Variables Aléatoires - I.P.E.I.M

5

.

b) D’après le cours on a

E(X ) = 1

p

= 5 et V(X ) = 1 − p

p2

= 20.

Exercice 3:

Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans (cid:78)∗, telles que :

P(cid:0)(X = i) ∩ (Y = j)(cid:1) = a

2i+ j

1. Calculer a.

2. Déterminer les lois marginales de X et Y .

, pour tous i, j de (cid:78)∗.

3. X et Y sont-elles indépendantes ?

Correction de l’exercice 3:

1. Il est d’abord nécessaire que a (cid:190) 0. On a ensuite :

+∞

(cid:88)

(cid:88)

a

2i+ j

i, j(cid:190)1

= 1 ⇐⇒

a

2i

= 1 ⇐⇒ a = 1.

i=1

2. Pour i ∈ (cid:78)∗, on a :

+∞

(cid:88)

P(X = i) =

P(cid:0)(X = i) ∩ (Y = j)(cid:1) =

+∞

(cid:88)

j=1

1

2i+ j

= 1

2i

= 1

2

1

2i−1

.

j=1

X suit donc une loi géométrique de paramètre 1/2. Par raison de symétrie, il en est de même pour

Y .

3. On a :

P(X = i) × P(Y = j) = 1

2i+ j

= P(cid:0)(X = i) ∩ (Y = j)(cid:1).

Les variables aléatoires sont indépendantes.

Exercice 4: Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé (Ω, (cid:65) , P)

et à valeurs dans (cid:78) dont la loi est donnée par :

∀(i, j) ∈ (cid:78)2, P((X = i) ∩ (Y = j)) = 1

1. Déterminer les lois de X et de Y .

2. a) Prouver que 1 + X suit une loi géométrique et en déduire l’espérance et la variance de X .

e2i+1 j!

b) Déterminer l’espérance et la variance de Y.

Var-aléatoire

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Analyse

A. U : 20/21

3. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?

4. Calculer P(X = Y ).

Correction de l’exercice 4:

∀(i, j) ∈ (cid:78)2, P((X = i) ∩ (Y = j)) = 1

1. Déterminons les lois de X et de Y .

e2i+1 j!

• Soit i ∈ N,

• De même, si j ∈ N,

P(X = i) = 1

e2i+1

+∞

(cid:88)

j=1

1

j!

= 1

2i+1

P(Y = j) = 1

e j!

2. a) Prouvons que 1 + X suit une loi géométrique et calculons l’espérance et la variance de X . Si

i ∈ N∗,

P(X + 1 = i) = P(X = i − 1) = (1 − 1

2

)i−1 1

2

ce qui montre que X + 1 ∼ (cid:80) (1/2).

Donc l’espérance de X est 2, la variance vaut 2.

b) On a : Y ∼ (cid:80) (1) donc espérance et variance valent 1.

3. Les variables X et Y sont indépendantes, puisque (cid:80)(X = i, Y = j) = (cid:80)(X = i)(cid:80)(Y = j).

4. Calculons P(X = Y ).

(X = Y ) =

+∞

(cid:83)

n=0

La probabilité cherchée est

(cid:80)(X = n, Y = n) = (cid:80)(X = n)(cid:80)(Y = n).

+∞

(cid:88)

i=0

1

e

1

2i+1i!

= 1

(cid:112)

2

e

Exercice 5:

Soit (Ω, (cid:65) , P) un espace probabilisé.

1. a) Soit X 1 et X 2 deux variables aléatoires définies sur (Ω, (cid:65) ).

On suppose que X 1 et X 2 sont indépendantes et suivent une loi

de Poisson, de paramètres respectifs λ

Déterminer la loi de X 1

1 et λ

+ X 2.

2.

b) En déduire l’espérance et la variance de X 1

+ X 2. Donner la fonction génératrice de X 1

+ X 2.

2. Soit X et Y deux variables aléatoires définies sur (Ω, (cid:65) , P).

On suppose que Y suit une loi de Poisson de paramètre λ.

On suppose que X (Ω) = (cid:78) et que ∀m ∈ (cid:78), la loi conditionnelle de X

sachant (Y = m) est une loi binomiale de paramètre (m, p).

Déterminer la loi de X .

Correction de l’exercice 5:

1. a) Déterminons la loi de X 1

+ X 2.

Posons Z = X 1

+ X 2, on Z (Ω) = (cid:78) et ∀n ∈ (cid:78), (Z = n) =

n

(cid:83)

k=0

(X 1

= k, X 2

= n − k) donc

(cid:80)(Z = n) =

=

n

(cid:88)

k=0

n

(cid:88)

k=0

(cid:80) ((X 1

= k, X 2

= n − k)) , X 1 et X 2 sont indépendantes donc

(cid:80) ((X 1

= k) (cid:80)(X 2

= n − k)

Var-aléatoire

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Analyse

A. U : 20/21

=

n

(cid:88)

k=0

e−λ

1

λk

1

k!

= e−(λ

1

+λ

)

2

e−λ

2

λ(n−k)

2

(n − k)!

λn−k

λk

2

1

k!(n − k)!

n

(cid:88)

n

(cid:88)

k=0

= 1

n!

e−(λ

1

+λ

)

2

Ck

n

λk

1

λn−k

2

= e−(λ

1

+λ

2

k=0

+ λ

1

)n

2

) (λ

n!

La somme de deux variables indépendantes de lois respectives (cid:80)(λ

λ

) et (cid:80)(λ

2

1

) suit une loi (cid:80)(λ

+

1

).

2

b) L’espérance et la variance valent donc λ

+ λ

1

2. Là, c’est du cours.

2. Soit X et Y deux variables aléatoires définies sur (Ω, (cid:65) , (cid:80)).

On suppose que Y suit une loi de Poisson de paramètre λ.

On suppose que X (Ω) = (cid:78) et que ∀m ∈ (cid:78), la loi conditionnelle de X

sachant (Y = m) est une loi binomiale de paramètre (m, p).

Déterminons la loi de X .

(cid:80)(X = n) =

(cid:80)(Y = m)PY =m

(X = n)

+∞

(cid:88)

m=0

+∞

(cid:88)

m=n

=

e−λ λm

m!

+∞

(cid:88)

= e−λ pn

n!

= e−λ (pλ)n

n!

m=n

mpn(1 − p)m−n

Cn

λm

(m − n)!

(1 − p)m−n

eλ(1−p) = e−λp

(pλ)n

n!

Donc X (cid:44)→ (cid:80)(pλ).

Exercice 6:

Soit p ∈]0, 1[. On dispose d’une pièce amenant "pile" avec la probabilité p. On lance cette pièce jusqu’à

obtenir pour la deuxième fois "pile". Soit X le nombre de "face" obtenus au cours de cette expérience.

1. Déterminer la loi de X .

2. Montrer que X admet une espérance, et la calculer.

3. On procède à l’expérience suivante : si X prend la valeur n, on place n + 1 boules numérotées de 0

à n dans une urne, et on tire ensuite une boule de cette urne. On note alors Y le numéro obtenu.

Déterminer la loi de Y . Calculer l’espérance de Y .

4. On pose Z = X − Y . Donner la loi de Z et vérifier que Z et Y sont indépendantes.

Correction de l’exercice 6:

1. L’événement X = n correspond au déroulement suivant : on a obtenu un et un seul pile lors des n+1

premiers tirages, et le n + 2-ème tirage donne un pile.

Il y a donc n + 1 choix pour le premier pile. Ceci choisi, l’événement élémentaire a une probabilité

qui vaut p2(1 − p)n. On a donc :

P(X = n) = (n + 1)p2(1 − p)n.

2. La série définissant E(X ) est évidemment convergente, et sa sommation est facile (si elle vous semble

difficile, il faut réviser comment faire, par exemple en utilisant les séries entières). On trouve :

E(X ) =

+∞

(cid:88)

n=1

nP(X = n) = 2(1 − p)

p

.

Var-aléatoire

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Analyse

A. U : 20/21

3. Si n (cid:190) 1 est fixé, et k ∈ {0, . . . , n}, on a clairement :

Par la formule des probabilités totales :

∞

(cid:88)

P(Y = k) =

P(Y = k|X = n)P(X = n)

P(Y = k|X = n) = 1

n + 1

.

n=k

On reconnait que Y + 1 suit une loi géométrique de paramètre p. On a donc :

n=0

∞

(cid:88)

=

(n + 1)p2(1 − p)n 1

n + 1

= p(1 − p)k.

E(Y ) = 1

p

− 1 = 1 − p

p

.

Ceci peut bien sûr se retrouver par un calcul direct.

4. On a :

(Z = h) =

∞

(cid:91)

j=0

[(Y = j) ∩ (X = h + j)] .

Cette réunion étant disjointe, il vient :

P(Z = h) =

=

∞

(cid:88)

j=0

∞

(cid:88)

P(Y = j|X = h + j)P(X = h + j)

p2(1 − p)h+ j

On a ensuite :

P[(Z = h), (Y = j)] = P(X = h + j, Y = j) = P(Y = j|X = h + j)P(X = h + j)

j=0

= p(1 − p)h.

= p2(1 − p)h+ j.

Ceci est égal à P(Z = h) × P(Y = j). Les variables aléatoires sont indépendantes.

Exercice 7:

1. Soit X une variable aléatoire binomiale (cid:66)(n, p), p ∈]0; 1 [.

Calculer l’espérance de la variable Y = 1

X +1

2. Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p.

Calculer (cid:69)( 1

X

).

3. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0.

Calculer (cid:69)( 1

X +1

).

Correction de l’exercice 7:

1. Soit X une variable aléatoire binomiale (cid:66)(n, p), p ∈]0; 1 [.

Calculons l’espérance de la variable Y = 1

X +1 .

Par la formule de transfert

E( 1

X + 1

) =

n

(cid:88)

k=0

Ck

n

k + 1

pk(1 − p)n−k

On a :

Ck

n

k + 1

=

Ck+1

n+1

n + 1

On en déduit alors

E( 1

X + 1

) = 1

n + 1

= 1

n + 1

n

(cid:88)

k=0

n+1

(cid:88)

k=1

n+1pk(1 − p)n−k

Ck+1

n+1pk−1(1 − p)n+1−k

Ck

Var-aléatoire

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Analyse

A. U : 20/21

n+1

(cid:88)

n+1pk(1 − p)n+1−k

Ck

=

=

1

p(n + 1)

1

p(n + 1)

k=1

n+1

(cid:88)

(

1

p(n + 1)

2. Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p.

=

k=0

n+1pk(1 − p)n+1−k − (1 − p)n)

Ck

((p + 1 − p)n+1 − (1 − p)n) = 1 − (1 − p)n

p(n + 1)

Calculons (cid:69)( 1

X

Par la formule de transfert

).

E( 1

X

+∞

(cid:88)

) =

k=1

= p

p(1 − p)k−1

k

+∞

(cid:88)

(1 − p)k

k

1 − p

k=1

Or pour x ∈] − 1; 1[, on a :

donc

+∞

(cid:88)

k=1

x k

k

= − ln(1 − x).

E( 1

X

) = p

p − 1

ln(p).

3. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0.

Calculons (cid:69)( 1

X +1

). Notons Y = 1

1 + X

On en déduit que

. Y prend ses valeurs dans

(cid:129)

(cid:80)

Y = 1

1 + k

(cid:139)

=

λk

k!

e−λ.

(cid:167) 1

1 + k

(cid:170)

; k (cid:190) 0

et on a

E(Y ) = (cid:88)

e−λ

λk

k!

1

1 + k

λk

(k + 1)!

λk+1

(k + 1)!

e−λ

e−λ

k(cid:190)0

(cid:0)eλ − 1(cid:1)

(cid:88)

k(cid:190)0

= (cid:88)

k(cid:190)0

= 1

λ

= e−λ

λ

= 1 − e−λ

λ

.

Exercice 8:

Un étudiant s’ennuie durant son cours de probabilités et passe son temps à regarder par la fenêtre

les feuilles tomber d’un arbre. On admet que le nombre de feuilles tombées à la fin du cours est une

variable aléatoire X qui suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Cela signifie que pour tout k ∈ (cid:78),

P(X = k) = e−λ λk

k!

1. a) Expliquer pourquoi les hypothèses de l’énoncé permettent de dire que pour tout λ > 0, eλ =

.

+∞

(cid:88)

k=0

Var-aléatoire

λk

k!

.

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Analyse

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b) Calculer l’espérance et la variance de X.

2. A chaque fois qu’une feuille tombe par terre, l’étudiant lance une pièce qui donne pile avec une

probabilité p et face avec probabilité q = 1 − p, p ∈]0, 1[. On note F et P le nombre de faces et de

piles obtenus respectivement.

a) Pour k ∈ (cid:78) fixé, expliquer de manière simple pourquoi la loi de F sachant X = k est une loi

binomiale dont on précisera les paramètres. En déduire l’expression de P(F = a|X = k).

b) Pour (k, a) ∈ (cid:78), calculer la quantité P(X = k, F = a).

c) En déduire la loi de F , ainsi que son espérance.

d) Donner, sans calculs, la loi de P.

3. Montrer que P et F sont indépendantes.

4. Calculer E[P F ] et Var[P + F ].

Correction de l’exercice 8:

1. a) On nous dit que X est une variable aléatoires à valeurs dans (cid:78) telle que

On sait aussi que

De ces deux relations, on déduit facilement le résultat demandé.

eλ =

+∞

(cid:88)

k=0

λk

k!

.

k=0

b) Ce sont des arguments à savoir. On a

E(X ) =

+∞

(cid:88)

k=0

= e−λ

P(X = k) = e−λ λk

k!

.

+∞

(cid:88)

P(X = k) = 1.

k=0

eλ =

+∞

(cid:88)

λk

k!

.

kP(X = k)

+∞

(cid:88)

λk

(k − 1)!

k=1

+∞

(cid:88)

k=0

λk

k!

= e−λλ

= λ.

On a de la même façon, en écrivant k2 = k(k − 1) + k,

+∞

(cid:88)

E(X 2) =

k2P(X = k)

On en déduit que

k=0

= e−λ

+∞

(cid:88)

k=2

= λ2 + λ.

λk

(k − 2)!

+ e−λ

+∞

(cid:88)

k=1

λk

(k − 1)!

V (X ) = E(X 2) − (cid:0)E(X )(cid:1)2 = λ.

2. A chaque fois qu’une feuille tombe par terre, l’étudiant lance une pièce qui donne pile avec une

probabilité p et face avec probabilité q = 1 − p, p ∈]0, 1[. On note F et P le nombre de faces et de

piles obtenus respectivement.

a) Lorsque X est fixé égal à k, F compte le nombre de succès (obtenir face) de la répétition de k

expériences aléatoires indépendantes ayant chacune une probabilité q de succès. Donc la loi de

Var-aléatoire

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Analyse

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F sachant X = k est une loi binomiale (cid:66)(k, q). On en déduit que

P(F = a|X = k) =

kqa pk−a

(cid:110) Ca

0

si 0 (cid:182) a (cid:182) k

sinon.

b) On a :

P(F = a, X = k) = P(X = k)P(F = a|X = k)

(cid:168)

=

e−λ λk

k!

0

kqa pk−a

Ca

si a (cid:182) k

sinon.

c) D’après la formule des probabilités totales,

+∞

(cid:88)

P(F = a) =

P(F = a, X = k)

+∞

(cid:88)

k=a

(λp)k

(k − a)!

+∞

(cid:88)

(λp)a

(λp)a

k=a

+∞

(cid:88)

k=0

(λp)aeλp

(λp)k−a

(k − a)!

(λp)k

k!

k=a

(cid:139)a 1

a!

(cid:139)a 1

a!

= e−λ (cid:129) q

p

= e−λ (cid:129) q

p

= e−λ (cid:129) q

p

= e−λ (cid:129) q

p

(λq)a

a!

= e−λq

(cid:139)a 1

a!

(cid:139)a 1

a!

.

Ainsi, F suit une loi de Poisson de paramètre qλ e E(F ) = qλ.

d) Par symétrie, P suit une loi de Poisson de paramètre pλ.

3. L’événement (F = a) ∩ (P = b) est l’événement (F = a) ∩ (X = a + b) et donc

(cid:80)(F = a et P = b) = (cid:80)(F = aet X = a + b)

= P(F = a|X = a + b)P(X = a + b)

= e−λ λa+b

(a + b)!

= e−λ λa+b

a!b!

a+bqa p b

Ca

qa p b.

D’autre part,

Ces deux quantités sont égales, et donc P et F sont indépendantes.

(cid:80)(F = a) × (cid:80)(P = b) = e−λq

(λq)a

a!

e−λp

(λp)b

b!

.

4. Par indépendance de P et F , on a

et

ce qu’on pouvait aussi retrouver en remarquant plus simplement que P + F = X .

E(P F ) = E(P)E(F ) = λ2pq

Var[P + F ] = Var(P) + Var(F ) = λ,

Exercice 9: Soit (Ω, (cid:65) , (cid:80) ) un espace probabilisé. Soient (cid:34) et X deux variables aléatoires réelles dis-

crètes indépendantes définies sur (Ω, (cid:65) , (cid:80) ) telles que :

• (cid:34) suit une loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[.

• X (Ω) = (cid:78)∗.

On pose Y = (cid:34)X + 1.

1. En utilisant le système complet d’événement {(cid:34) = 0} et {(cid:34) = 1}, montrer que :

i) (cid:80)(Y = 1) = 1 − p.

ii) (cid:80)(Y = k) = p(cid:80)(X = k − 1), pour tout k (cid:190) 2.

2. On suppose que X admet une espérance finie. Montrer que Y est d’espérance finie et que :

E[Y ] = p E[X ] + 1.

Var-aléatoire

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Analyse

A. U : 20/21

3. On suppose que X et Y ont même loi,

a) Montrer que pour tout k ∈ (cid:78)∗, on a : (cid:80)(X = k + 1) = p(cid:80)(X = k).

b) En déduire que pour tout k ∈ (cid:78)∗ on a : (cid:80)(X = k) = (1 − p)pk−1.

c) Reconnaitre alors la loi de X .

d) Retrouver alors la valeur de l’espérance d’une loi géométrique de paramètre q = 1 − p.

Correction de l’exercice 9:

1. En utilisant le système complet d’événement {(cid:34) = 0} et {(cid:34) = 1}, on a

(cid:80)(Y = k) = (cid:80)(Y = k | (cid:34) = 0)(cid:80)((cid:34) = 0) + (cid:80)(Y = k | (cid:34) = 1)(cid:80)((cid:34) = 1)

= (1 − p)(cid:80)(Y = k | (cid:34) = 0) + p(cid:80)(Y = k | (cid:34) = 1).

i) Pour k = 1, on a (cid:80)(Y = 1) = (1 − p)(cid:80)(Y = 1 | (cid:34) = 0) + p(cid:80)(Y = 1 | (cid:34) = 1)

(cid:80)(Y = 1 | (cid:34) = 0) = 1 et (cid:80)(Y = 1 | (cid:34) = 1) = (cid:80)(X = 0) = 0.

On obtient donc (cid:80)(Y = 1) = 1 − p.

ii) Soit k (cid:190) 2, on a

On obtient alors (cid:80)(Y = k) = p(cid:80)(X = k − 1)

(cid:80)(Y = k | (cid:34) = 0) = 0 et (cid:80)(Y = k | (cid:34) = 1) = (cid:80)(X = k − 1)

2. Si X admet une espérance finie donc la série numérique

(cid:88)

(cid:88) (cid:80)(X = k) est aussi absolument convergente donc par somme

comme la série numérique

1)(cid:80)(X = k) d’où

absolument convergente et donc Y admet une espérance finie.

Les variables (cid:34) et X sont indépendantes donc E((cid:34)X ) = E((cid:34)) E(X ) = p E(X ), d’où

k(cid:80)(X = k − 1) est absolument convergente et par suite

(cid:88)

k(cid:80)(X = k) est absolument convergente et

(cid:88)(k +

k(cid:80)(Y = k) est

(cid:88)

E(Y ) = E((cid:34)X + 1) = E((cid:34)) E(X ) + 1 = p E(X ) + 1.

3. On suppose que X et Y ont même loi,

a) Pour tout n ∈ (cid:78)∗, on a

(cid:80)(X = k + 1) = (cid:80)(Y = k + 1) = p(cid:80)(X = k).

b) La suite ((cid:80)(X = k))

k∈(cid:78)∗ est une suite géométrique de raison p de premier terme

(cid:80)(X = 1) = (cid:80)(Y = 1) = 1 − p. On en déduit alors que pour tout k ∈ (cid:78)∗, on a :

(cid:80)(X = k) = (1 − p)pk−1.

c) On a X (Ω) = (cid:78)∗ et ∀k ∈ (cid:78)∗, (cid:80)(X = k) = p(1 − p)n−1 donc X suit une loi géométrique de

paramètre 1 − p.

d) On a E(Y ) = E(X ), d’autre part E(Y ) = p E(X )+1, on tire alors E(X ) = 1

1 − p

= 1

q

avec q = 1− p.

Var-aléatoire

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