Une approche diff rente
pour r ussir sa Pr pa
Maths
M P S I
P C S I
P T S I
BCPST
e
n
n
a
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r
i
m
e
r
P
Collection dirig e par Laurent Desmottes
Professeur en classes pr paratoires
Martine Arous-Latanicki
Professeur en classes pr paratoires
lesdelapr paMCQComposition : IndoLogic
Maquette int rieure : Nicolas Piroux
Maquette de couverture : Nicolas Piroux
www.hachette-education.com
HACHETTE LIVRE 2010, 43 quai de Grenelle 75905 Paris Cedex 15
ISBN : 978-2-01-1
81240 7
-
Tous droits de traduction, de reproduction et
dadaptation r serv s pour tous pays.
Le Code de la propri t intellectuelle nautorisant,
aux termes des articles L. 1224 et L. 1225, dune
part, que les copies ou reproductions strictement
r serv es lusage priv du copiste et non destin es
une utilisation collective , et, dautre part, que
les analyses et les courtes citations dans un but
dexemple et dillustration, toute repr sentation
ou reproduction int grale ou partielle, faite sans le
consentement de lauteur ou de ses ayants droit ou
ayants cause, est illicite .
Cette repr sentation ou reproduction, par quelque
proc d que ce soit, sans autorisation de l diteur
ou du Centre fran ais de lexploitation du droitde
copie (20, rue des Grands-Augustins 75006 Paris),
constituerait donc une contrefa on sanctionn e par les
articles 425 et suivants du Code p nal.
Introduction
Cet ouvrage sadresse tous les tudiants en 1 re ann e d tudes sup rieures
scientiques (classes pr paratoires et 1er cycle universitaire) d sirant tester loutil
QCM. Ils en d couvriront les nombreuses vertus .
" Par leur caract re ludique, les QCM sont une invitation permanente travailler,
et le faire avec enthousiasme.
" S par s en blocs ind pendants, les QCM se pr tent particuli rement des s quen-
ces de travail de courte dur e ( heure par exemple), propices une concentration
et une efcacit maximales.
" Nexigeant pas de r daction, les QCM renvoient n anmoins la n cessit de
r diger convenablement un brouillon pour aboutir la solution exacte.
" Les QCM confrontent imm diatement l tudiant une valuation sans concession.
Il ny a pas de r ussite approximative, aucune possibilit de biaiser : cest bon ou
cest faux !
" Les QCM, qui ne sont faciles quen apparence, renvoient aux fondamentaux
des programmes, la difficult quil y a finalement ma triser parfaitement des
questions de base, et la n cessit de retravailler constamment ces incontourna-
bles. Les QCM ont la vertu de secouer le cocotier.
" Les QCM poussent finalement l tudiant se remettre en cause dans ses pratiques,
et sinterroger sur la qualit , le plaisir et la gestion du temps, qui sont les
v ritables crit res de la r ussite aux concours.
v
Une grande partie des sujets propos s dans cet ouvrage reprennent, en les adaptant,
les annales des concours de recrutement de l cole Nationale de lAviation Civile
(ENAC) : concours EPL ( l ves Pilotes de Ligne) et concours ICNA (Ing nieurs du
Contr le de la Navigation A rienne).
Les questions ont t regroup es en QCM de 3 ou 4 questions, et class es en quatorze
chapitres th matiques, ce qui permet une utilisation r guli re de louvrage tout au
long de lann e, mesure de lavanc e du programme.
v
Chaque question propose 4 possibilit s de r ponse : A, B, C ou D.
Chaque question comporte exactement z ro, une ou deux r ponse(s) exacte(s).
chaque question, le candidat a donc le choix entre :
" s lectionner la seule r ponse quil juge bonne parmi A, B, C ou D;
" s lectionner les deux seules r ponses quil juge bonnes parmi A, B, C ou D;
" consid rer quaucune des r ponses propos es nest bonne.
3
sommaire
Introduction
Chapitre 1 : Complexes
" QCM 1 : Relations trigonom triques
" QCM 2 : Transformation du plan complexe
" QCM 3 : Interpr tation g om trique
" QCM 4 : quations complexes
Chapitre 2 : Fonctions usuelles
" QCM 1 : Fonction exponentielle
" QCM 2 : Fonctions trigonom triques
r ciproques
" QCM 3 : Calcul dune somme
" QCM 4 : Fonctions arg
" QCM 5 : Fonction d nie par morceaux
Chapitre 3 : quations diff rentielles
" QCM 1 : quation lin aire du 1er ordre
" QCM 2 : Raccordement
" QCM 3 : quation lin aire du 2nd ordre
" QCM 4 : Changement de variable
Chapitre 4 : G om trie du plan et de
lespace Courbes Coniques
" QCM 1 : Courbes param tr es
" QCM 2 : Autour de la cardio de
" QCM 3 : Inverse dune courbe
" QCM 4 : G om trie de lespace et coniques
70
72
74
76
Chapitre 5 : Applications Structures - - -
" QCM 1 : Injections surjections - bijections
" QCM 2 : D nombrement
" QCM 3 : Groupes et morphismes
" QCM 4 : Anneaux Corps - Arithm tique
96
97
99
100
4
3
7
nonc s
8
10
12
14
corrig s
corrig s
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19
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83
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87
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91
95
95
103
103
106
106
107
107
111
111
Chapitre 6 : Suites r elles et complexes
" QCM 1 : Suite r currente
" QCM 2 : Relation de comparaison
" QCM 3 : Suites produits
" QCM 4 : Bornes inf rieure et sup rieure
115
115
corrig s
corrig s
123
123
126
126
130
130
133
133
nonc s
116
117
119
121
Chapitre 7 : Limites Continuit D rivation
" QCM 1 : Limites et continuit sur un intervalle
" QCM 2 : D riv es n mes et prolongement
de fonctions
" QCM 3 : Accroissements nis
" QCM 4 : Convexit
Chapitre 8 : Espaces vectoriels
" QCM 1 : Sous-espaces vectoriels
" QCM 2 : Applications lin aires Noyau
136
137
139
140
156
et image
157
" QCM 3 : Endomorphisme de C ( , )
159
" QCM 4 : Endomorphismes solutions dune quation 161
Chapitre 9 : Polyn mes et fractions
rationnelles
" QCM 1 : Degr et racines
" QCM 2 : Polyn mes scind s
" QCM 3 : Polyn mes de Tchebychev
" QCM 4 : Espaces vectoriels et polyn mes
178
179
180
182
Chapitre 10 : Matrices D terminants
Syst mes
" QCM 1 : Ensemble de matrices Calcul de puissances 198
" QCM 2 : Matrices nilpotentes Changement de base 200
202
" QCM 3 : R solution dun syst me
203
" QCM 4 : Matrice dun endomorphisme
5
135
135
142
142
145
145
149
149
151
151
155
155
163
163
167
167
170
170
173
173
177
177
183
183
187
187
190
190
194
194
197
197
205
205
208
208
211
211
214
214
sommaire
Chapitre 11 : D veloppements limit s
Chapitre 11 : D veloppements limit s
217
217
nonc s
corrig s
corrig s
" QCM 1 : Prolongement par continuit ,
branches innies
" QCM 2 : D rivabilit et quation diff rentielle
" QCM 3 : Courbe param tr e
" QCM 4 : Formule de Taylor-Young
Chapitre 12 : Int gration
" QCM 1 : Existence et propri t s de lint grale
" QCM 2 : Int grale d pendant dun param tre
" QCM 3 : Int gration et alg bre lin aire
" QCM 4 : Fonction d nie par une int grale
218
220
221
223
240
242
244
245
Chapitre 13 : Fonctions deux variables
Int grales doubles
tude m trique des courbes
" QCM 1 : Fonction Cn - Extremum
" QCM 2 : quation aux d riv es dordre 2
" QCM 3 : Aires Int grales doubles
" QCM 4 : tude m trique des courbes
262
263
265
266
Chapitre 14 : Espaces vectoriels euclidiens
Transformations du plan
et de lespace
" QCM 1 : Produit scalaire et polyn mes
orthogonaux
" QCM 2 : Automorphismes orthogonaux de E
" QCM 3 : Isom tries et similitudes du plan
" QCM 4 : Isom tries de lespace
284
286
287
288
225
225
229
229
232
232
236
236
239
239
248
248
252
252
255
255
258
258
261
261
269
269
273
273
277
277
280
280
283
283
291
291
295
295
299
299
301
301
6
chapitre 1
Complexes
nonc s
corrig s
corrig s
" QCM 1 : Relations trigonom triques
" QCM 2 : Application du plan complexe
" QCM 3 : Interpr tation g om trique
" QCM 4 : quations complexes
8
10
12
14
15
15
19
19
23
23
27
27
7
nonc s
> QCM 1 Relations trigonom triques
(dapr s EPL 2008)
" Question 1
Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ?
A
: co
(
(
(s 5(
(
s 5(s 5(
(
(
s 5
) =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
16=
=
16=
=
co
co
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5
+5
+5
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s
+
5
s
5
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+
s
+
+
s
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s
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s
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+
+
5
+ 5
+
+
+
c
c
c
c
c
c
os
B
: co
(
(
(s 5(
(
s 5(s 5(
(
(
s 5
) =
=
=
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=
=
=
=
=
16=
16=
co
co
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
s
s
s
s
s
s
s
s
20
20
20
20
20
20
20
20
20
c
c
c
c
c
c
c
c
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
os
os
+
5
cos
C cos
10
=
5
5
5+5
5
5
5
5
8
D cos
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
10
=
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
8
8
8
8
8
8
8
ca
r
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
cos
c
c
Publicité
0
0
0
0
0
1
1
1
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0
0
0
0
0
1
1
1
10
d
cos
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
" Question 2 (dapr s EPL 2008)
Soit n *. On cherche r soudre
r elle.
n
k
=
1
n
k
cos
(
2
k
) =
0
o est une inconnue
A Si est solution, alors
n
k
=
1
n
k
)
)k(
) (
(
sin (
)k =
2
n
2
.
B
n
k
=
1
n
k
s
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s
s
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(
(
)k
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)k
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)k
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)k
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)
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)
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)k
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)k
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)k
(
)
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)
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)k
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k
k
k
k
k
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k
k
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k
=k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
n
n )
n(
n(
(
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n(
n(
n
n
nos
n
nos
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
cos
2
C Lensemble des solutions est
n
+
+
+
+
+
+
+
k
k
n
,
,
,
k
k
k
k
k
k
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k
k
k
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k
k
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k
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k
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,
k
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k
k
k
k
k
k
k
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k
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k
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k
k
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k
k
k
k
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,
k
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k
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k
k
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k
,
k
k
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k
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k
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,
k
k
k
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k
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k
k
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k
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,
k
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k
k
k
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k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
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k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
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k
k
k
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k
k
k
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k
k
k
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k
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k
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k
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k
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k
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,
k
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k
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k
,
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,
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k
,
k
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,
k
k
,
k
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,
k
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,
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,
k
,
k
,
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,
k
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,
k
,
k
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Publicité
*
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*
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
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k
k
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k
k
k
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k
k
k
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k
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k
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k
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,
,
,
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,
,
,
,
,
,
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,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
k
k
k
.
D Il ny a pas de solution cette quation.
8
chapitre 1 : Complexes
nonc s
" Question 3 (dapr s ICNA 1990)
Soient U
(
,
h
) =
n
1
cos
+(
ph
)
et
V
(
,
h
) =
n
1
sin
+(
ph
)
, avec et h r els
0
non multiples de 2 . On note Z = U + iV.
p
=
)
)
h(
(
)
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)
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)
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A Z
h =
h
h,Z
Z
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,Z
h Z
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h Z
Z
Z
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e
1
1
e
e
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ih
)
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h,
h U
U
h U
U
U
,
,
,
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V
V
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V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
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V
V
V
V
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V
V
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V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
2
2
,
h
,
h
h
h
h
h
h
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h
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h
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h
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h
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h
h
,
,
,
,
h
h
,
h
h
,
h
,
h
,
h
h
h
p
=
0
(
)
)
h(
)
h,(
)
h(
) Z
Publicité
h (
)
h(
B Z
h =
h
h,Z
Z
h,Z
,Z
h Z
Z
h Z
Z
Z
i
e
sin
nh
2
h
2
sin
1
n
s
cos
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
)
h(
)
h,(
)
h(
)
h(
h =
h
h,U
U
D U
h,U
,U
h0U
U
h0U
U
h
U
U
s
s
h
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
sin
sh
sh
h
2
sin
nh
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
" Question 4 (dapr s ICNA 1990)
On pose A h
(
)
=
cos
(
ph
)
et
(
B h
)
=
n
p
=
1
p
sin
(
ph
)
.
n
p
=
1
)
)
(
)
U h(
( )A h( )A h =
)
U h(
)h
(
U h(
U h(
)
A A h U h
U h
,
=
U h
=
U h
U h h
=
)
)
,(
)
)h(
(
U h h(
)
U h(
( )A h( )A h =
B A h U h
C B h
( )B h( )B h =
dA
dh
( )h( )h
sin
D A h
( )A h( )A h =
h
1+
1n2
1n +2
2
n
2
h
2
sin
1
2
2
9
nonc s
> QCM 2 Application du plan complexe
(dapr s EPL 2006)
Le plan complexe est rapport un rep re orthonorm direct O u,
,
. On consi-
d re une transformation qui tout point m dafxe le nombre complexe non nul z,
associe le point M dafxe le nombre complexe Z v riant l quation :
v
Z
=
1
z
+2
2
z
(H)
" Question 1
On note z = r.ei la forme trigonom trique du complexe z.
A Z na pas toujours de forme trigonom trique.
B La forme trigonom trique de Z s crit
1
2
r
.
2
e i
C La forme trigonom trique de Z s crit 1
D La forme trigonom trique de Z s crit 1
+
1
2
r
1
2
r
e i .
2
e i .
2
" Question 2
La partie r elle de Z s crit :
A
1
2r
cos
(
2
)
B 1
+
1
2
r
(
cos
2
)
La partie imaginaire de Z s crit :
C sin(2 )
D
1
2r
(
sin
2
)
10
chapitre 1 : Complexes
nonc s
" Question 3
Soit Z un complexe, distinct de 1, repr sent sous forme cart sienne par le
nombre X + iY, o X et Y sont deux nombres r els. Pour un tel Z, on note z = x + iy
un complexe solution, sil en existe, de l quation (H). On a n cessairement :
A X ` 1 et Y ` 0
x
C x
x
x
x
2
2
2
2
y
y
y
y
y
=
=
X
1
)
)
Y2
2
Y 2
Y
Y
X
X
Y+
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
1X
Y
1X
X
X
(
B
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2+
2
y
y
y
y+
+
y
y
y+
y
y
=
=
=
=
X
1
)
)
Y2
2
Y 2
Y
Y
X
X
Y+
X
Y
X
1X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
1X
Y
X
X
(
D 2
xy
=
Y
)
)
Y2
1 2
Y2
Y
X
X
Y+
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
1
Y
1X
X
X
Y
(
2
" Question 4
Soit Z un complexe non nul, distinct de 1, de forme trigonom trique Rei . Pour
un tel Z, on note z = rei un complexe solution, sil en existe, de l quation (H).
On a n cessairement :
A R ` 1 ou `0
B R ` 1 et `2 k , o k
C r
2
=
1
1 2
1 2
1 2
1 2
+
+
2R
2R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R cos
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
D r
2
=
1
2R
2R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
+
+
1 2
1 2
1 2
1 2
R cos
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
" Question 5
On suppose dans cette question que le poin...