Analysis of Internal Forces Diagrams

Cette leçon porte sur l’analyse des diagrammes des efforts internes dans une poutre, une étape essentielle en mécanique des structures. Elle s’inscrit dans un cours de troisième année de Génie Industriel et détaille la méthode pour déterminer les efforts internes à partir des réactions aux appuis, en appliquant le Principe Fondamental de la Statique (PFS) et en construisant les diagrammes correspondants.

Calcul des inconnues par application du Principe Fondamental de la Statique (PFS)

La première étape consiste à déterminer les réactions aux appuis, notées YA et YB, en appliquant le PFS sur la poutre AB. Les efforts exercés sont YA en y, YB en y, et une charge ponctuelle P = -70 kN en y. Le système est soumis à l’équilibre des forces et des moments, ce qui conduit aux équations suivantes :

ΣF = 0

YA + YB - 70 = 0

ΣM_A = 0

AB * YB - AC * 70 = 0

En choisissant le point A comme origine, et en connaissant les distances AB = 8 m et AC = 5,5 m, on calcule :

YB = (AC * 70) / AB = (5,5 * 70) / 8 = 48,125 kN

YA = 70 - 48,125 = 21,875 kN

Ces valeurs représentent les réactions verticales aux appuis A et B.

Division de la poutre en tronçons et fixation de l’origine

La poutre est divisée en deux tronçons distincts pour faciliter le calcul des efforts internes : le tronçon AC et le tronçon CB. L’origine est fixée au point A, ce qui permet de mesurer la position x le long de la poutre à partir de ce point.

Calcul des efforts internes dans chaque tronçon

Pour chaque tronçon, on calcule le torseur de cohésion, qui représente les efforts internes (efforts normaux, efforts tranchants et moments fléchissants) à une section donnée. Dans le tronçon AC : Soit G un point quelconque situé entre A et C, à une distance x de A. Le torseur de cohésion s’écrit :

τ_cohésion = -τ_gauche = - (YA, MG(YA) à G)

Le moment MG(YA) est donné par :

MG(YA) = - x * YA * z

Le torseur devient donc :

Composante	Valeur
Effort normal N	0
Effort tranchant Ty	-21,875 kN
Moment fléchissant Mfz	21,875 * x kN.m

On remarque que la dérivée du moment Mfz par rapport à x est égale à -Ty, ce qui correspond à la relation classique en mécanique des structures. Dans le tronçon CB : Pour un point G situé entre C et B, à une distance x de A, on a :

MG(YB) = (AB - x) * YB * z = (8 - x) * 48,125 * z

Le torseur de cohésion est :

Composante	Valeur
Effort normal N	0
Effort tranchant Ty	48,125 kN
Moment fléchissant Mfz	(48,125) * (8 - x) kN.m

La dérivée de Mfz par rapport à x est également égale à -Ty, confirmant la cohérence des calculs.

Construction des diagrammes des efforts internes

Les efforts internes sont représentés graphiquement par des diagrammes le long de la poutre.

• Effort tranchant Ty :
  • Dans AC, Ty = -21,875 kN (valeur constante négative)
  • Dans CB, Ty = 48,125 kN (valeur constante positive)
• Moment fléchissant Mfz :
  • Dans AC, Mfz varie linéairement de 0 à 120,3 kN.m (21,875 * 5,5)
  • Dans CB, Mfz décroît linéairement de 120,3 kN.m à 0

Ces diagrammes permettent de visualiser les variations des efforts internes et sont essentiels pour la conception et le dimensionnement des structures.

Cas d’une poutre encastrée avec une charge inclinée

Dans un autre exemple, la poutre AB est encastrée en A, avec trois inconnues : XA, YA, et Me (moment d’encastrement). Ici, la poutre n’est pas divisée en tronçons, et l’origine est fixée en A. Une force F est appliquée avec une composante selon x et y donnée par :

F = (|F| cos(30°), -|F| sin(30°)) = (3,7 kN, -2 kN)

Le moment au point G est calculé par :

MG(F) = (AB - x) ∧ F = -2 (1 - x) z

Le torseur de cohésion s’écrit alors :

Composante	Valeur
Effort normal N	3,7 kN
Effort tranchant Ty	-2 kN
Moment fléchissant Mfz	-2 (1 - x) kN.m

Le diagramme de l’effort normal N montre une traction constante, tandis que Ty est négatif, indiquant un effort tranchant dirigé vers le bas.

Exemple avec torseurs aux appuis et calcul des inconnues

Un exercice plus complexe présente les torseurs des actions mécaniques transmissibles aux liaisons A et B :

τ_A = (X_A, 0, Y_A, 0, Z_A, 0) en A

τ_B = (0, 0, Y_B, 0, Z_B, 0) en B

Le torseur extérieur appliqué en C est :

τ_C = (-100, 0, 600, 0, -50, 0) en C

Le PFS est appliqué en transférant les torseurs en B et C vers le point A, en utilisant la relation de transfert des moments :

M_A = M_B + AB ∧ R_B

Le transfert du torseur en B vers A donne :

τ_B^A = (0, 0, Y_B, -2 Z_B, Z_B, 2 Y_B)

Le transfert du torseur en C vers A donne :

τ_C^A = (-100, 600, -50, 40, 0, 480)

La somme des torseurs à A doit être nulle, ce qui conduit à un système de cinq équations :

• X_A - 100 = 0
• Y_A + Y_B + 600 = 0
• -2 Z_B + 40 = 0
• Z_A + Z_B - 50 = 0
• 2 Y_B + 480 = 0

La résolution donne :

Y_B = -240, Z_B = 20, X_A = 100, Y_A = -360, Z_A = 30

Calcul du torseur de cohésion en un point G quelconque

Pour un point G situé à une distance x de A, le moment au point G est calculé par :

M_G = M_A + GA ∧ R_A

avec GA = -x x (vecteur unitaire selon x). Le torseur transféré de A à G est :

Composante	Valeur
Effort normal N	-100 kN
Effort tranchant Ty	360 kN
Effort tranchant Tz	-30 kN
Moment fléchissant Mfy	-30 x kN.m
Moment fléchissant Mfz	-360 x kN.m

De même, le torseur transféré de B à G, avec GB = l - x, est :

Composante	Valeur
Effort tranchant Ty	-240 kN
Effort tranchant Tz	20 kN
Moment fléchissant Mfy	-20 (l - x) kN.m
Moment fléchissant Mfz	-240 (l - x) kN.m

Les relations différentielles classiques sont vérifiées :

dMfz/dx = -Ty

dMfy/dx = Tz

Points clés

• Le calcul des inconnues aux appuis s’effectue par application du PFS (équilibre des forces et moments).
• La poutre est divisée en tronçons pour faciliter le calcul des efforts internes.
• Le torseur de cohésion regroupe les efforts internes à une section : effort normal (N), effort tranchant (Ty, Tz), moments fléchissants (Mfy, Mfz).
• Les diagrammes des efforts internes montrent la variation des efforts le long de la poutre et sont essentiels pour la conception.
• Le transfert des torseurs entre points permet de calculer les moments en tout point de la poutre.
• Les relations différentielles entre moments fléchissants et efforts tranchants sont vérifiées : dM/dx = -T.