Variables aléatoires et lois usuelles de probabilité

Khaled Jabeur HDR (IHEC de Carthage, Tunisie), Ph.D. (Université Laval, Canada), M.B.A (Université Laval, Canada), Ing. (FST, Tunisie) Maître de Conférences à l’Institut Supérieur de Gestion (ISG) de Bizerte [email protected] Plan Introduction Variables aléatoires discrètes Lois de probabilité discrètes usuelles Variables aléatoires continues Lois de probabilité continues usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 2/79 Introduction K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 3/79 Introduction Arbre d’évènements qui schématise l’expérience aléatoire K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 4/79 Introduction Ensemble fondamental Ω K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 5/79 Introduction Exemple 2 : Un joueur lance un dé à six faces équilibré. S’il obtient les chiffres 1, 2, 3, ou 4, il perd 5 dinars. Si le joueur obtient le chiffre 5, il gagne 7 dinars. Sinon il gagne 10 dinars. On appelle X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. Établir les correspondances entre Ω et X. (N.B. Un gain algébrique peut être négatif et dans ce cas il devient une perte). L’ensemble fondamental Ω K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 6/79 Introduction K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 7/79 Introduction K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 8/79 Variables aléatoire discrètes Différentes valeurs de X 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 … 𝒙 𝒊 … 𝒙 𝒏 … Probabilité à associer à chaque𝒙𝒊 𝑃𝑋= 𝑥𝑖= fX(xi) 𝑃𝑋= 𝑥1 𝑃𝑋= 𝑥2 … 𝑃𝑋= 𝑥𝑖 … 𝑃𝑋= 𝑥𝑛 … Cette table représente la loi de probabilité d’une v.a. discrète N.B. Pour les lois usuelles discrètes (ex. lois Binomiale et Poisson) on utilisera souvent des formules, plutôt que des tables. K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 9/79 Variables aléatoire discrètes K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 10/79 Variables aléatoire discrètes K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 11/79 Variables aléatoire discrètes K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 12/79 Variables aléatoire discrètes Exemple : Dans un jeu, une urne contient trois boules vertes, deux boules rouges et quatre boules noires. Un joueur tire simultanément deux boules de l’urne. Le tirage d’une boule verte fait gagner quatre dinars celui d’une boule rouge fait gagner deux dinars et celui d’une boule noire fait perdre six dinars (On admet qu’il y a équiprobabilité des tirages). Ainsi, lorsqu’un joueur, par exemple, tire une boule verte et une boule noire il va perdre 2 dinars (4 – 6 = – 2) (un gain négatif est considéré comme une perte). Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules, représente le gain algébrique obtenu en jouant à ce jeu. Déterminer la loi de probabilité de X. Déterminer la fonction de répartition de X. (N.B. Un gain algébrique peut être négatif et dans ce cas il devient une perte). K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 13/79 Variables aléatoire discrètes Réponse : Tirage simultané de deux boules Card ( = ) C 92 = 2!(99! - 2)! = 36 P V (, V ) = C 32  C 70 = 3 C 92 36 P ( R , R ) = C 22  C 70 = 1 C 2 36 P ( N , N ) = C 42  C 70 = 6 C 92 36 P V (, R ) = C 31  C 21 = 6 C 92 36 P V (, N ) = C 31  C 41 = 12 C 92 36 P ( R , N ) = C 21  C 41 = 8 C 2 36 = C 32  C 70 = 32  C 70 C 92 22  C 70 C 92 42  C 70 C 92 31  C 21 C 92 31  C 41 C 92 21  C 41 C 92 = C 22  C 70 = = C 42  C 70 = = C 31  C 21 = = C 31  C 41 = = C 21  C 41 = Couleurs des deux boules tirées Gain algébrique (Verte, Verte) +8 dinars (Rouge, Rouge) +4 dinars (Noire, Noire) -12 dinars (Verte, Rouge) +6 dinars (Verte, Noire) -2 dinars (Rouge, Noire) -4 dinars K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 14/79 Variables aléatoire discrètes Réponse (suite …) : Loi de probabilité de la v.a. X Différentes valeurs de X −𝟏𝟐 −𝟒 -2 𝟒 6 𝟖 Probabilité à associer à chaque𝒙𝒊 𝑃𝑋= 𝑥𝑖= fX(xi) 6 36 8 36 12 36 1 36 6 36 3 36 Fonction de répartition de la v.a. X Différentes valeurs de X −𝟏𝟐 −𝟒 -2 𝟒 6 𝟖 Probabilité à associer à chaque𝒙𝒊 𝑃𝑋= 𝑥𝑖= fX(xi) 6 36 8 36 12 36 1 36 6 36 3 36 Fonction de répartition F X =𝑃𝑋≤𝑥𝑖 6 36 14 36 26 36 27 36 33 36 36 36= 1 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 15/79 Variables aléatoire discrètes K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 16/79 Variables aléatoire discrètes K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 17/79 Variables aléatoire discrètes K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 18/79 Variables aléatoire discrètes K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 19/79 Variables aléatoire discrètes K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 20/79 Variables aléatoire discrètes K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 21/79 Variables aléatoire discrètes Exemple : Dans un jeu, une urne contient trois boules vertes, deux boules rouges et quatre boules noires. Un joueur tire simultanément deux boules de l’urne. Le tirage d’une boule verte fait gagner quatre dinars celui d’une boule rouge fait gagner deux dinars et celui d’une boule noire fait perdre six dinars (On admet qu’il y a équiprobabilité des tirages). Ainsi, lorsqu’un joueur, par exemple, tire une boule verte et une boule noire il va perdre 2 dinars (4 - 6 = - 2) (un gain négatif est considéré comme une perte). Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules, représente le gain algébrique obtenu en jouant à ce jeu. Nous avons vu précédemment comment déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X, soit : Différentes valeurs de X −𝟏𝟐 −𝟒 -2 𝟒 6 𝟖 Probabilité à associer à chaque𝒙𝒊 𝑃𝑋= 𝑥𝑖= fX(xi) 6 36 8 36 12 36 1 36 6 36 3 36 Déterminer le gain espéré, c’est-à-dire E(X), en jouant à ce jeu. Calculer la variance et l’écart-type de la variable aléatoire X. K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 22/79 Variables aléatoire discrètes Réponse : n  X  =  xi  P  X = xi   =  xi  P  X = i = 1 E X = i = 1 E X = xi  P X = xi i = 1  6   8   12   1   6   3  = ( - 12)  + ( - 4)  + ( - 2)  + (4)  + (6)  + (8)               6   8   12   1   6   3 ( - 12)  + ( - 4)  + ( - 2)  + (4)  + (6)  + (8)             n  X  = E  X 2  - ( E ( X ) ) 2 =  xi 2  P  X = xi  −−( 1.78 ) 2 = E  X 2  - ( E ( X ) ) 2 =  xi 2  P  X = xi  −−( i = 1 Var X = E  X 2  - E ( X ) = xi 2  P X = xi −− 1.78   i = 1 Var X = E  X 2  - E ( X ) = xi 2  P X = xi   i = 1 n 2 ) =  xi 2  P  X = xi  Calculons ( E X 2 ) E X 2 ) = xi 2  P X = xi i = 1 =  xi 2  P  X = i = 1  1 = ( - 12)2   6  + ( - 4)2   8  + ( - 2)2   12  + (4)2   1  + (6)2   6  + (8)2   3               36   36   36   36   36   36  ( - 12)2   6  + ( - 4)2   8  + ( - 2)2   12  + (4)2   1  + (6)2   6  + (8)2   3             36   36   36   36   36   36 40.67 2 2 2 2 2 2 Var ( X ( X ) = 40.67 −− ( 1.78)2 37.51 = 40.67 −− ( 2 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 23/79 Lois de probabilité discrètes usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 24/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Différentes valeurs de X 0 (échec) 1 (succès) Probabilité à associer à chaque𝒙𝒊 𝑃𝑋= 𝑥𝑖= fX(xi) 1 - p p K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 25/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Exemple : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à jeter un dé non truqué une seule fois. On définit la variable aléatoire X comme suit :  X =   0 sinon 1 si le chiffre obtenu est égal à 5  Ainsi, la loi de probabilité de X peut être décrite dans le tableau suivant : Différentes valeurs de X 0 (échec) 1 (succès) Probabilité à associer à chaque𝒙𝒊 𝑃𝑋= 𝑥𝑖= fX(xi) 5 6 1 6 On dit alors que X suit une loi de Bernoulli de paramètre 1 6 [ X ~][ ℬ] ~~[(]~~ 1 6 [).] K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 26/79 Lois de probabilité discrètes usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 27/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Exemple : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé non truqué 5 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 fois le chiffre 1. Réponse : Si on considère l’épreuve de Bernoulli suivante : Lancer un dé une seule fois et où un succès consiste à obtenir le chiffre 1. Répéter cette épreuve 5 fois et mesurer le nombre de succès (ou d’apparitions du chiffre 1) obtenus décrit une variable aléatoire X qui suit une loi Binomiale ℬ ( n=5 , p=P(1)= [1] 6 [).] probabilité d’obtenir 3 fois le chiffre 1 (ou 3 succès) se présente comme suit : 3 5 - 3 3 2 = 3 = C 3   1    5  = C 3   1    5  =  5     5      6   6   6   6  3 5 - 3 3 2 P X = 3 = C 3   1    5  = C 3   1    5  = 0.0322   5     5      6   6   6   6  X = 3   K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 28/79 Lois de probabilité discrètes usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 29/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Exemple : Le responsable du comité de sécurité de l’entreprise CelCom a effectué une compilation du nombre d’accidents de travail qui se sont produits depuis deux ans dans l’usine. Ceci a permis d’établir que le nombre moyen d’accidents de travail a été de 1.6 accidents par jour. Quelle est la probabilité d’observer moins de 2 accidents par jour ? Quelle est la probabilité d’observer plus de 2 accidents en deux jours ? Quelle est la probabilité d’observer moins d’un accident en 12 heures ? Réponse : Soit X la v.a. mesurant le nombre d’accidents de travail par jour . La v.a. X ~ 𝒫( λ = 1.6 ). Ainsi, on veut calculer la probabilité suivante : e - 1.61.60 e - 1.61.61  2) = P ( X  1) = P ( X = 0) + P ( X = 1) = + = e - 1.61.60 e - 1.61.61 P ( X  2) = P ( X  1) = P ( X = 0) + P ( X = 1) = + = 0.52 0! 1! Soit Y la v.a. mesurant le nombre d’accidents de travail en deux jours . La v.a. Y ~ 𝒫( λ = 3.2 ). Ainsi, on veut calculer la probabilité suivante :  e - 3.23.20 e - 3.23.21 e - 3.23.22   2) = 1 - P ( Y  2) = 1 - ( P ( Y = 0) + P ( Y = 1) + P ( Y = 2) ) = 1 -  + +  =  0! 1! 2!   e - 3.23.20 e - 3.23.21 e - 3.23.22  P ( Y  2) = 1 - P ( Y  2) = 1 - ( P ( Y = 0) + P ( Y = 1) + P ( Y = 2) ) = 1 -  + +  = 0.619 0! 1! 2! ( P ( Y = 0) + P ( Y = 1) + P ( Y = 2) ) Soit W la v.a. mesurant le nombre d’accidents de travail en 12 heures . La v.a. W ~ 𝒫( λ = 0.8 ). Ainsi, on veut calculer la probabilité suivante : e - 0.8 0.80 P W (  1) = P W ( = 0) = = 0.45 0! K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 30/79 Variables aléatoire continues K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 31/79 Variables aléatoire continues K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 32/79 Variables aléatoire continues K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 33/79 Variables aléatoire continues K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 34/79 Variables aléatoire continues K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 35/79 Variables aléatoire continues K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 36/79 Variables aléatoire continues K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 37/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Exemple : La vie utile d’une certaine composante d’une pièce électronique, qu’on la note par la variable aléatoire X, est décrite par la fonction suivante: x si 0  x si 0  x  1 f ( x ) = 2 - x si 1  x  X ( x ) = 2 - x si 1  x  2   x si 0  x   = 2 - x si 1  x   0 ailleurs  0 ailleurs Montrer que fX est une fonction de densité pour la variable aléatoire X. Déterminer la fonction de répartition F X . Calculer les deux probabilités suivantes : P 0.5 ≤𝑋≤1.5 et P 𝑋≥1.5 . Calculer E et Var . Réponse : Pour que fX soit une fonction de densité de probabilité pour X , il faut qu’elle vérifie les trois conditions suivantes :  i . f est continue sur (sauf peut être en certains points)  f . f est continue sur (sauf peut être en certains points)  f est continue sur tout X X  0,  x IR  f  ii . f ( x )  0,  x IR  f  0 puisque le graphique de f . f ( x )  0,  x IR  f  0 puisque le graphique de f se trouve soit confondu soit au-dessus de l'axe des abscisses X X X + + 1 2 1 2 ii . f X ( x ) dx = 1  f X ( x ) dx = x dx + (2 - x ) dx =  1 x 2  +  2 x - 1 x 2  = 1 +  2 - 3  = 1            2   2  2  2  i f X ( x ) dx = 1  f X ( x ) dx = 1 x dx + 2 (2 - x ) dx =  1 x 2  +  2 x - 1 x 2  = 1 +  2 - 3  =           − − 0 1  2  0  2  1 2  2  2 2 − − 0 1 0 1 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 38/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Réponse (suite …) : La fonction de répartition de X se présente comme suit : 0 si x  0 si x si x 0 si x  0 si x  x si 0  x Si f ( x ) = X − 2 x si 1  x x 2 si 0  x  2 2 X  x si 0  x  1 ( x ) = − 2 x si 1  x  2  0 si x  0   x si 0  x  1 − 2 x si 1  x  2   0 si x  2   1 x 2 si 0  x  1  2  0 si x  0   1 x 2 si 0  x   2 0 si x  2 si x − − 0 1 1 0  1 2   1 2 =  cte  0 − +  1 t 2  +  2 t - 1 t 2   2  0  2  x  cte  cte + t 2 + 2 t - t − 1 t 2  +  2 t - 1   2   2 0 1 Calculons les deux probabilités suivantes :  1 3  3 1 7 1 3 P  X  = FX ( ) - FX ( ) = - =    2 2  2 2 8 8 4  3   3  3 7 1 P X  = 1 - P X  = 1 - FX ( ) = 1 - =      2   2  2 8 8 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 39/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Réponse (suite …) : Calculons E et Var . 1 2  X  =  x  f ( x ) dx =  x  xdx +  x  (2 - x ) dx = − 0 1 +  x  f ( x ) dx =  x  xdx +  E X = x  f ( x ) dx = x  xdx + x  (2 - x ) dx ( x ) dx = x  xdx + x  (2 - x ) 0 1 1 2 2 2  1 3  1  2 1 3  2 = 1 x 2 dx + 2 (2 x - x 2 ) dx =  1 x 3  +  x 2 - 1 x 3        0 1  3  0  3   x 2 dx +  (2 x - x 2 ) dx =  1 x 3  +  x 2 - 1     3   3 x 2 dx + (2 x - x 2 ) dx = x 3 + x 2 - x 0 1 0 1  1  2 = + = 1    3  3 n  X  = E  X 2  - ( E ( X ) ) 2 =  xi 2  P  X = xi  - ( 1 ) 2 = E  X 2  - ( E ( X ) ) 2 =  xi 2  P  X = xi  i = 1 Var X = E  X 2  - E ( X ) = xi 2  P X = xi   i = 1 ( X ) = xi 2  P X = xi - 1 i = 1 + + 1 2 2 2 2 2  x 2  f ( x ) dx =  x 2  xdx +   X 2 = x 2  f ( x ) dx = x 2  xdx + x 2  (2 - x ) dx =      − 0 1 E  X 2 = x 2  f ( x ) dx = x 2  xdx + x 2  (2 - x ) dx ( x ) dx = x 2  xdx + x 2  (2 - x ) 0 1 1 3 2 2 3  1 4  1  2 3 1 4  2 = 1 x 3 dx + 2 (2 x 2 - x 3) dx =  1 x 4  +  2 x 3 - 1 x 4        0 1  4  0  3 4   x 3 dx +  (2 x 2 - x 3) dx =  1 x 4  +  2 x 3 - 1     4   3 4 x 3 dx + (2 x 2 - x 3) dx = x 4 + x 3 - x 0 1 0 1  1  11  7 = + =     4  12  6 Donc Var  X  = E  X 2  - ( E ( X ) ) 2 = 7 - ( 1 ) 2 = 1   6 6 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 40/79 Lois de probabilité continues usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 41/79 Lois de probabilité continues usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 42/79 Lois de probabilité continues usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 43/79 Lois de probabilité continues usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 44/79 Lois de probabilité continues usuelles Explication graphique des différentes propriété +  (P3) : fX est symétrique autour de l’axe d’équation X = μX et par conséquent fX ( μX + a ) = fX ( μX - a ) K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 45/79 Lois de probabilité continues usuelles Explication graphique des différentes propriété (suite …) (P4) : fX possède un maximum unique lorsque X = μX qui est égal à 1 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 46/55 Lois de probabilité continues usuelles E = μX indique la position de la courbe de la fonction de densité fX sur l’axe des différentes valeurs possibles de X , soit : Plus l’écart-type 𝜎𝑋 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) est grand, plus la courbe de la fonction de densité fX est aplatie, soit : K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 47/79 Lois de probabilité continues usuelles Exemple d’application : Soient X1 ~ 𝑁( 20 , 4) et X2 ~ 𝑁( 30 , 6) et on veut préciser la forme de la distribution des deux variables aléatoires suivantes : 1. 2. Y = 5 + X + 2 X 1 2 W = 2 X - 3 X 1 2 Réponse : = E (5 + X 1 + 2 X 2 ) = 5 + E ( X 1) + 2 E ( X 2 ) = 85  ) = Var (5 + X 1 + 2 X 2 ) = Var ( X 1) + 4 Var ( X 2 ) = 28  Var ( Y ) = Var (5 + X + 2 X ) = Var ( X ) + 4 Var ( X ) = 28 ( Y ) = Var (5 + X + 2 X ) = Var ( X ) + 4 Var ( X ) = 28 1 2 1 2 1 2 1 2 = E (2 X 1 - 3 X 2 ) = 2 E ( X 1) - 3 E ( X 2 ) = − 50 ) = Var (2 X 1 - 3 X 2 ) = 4 Var ( X 1) + (− 3 ) Var ( X 2 ) = 70  E ( W ) = E (2 X - 3 X ) = 2 E ( X ) - 3 E ( X ( W ) = E (2 X - 3 X ) = 2 E ( X ) - 3 E ( X ) = − 50 1 2 1 2 Var ( W ) = Var (2 X - 3 X ) = 4 Var ( X ) + (− 3 ) Var ( X ) = 70 ( W ) = Var (2 X - 3 X ) = 4 Var ( X ) + (− 3 ) Var ( X ) = 70 (− 3 ) 2 1 - 3 X 2 ) = 4 Var ( X 1) + (− 3 ) Var ( X 2 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 48/79 Lois de probabilité continues usuelles Preuve de la conséquence 1 : Selon la propriété de reproduction, on sait que Z suit une loi normale 2 =  et Var ( X ) =  et Var ( X ) = 2 Rappelons que ( E X ) =  et Var ( X ) E X ) =  et Var ( X X X = E  X -  X  = E  X  - E   X  = 1  E ( X ) -  X =  X -  X =   X   X   X   X  X  X  X  X  = E  X  - E   X  = 1  E ( X ) -  X =  X -  X        E ( Z ) = E  X -  X  = E  X  - E   X  = 1  E ( X ( Z ) = E  X -  X  = E  X  - E   X  = 1  E ( X ) -  X =  X -  X = 0 Z N ( E ( Z ) = 0, Var ( Z ( E ( Z ) = 0, Var ( Z ) = 1) X X X X X X X X X X X X  Var ( X ) = X 2  E   X  = 1  E ( X ) -  X =  X -  X = 0  Z N ( E ( Z ) = 0, Var ( Z ) =  X   X  X  X  X    XX  + Var  XX  =  12 X  Var ( X ) + 0 = 1  X X Var ( Z ) = Var  X -  X  = Var  X  X  + Var  X  =  12  Var ( X X 1  Var ( X ) + 0 = 1 ( Z ) = Var  X -  X  =   X   X  X X 2 X K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 49/79 Lois de probabilité continues usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 50/79 Lois de probabilité continues usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 51/79 Lois de probabilité continues usuelles Lecture des probabilités dans la Table de la loi Normale Centrée Réduite Cette table fournie des probabilités de la forme P ( Z - a ) avec Z ~ N (0, 1) et a ∈ℝ [+] . Dans cette table le nombre a est une somme de deux composantes C1 et C2 : C1 comporte la partie entière et le dixième de la partie décimale de a. Les valeurs de cette première composante figurent dans la première colonne de la table ; C2 comporte le centième de la partie décimale de a . Les valeurs de cette deuxième composante figurent dans la première ligne de la table . Par exemple, si a = 1.27 alors C1 = 1.20 et C2= 0.07. Maintenant pour calculer, par exemple, P(Z ≥1.27), il suffit d’identifier la valeur qui se trouve à l’intersection de la ligne de C1 et de la colonne de C2, soit : P ( Z  1.27) = P ( Z  1.20 + 0.07) = 0.10204 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 52/79 Lois de probabilité continues usuelles Lecture des probabilités dans une Table Normale Centrée Réduite Calculer P(Z ≤0.4) ? Tout d’abord il faut transformer P(Z ≤0.4) en une probabilité de la forme P ( Z - a ) avec a ≥ 0. Pour ce faire, il suffit de constater que : P(Z ≤0.4) = 1 - P(Z ≥0.4) = 1 – 0.34458 = 0.65542 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 53/79 Lois de probabilité continues usuelles Calculer P(1.11 ≤Z ≤1.48) ? P(1.11 ≤Z ≤1.48) = P(Z ≥1.11) – P(Z ≥1.48) K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 54/79 Lois de probabilité continues usuelles Calculer P(Z ≤-1.72) ? K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 55/79 Lois de probabilité continues usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 56/79 Lois de probabilité continues usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 57/79 Lois de probabilité discrètes usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 58/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Explication graphique de la propriété (P1)  Si P ( Z  a ) = 0.5  a =  Si P ( Z  a )  0.5  a    Si P ( Z  a )  0.5  a   Si P ( Z  a ) = 0.5  a ( Z  a ) = 0.5  a = 0 ( P 1) : Si P ( Z  a )  0.5  a  0  P 1) : Si P ( Z  a )  0.5  a  Si P ( Z  a )  0.5  a ( Z  a )  0.5  a  0 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 59/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Explication graphique de la propriété (P2)  Si P ( Z  a ) = 0.5  a =  Si P ( Z  a )  0.5  a    Si P ( Z  a )  0.5  a   Si P ( Z  a ) = 0.5  a ( Z  a ) = 0.5  a = 0 ( P 2) : Si P ( Z  a )  0.5  a  0  P 2) : Si P ( Z  a )  0.5  a  Si P ( Z  a )  0.5  a ( Z  a )  0.5  a  0 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 60/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Exemple : Une machine fabrique des rondelles de métal dont le diamètre est distribué normalement avec une moyenne de 2,4 cm et un écart type de 0,05 cm. Des rondelles produites par cette machine, trouvons la proportion de celles dont le diamètre : a. excède 2,5 cm; b. n’excède pas 2,32 cm; c. est compris entre 2,35 cm et 2,46 cm. Trouvons la valeur de x telle que 5 % des rondelles présentent un diamètre qui lui est supérieur. Réponse :  2.5 - 2.4  a . P ( X  2.5) = P  Z   = P ( Z  2 ) = 0.02275  0.05   2.32 - 2.4  (R2) b . P ( X  2.32) = P  Z   = P ( Z − 1.6 ) = P ( Z  1.6 ) = 0.05480  0.05   2.35 - 2.4 2.46 - 2.4  (2.35  X  2.46) = P   Z   = P (− 1 Z  1.2 ) =  0.05 0.05  (R4) − 1 ) - P ( Z  1.2 ) = 1 - P ( Z  1) - P ( Z  1.2 ) = 1 - 0.15866 - 0.11507 =  2.35 - 2.4 2.46 - 2.4  c . P (2.35  X  2.46) = P   Z   = P (− 1 Z  1.2  0.05 0.05  (− 1 Z  1.2 ) c . P (2.35  X  2.46) = P  Z  = P − 1 Z (R3) (R4) (R4) ( Z − 1 ) - P ( Z  1.2 ) = 1 - P ( Z  1) - P ( Z  1.2 ) P Z − 1 - P Z  1.2 = 1 - P ( Z  1) - P Z 1 - P Z  1.2 = 1 - P ( Z  1) - P Z  1.2 = 1 - 0.15866 - 0.11507 = 0.72627 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 61/79 Lois de probabilité discrètes usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 62/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Réponse (suite …) : Trouvons la valeur de telle que ( x P X  x ) = 5% = 0.05? x - 2.4 P ( X  x ) = P ( Z  ) = 0.05 0.05 Pour pouvoir utiliser la table de la loi normale centrée réduite il faut s’assurer que (( x- 2.4)/0.05 ) ≥0. Ici on va utiliser la propriété (P1) pour connaître de signe de (( x-2.4)/0.05 ). En effet, cette probabilité (= 0.05) est nettement inférieure à 0.5 et on a une probabilité de type P(Z ≥a) →(( x-2.4)/0.05 ) > 0 →maintenant on peut utiliser la table.  x - 2.4  P ( Z  ) = 0.05 x - 2.4  0.05  = 1.64  x = 0.05  P ( Z  1.64) = 0.05  x - 2.4 P ( Z  ) = 0.05 x - 2.4 0.05  = 1.64  x 0.05 P ( Z  1.64) = 0.05 x - 2.4 ( Z  ) = 0.05 x - 2.4 0.05  = 1.64  x = 2.482 0.05 ( Z  1.64) = 0.05 Pour trouver le 1.64, on doit chercher la valeur de la probabilité 0.05 à l’intérieur de la table (la valeur la plus proche) et par la suite identifier la valeur de a qui donne cette probabilité (voir dispositive 62). K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 63/79 Lois de probabilité discrètes usuelles 2 Remarque : Si X une variable aléatoire qui suit une loi normale 𝑁( μX , 𝜎𝑋 ), alors les probabilités suivantes sont toujours vraies quelles que soient les valeurs des 2 paramètres μX et 𝜎𝑋 : 2 Remarque : Si X une variable aléatoire qui suit une loi normale 𝑁( μX , 𝜎𝑋 2 : Vérifions juste la première probabilité, c'est-à-dire que ( P  X − X  X   X + X ) = 0.6826  −  X   + ) = P ( −  X -  + −  X   + ) = P ( −  X -  + ) = P (  −  X   + ) = P ( −  X (  −  X   + ) = P ( −  X -  + ) X X X X X X X − 1 X -  X + 1) = P ( − 1 Z + 1)(R3) = P ( Z − 1) - P ( Z  1) =  X  P ( − 1 X -  X + 1) = P ( − 1 Z + 1)(R3) = P ( Z − 1) - P ( Z X (R3) (R4) ( − 1 X + 1) = P ( − 1 Z + 1) = P ( Z − 1) - P ( Z  1) X P ( Z  1) - P ( Z  1) = 1 - 2 P ( Z  1) = 1 − 2 0.15866 = 1 - P ( Z  1) - P ( Z  1) = 1 - 2 P ( Z  1) = 1 − 2 0.15866 = 0.68268 P ( Z  1) - P ( Z  1) = 1 - 2 P ( Z K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 64/79 Lois de probabilité discrètes usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 65/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Variation de la fonction de densité de la loi du Khi-deux en fonction du nombre de degrés de liberté k K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 66/79 Lois de probabilité discrètes usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 67/79 Lois de probabilité continues usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 68/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Cette table fournit des probabilités de la forme P ( W - a ) 2 avec W ~  k et a ∈ℝ [+] . - Les degrés de liberté (dl) figurent au niveau de la première colonne de la table. Ils varient de 1 à 100. - Les valeurs des probabilité figurent uniquement au niveau de la première ligne de la table. Elles varient de 0.010 à 0.99. - Les valeurs qui sont à l’intérieur de la table, sont des valeurs possibles de la variable aléatoire W 2 qui suit la loi  . k Si Y  152 alors déterminer ( P Y  18.25)? - Nous identifions tout d’abord la ligne du 15 degrés de liberté. Ensuite, nous cherchons sur cette ligne la valeur 18.25. Enfin, l’intersection de la colonne contenant le 18.25 et la première ligne de la table fournira la valeur de cette probabilité, soit : P ( Y  18.25) = 0.25 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 69/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Cette table fournit des probabilités de la forme P ( W - a ) 2 avec W ~  et a ∈ℝ [+] . k Si Y  152 alors déterminer ( P Y  16)? Dans cette probabilité, la valeur 16 ne se figure pas parmi les valeurs possibles de Y à 15 degrés de liberté. Dans ce cas, il faut trouver tout d’abord, sur la même ligne, les deux valeurs qui bornent la valeur 16, c’est-à-dire 14.34 et 18.25. Ensuite, on procèdera à une interpolation linéaire comme suit : (0.50) (x ?) (0.25) (14.34) (16) (18.25) Probabilités Valeurs de Y à 15 dl x 14.34 - 16 =  x = 0.3939  0.25 14.34 - 18.25  16) = 0.3939 0.5 - x 14.34 - 16 =  x = 0.3939 0.5 - 0.25 14.34 - 18.25 P ( Y  16) = 0.3939 x 14.34 - 16 =  x P ( Y K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 70/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Déterminer la constante dans les 3 cas suivants : c Si Y  42 alors déterminer : ( c P Y  c ) = 0.95? Si Y  102 alors déterminer : ( c P Y  c ) = 0.01? Si Y  2 alors déterminer : ( c P Y  c ) = 0.05?  42   2 2 4  c ) = Y  2 alors déterminer : ( c P Y  c 2 10 2 65  c ) =  c ) = Y  102 alors déterminer : ( c P Y  c Y  2 alors déterminer : ( c P Y  c Réponse :  c ) = 0.95  c = P ( Y  c ) = 0.95  c = 0.71 P ( Y  c ) = 0.95  c P ( Y  c ) = 0.01  c (2 Rectangles rouges)  c ) = 0.01  c = 23.21 (2 Rectangles verts) P ( Y  c ) = 0.01  c = 23.21 Puisque 65 degrés de liberté ( dl ) ne figure pas dans la première colonne de la table, alors il faut procéder à une interpolation linéaire, soit (2 Rectangles bleus) : (60) (65) (70) dl Valeurs de Y (79.08) (c ?) (90.53) 65 - 60 c - 79.08 =  c = 84.805 70 - 60 90.53 - 79.08 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 71/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Réponse : Puisque la valeur de la probabilité 0.60 ne figure pas parmi les valeurs possibles de la première ligne de la table, on procèdera à une interpolation linéaire, soit : (0.75) (0.60) (0.50) (3.45) (c ?) (5.35) Probabilités Valeurs de Y à 6 dl 0.75 - 0.60 3.45 - c =  c = 4.59 0.75 - 0.50 3.45 - 5.35 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 72/79 Lois de probabilité discrètes usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 73/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Variation de la fonction de densité de la loi de Student en fonction du nombre de degrés de liberté k K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 74/79 Lois de probabilité discrètes usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 75/79 Lois de probabilité continues usuelles K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 76/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Cette table fournit des probabilités de la forme P ( T ≥ a ) avec T ~ t ( k dl) et a ∈ℝ [+] . La lecture de la table de la loi de Student t est identique à celle de la loi du Khi-deux. Les degrés de liberté ( dl ) figurent au niveau de la première colonne de la table. Ils varient de 1 à ∞. Les valeurs des probabilité figurent uniquement au niveau de la première ligne de la table. Elles varient de 0.005 à 0.40. Les valeurs qui sont à l’intérieur de la table, sont des valeurs possibles de la variable aléatoire T qui suit la loi de Student à k degrés de liberté. Si T t (7 dl ) alors déterminer ( P T  1.18)? Réponse : Nous identifions tout d’abord la ligne du 7 dl. Ensuite, nous cherchons sur cette ligne les deux valeurs qui bornent 1.18, c’est-à-dire 0.896 et 1.415. Enfin, nous procédons à une interpolation linéaire, soit : (0.20) (x ?) (0.10) (0.896) (1.18) (1.415) Probabilités Valeurs de T à 7 dl 0.20 - x 0.896 - 1.18 =  x = 0.1453 = P ( T  1.18) 0.20 - 0.10 0.896 - 1.415 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 77/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Cette table fournit des probabilités de la forme P ( T ≥ a ) avec T ~ t ( k dl) et a ∈ℝ [+] . Si T t (10 dl ) alors déterminer ( P T − 2)? Réponse : Tout d’abord nous transformons cette probabilité en une probabilité de la forme P( T ≥ a ) pour que nous puissions la lire dans la table. Puisque la loi de Student est symétrique par rapport l’axe des ordonnées (comme la loi normale N (0, 1)), alors P(T ≤-2) = P(T ≥2) (R2). Puisque la valeur 2 ne figure pas parmi les valeurs possibles de la variable aléatoire T à 10 dl, nous identifions tout d’abord les deux valeurs qui bornent 2, à savoir 1.812 et 2.228. Ensuite, nous procédons à une interpolation linéaire, soit : (0.05) (x ?) (0.025) (1.812) (2) (2.228) Probabilités Valeurs de T à 10 dl 0.05 - x 1.812 - 2 =  x = 0.0387 = P ( T − 2) 0.05 - 0.025 1.812 - 2.228 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 78/79 Lois de probabilité discrètes usuelles Cette table fournit des probabilités de la forme P ( T ≥ a ) avec T ~ t ( k dl) et a ∈ℝ [+] . Si T t (20 dl ) alors déterminer pour que ( c P T  c ) = 0.80? Réponse : Puisque on une probabilité de la forme P( T ≥ a ) en plus elle est supérieur à 0.50 alors nécessairement le c < 0 (voir la propriété (P1) de la loi N (0, 1)). Lorsque nous appliquons la règle (R4), nous aurons : T  c ( )  c ) = 1 - P T  c = 0.80  P ( T  c ) = 1 - P T  c ( T  c ) = 1 - P T  c = 0.80 T  c ( )  c = 0.20  c = 0.860  c = − P T  c = 0.20  c = 0.860  c 0.20  c = 0.860  c = − 0.860 K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020 79/79