier
Théorème 31 (Dirichlet). Si f est continue, de classe C1 par morceaux, alors sa
série de Fourier converge normalement vers f dans (C(T), k · k∞).
+∞
X
n=−∞
|cn(f )|2.
Application 32. Soit u0 ∈ C([0, 2π], R), C1 par morceaux avec u(0) = u(2π). On
∂2u
∂x2 (t, x) = 0 pour (t, x) ∈ R+×]0, 2π[,
considere le probleme aux limites
(t, x) −
u(0, x) = u0(x) pour x ∈ [0, 2π], u(t, 0) = u(t, 2π) pour t ∈ R+. Il y a une unique
solution continue sur R+ × [0, 2π], C∞ sur R∗
∂u
∂t
+×]0, 2π[.
Développements
— Stabilité de l’interpolation de Lagrange.
— Polynômes de Bernstein.
— Équation de la chaleur avec conditions aux limites périodiques.
Références
[1] V. Beck, J. Malick, G. Peyré, Objectif Agrégation, H&K.
[2] J.-P. Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, EDP
Sciences.
[3] A. Pommellet, Cours d’analyse, Ellipses.