Transformée de Fourier discrète et structures musicales

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Définition et propriétés élémentaires de la transformée de Fourier discrète

Les c valeurs complexes de F(f ) sont les coefficients de Fourier de f . On parle parfois

d’espace de Fourier pour désigner l’espace d’arrivée de F(f ).

Elle réalise une bijection entre l’espace des fonctions de Zc dans C et l’espace de

Fourier, par l’opération de transformée de Fourier inverse :

∀t ∈ Zc, f (t) =

1 c

c (cid:88)

k=1

F(f )(k)e2iπkt/c

Ainsi la donnée des coefficients de Fourier de f est équivalente à la donnée des valeurs

de la fonction f elle-même.

La transformée de Fourier discrète est une opération linéaire. Elle transforme un produit de convolution en produit usuel : F(f ∗ g) = F(f ).F(g) (la démonstration de ce résultat est bien connue, voir par exemple [2]).

Dans le cas qui nous intéresse, celui de sous-ensembles du groupe cyclique Zc, on définit, à la manière de Lewin, la transformée de Fourier de A ⊂ Zc comme la transformée de Fourier de sa fonction indicatrice :

FA(t) = F(1A)(t) =

(cid:88)

k∈Zc

1A(k)e−2iπkt/c =

e−2iπkt/c

(cid:88)

k∈A

On se place en fait dans un cas très particulier de la définition : les fonctions considé- rées ne sont plus à valeurs dans C mais dans {0, 1}. Ceci implique de fortes contraintes quant aux valeurs des coefficients de Fourier, comme nous allons le voir.

D’après la définition, on a directement FA(−t) = FA(t), c’est-à-dire que les coeffi- cients sont réels ou conjugués deux à deux. Le premier coefficient de Fourier FA(0) est égal au cardinal de A. Par simple inégalité triangulaire, on a également la relation, pour tout t ∈ Zc, |FA(t)| ≤ card(A).

Si A = Zc, on a FZc = c1{0} :

FA(t) =

(cid:88)

k∈Zc

e−2iπkt/c =

(cid:26) c

si t = 0

0 sinon

(1.1)

Si A est un sous-groupe de Zc, c’est-à-dire si A est de la forme m{0, . . . , d − 1} (que l’on représentera donc par un polygone régulier inscrit dans le cercle) où d est un diviseur de c et m = c/d, alors FmZd = d1dZm :

FA(t) =

(cid:88)

k∈mZd

e−2iπkt/c =

(cid:88)

k∈Zd

e−2iπkt/d =

(cid:26) d si t = nd, n ∈ N

0 sinon

C’est dans ce cas seulement (à translation près) qu’on peut avoir |FA(t)| = card(A)

avec t (cid:54)= 0.

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Théorème de l’hexacorde

Enfin si A possède une périodicité interne, i.e. s’il existe 1 < d < c tel que A + d = A,

alors pour m = c/d, si t (cid:54)∈ mZc, FA(t) = 0. En effet, dans ce cas on a pour tout t

donc si t n’est pas un multiple de m, FA(t) est nécessairement nul.

FA(t) = e− 2iπt

m .FA(t)

La TFD est enfin un outil de choix pour l’étude des pavages (voir par exemple [14], [13]). On dit qu’une partie A de Zc pave Zc s’il existe une partie B de Zc telle que Zc = A ⊕ B, c’est-à-dire telle que tout entier k s’écrive de manière unique sous la forme a + b (modulo c), avec (a, b) ∈ A × B. Cette condition est équivalente à 1A ∗ 1B = 1Zc, donc par transformée de Fourier à FA.FB = FZc = c1{0}. Les ensembles A et B pavent Zc si et seulement si

(cid:26) |A|.|B| = c

Z(FA) ∪ Z(FB) = Zc\{0}

où Z(f ) = {x : f (x) = 0} est l’ensemble des zéros de la fonction f .

Par exemple on peut voir ci-dessous un canon rythmique sur Z16, où A = {0, 4, 5, 9}, et B = {0, 2, 8, 10}, représenté à gauche de la figure, et les valeurs de |FA| et |FB| à droite : on voit qu’à chaque t (cid:54)= 0, l’un des deux modules s’annule.

Figure 1.3 – Coefficients de Fourier d’un canon rythmique

1.4 Théorème de l’hexacorde

Un résultat bien connu de la set-theory est le théorème de l’hexacorde, découvert par Milton Babbitt en 1955 ([5]), puis démontré de différentes façons par Chemillier, Lewin, Wilcox, Mazzola. . . Ce résultat fait intervenir le contenu intervallique d’un accord, qui est simplement la fonction intervallique d’un accord avec lui-même, ce que l’on peut écrire formellement

ICA : k ∈ Zc (cid:55)→ card{(x, y) ∈ A × A, y − x = k}

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Invariance du module

Le théorème énonce que tout hexacorde (ensemble de 6 notes) possède le même contenu intervallique que son complémentaire. Emmanuel Amiot a publié dans [1] une preuve très concise de ce résultat utilisant la transformée de Fourier, et que nous allons reprendre ici.

ICA peut s’écrire comme le produit de convolution 1A ∗ 1−A. Donc, par transformée

de Fourier, F(ICA) = FA.F−A. Par définition, on a immédiatement F−A = FA, donc

F(ICA) = |FA|2

(1.2)

Soit A un hexacorde et B son complémentaire, alors :

FA(t) + FB(t) = FZ12(t)

(linéarité de F)

= 0 si t (cid:54)= 0 (d’après (1.1))

Donc pour t (cid:54)= 0, FA(t) = −FB(t), et FA(0) = FB(0) = 6. Alors |FA| = |FB|, d’où F(ICA) = F(ICB) et comme la transformée de Fourier caractérise complètement une (cid:3) fonction, ICA = ICB.

Ce résultat s’étend évidemment à toute cardinalité paire n autre que 12, un « hexa- corde » désignant alors un ensemble de n/2 notes. John Mandereau a étendu dans [20] ce théorème au cas continu, en se plaçant sur un groupe topologique.

1.5

Invariance du module

Le module des coefficients de Fourier possède des propriétés d’invariance par certaines relations mathématiques aptes à modéliser des opérations musicales pertinentes. On va retrouver les opérations de la set-theory musicale américaine (voir [11]).

1.5.1 Actions de groupes

Dans notre modèle, la modulation d’un accord ou d’une gamme, qui est un translation dans le domaine des hauteurs, est une translation de l’ensemble A. La transformée de Fourier de l’ensemble translaté A + p est

FA+p(t) = e−2iπt/cFA(t)

L’opération d’inversion (A (cid:55)→ −A) laisse elle aussi le module inchangé :

F−A(t) = FA(t)

Le module des coefficients de Fourier est invariant par l’action du groupe diédral D2c. Signalons au passage l’action du groupe affine, utilisé en musique notamment par Estrada : pour d premier avec c,

FdA(t) = FA(dt)

(1.3)

8

Invariance du module

Contrairement aux opérations du groupe diédral, la multiplication affine permute les

coefficients de Fourier, elle ne préserve donc pas la fonction |F(t)|.

Cette préservation des modules par l’action du groupe diédral invite à travailler sur l’ensemble des parties de Zc quotienté par D2c, en considérant des classes d’équivalence de sous-ensembles du groupe cyclique. Les actions du groupe diédral correspondent aux opérations T /I (transposition/inversion) de la set-theory, les espaces quotients découlant de celles-ci ont été largement étudiés par Quinn, Callender et Tymoczko dans [7]. Mais la relation d’équivalence A ∼ B ⇔ |FA| = |FB| donne des classes d’équivalence plus grandes, comme nous avons le voir maintenant.

1.5.2 Z-relation, homométrie

La Z-relation a été introduite par Allen Forte dans [11]. On la définit comme suit :

A et B sont en Z-relation ⇔ ICA = ICB

D’après l’équation (1.2), cette relation équivaut à |FA| = |FB|. On voit directement que le cas de deux hexacordes complémentaires est un cas particulier de cette relation, et que l’appartenance à la même orbite pour l’action de D2c implique la Z-relation. Dans ce dernier cas, où A et B sont liés par transposition/inversion, on parle de Z-relation triviale. La définition originelle de cette relation exclut ce cas trivial, ce qui peut sem- bler légitime, mais pose problème mathématiquement : la relation définie alors, n’étant pas réflexive, n’est pas une relation d’équivalence. Nous considérons dans la suite la Z- relation au sens large, cas triviaux compris, ce qui nous autorise à écrire A ∼Z B.

La question de savoir, connaissant un ensemble, s’il en existe qui soient en Z-relation non triviale avec lui, est encore ouverte. Le théorème de l’hexacorde permet, pour un cardinal bien précis, et dès lors que les classes d’équivalence sous l’action de D2c de l’ensemble et de son complémentaire sont disjointes, d’expliciter de tels couples. Le plus « simple » apparaît sur Z8, voir figure 1.4.

Figure 1.4 – Plus petite Z-relation non triviale

9

Extensions possibles du modèle

Par les propriétés d’invariance du module sous l’action de D2c, les classes d’équiva- lence de la Z-relation contiennent les orbites de l’action du groupe diédral, elles sont strictement plus grandes s’il existe une relation non triviale. Mandereau, dans [20], a démontré que la Z-relation n’est pas une action de groupe : il n’existe pas de groupe H tel que P(Zc)/H = P(Zc)/ ∼Z. De ce fait les grands théorèmes d’algèbre (notam- ment l’équation de Burnside-Frobenius) ne peuvent malheureusement pas s’appliquer (du moins pas directement) à ce problème.

Le fait que les orbites de P(Zc) sous l’action de D2c soient incluses dans les classes d’équivalence de la Z-relation permet de considérer celle-ci non plus entre des éléments de P(Zc) mais entre des orbites de ceux-ci par translation/inversion. En effet d’après ce qu’on a vu, si A ∼Z B, alors pour tout C dans l’orbite de B sous l’action de D2c, A ∼Z C. D’autre part, puisque pour t (cid:54)= 0, FAc(t) = −FA(t) (d’après 1.1), donc |FAc(t)| = |FA(t)|, on a

De même, d’après (1.3), pour d premier avec c

A ∼Z B ⇔ Ac ∼Z Bc

A ∼Z B ⇔ dA ∼Z dB

La Z-relation est en fait un cas particulier de l’homométrie, notion originaire du domaine de la cristallographie, où la question est de retrouver la structure d’un cristal à partir de sa figure de diffraction. Musicalement, le but est de reconstruire un accord à partir de son contenu intervallique, ou, de manière équivalente, des modules de ses coefficients de Fourier. Notons que cette question est proche de celle posée par Lewin dans [17]. Cette problématique de la reconstruction de la phase est toujours ouverte, et fait l’objet de nombreux travaux de recherche actuels ([16], [21]), où la transformée de Fourier apparaît comme un outil indispensable.

1.6 Extensions possibles du modèle

Il est possible d’envisager des modèles plus riches que le nôtre et qui se prêtent encore bien à l’analyse par la TFD. Tout d’abord, il est possible de passer aisément des sous- ensembles aux distributions sur Zc, c’est-à dire de considérer non plus des fonctions f de Zc à valeurs dans {0, 1}, mais dans [0, 1], voire dans R. La fonction de départ étant toujours à valeurs réelles, les coefficients restent conjugués deux à deux dans l’espace de Fourier. En effet :

f est à valeurs réelles ⇔ f (k) = f (k) pour k ∈ Zc (cid:88)

(cid:88)

⇔

f (k)e−2iπkt/c =

f (k)e−2iπkt/c pour t ∈ Zc

⇔

k∈Zc (cid:88)

k∈Zc

f (k)e−2iπkt/c =

k∈Zc (cid:88)

k∈Zc

f (k)e2iπkt/c

⇔ F(f )(t) = F(f )(−t)

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Extensions possibles du modèle

Dans ce cas, le premier coefficient F(0) vaut (cid:80) tion du cardinal d’un ensemble aux distributions.

k∈Zc

f (k), ce qui étend bien la défini-

Ce modèle permet par exemple de tenir compte de nuances au sein d’un rythme ou d’un accord. La présentation de ce travail faite le 18 juin au Palais de la Découverte dans le cadre du festival Agora utilisait ce modèle : il s’agissait d’un dispositif où l’utilisateur module l’intensité de 8 attaques de percussion, jouées en boucle, et peut ainsi créer un rythme puis le modifier en jouant sur les nuances. À l’écran est représenté l’espace de Fourier, où apparaissent les huit coefficients de la distribution f à valeurs dans [0, 1] ainsi définie. Il est ensuite possible de passer au rythme inverse, en prenant les conjugués des coefficients (symétrie par rapport à l’axe réel), ou au « complémentaire » (opération étendue par x (cid:55)→ 1 − x), en prenant les opposés des coefficients F(t), t (cid:54)= 0 (symétrie par rapport à l’origine), et donnant à F(0) la valeur 8 − (cid:80)

f (k).

k∈Z8

Thomas Noll et Martin Carlé ont proposé l’approche du Fourier scratching (voir [4], [22]), impliquant un troisième modèle. Le principe est d’agir directement dans l’espace de Fourier en déplaçant les coefficients librement sur le plan complexe, afin d’obtenir de nouveaux motifs musicaux par transformée de Fourier inverse. La figure 1.5 montre l’interface du dispositif, à gauche est représenté le motif musical, à droite les coefficients de Fourier, tous deux sur une sphère de Riemann.

On a vu que pour qu’une fonction soit réelle, il faut que ses coefficients soient conju- gués deux à deux, ce qui impliquerait de déplacer simultanément deux points. Le choix fait ici est, à l’inverse, d’étendre le domaine de la fonction modélisant le motif musical à tout C. Les valeurs prises par f ne paramètrent donc plus de la même façon le motif musical joué. L’intensité sonore est donnée par le module de f (bien évidemment ajus- tée par une fonction bornée), et la « couleur sonore » (concrètement des paramètres de synthèse FM) est donnée par la phase.

Ce dernier modèle, bi-dimensionnel, est bien plus sophistiqué que les précédents. S’il permet un rendu sonore musicalement plus intéressant, moins austère, sa complexité rend plus délicate la mise en évidence de propriétés remarquables, et nous n’avons pas cherché à l’exploiter sur le plan théorique. Ce dispositif a d’ailleurs été conçu dans un but de performance musicale et non d’analyse.

Figure 1.5 – Interface du Fourier scratching (source : [22])

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Pistes concernant l’homométrie

1.7 Pistes concernant l’homométrie

À défaut d’apporter de réels éléments de réponse au problème de la reconstruction de la phase, nous présentons ici deux pistes novatrices, qui, nous l’espérons, pourront être reprises avec profit à l’avenir.

1.7.1 Espace de définition des phases

La première approche, proposée par Emmanuel Amiot, est topologique. On a constaté que la donnée des modules des coefficients de Fourier caractérisait des classes d’équiva- lence pour la relation Z, qui sont des réunions d’orbites (éventuellement une seule) pour l’action de D2c sur l’ensemble des parties de Zc, elles-mêmes de cardinal variable se- lon l’existence ou non de symétrie ou période internes. Cela signifie qu’en changeant les phases des coefficients, il est possible de parcourir l’ensemble des éléments de cette classe d’équivalence. La phase étant périodique, c’est-à-dire paramétrable par le cercle S1, l’idée est alors de paramétrer l’ensemble des phases par un point d’un tore.

La phase d’un nombre complexe nul n’étant pas définie, il est nécessaire de faire attention aux coefficients de Fourier nuls (ou encore : aux F ourierP roperties) pour bien définir l’espace auquel on va s’intéresser. Pour un ensemble A ⊂ Zc, notons nA le nombre de coefficients de Fourier nuls : seules c − nA phases sont donc définies. Si l’on veut rester dans le cadre des distributions réelles sur Zc, il est nécessaire d’une part d’avoir F(0) réel, et d’autre part de conserver la relation F(t) = F(−t), ce qui va diviser le nombre de degrés de liberté par deux (changer la phase de F(t) d’un angle θ implique de changer la phase de F(−t) de −θ). Enfin, dans le cas où c est pair, F(c/2) doit être réel. Soit FA(c/2) est nul, auquel cas la phase, n’étant pas définie, ne pourra pas varier, soit FA(c/2) est non nul, et sa phase peut valoir 0 ou π.

Pour résumer : si c est impair, ou bien si c est pair et FA(c/2) = 0, alors on peut paramétrer l’ensemble des phases des coefficients de Fourier par un point du tore Td = (cid:81) S1, où d = c−nA−1 . Si c est pair, et FA(c/2) non nul, on doit se placer sur l’espace Td × {0, π}, avec cette fois d = c−nA−2 , ce qui correspond topologiquement à la réunion de deux tores.

k=1...d

2

2

Pour un ensemble A, l’espace ainsi défini contient les points paramétrant chacun des éléments de la classe d’équivalence de A par la relation Z. On peut alors se poser la question de savoir si les différences de cardinal de cette classe (dans le cas où A possède un axe de symétrie, i.e. A = −A + k, ou une période interne, i.e. A = A + k, avec k (cid:54)= c, ce qui correspond aux modes à transpositions limitées d’Olivier Messiaen), et l’existence de relation Z non triviale, correspondent à des cas de figure particuliers de cet espace topologique. De plus cet espace permet de faire varier continûment les phases, et donc de passer d’un sous-ensemble, c’est-à-dire d’une fonction à valeurs dans {0, 1}, à un autre par l’intermédiaire de distributions à valeurs dans R.

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Pistes concernant l’homométrie

1.7.2 Quasi-recouvrement du cercle

Cette dernière remarque concerne la structure des Z-familles, c’est-à-dire les en- sembles d’ensembles en relation Z non triviale (ou encore : les classes d’équivalence de la Z-relation quotientées par le groupe diédral). Cela revient à considérer la relation Z non plus entre des ensembles A et B mais entre leurs orbites par l’action de D2c.

Une structure remarquable de Z-familles est celle des hexacordes complémentaires, pour lesquels, avec les bons représentants des deux ensembles, A ∪ B = Zc. Nous avons observé une structure intéressante, mais non générale, pour d’autres familles.

Sur Z12, les ensembles {0, 1, 3, 7} et {0, 1, 7, 9} sont en Z-relation ; on peut choisir des transpositions/inversions particulières A et B de ces deux ensembles telles que (A∪B)c = {0, 3, 6, 9} = 3Z4. Pour les ensembles de cardinal 5, on a trois Z-familles, dont deux ont cette même propriété (i.e. on peut recouvrir Z12 moins un sous-groupe, dans ce cas 6Z2). Les ensembles de cardinal 5 sur Z15 permettent de même d’avoir (A ∪ B)c = 3Z5 (voir figure 1.6).

Pour c = 18 un phénomène semblable mais plus complexe apparaît : les ensembles A = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 13} et B = {1, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 17} sont en Z-relation, et ont la structure remarquable

(cid:26) (A ∩ B) = 6Z3 + 1 (A ∪ B)c = 6Z3 − 2

Si cette observation ne se généralise pas à toutes les Z-familles (sur Z12 il existe une paire d’ensembles de cardinal 5 qui n’a pas cette structure), elle semble être suffisamment fréquente pour mériter d’être étudiée plus en profondeur. Du fait de ses propriétés et valeurs remarquables pour des sous-groupes, la transformée de Fourier peut être un outil adapté pour cela.

Figure 1.6 – Z-familles de cardinal 5 dans Z15

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Chapitre 2

Gammes et structures bien réparties

La notion de gamme bien répartie, ou GBR, a été introduite en musique par John Clough et Jack Douthett, théoriciens de la musique appartenant à la tradition diatonique américaine, dans [9]. En plus d’être pertinente sur le plan musical, de part la quantité de structures rythmiques et harmoniques qu’elle permet de caractériser, elle trouve des applications dans d’autres domaines, notamment en physique (voir [10]). Après avoir dé- fini ces objets, nous verrons que les étudier via la TFD donne des résultats intéressants. L’essentiel de cette partie est inspiré de [2].

2.1 Définition originelle

Avant d’arriver à un formalisme mathématique clair, nous allons partir de l’approche géométrique, donnant bien l’intuition de ce qu’est une GBR. Une gamme bien répartie à d éléments sur Zc, notée GBRc,d, désigne la répartition de d points parmi c la plus homogène possible. Avec la représentation circulaire, cela revient à trouver la meilleure approximation du polygone régulier à d côtés par une sous-figure du polygone à c côtés. Dans le cas où d divise c, la gamme bien répartie est le polygone régulier, ou c’est-à-dire le sous-groupe mZd, avec m = c/d.

Une première construction possible pour arriver à cette approximation consiste à superposer deux cercles discrétisés l’un en d parties égales, l’autre en c − d partie égales, de façon à ce qu’aucun point n’en recouvre un autre. Ce procédé est illustré figure 2.1 : la répartition des points noirs sur le dernier cercle donne l’ensemble {0, 3, 5} = GBR7,3. La rotation appliquée au second cercle peut sembler arbitraire, et c’est bien le cas : un autre choix aurait pu donner un résultat différent pour GBR7,3, mais celui-ci aurait été un translaté de {0, 3, 5}. L’homogénéité de la répartition des points blancs et noirs sur le cercle n’est pas affectée par une rotation de celui-ci, il est donc souhaitable d’arriver à la définition d’une classe d’équivalence par translation plutôt qu’à un unique ensemble. L’approche géométrique exposée ici, si elle est la plus intuitive, manque d’un forma- lisme permettant des définitions et des raisonnements mathématiques rigoureux. Il est nécessaire de poser une définition plus formelle des gammes bien réparties.

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Définition originelle

Figure 2.1 – Construction géométrique d’une GBR7,3 (source : [10])

La définition proposée dans [9] reprend l’idée de l’approximation d’un polygone ré- gulier avec une approche arithmétique. La gamme bien répartie est définie non comme un ensemble mais comme une suite ordonnée (ak)k∈Zd, où pour α ∈ Zc,

ak = J α

c,d(k) =

(cid:23)

(cid:22) kc + α d

(cid:98)x(cid:99) désignant la partie entière de x. Le paramètre α permet de considérer les différentes rotations du cercle. Notons une propriété remarquable (démontrée plus loin) des gammes bien réparties : le complémentaire d’une GBR est encore une GBR. Intuitivement, si l’on revient au modèle purement géométrique exposé figure 2.1, on voit que le complémen- taire de la GBR7,3 (points noirs) s’obtient en considérant les points blancs, c’est-à-dire en construisant GBR7,4 avec la même méthode.

Pour c = 12, d = 7, α = −1, les valeurs de ak décrivent la gamme diatonique, i.e. les touches blanches du piano ; pour d = 5, α = 6, elles correspondent aux touches noires, c’est-à-dire à la gamme pentatonique, complémentaire de la précédente. De nom- breux rythmes courants dans différentes musiques peuvent également être vus comme des gammes bien réparties (voir à ce sujet [25]). La clave Bembé par exemple, fréquente en musique africaine ou cubaine, décrit le même polygone que la gamme diatonique : la GBR12,7 modélise aussi bien un motif rythmique qu’une échelle harmonique courants dans la musique « traditionnelle ». Pour cette raison, on parlera désormais de structure bien répartie, ou SBR, afin d’insister sur la généralité de cet objet.

Figure 2.2 – Clave Bembé, gamme diatonique, représentation circulaire

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Typologie des structures bien réparties

2.2 Typologie des structures bien réparties

Nous allons reprendre la classification de [2], inspirée de [23], sans donner les démons- trations de tous les résultats (dont certaines découlent plus simplement de la définition équivalente des SBR que nous donnerons à la fin de cette partie). Il existe trois types de structure bien répartie selon la valeur de m = pgcd(c, d) :

– on a une SBR de type I lorsque m = 1. Dans ce cas l’ensemble des valeurs prises par (ak) est égal, à translation près, à d−1{0, . . . , d − 1}, où d−1 désigne l’inverse de d pour la multiplication sur Zc,

– on a une SBR de type IIa dans le cas où m = d, c’est-à-dire si d divise c. Alors

SBRc,d est la division régulière du cercle en d parties,

– si 1 < m = c − d < d, on a une structure bien répartie de type IIb. Il s’agit alors

du complémentaire d’une structure de type IIa,

– on a une SBR de type III dans le cas restant, i.e. si 1 < m < d et m (cid:54)= c − d.

Figure 2.3 – Structures bien réparties de type I, IIa, IIb et III

Les types II et III regroupent toutes les structures bien réparties possédant une période interne. On peut en fait toujours se ramener à des SBR de type I en obser- vant que toutes les autres sont constituées de réunions de translatées de SBRc(cid:48),d(cid:48), avec c(cid:48) = c/m, d(cid:48) = d/m par le sous-groupe c(cid:48)Zm. Ainsi, dans les exemples de SBR figure 2.3, SBR12,4 est bien égal à SBR3,1 ⊕ 3Z4, SBR3,1 valant simplement {0}. De même, SBR12,8 = SBR3,2 ⊕ 3Z4, et SBR14,6 = SBR7,3 ⊕ 7Z2. On peut donc dire que les SBR de type I sont fondamentales.

Seules les SBR de type I existent pour toute valeur de c. Celles de type II existent

dès lors que c est composé, et celles de type III si c est composé et c > 12 (voir [2]).

2.3 Coefficients de Fourier d’une SBR

Avant de donner une définition équivalente des structures bien réparties utilisant les modules des coefficients de Fourier, nous donnons un résultat inédit, concernant la valeur des coefficients de Fourier d’un tel objet. Pour cela, on ne considère plus une SBR comme une suite ordonnée (ak)k, mais comme l’ensemble {ak} de ses valeurs.

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Coefficients de Fourier d’une SBR

Théorème. Soit d premier avec c, l = d−1 l’inverse multiplicatif de d sur Zc. Soit A la structure bien répartie à d éléments, et Bl le cluster chromatique à l éléments, i.e. {0, . . . , l − 1}. Pour tout t (cid:54)= 0,

FBl(t) =

1 FA(t)

Démonstration. A est une structure bien répartie de type I que l’on peut exprimer par A = −dBl. On note Bd le cluster chromatique à d éléments {0, . . . , k − 1}. Considérons alors, dans Z, l’ensemble Bd + dBl :

Bd + dBl = {0, . . . , d − 1} ⊕ d{0, . . . , l − 1}

= {0, . . . , d − 1, d, d + 1, . . . , d − 1 + d(l − 1)}

=

0, dl − 1 (cid:75) (cid:74)

Notons a = (dl − 1)/c (calculé dans Z). Si on quotiente cet ensemble modulo c, puisque dl − 1 = 0, on obtient le multi-ensemble ({0, . . . , c − 1}, m), où la multiplicité m(t) = a pour t (cid:54)= 0, et m(0) = a + 1.

On peut écrire le produit de convolution

1Bd ∗ 1dBl(t) =

(cid:88)

x∈Zc

1Bd(x)1dBl(t − x) = m(t)

En appliquant la transformée de Fourier à cette expression, on obtient

FBd.FdBl = F(m)

Or, m = a1Zc + 10, et on sait que pour tout t (cid:54)= 0, FZc(t) = 0, donc par linéarité de

F, on a, pour t (cid:54)= 0,

FBd(t).FdBl(t) = F0(t) = 1

(2.1)

D’où la relation annoncée dans le théorème : il est possible de passer à l’inverse

puisque les deux fonctions FBd et FdBl sont bien définies sur Zc.

Géométriquement, cela signifie que les coefficients de Fourier d’une structure bien répartie sont les inverses (au sens de l’inversion par rapport au cercle unité z (cid:55)→ 1/|z|), de ceux d’un cluster chromatique.

Corollaire. Les coefficients de Fourier d’un cluster chromatique de cardinal premier avec c sont tous non nuls.

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Coefficients de Fourier d’une SBR

Cette démonstration, utilisant les propriétés remarquables de la transformée de Fou- rier discrète, est la première que nous ayons proposée pour ce théorème. Emmanuel Amiot a remarqué qu’il était possible de montrer bien plus rapidement la relation (2.1) en revenant à la définition même de F. Le résultat provient alors simplement des règles élémentaires du calcul complexe.

Pour l’instant seules les structures de type I sont concernées, mais on peut généraliser ce théorème à toutes les autres. Considérons A = SBRc,d, avec m = pgcd(c, d) (cid:54)= 1. Alors, avec les notations utilisées plus haut, A est c/m-périodique, de la forme A(cid:48) ⊕ c(cid:48)Zm, où A(cid:48) = SBRc(cid:48),d(cid:48) est de type I. Notons B(cid:48) = {0, . . . , l−1} le cluster chromatique de cardinal l = d(cid:48)−1 (inverse multiplicatif sur Zc(cid:48)), et B l’ensemble B(cid:48) ⊕ c(cid:48)Zm. On sait alors que pour t (cid:54)= 0

Ensuite, on a

FA(cid:48)(t).FB(cid:48)(t) = 1

FA(mt) =

(cid:88)

−2iπkmt c

e

=

k∈A (cid:88)

k∈Zc

1A(k)e

−2iπkt c(cid:48)

= m

(cid:88)

k∈Z

c(cid:48)

1A(cid:48)(k)e

−2iπkt c(cid:48)

= m.FA(cid:48)(t)

et on a de même FB(mt) = mFB(cid:48)(t), d’où

FA(mt).FB(mt) = m2

A et B étant c(cid:48)-périodiques, on sait que FA(t) = FB(t) = 0 pour tout t (cid:54)∈ mZc(cid:48). On

peut donc généraliser le théorème.

Théorème. Pour d < c, soient