On va suivre la démarche qu’on a vu en cours pour établir les diagrammes des efforts internes.
Rappel : 1) Calcul des inconnues (application du PFS)
(Remarque (à ajouter au cours) : dans certains cas, l’application du PFS ne permet pas de calculer les inconnues, c’est les cas où le système est ‘hyperstatique’; c-à-d : le nombre d’inconnues est supérieur au nombre d’équations.)
2) Division de la poutre en tronçons 3) Fixer l’origine 4) Calcul des efforts internes (le torseur de cohésion) 5) Diagrammes des efforts internes.
3ème année Génie Industriel - Yassine Ferchichi – ULT – 2020-2021 –
Première étape : calcul des inconnues en appliquant le PFS :
On doit déterminer YA et YB :
Appliquons le PFS sur la poutre AB :
Les efforts excercés sur la poutre : 𝑌𝐴 = 𝑌𝐴 𝑦 , 𝑌𝐵 = 𝑌𝐵 𝑦 et 𝑃 = −70 𝑦 (en kN)
On choisit un point pour le calcul des moments : on peut choisir soit le point A soit le point B
PFS nous donne 𝐹 =0 et 𝑀𝐴 =0
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𝐹 =0
Donc 𝑌𝐴 𝑦 +𝑌𝐵 𝑦 −70 𝑦 = 0
Donc 𝑌𝐴 +𝑌𝐵 − 70 = 0
Et
𝑀𝐴 =0
𝑀𝐴(𝑌𝐴) = 0
𝑀𝐴(𝑌𝐵) = AB* 𝑌𝐵 𝑧 (sens positif : de x vers y)
𝑀𝐴(𝑃) = - AC*70 𝑧 (sens négatif: de y vers x)
Donc AB* 𝑌𝐵+ (- AC*70 ) = 0 donc 𝑌𝐵 =
𝐴𝐶∗70 𝐴𝐵
=
5,5∗70 8
= 48,125 kN = 48125 N
Donc 𝑌𝐴 = 70 − 48,125 = 21,875 𝑘𝑁
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𝑌𝐵
2) Division de la poutre en tronçons : on a deux tronçons : AC et CB 3)
Fixation de l’origine :
On va fixer l’origine au point A
4) Calcul des efforts internes dans chaque tronçon :
Dans le tronçon AC :
Soit G un point quelconque de AC
𝜏𝐶𝑜ℎé𝑠𝑖𝑜𝑛 = −𝜏𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒
G
= −
= −
𝑌𝐴 𝑀𝐺(𝑌𝐴) 𝐺 21,875 𝑦 −21,875 x 𝑧 𝐺
or 𝑀𝐺(𝑌𝐴)= − AG∗𝑌𝐴 𝑧 = - x * 𝑌𝐴 𝑧
=
−21,875 𝑦 21,875 x 𝑧 𝐺
=
0 −21,875 0
0 0 21,875 x 𝐺
=
𝑁 𝑀𝑡 𝑇𝑦 𝑀𝑓𝑦 𝑇𝑧 𝑀𝑓𝑧
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𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑇𝑦 = −21,875 kN
𝐺
Et Mfz = 21,875𝑥
(𝑟𝑒𝑚𝑎𝑟𝑞𝑢𝑒
𝑑𝑀𝑓𝑧 𝑑𝑥
= −𝑇𝑦)
4) Calcul des efforts internes dans chaque tronçon :
Dans le tronçon CB :
Soit G un point quelconque de CB
𝜏𝐶𝑜ℎé𝑠𝑖𝑜𝑛 = 𝜏𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 =
𝑌𝐵 𝑀𝐺(𝑌𝐵) 𝐺
G
or 𝑀𝐺(𝑌𝐵)= BG∗𝑌𝐵 𝑧 = AB − x 𝑌𝐵 𝑧 = 48,125 8 − 𝑥 𝑧
𝜏𝐶𝑜ℎé𝑠𝑖𝑜𝑛 =
48,125 𝑦 48,125 8 − 𝑥 𝑧 𝐺
=
0 48,125 0
0 0 48,125 8 − 𝑥 𝐺
=
𝑁 𝑀𝑡 𝑇𝑦 𝑀𝑓𝑦 𝑇𝑧 𝑀𝑓𝑧
𝐺
𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑇𝑦 = 48,125kN
Et Mfz = 48,125 8 − 𝑥
(𝑟𝑒𝑚𝑎𝑟𝑞𝑢𝑒
𝑑𝑀𝑓𝑧 𝑑𝑥
= −𝑇𝑦)
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5) Diagrammes des efforts internes
𝑇𝑦 = 48,125kN
(+)
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A
(-)
C
B
𝑇𝑦 = −21,875 kN
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Sur AC
Mfz = 21,875𝑥
Au point A :Mfz 0 = 0
Au point C : Mfz 5,5 = 21,875 ∗ 5,5
= 120.3 kN.m
Sur CB
Mfz = 48,125 8 − 𝑥
Au point C : Mfz 5,5 = 120.3 kN.m
Au point B : Mfz 8 = 0
𝑀𝑓𝑧 = 120,3kN.m
A
(+)
C
B
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G
La démarche qu’on a vu en cours pour établir les diagrammes des efforts internes.
Rappel : 1) Calcul des inconnues (application du PFS)
Encastrement : trois inconnues : XA, YA et Me (moment d’encastrement)
2) Division de la poutre en tronçons
pas de division nécessaire ; un seul tronçon AB
3) Fixer l’origine
on peut fixer l’origine en A
4) Calcul des efforts internes (le torseur de cohésion)
lorsqu’on prends un point G de AB, on peut calculer le torseur de cohésion par la formule
𝝉𝑪𝒐𝒉é𝒔𝒊𝒐𝒏 = 𝝉𝒅𝒓𝒐𝒊𝒕𝒆
et donc on n’a pas besoin dans cet exercice de calculer les inconnues au point A.
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4) Calcul des efforts internes entre A et B
𝝉𝑪𝒐𝒉é𝒔𝒊𝒐𝒏 = 𝝉𝒅𝒓𝒐𝒊𝒕𝒆 =
𝐹 𝑀𝐺( 𝐹) 𝐺
G
𝐹 =
𝐹𝑥 𝐹𝑦 =
| 𝐹 |cos(30) −| 𝐹 |𝑠𝑖𝑛(30)
=
4 ∗ 0,85 −4 ∗ 0,5
=
3,7 −2
(kN)
𝑀𝐺( 𝐹) =𝐺𝐵∧ 𝐹 =
𝐴𝐵 − 𝑥 0
∧
3,7 −2
=-2(AB-x) 𝑧 =-2(1-x) 𝑧
adj
opp
𝝉𝑪𝒐𝒉é𝒔𝒊𝒐𝒏 =
3,7 −2 −2(1−x) 𝑧 𝐺
=
3,7 0 −2 0 0 −2(1−x) 𝐺
=
𝑁 𝑀𝑡 𝑇𝑦 𝑀𝑓𝑦 𝑇𝑧 𝑀𝑓𝑧
𝐺
𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑁 = 3,7 kN
Ty = -2 kN
Et Mfz = −2(1−x)
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(𝑜𝑛 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒 𝑞𝑢𝑒
𝑑𝑀𝑓𝑧 𝑑𝑥
= −𝑇𝑦)
5) Diagrammes des efforts internes
N= 3,7kN
(+)
B
N> 0 donc la poutre est soumise à une Traction
(-)
B
A
A
Ty = −2 kN
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Mf𝑧
-2
(-)
B
Au point A : Mfz 0 = −2 kN.m
Mfz = −2(1−x)
Au point B : Mfz 1 = 0
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Exercice 3
𝜏𝐴 =
𝑋𝐴 0 𝑌𝐴 0 𝑍𝐴 0 𝐴
𝜏𝐵 =
0 0 𝑌𝐵 0 𝑍𝐵 0 𝐵
Remarque : ce sont les torseurs des actions mécaniques transmissibles par ces liaisons
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Exercice 3
𝜏𝐴 =
𝑋𝐴 0 𝑌𝐴 0 𝑍𝐴 0 𝐴
𝜏𝐵 =
0 0 𝑌𝐵 0 𝑍𝐵 0 𝐵
On a cinq inconnues à calculer. On appliquera le PFS sur la poutre AB.
𝜏𝑐 =
−100 0 600 0 −50 0 𝑐
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Première étape : calcul des inconnues
• PFS : on va faire la somme des trois torseurs
𝜏𝐴 =
𝑋𝐴 0 𝑌𝐴 0 𝑍𝐴 0 𝐴
𝜏𝐵 =
0 0 𝑌𝐵 0 𝑍𝐵 0 𝐵
𝜏𝑐 =
−100 0 600 0 −50 0 𝑐
On doit d’abord les exprimer au point A
𝑀𝐴=𝑀𝐵 + 𝐴𝐵∧𝑅𝐵
Transfert du torseur de la liaison en B, vers le point A : 𝜏𝐵 𝐴 =
0 0 𝑌𝐵 0 𝑍𝐵 0 𝐵
𝐴𝐵∧𝑅𝐵=
2 0 0
∧
0 𝑌𝐵 𝑍𝐵
=
0 −2𝑍𝐵 2𝑌𝐵
donc
𝜏𝐵 𝐴 =
0
0 𝑌𝐵 −2𝑍𝐵 𝑍𝐵
2𝑌𝐵 𝐴
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Transfert du torseur de la liaison en C, vers le point A :
𝜏𝑐 =
−100 0 600 0 −50 0 𝑐
𝜏𝐶 𝐴 =
−100 0 0 600 0 𝐶 −50
𝑀𝐴=𝑀𝐶 + 𝐴𝐶∧𝑅𝐶
𝐴𝐶∧𝑅𝐶
=
0,8 0 0
∧
−100 600 −50
=
0 40 480
𝜏𝐶 𝐴 =
−100 600 −50
0 40 480 𝐴
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Somme des torseurs
𝜏𝐴 =
𝑋𝐴 0 𝑌𝐴 0 𝑍𝐴 0 𝐴
𝜏𝐵 𝐴 =
0
0 𝑌𝐵 −2𝑍𝐵 𝑍𝐵
2𝑌𝐵 𝐴
𝑋𝐴-100 =0
𝑌𝐴 + 𝑌𝐵 + 600 = 0
−2𝑍𝐵 + 40 = 0
𝑍𝐴+ 𝑍𝐵-50 = 0
2𝑌𝐵 + 480 = 0
𝑌𝐵 = −240
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𝑍𝐵 = 20
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𝜏𝐶 𝐴 =
−100 600 −50
0 40 480 𝐴
𝑋𝐴= 100
𝑌𝐴 = - 𝑌𝐵 - 600 = - 360
𝑍𝐴=- 𝑍𝐵+50 = -20+50=30
Pour le calcul du torseur de cohésion ; attention au transfert du moment (on doit calculer le moment au point G)
𝑀𝐺=𝑀𝐴 + 𝐺𝐴∧𝑅𝐴
𝐺𝐴 =−xx
G
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Transfert du Torseur de la liaison A vers le point G
𝐺𝐴
G
𝜏𝐴 𝐺 = −
𝑋𝐴 0 𝑌𝐴 0 𝑍𝐴 0 𝐴
𝑀𝐺=𝑀𝐴 + 𝐺𝐴∧𝑅𝐴 =
0 0 0
+
−𝑥 0 0
∧
100 −360 30
𝜏𝐴 𝐺 = −
100 −360 30
0 30𝑥 360𝑥 𝐺
=
0 −30𝑥
−100 360 −30 −360𝑥 𝐺
=
𝑁 𝑀𝑡 𝑇𝑦 𝑀𝑓𝑦 𝑇𝑧 𝑀𝑓𝑧
𝐺
𝑁 = −100, 𝑇𝑦 = 360
𝑇𝑧 = −30
𝑀𝑓𝑦 = −30𝑥
𝑀𝑓𝑧 = −360𝑥
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(𝑜𝑛 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒 𝑞𝑢𝑒
𝑑𝑀𝑓𝑧 𝑑𝑥
= −𝑇𝑦)
(𝑒𝑡
𝑑𝑀𝑓𝑦 𝑑𝑥
= 𝑇𝑧)
Transfert du Torseur de la liaison B vers le point G
𝜏𝐵 𝐺 =
0 0 𝑌𝐵 0 𝑍𝐵 0 𝐵
𝑀𝐺=𝑀𝐵 + 𝐺𝐵∧𝑅𝐵 =
0 0 0
+
𝑙 − 𝑥 0 0
∧
0 −240 20
𝜏𝐵 𝐺 =
0
0
−240 −20(𝑙 − 𝑥) −240(𝑙 − 𝑥)
20
𝑁 𝑀𝑡 𝑇𝑦 𝑀𝑓𝑦 𝑇𝑧 𝑀𝑓𝑧
𝐺
=
𝐺
G
𝐺𝐵
𝑇𝑦 = −240
𝑇𝑧 = 20
𝑀𝑓𝑦 = −20(𝑙 − 𝑥)
𝑀𝑓𝑧 = −240(𝑙 − 𝑥)
3ème année Génie Industriel - Yassine Ferchichi – ULT – 2020-2021 –
(𝑜𝑛 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒 𝑞𝑢𝑒
𝑑𝑀𝑓𝑧 𝑑𝑥
= −𝑇𝑦)
(𝑒𝑡
𝑑𝑀𝑓𝑦 𝑑𝑥
= 𝑇𝑧)