Variables aléatoires et lois usuelles de probabilité

6 36

8 36

14 36

-2

12 36

-2

12 36

26 36

𝟒

1 36

𝟒

1 36

27 36

6

6 36

6

6 36

33 36

𝟖

3 36

𝟖

3 36

36 36

= 1

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Variables aléatoire discrètes

Mesures caractéristiques d’une variable aléatoire discrète

Deux types de mesures caractéristiques seront étudiées pour une v.a. discrète X :

1. Mesure caractéristique de position (ou de tendance centrale)

▪

Espérance mathématique

2. Mesures caractéristiques de dispersion

▪ Variance ▪ Écart-type

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Variables aléatoire discrètes

Espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète

L’espérance mathématique d’une v.a. X est, intuitivement, la valeur de X que l’on s’attend à trouver, en moyenne, si l’on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. Elle est notée E(X) ou μX et se lit « espérance de X ». Mathématiquement E(X) est calculée comme suit :

E(X) correspond à une moyenne pondérée par les probabilités d’apparition de chaque valeur possible de X.

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11()nniiiXiiiEXxPXxxfx=====Variables aléatoire discrètes

Espérance mathématique : Propriétés

Soient a et b deux constantes réelles et X et Y deux variables aléatoires (discrètes ou continues) :

1.

2.

3.

4.

5.

si et seulement si X et Y sont indépendants.

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()Eaa=()()EaXbaEXb=()()EaXaEX=()()()EXYEXEY=()()()EXYEXEY+=+Variables aléatoire discrètes

Variance d’une variable aléatoire discrète

La variance d’une v.a. X indique dans quelle mesure les valeurs prises par X ont tendance à être plus ou moins dispersées autour de l’espérance mathématique 2 et se lit « variance de X ». Mathématiquement E(X). Elle est notée Var(X) ou 𝜎𝑋 Var(X) est calculée comme suit :

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()()2222211()()nniiiiiiVarXEXEXEXEXVarXxPXxxPXx===−=−==−=Variables aléatoire discrètes

Variance : Propriétés

Soient a et b deux constantes réelles et X et Y deux variables aléatoires (discrètes ou continues) :

1.

2.

3.

4.

ssi X et Y sont indépendants.

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()0Vara=2()()VaraXbaVarX=2()()VaraXaVarX=()()()VarXYVarXVarY+=+Variables aléatoire discrètes

Écart-type d’une variable aléatoire

L’écart type (ou la déviation standard) d’une variable aléatoire X (discrète ou continue) est défini comme la racine carrée positive de la variance. Elle est notée 𝜎(X) ou 𝜎𝑋 et se lit « sigma de X ». Mathématiquement 𝜎𝑋 est calculé comme suit :

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XVarX=Variables aléatoire discrètes

▪

Exemple : Dans un jeu, une urne contient trois boules vertes, deux boules rouges et quatre boules noires. Un joueur tire simultanément deux boules de l’urne. Le tirage d’une boule verte fait gagner quatre dinars celui d’une boule rouge fait gagner deux dinars et celui d’une boule noire fait perdre six dinars (On admet qu’il y a équiprobabilité des tirages). Ainsi, lorsqu’un joueur, par exemple, tire une boule verte et une boule noire il va perdre 2 dinars (4 – 6 = – 2) (un gain négatif est considéré comme une perte). Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules, représente le gain algébrique obtenu en jouant à ce jeu.

▪ Nous avons vu précédemment comment déterminer la loi de probabilité de la

variable aléatoire X, soit :

Différentes valeurs de X

−𝟏𝟐

Probabilité à associer à chaque 𝒙𝒊 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 = fX(xi)

6 36

−𝟒

8 36

-2

12 36

𝟒

1 36

6

6 36

𝟖

3 36

1. Déterminer le gain espéré, c’est-à-dire E(X), en jouant à ce jeu.

2. Calculer la variance et l’écart-type de la variable aléatoire X.

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Variables aléatoire discrètes

▪ Réponse :

(Donc c’est une perte)

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11.6812163(12)(4)(2)(4)(6)(8)3636363636361.78niiiEXxPXx====−+−+−+++−()()222212.()1.78niiiVarXEXEXxPXx==−==−−2212222222Calculons ()6812163(12)(4)(2)(4)(6)(8)36363636363640.67()40.67(1.78)37.51niiiEXxPXxVarX====−+−+−+++=−−37.516.12XVarX===Lois de probabilité discrètes usuelles

Lois de probabilité discrètes usuelles

Dans le cadre de ce cours, nous allons revoir trois lois de probabilité discrètes usuelles :

1. Loi de Bernoulli

2. Loi Binomiale

3. Loi de Poisson

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Lois de probabilité discrètes usuelles

Loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire comportant deux issues, deux événements élémentaires appelés souvent succès et échec dont les probabilités respectives sont p et q avec p + q = 1. On dit que la variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, qu’on note X ~ ℬ(p), si X prend la valeur 1 (succès) avec une probabilité p et la valeur 0 (échec) avec la probabilité q = 1 – p.

Différentes valeurs de X

0 (échec)

1 (succès)

Probabilité à associer à chaque 𝒙𝒊 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 = fX(xi)

1 - p

p

De plus, si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors :

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Jacques Bernoulli (1654-1705)

(1)VarXpppq=−=EXp=Lois de probabilité discrètes usuelles

▪

Exemple : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à jeter un dé non truqué une seule fois. On définit la variable aléatoire X comme suit :

Ainsi, la loi de probabilité de X peut être décrite dans le tableau suivant :

Différentes valeurs de X

0 (échec)

1 (succès)

Probabilité à associer à chaque 𝒙𝒊 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 = fX(xi)

5 6

1 6

On dit alors que X suit une loi de Bernoulli de paramètre

1 6

et on écrit X ~ ℬ(

1 6

).

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1 si le chiffre obtenu est égal à 50 sinonX=Lois de probabilité discrètes usuelles

Loi Binomiale

Un processus de Bernoulli est une expérience aléatoire constituée d’une suite de n épreuves de Bernoulli indépendantes où chaque épreuve ne peut conduire qu’aux deux mêmes résultats possibles (échec, succès) et que chacun de ces résultats a la même probabilité de réalisation d’une épreuve à l’autre.

Si une variable aléatoire X représente le nombre de succès obtenus lors d’un processus de Bernoulli, alors X suit une loi Binomiale de paramètre n et p, qu’on note X ~ ℬ(n, p) où n est le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli et p est la probabilité de succès à n’importe quelle épreuve de Bernoulli.

Si X ~ ℬ(n, p) alors la probabilité que X égale k (k = 0, 2, 3, …, n) succès est déterminée par la formule suivante :

Lorsque X ~ ℬ(n, p) alors :

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(1)VarXnppnpq=−=EXnp=(1-)kknkkknknnPXkCppCpq−−===Lois de probabilité discrètes usuelles

▪

Exemple : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé non truqué 5 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 fois le chiffre 1.

Réponse : Si on considère l’épreuve de Bernoulli suivante : Lancer un dé une seule fois et où un succès consiste à obtenir le chiffre 1. Répéter cette épreuve 5 fois et mesurer le nombre de succès (ou d’apparitions du chiffre 1) obtenus décrit une

variable aléatoire X qui suit une loi Binomiale ℬ (n=5, p=P(1)= probabilité d’obtenir 3 fois le chiffre 1 (ou 3 succès) se présente comme suit :

). Ainsi, la

1 6

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353323355151530.03226666PXCC−====Lois de probabilité discrètes usuelles

Loi de Poisson

▪ Si une variable aléatoire X représente le nombre de succès dans un intervalle de temps considéré, alors X suit une loi de Poisson de paramètre λ, qu’on note X ~𝒫(λ). Le paramètre λ désigne le nombre moyen de succès dans l’intervalle de temps considéré.

▪ Lorsque X ~ 𝒫(λ), la probabilité que X est égale à k succès (k = 0, 1, 2, …)

pendant l’intervalle de temps considéré est déterminée comme suit :

Où λ = α x t, α représente l’intensité du processus, c’est-à-dire le nombre moyen de succès pendant une unité de temps ; t désigne le nombre d’unités de temps contenues dans l’intervalle de temps considéré.

▪ Lorsque X ~ 𝒫(λ) alors :

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Siméon Denis Poisson (1881-1940)

()EXVarX==,!kePXkkk−==Lois de probabilité discrètes usuelles

▪

Exemple : Le responsable du comité de sécurité de l’entreprise CelCom a effectué une compilation du nombre d’accidents de travail qui se sont produits depuis deux ans dans l’usine. Ceci a permis d’établir que le nombre moyen d’accidents de travail a été de 1.6 accidents par jour.

1. Quelle est la probabilité d’observer moins de 2 accidents par jour ? 2. Quelle est la probabilité d’observer plus de 2 accidents en deux jours ? 3. Quelle est la probabilité d’observer moins d’un accident en 12 heures ?

Réponse :

1.

Soit X la v.a. mesurant le nombre d’accidents de travail par jour. La v.a. X ~ 𝒫(λ = 1.6). Ainsi, on veut calculer la probabilité suivante :

2.

Soit Y la v.a. mesurant le nombre d’accidents de travail en deux jours. La v.a. Y ~ 𝒫(λ = 3.2). Ainsi, on veut calculer la probabilité suivante :

3.

Soit W la v.a. mesurant le nombre d’accidents de travail en 12 heures. La v.a. W ~ 𝒫(λ = 0.8). Ainsi, on veut calculer la probabilité suivante :

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1.601.611.61.6(2)(1)(0)(1)0.520!1!eePXPXPXPX−−===+==+=0.800.8(1)(0)0.450!ePWPW−====()3.203.213.223.23.23.2(2)1(2)1(0)(1)(2)10.6190!1!2!eeePYPYPYPYPY−−−=−=−=+=+==−++=Variables aléatoire continues

Fonction de densité d’une variable aléatoire continue

▪ Rappelons qu’une variable aléatoire X est dite continue si elle peut prendre

comme valeurs tous les nombres réels d’un certain intervalle I de ℝ.

▪ Définition 1 : Soit f une fonction de ℝ dans ℝ. On dit que f est une fonction de

densité de probabilité si et seulement si :

1. 𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀ 𝑥 ∈ ℝ

2.

f est continue sur ℝ sauf peut-être en un nombre fini de points.

+∞ 3. ׬−∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1

▪ Définition 2 : On dit qu’une variable aléatoire X est à densité s’il existe une densité de probabilité fX telle que, pour tout intervalle non vide I de ℝ, la probabilité que X appartienne à I soit égale à l’intégrale de fX sur I :

On dit alors que X admet fX pour densité ou que fX est une densité de X.

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()XIPXIfxdx=Variables aléatoire continues

Fonction de répartition d’une variable aléatoire continue

▪ Définition : Soit X une variable aléatoire ayant fX comme fonction densité de probabilité. On appelle fonction de répartition de X, qu’on note FX , la fonction de ℝ dans [0, 1], définie pour tout x ∈ ℝ par :

▪ Remarque : Si X une variable aléatoire continue (ou à densité), la probabilité

que X prenne une valeur particulière a est toujours nulle, soit :

En effet, dans chaque intervalle I ⊆ ℝ il y a une infinité de valeurs, et au regard de toutes ces valeurs précises, le poids d’une valeur particulière est tellement insignifiant qu’il en est nul. Par exemple, Si X désigne la taille d’un individu (en mètres) alors P(X = 1,8952357)=0. Ainsi, il n’est pas possible de définir la loi de X par les probabilités des évènements élémentaires. Par contre, il est possible de déduire les probabilités que X prenne ses valeurs dans un intervalle I ⊆ ℝ et ce en utilisant la fonction de répartition de X.

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()()xXFxPXxftdt−==()0XPXafa===Variables aléatoire continues

Variable aléatoire continue : Propriétés

▪ À l’issue de la remarque précédente, si X est une variable aléatoire qui admet fX

comme densité de probabilité, alors :

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1.,2.,3.,,aPXaPXaaPXaPXaabPaXbPaXbPaXbPaXb=====Variables aléatoire continues

Fonction de répartition d’une variable aléatoire continue : Propriétés

Une fonction de répartition FX d’une v.a. continue X possède les trois principales propriétés suivantes :

1.

2.

3.

(FX est non décroissante)

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0()1XFx()()()XXPaXbPaXbPaXbPaXbFbFa====−()()SiabalorsFaFbVariables aléatoire continues

Calcul des probabilités pour une variable aléatoire continue

▪ Soient X une variable aléatoire qui admet fX comme densité de probabilité et FX comme fonction de répartition. Soient a et b deux réels avec a < b. Alors :

▪ Graphiquement, P 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 (avec a et/ou b peuvent être ±∞) est l’aire située entre la courbe de la densité fX et l’axe des abscisses lorsque les valeurs de la variable aléatoire X varient entre a et b.

fX

P 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏

a

b

X

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1.()()2.1()()3.()()()aXXXXabXXXaPXaFafxdxPXaFafxdxPaXbFbFafxdx−+===−==−=Variables aléatoire continues

Déterminer une fonction de densité à partir d’une fonction de répartition

▪ Si X une variable aléatoire à densité et FX sa fonction de répartition, alors toute

fonction fX à valeurs positives qui vérifie :

(Sauf éventuellement en un nombre fini de points)

est une fonction de densité de X.

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'()()()XXXdFxfxFxdx==Variables aléatoire continues

Espérance d’une variable aléatoire continue

▪ Si X une variable aléatoire à densité fX alors l’espérance mathématique de X,

qu’on note E[X] ou μX, est déterminée comme suit :

Variance et écart-type d’une variable aléatoire continue

▪ Si X une variable aléatoire à densité fX alors la variance, qu’on note Var(X) ou

2, est déterminée comme suit :

𝜎𝑋

▪ L’écart type d’une variable aléatoire X, qu’on note 𝜎(X) ou 𝜎𝑋, est calculé

comme suit :

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()XEXxfxdx+−=()()22222()()()()XXVarXEXEXEXEXVarXxfxxfx++−−=−=−=−XVarX=Lois de probabilité discrètes usuelles

Exemple : La vie utile d’une certaine composante d’une pièce électronique, qu’on la note par la variable aléatoire X, est décrite par la fonction suivante:

1. Montrer que fX est une fonction de densité pour la variable aléatoire X. 2. Déterminer la fonction de répartition FX . 3. Calculer les deux probabilités suivantes : P 0.5 ≤ 𝑋 ≤ 1.5 et P 𝑋 ≥ 1.5 . 4. Calculer E[X] et Var[X].

Réponse :

1. Pour que fX soit une fonction de densité de probabilité pour X, il faut qu’elle

vérifie les trois conditions suivantes :

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si 01()2 si 120 ailleursXxxfxxx=−.est continue sur (sauf peut être en certains points) est continue sur tout .()0,0 puisque le graphique de se trouve soit confondu soit au-dessus de l'axe des abscisses XXXXXiffiifxxIRffi12122201011113.()1()(2)2212222XXiifxdxfxdxxdxxdxxxx++−−==+−=+−=+−=Lois de probabilité discrètes usuelles

Réponse (suite …) :

2. La fonction de répartition de X se présente comme suit :

3. Calculons les deux probabilités suivantes :

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0101102201()()0(2)11222xxxFxftdtdttdttdtctettt−−−==++−=++−0001()21202XsixxsixSifxxsixsix=−22001012()12112212XsixxsixFxxxsixsix=−+−1331713()()2222884XXPXFF=−=−=3337111()122288XPXPXF=−=−=−=Lois de probabilité discrètes usuelles

Réponse (suite …) :

4. Calculons E[X] et Var[X].

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12011212223230101()(2)11(2)3312133EXxfxdxxxdxxxdxxdxxxdxxxx+−==+−==+−=+−=+=()()22221()1niiiVarXEXEXxPXx==−==−1222220112123234340101()(2)121(2)43411174126EXxfxdxxxdxxxdxxdxxxdxxxx+−==+−==+−=+−=+=()()22271Donc ()166VarXEXEX=−=−=Lois de probabilité continues usuelles

Lois de probabilité continues usuelles

▪ Dans le cadre de ce cours, nous allons étudier trois lois de probabilité continues

usuelles :

1. Loi Normale N

2. Loi de Student t

3. Loi du Khi-deux χ2

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Lois de probabilité continues usuelles

Loi Normale : Un peu d’histoire …

(1777-1855)

conçoit une loi

▪ Le célèbre mathématicien allemand, Carl Friedrich statistique Gauss continue, appelée loi normale ou loi de Laplace- Gauss, dont la répartition est représentée par la fameuse courbe en cloche. L’adjectif « normale » s’explique par le fait que cette loi décrit et modélise des situations statistiques aléatoires concrètes et naturelles. Prenons par exemple une population de 1000 personnes dont la taille moyenne est de 170 cm. En traçant l’histogramme des tailles, on obtient une courbe en cloche dont la population se concentre essentiellement autour de la moyenne.

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Lois de probabilité continues usuelles

Loi Normale : Définition de la fonction de densité

▪ Une variable aléatoire X pouvant prendre toutes les valeurs réelles ( ℝ) et

ayant la fonction de densité suivante (où μX  IR et 𝜎𝑋  IR*,+) :

s’appelle une variable aléatoire normale de paramètres μX et 𝜎𝑋 𝑁(μX, 𝜎𝑋

2).

2 et on écrit X ~

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21212XXxμσXXf(x) eσπ−−=Lois de probabilité continues usuelles

Loi Normale : Propriétés

2, ▪ Si X est une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètres μX et 𝜎𝑋

c’est-à-dire X ~ 𝑁(μX, 𝜎𝑋

2), alors :

o (P1) :

o (P2) :

o (P3) : fX est symétrique autour de l’axe d’équation X = μX et par conséquent

fX(μX + a) = fX(μX – a) avec a  IR.

o (P4) : fX possède un maximum unique lorsque X = μX qui est égal à

1 𝜎𝑋 2𝜋

.

o (P5) : fX possède deux points d’inflexion en X = μX + σX et X = μX - σX.

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2 et XXEXVarX==,()0et()1XXxfxfxdx+−=Lois de probabilité continues usuelles

Explication graphique des différentes propriété

(P2) :

(P3) : fX est symétrique autour de l’axe d’équation X = μX et par conséquent fX(μX + a) = fX(μX – a)

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,()0et()1XXxfxfxdx+−=Lois de probabilité continues usuelles

Explication graphique des différentes propriété (suite …)

(P4) : fX possède un maximum unique lorsque X = μX qui est égal à

1 𝜎𝑋 2𝜋

(P5) : fX possède deux points d’inflexion en X = μX + σX et X = μX - σX

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Lois de probabilité continues usuelles

▪ E[X] = μX indique la position de la courbe de la fonction de densité fX sur l’axe des

différentes valeurs possibles de X, soit :

X

▪ Plus l’écart-type 𝜎𝑋 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) est grand, plus la courbe de la fonction de densité fX

est aplatie, soit :

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Lois de probabilité continues usuelles

Loi Normale : Propriété de reproduction

▪ Soient X1, X2, …, Xn, n variables aléatoires indépendantes et identiquement 2) et c1, c2, …, cn, n constantes réelles non

distribuées (i.i.d) où chaque Xi ~ 𝑁(μi, 𝜎𝑖 toutes nulles, alors :

Exemple d’application : Soient X1 ~ 𝑁(20, 4) et X2 ~ 𝑁(30, 6) et on veut préciser la forme de la distribution des deux variables aléatoires suivantes :

1.

2.

Réponse :

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222111La variable aléatoire , innniiYiiYiiiiYcXNcc======1252YXX=++2132XXW−=12121212()(52)5()2()85(85,28)()(52)()4()28EYEXXEXEXYNVarYVarXXVarXVarX=++=++==++=+=()121221212()(23)2()3()50(50,70)()(23)4()3()70EWEXXEXEXWNVarWVarXXVarXVarX=−=−=−−=−=+−=Lois de probabilité continues usuelles

Loi Normale : Conséquences de la propriété de reproduction

▪ Conséquence 1 : On peut transformer une variable aléatoire X ~ 𝑁(μX, 𝜎𝑋

2) en une variable aléatoire très particulière Z ~ 𝑁(0, 1). La loi 𝑁(0, 1) s’appelle loi normale centrée réduite. La relation entre X et Z se présente comme suit :

▪ Conséquence 2 : À partir d’une variable aléatoire Z ~ 𝑁(0, 1), on peut construire

une variable aléatoire X~ 𝑁(μX, 𝜎𝑋

2), soit :

Preuve de la conséquence 1 :

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2(,)(0,1)XXXXXXNZN−=2(0,1)(,)XXXXZNXZN=+2Selon la propriété de reproduction, on sait que Z suit une loi normaleRappelons que () et () 1()()0()XXXXXXXXXXXXXXXXEXVarXXXEZEEEEXXXVarZVarVar==−==−=−=−=−==2(()0,()1)1()01XXXXZNEZVarZVarVarX==+=+=Lois de probabilité continues usuelles

Loi Normale : Calcul des probabilités

▪ Malheureusement,

il n’existe pas de primitive à l’intégrale de la fonction de densité de la loi normale. Ce qui implique que nous n’avons pas d’expression analytique pour la fonction de répartition d’une variable aléatoire qui suit la loi normale. Il est cependant possible d’intégrer numériquement et c’est pourquoi nous utilisons des tables afin de déterminer les probabilités associées aux événements qui nous intéressent. Ces tables sont toutes équivalentes et elles sont proposées uniquement pour la loi normale centrée réduite N(0, 1).

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Lois de probabilité continues usuelles

Loi Normale : Calcul pratique des probabilités

▪

Il existe trois types de probabilité qui peuvent être calculées pour une variable 2) (a et b sont deux constantes réelles) : aléatoire X qui suit une loi normale 𝑁(μX, 𝜎𝑋

On pose

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XXXZ−=()2(),()1.()2.()3.()XXXNEXVarXPXaPXaPaXb==()2(),()1.()2.()3.()XXXXXXXXXXXXXXXXXNEXVarXXaPXaPaXbP==−−−−−−−()()0,()11.()2.()3.()XXXXXXXXZNEZVarZaPZaPZabPZ==−−−−()2(),()1.()2.()3.()XXXXXXXXXXNEXVarXPXaPXaPaXb==−−−−−−−Lois de probabilité continues usuelles

Lecture des probabilités dans la Table de la loi Normale Centrée Réduite

Cette table fournie des probabilités de la forme P(Z > a) avec Z ~ N(0, 1) et a ∈ ℝ+.

Dans cette table le nombre a est une somme de deux composantes C1 et C2 :

1. C1 comporte la partie entière et le dixième de la partie décimale de a. Les valeurs de cette première composante figurent dans la première colonne de la table ;

2. C2 comporte le centième de la partie décimale de a. Les valeurs de cette deuxième composante figurent dans la première ligne de la table.

Par exemple, si a = 1.27 alors C1 = 1.20 et C2= 0.07. Maintenant pour calculer, par exemple, P(Z ≥ 1.27), il suffit d’identifier la valeur qui se trouve à l’intersection de la ligne de C1 et de la colonne de C2, soit :

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(1.27)(1.200.07)0.10204PZPZ=+=Lois de probabilité continues usuelles

Lecture des probabilités dans une Table Normale Centrée Réduite

Calculer P(Z ≤ 0.4) ?

Tout d’abord il faut transformer P(Z ≤ 0.4) en une probabilité de la forme P(Z > a) avec a ≥ 0. Pour ce faire, il suffit de constater que :

P(Z ≤ 0.4) = 1 - P(Z ≥ 0.4) = 1 – 0.34458 = 0.65542

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Lois de probabilité continues usuelles

Calculer P(1.11 ≤ Z ≤ 1.48) ?

P(1.11 ≤ Z ≤ 1.48) = P(Z ≥ 1.11) – P(Z ≥ 1.48)

P(1.11 ≤ Z ≤ 1.48) = 0.13350 – 0.06944 =0.06406

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Lois de probabilité continues usuelles

Calculer P(Z ≤ -1.72) ?

Grâce à la symétrie de la loi normale centrée réduite autours de l’axe des ordonnées (E(Z) = 0) on a : P(Z ≤ - 1.72) = P(Z ≥ 1.72) = 0.04272 (déterminée directement à partir de la table)

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Lois de probabilité continues usuelles

Calculer P(Z ≥ -2) ?

P(Z ≥ -2) = 1 - P(Z ≤ -2) or grâce à la symétrie de la loi normale centrée réduite on a vu que P(Z ≤ -2) = P(Z ≥ 2). Donc, P(Z ≥ -2) = 1 - P(Z ≥ 2) = 1 – 0.02275 = 0.97725

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Lois de probabilité continues usuelles

Loi Normale : Règles de calcul des probabilités

Bien que la table de la loi normale centrée réduite fournit uniquement des probabilités de la forme P(Z ≥ a) avec a ≥ 0, il est possible de calculer n’importe quelle autre forme de probabilité en utilisant certaines règles :

o (R1) :

o (R2) :

o (R3) :

o (R4) :

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()1()=−PZaPZaa()()−=PZaPZaa()()(),=−PaZbPZaPZbab()1()−=−PZaPZaaLois de probabilité discrètes usuelles

Loi Normale : Détermination du signe de a (inconnu) pour des probabilités connues de type P(Z ≥ a) ou P(Z ≤ a)

Soit Z une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite, c’est-à-dire Z ~ N(0, 1). Ces propriétés servent à connaître le signe de a (qu’on suppose inconnu) en se basant sur les valeurs des probabilités de type P(Z ≥ a) ou P(Z ≤ a) (qu’on suppose connue), soit :

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()0.50(1):()0.50()0.50SiPZaaPSiPZaaSiPZaa==()0.50(2):()0.50()0.50SiPZaaPSiPZaaSiPZaa==Lois de probabilité discrètes usuelles

Explication graphique de la propriété (P1)

P(Z ≥ a) = 0.5

a = 0

P(Z ≥ a) > 0.5

a < 0

P(Z ≥ a) < 0.5

a > 0

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()0.50(1):()0.50()0.50SiPZaaPSiPZaaSiPZaa==Lois de probabilité discrètes usuelles

Explication graphique de la propriété (P2)

P(Z ≤ a) = 0.5

a = 0

P(Z ≤ a) > 0.5

a > 0

P(Z ≤ a) < 0.5

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a < 0

()0.50(2):()0.50()0.50SiPZaaPSiPZaaSiPZaa==Lois de probabilité discrètes usuelles

Exemple : Une machine fabrique des rondelles de métal dont le diamètre est distribué normalement avec une moyenne de 2,4 cm et un écart type de 0,05 cm.

1. Des rondelles produites par cette machine, trouvons la proportion de celles dont

le diamètre :

excède 2,5 cm;

a. b. n’excède pas 2,32 cm; c.

est compris entre 2,35 cm et 2,46 cm.

2. Trouvons la valeur de x telle que 5 % des rondelles présentent un diamètre qui

lui est supérieur.

Réponse :

(R2)

(R3)

(R4)

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()2.52.41..(2.5)20.022750.05aPXPZPZ−===()()2.322.41..(2.32)1.61.60.054800.05bPXPZPZPZ−==−==()()()()2.352.42.462.41..(2.352.46)11.20.050.0511.21(1)1.210.158660.115070.72627cPXPZPZPZPZPZPZ−−==−=−−=−−=−−=Lois de probabilité discrètes usuelles

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Lois de probabilité discrètes usuelles

Réponse (suite …) :

Pour pouvoir utiliser la table de la loi normale centrée réduite il faut s’assurer que ((x- 2.4)/0.05) ≥ 0. Ici on va utiliser la propriété (P1) pour connaître de signe de ((x-2.4)/0.05). En effet, cette probabilité (= 0.05) est nettement inférieure à 0.5 et on a une probabilité de type P(Z ≥ a) → ((x-2.4)/0.05) > 0 → maintenant on peut utiliser la table.

Pour trouver le 1.64, on doit chercher la valeur de la probabilité 0.05 à l’intérieur de la table (la valeur la plus proche) et par la suite identifier la valeur de a qui donne cette probabilité (voir dispositive 62).

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2.Trouvons la valeur de telle que ()5%0.05?xPXx==2.4()()0.050.05xPXxPZ−==2.4()0.052.41.642.4820.050.05(1.64)0.05xPZxxPZ−=−===Lois de probabilité discrètes usuelles

2), alors Remarque : Si X une variable aléatoire qui suit une loi normale 𝑁(μX, 𝜎𝑋 les probabilités suivantes sont toujours vraies quelles que soient les valeurs des 2 : paramètres μX et 𝜎𝑋

(R3)

(R4)

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Vérifions juste la première probabilité, c'est-à-dire que ()0.6826XXXXPX−+=()()(11)(11)(1)(1)1(1)(1)12(1)120.158660.68268XXXXXXXXXPXPXXPPZPZPZPZPZPZ−+=−−+=−−+=−+=−−=−−=−=−=Lois de probabilité discrètes usuelles

Loi du Khi-deux : Définition

Soient Z1, Z2, …, Zk, k variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d) où chaque Zi ~ 𝑵(0, 𝟏). Alors la variable aléatoire :

suit une loi du Khi-deux à k degrés de libertés, notée . Par construction, la variable aléatoire W ne peut prendre que des valeurs positives ou nulles (∈ ℝ+).

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22212...kWZZZ=+++2kLois de probabilité discrètes usuelles

Variation de la fonction de densité de la loi du Khi-deux en fonction du nombre de degrés de liberté k

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Lois de probabilité discrètes usuelles

Loi du Khi-deux : Propriétés

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