Transferts thermiques. Introduction aux transferts d’énergie

5.1.4 Retour sur l’exemple de la filière

5.1.5 Exemple 2 : interface solide-liquide, front de fusion

120

120

120

122

123

123

125

125

127

5.3 Applications simples : transferts dans une conduite ; échangeurs de chaleur 130

130

131

133

133

138

139

140

5.3.1 Hypothèses simplificatrices

5.3.2 Bilan d’énergie en régime stationnaire

5.3.3 Exercice d’application

Exercice 5.1. Performances comparées d’échangeurs de chaleur

5.4 Analyse dimensionnelle en convection forcée

5.4.1 Notion élémentaire de viscosité

5.4.2 Nombres caractéristiques clés

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V

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d’énergie

5.4.3 Interprétation physique des nombres caractéristiques

5.4.4 Notion de similitude en convection forcée

5.4.5 Transition entre régimes laminaire et turbulent

5.5 Convection forcée externe

5.5.1 Convection forcée externe laminaire

5.5.2 Convection forcée externe turbulente

5.5.3 Exercice d’application

Exercice 5.2. Refroidissement d’une plaque

5.6 Convection forcée interne

5.6.1 Convection forcée interne laminaire

5.6.2 Convection forcée interne turbulente

5.6.3 Comparaison entre les transferts turbulents le long d’une plaque

et dans un tube

5.6.4 Autres écoulements internes ; notion de diamètre hydraulique

5.6.5 Exercice d’application

Exercice 5.3. Écoulement dans un tube

5.7 Convection naturelle externe

5.7.1 Analyse dimensionnelle en convection naturelle externe le long

d’une plaque verticale

5.7.2 Transition entre régimes laminaire et turbulent le long d’une plaque

verticale

5.7.3 Principaux résultats pratiques de convection naturelle externe

5.7.4 Exercice d’application

Exercice 5.4. Chauffage d’une pièce

5.8 Convection naturelle interne

5.8.1 Exercice d’application

Exercice 5.5. Lame d’air d’un double vitrage

5.9 Convection mixte : compétition entre convection forcée et convection

naturelle

Problèmes de synthèse de la partie 1

1 Circuit de refroidissement d’un moteur fusée cryogénique

2 Thermique élémentaire d’un réacteur à neutrons rapides

3 Dimensionnement d’un capteur solaire thermique

4 Effet de serre atmosphérique

PARTIE 2

TRANSFERTS THERMIQUES AVANCÉS

Chapitre 6. Rayonnement des milieux denses et des gaz

6.1 Généralités

6.2 Phénomènes volumiques d’absorption, d’émission et de diffusion

6.2.1 Absorption

6.2.2 Émission

6.2.3 Diffusion

6.3 Équation de transfert du rayonnement

VI

142

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145

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175

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176

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179

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187

193

199

201

202

202

203

205

207

Table des matières

6.3.1 Formulation locale de l’équation de transfert

6.3.2 Couplage avec l’équation de bilan d’énergie

6.3.3 Formulation intégrale de l’équation de transfert

6.3.4 Conditions aux limites de l’équation de transfert

6.3.5 Échelles caractéristiques du rayonnement

6.4 Transferts radiatifs en géométrie monodimensionnelle

6.4.1 Mur plan homogène et isotherme (sans diffusion)

6.4.2 Exercice d’application

Exercice 6.1. Sphère homogène et isotherme (non diffusante)

6.4.3 Mur plan non diffusant hétérogène et anisotherme

6.5 Cas limites de milieux optiquement minces ou optiquement épais

6.5.1 Milieu hétérogène et anisotherme optiquement mince : moyenne

de Planck

6.5.2 Milieu hétérogène et anisotherme optiquement épais : loi de Fourier

radiative ; moyenne de Rosseland

6.6 Méthode de dimensionnement : hémisphère équivalente de Hottel

6.6.1 Principe de la méthode

6.6.2 Exercice d’application

Exercice 6.2. Transferts radiatifs dans un tube

6.7 Exemples simples de transferts radiatifs avec diffusion

6.7.1 Conductivité radiative d’un milieu diffusant et absorbant

optiquement épais

6.7.2 Exercice d’application

Exercice 6.3. Caractérisation d’un milieu poreux diffusant

6.8 Méthodes générales de transfert radiatif

6.8.1 Méthode de tracés de rayons

6.8.2 Méthodes d’interpolation et d’ordonnées discrètes

6.8.3 Principe de réciprocité, méthode des zones

6.8.4 Méthode de Monte-Carlo appliquée aux transferts

6.8.5 Approximation différentielle : méthodes P1,P3,...,P2n+1

Chapitre 7. Propriétés radiatives des milieux

7.1 Propriétés radiatives des milieux denses

7.1.1 Milieux denses non diffusants dans des conditions

de laboratoire

7.1.2 Propriétés radiatives d’une assemblée de particules

7.1.3 Matériaux réels

7.2 Propriétés radiatives des gaz

7.2.1 Approche raie par raie

7.2.2 Les phénomène de corrélations spectrales

7.2.3 Modèle statistique à bandes étroites

7.2.4 Modèle CK

7.2.5 Modèles globaux

7.2.6 Comparaison entre modèles approchés

7.2.7 Abaques de Hottel

.

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274

275

278

281

286

289

291

292

VII

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d’énergie

Chapitre 8. Équations générales de la convection ((cid:2)uide monophasique)

8.1 Équations de bilan pour un fluide homogène

8.1.1 Dépendance en température et pression des grandeurs

thermophysiques

8.1.2 Bilan de quantité de mouvement

8.1.3 Bilan d’énergie

8.2 Équations de bilan pour un fluide hétérogène

8.2.1 Bilan de masse d’une espèce

8.2.2 Bilan d’une grandeur relative à une espèce s

8.2.3 Bilan d’énergie d’un fluide monophasique hétérogène

8.3 Équations de bilan adimensionnées (transformations isovolumes)

8.3.1 Convection thermique

8.3.2 Convection avec transfert de masse

8.4 Analogie entre transferts thermiques et transferts massiques

8.4.1 Grandeurs et échelles caractéristiques en diffusion d’espèces

8.4.2 Principaux nombres caractéristiques en convection

8.4.3 Conclusion : usage des analogies en convection

8.5 Couches limites en convection forcée externe laminaire

8.5.1 Approximation de la couche limite

8.5.2 Solution par la méthode intégrale

8.6 Couches limites en convection naturelle externe laminaire

8.7 Convection forcée interne laminaire

8.7.1 Établissement du régime mécanique dans une conduite

8.7.2 Établissement du régime thermique dans une conduite

8.8 Convection naturelle interne laminaire

Chapitre 9. Transferts turbulents

9.1 Équations de bilan et échelles caractéristiques

9.1.1 Équations locales instationnaires de bilan

9.1.2 Équations statistiques de bilan en turbulence

9.1.3 Échelles mécaniques caractéristiques de la turbulence

9.1.4 Échelles caractéristiques thermiques et scalaires

9.1.5 Cascade énergétique

9.2 Écoulement turbulent au voisinage d’une paroi

9.2.1 Contrainte totale τtot

9.2.2 Flux surfacique thermique radial total

9.2.3 Structure de l’écoulement

9.2.4 Cas d’un fluide de masse volumique variable

9.2.5 Couplages avec le rayonnement

9.2.6 Structure d’un écoulement turbulent dans une autre géométrie

9.3 Les différentes voies de modélisation

9.3.1 Simulation numérique directe de la turbulence

9.3.2 Méthodes fondées sur des équations statistiques de bilan

et la diffusion turbulente

9.3.3 Simulation des grandes échelles de la turbulence

293

293

293

294

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300

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302

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348

349

349

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352

359

VIII

Table des matières

Chapitre 10. Bases physiques des transferts thermiques

10.1 Fonction de distribution des vitesses, Luminance, Flux

10.1.1 Fonctions de distribution des vitesses

10.1.2 Vitesses et énergies macroscopiques

10.1.3 Flux de diffusion

10.1.4 Flux radiatif et luminance

10.2 Équilibre Thermodynamique Parfait

10.2.1 Équilibre thermodynamique parfait du système

matériel

10.2.2 Équilibre thermodynamique parfait du champ

de rayonnement, loi de Planck

10.2.3 Interprétation physique de la loi de Planck

(modèle d’Einstein)

10.3 Équations d’évolution

10.3.1 Équation d’évolution de la distribution des vitesses

10.3.2 Équation de transfert du rayonnement pour un gaz

10.4 Équilibre Thermodynamique Local et flux de diffusion

10.4.1 Système matériel

10.4.2 Exercice d’application

Exercice 10.1. Modèle grossier de viscosité et conductivité thermique

10.4.3 ETL et solution de perturbation pour le champ

de rayonnement

10.5 Non équilibre du système matériel : nanosystèmes et milieux raréfiés

10.5.1 Conditions de Non équilibre

10.5.2 Exercice d’application

Exercice 10.2. Régime ballistique d’une assemblée de particules

Complément A. Quelques méthodes mathématiques de la diffusion

A.1 Utilisation de la transformation de Laplace

A.2 Utilisation de la méthode de séparation des variables

A.3 Utilisation de la fonction de Green en conduction

Complément B. Fonctions et équations usuelles

361

362

363

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365

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370

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375

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394

396

396

401

401

405

406

413

B.1

B.2

B.3

B.4

413

Fonctions d’erreur (conduction instationnaire)

414

Fonctions intégro-exponentielles (rayonnement)

414

Tenseurs usuels en transferts (convection)

Équations utiles en convection (coordonnées cartésiennes et cylindriques) 420

Complément C. Corrélations de convection

C.1 Convection forcée externe

C.1.1

C.1.2

Écoulement parallèle à une paroi plane (ou à une paroi de faible

courbure)

Écoulement perpendiculaire à l’axe d’un cylindre de section

circulaire

Écoulement impactant une sphère

C.1.3

C.1.4 Autres configurations

C.2 Convection forcée interne

C.2.1

Tube de section circulaire

423

423

423

425

425

425

425

425

IX

.

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429

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442

445

445

447

448

451

451

451

453

461

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d’énergie

C.2.2

C.2.3 Autres cas

Plaques parallèles

C.3 Convection naturelle externe

Paroi verticale plane

Paroi plane inclinée

Paroi horizontale plane

C.3.1

C.3.2

C.3.3

C.3.4 Cylindre isotherme vertical

C.3.5 Cylindre horizontal

C.3.6

C.3.7 Autres cas

Sphère

C.4 Convection naturelle interne

C.4.1

Enceinte rectangulaire bi-dimensionnelle, infinie

dans une direction horizontale

C.4.2 Autres cas

Complément D. Quelques propriétés thermophysiques (conduction

et convection)

D.1 Gaz à pression atmosphérique

D.2

D.3

Liquides

Solides

Complément E. Quelques données radiatives

Rayonnement d’équilibre

E.1

E.2 Quelques facteurs de forme

E.3

Emissivités totales des gaz

Complément F. Données diverses

F.1

F.2

Conversions d’échelles de température

Conversions d’unités diverses

Bibliographie

Index

X

AVANT-PROPOS

Plus de 85 % de l’énergie consommée dans le monde passe par la combustion de

réserves fossiles ou de ressources renouvelables. D’autre part, quelles que soient les

technologies utilisées, la maîtrise de l’énergie nucléaire, de l’énergie solaire ther-

mique, de la géothermie profonde ou des pompes à chaleur reposent en partie sur les

transferts thermiques. De plus, les efficacités des systèmes de propulsion, de produc-

tion d’énergie et, plus généralement encore, de la plupart des systèmes industriels ou

d’usage courant, électroniques par exemple, dépendent aussi de la maîtrise du condi-

tionnement thermique de ces systèmes. Les transferts thermiques constituent donc

une science clé de l’énergie.

La cinquième édition de cet ouvrage repose sur l’expérience acquise par les

trois auteurs, professeurs à l’École Centrale Paris, tant en enseignement qu’en re-

cherche au sein du laboratoire d’énergétique moléculaire, macroscopique combustion

(EM2C). Elle est organisée en deux parties :

La première partie de l’ouvrage « Première approche des transferts thermiques »,

de niveau Licence 3, constitue une présentation de l’ensemble de la discipline avec

un minimum de formalisme. Les différents modes de transfert, par conduction, rayon-

nement et convection thermiques, sont progressivement introduits en privilégiant une

approche physique des phénomènes. Dans cette partie, les applications envisagées

sont généralement monodimensionnelles, de façon à éviter les difficultés d’ordre ma-

thématique ou numérique engendrées par des géométries complexes. Dans le même

esprit, les transferts convectifs sont abordés en amont d’un cours de mécanique des

fluides dans cette première partie. L’accent est mis qualitativement d’abord, puis à

partir des outils de l’analyse dimensionnelle, sur le couplage entre phénomènes de

diffusion et de convection dans les couches limites. Cette première partie du cours est

illustrée :

– d’exercices d’application immédiate résolus, au fil des paragraphes,

– de problèmes de synthèse résolus, en fin de partie. Représentatifs de la grande

diversité des applications de la discipline, ils mettent en jeu les couplages entre les

différents modes de transfert.

La deuxième partie « transferts thermiques avancés », de niveau Master, introduit

des modèles avancés de rayonnement thermique et de transfert convectif. Le cas gé-

néral des transferts radiatifs en milieu semi transparent et les cas limites des milieux

optiquement minces et des milieux optiquement épais sont abordés. Une attention

particulière est portée sur la modélisation des propriétés radiatives des gaz, prenant

.

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©

XI

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d’énergie

en compte l’épineux problème des corrélations spectrales. Le chapitre sur les dif-

férentes voies de modélisation des transferts turbulents intègre des développements

récents de la recherche. Le chapitre « Bases physiques des transferts » constitue une

innovation de cette cinquième édition. Au-delà du traitement des transferts diffusifs et

radiatifs en non-équilibre et à l’équilibre thermodynamique local, ce chapitre consti-

tue une introduction à la nanothermique. Cette deuxième partie du cours constitue

aussi une référence pour les ingénieurs d’études avancées et de recherche, ainsi que

pour les chercheurs.

Jean Taine, Franck Enguehard, Estelle Iacona

Juin 2014

XII

INDEX

DES NOTATIONS

a, A, A

a (m2s−1)

b (Wm−2K−1s1/2)

C, c (JK−1, JK−1kg−1)

C (m2)

Cr (WK−1)

c, c0 (ms−1)

cs (kgm−3)

Dh (m)

Dsb (m2s−1)

eν

ep(m)

E, e, E (Jm−3, Jkg−1, J)

E

f , fi j

g (ms−2)

hP (J.s)

h (Wm−2K−1)

H, h, H (Jm−3, Jkg−1, J)

j (Am−2)

kB (JK−1)

k (m2s−2)

kV K

k’

Lm, Lth (m)

Lλ (Wm−2μm−1st−1)

Lν (Wm−2Hz−1st−1)

m, M, M (kg, kg, kg/mol)

˙m (kgs−1)

n, ni

N.U.T (N.T.U)

p (Pa)

P, P (Wm−3, W)

Q

q, qi (Wm−2)

r, R (JK−1kg−1, JK−1mol−1)

grandeur massique, volumique, totale

diffusivité thermique

effusivité

capacité thermique, capacité thermique massique

section efficace

débit de capacité

célérité du rayonnement, dans le vide

concentration d’une espèce s

diamètre hydraulique

diffusivité d’une espèce s dans un bain b

épaisseur optique

profondeur de pénétration

énergie interne volumique, massique, totale

efficacité d’un échangeur

facteur de forme

résultante des forces massiques

constante de Planck

coefficient de transfert

enthalpie volumique, massique, totale

vecteur densité de courant

constante de Boltzmann

énergie cinétique turbulente massique

constante de Von Karman

constante thermique turbulente inertielle

longueur d’établissement mécanique, thermique

luminance monochromatique (ou spectrale)

ou (Wm−2(cm−1)−1st−1)

masse, masse totale, masse molaire,

débit de masse

normale orientée

nombre d’unités de transfert

pression

puissance volumique, puissance totale

efficacité (théorie de la diffusion)

vecteur flux surfacique

constante massique, molaire des gaz parfaits

.

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T

.

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u

D

©

XIII

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d’énergie

R (KW−1)

S i j

T (K)

t (s)

u, ui

u (ms−1)

u (Jm−3)

v (ms−1)

v, vi (ms−1)

w (ms−1)

w.next (ms−1)

z(0, λ/λm)

Caractères grecs

α

β (m−1)

γ (m−1)

γ (Nm−1)

Γ (W K−1)

ε

ε (m 2s−3)

κ (m−1)

η, (η∞)

ην (Wm−3Hz−1st−1)

λ (μm)

λ (Wm−1K−1)

μ (kgm−1s−1)

ν (m2s−1)

ν (Hz ou cm−1)

Π (m2s−3)

ρ (kgm−3)

ρ

σ (Wm−2K−4)

σ (cm−1)

τ

ϕ, Φ (Wm−2, W)

Ω

ω

XIV

résistance thermique

tenseur des taux de déformation

température

temps

vecteur unitaire

vitesse suivant Ox

densité volumique d’énergie radiative

vitesse suivant Oy

vecteur vitesse

vitesse suivant Oz

vitesse de déplacement de l’interface

fonction de distribution spectrale cumulée

du rayonnement d’équilibre

absorptivité

coefficient d’extinction

coefficient de pénétration (milieu diffusant isotrope)

tension superficielle

conductance thermique

émissivité

dissipation d’énergie cinétique turbulente

coefficient d’absorption

efficacité d’une ailette, (infinie)

coefficient monochromatique d’émission

longueur d’onde

conductivité thermique

viscosité dynamique

viscosité cinématique, diffusivité mécanique

fréquence ou nombre d’onde

production d’énergie cinétique turbulente

masse volumique

réflectivité

constante de Stefan

coefficient de diffusion

transmittivité

flux surfacique , flux total

angle solide

albedo

Nombres caractéristiques

Index des notations

Bi

CF

Ec

Fr

Gz

Gr

Kn

Le

Nu

Oh

Pe

Pr

Ra

Re

Ri

Sc

St

We

Indices usuels hauts

-a

-d

-e

-ext

-i

-p

-r

-R

-◦

• ’

-∗

Indices usuels bas

-d

-e

-m

-s

-t

-ν,λ ,σ

.

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©

nombre de Biot

coefficient de frottement

nombre d’ Eckert

nombre de Froude

nombre de Graetz

nombre de Grashof

nombre de Knudsen

nombre de Lewis

nombre de Nusselt

nombre de Ohnesorge

nombre de Péclet

nombre de Prandtl

nombre de Rayleigh

nombre de Reynolds

nombre de Richardson

nombre de Sherwood

nombre de Stanton

nombre de Weber

absorbé (rayonnement)

diffusé (rayonnement)

émis (rayonnement)

éteint (rayonnement)

incident (rayonnement)

partant (rayonnement)

réfléchi (rayonnement)

radiatif

équilibre

directionnel

de frottement (T ∗, v∗, · · · )

relatif aux structures dissipatives (turbulence)

relatif aux structures énergétiques (turbulence)

de débit (vitesse), de mélange

relatif à une espèce s

grandeur turbulente

grandeur spectrale

XV

Partie 1

Première approche

des transferts

thermiques

Cette première partie de l’ouvrage, de niveau Licence 3, constitue à la fois une intro-

duction aux transferts thermiques fondée sur la compréhension physique des phéno-

mènes et un document de base pour l’ingénierie thermique. Les trois modes de trans-

fert, par conduction, rayonnement et convection thermiques, sont abordés et couplés

dans des applications concrètes. La maîtrise du premier principe de la thermodyna-

mique et de notions élémentaires de mathématiques de niveau licence de mécanique

ou physique est suffisante pour une complète assimilation du cours. Un ensemble de

compléments, en fin d’ouvrage, permettent de dimensionner, au moins en première

approche, de nombreux systèmes au sein d’applications variées.

Comme cette première partie est focalisée sur la compréhension physique des phé-

nomènes, les transferts thermiques sont le plus souvent traités à une dimension, de

façon à alléger le formalisme mathématique. Une attention particulière est portée

à la modélisation des systèmes thermiques dans des exercices d’application et des

problèmes de synthèse qui illustrent le cours : d’abord en définissant une stratégie de

résolution, ensuite en construisant à partir d’hypothèses réalistes des modèles simples

et en résolvant ces problèmes alors bien conditionnés, enfin en validant a posteriori

ces modèles.

Le premier chapitre introduit à un niveau élémentaire les modes de transfert et le

bilan d’énergie en régime stationnaire, en absence de mouvement. Le second chapitre

est consacré aux modèles linéaires de conduction thermique stationnaire, quand les

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d’énergie

propriétés des milieux dépendent faiblement de la température. Le Chapitre 3 intro-

duit les bases de la physique macroscopique de la diffusion, à partir de l’exemple

par excellence que constitue la conduction thermique instationnaire. Les transferts

radiatifs entre corps opaques à travers un milieu transparent sont abordés dans le

Chapitre 4. Le dernier chapitre est consacré à une approche phénoménologique de

la convection thermique forcée ou naturelle, en régime laminaire ou turbulent. Les

notions de base essentielles introduites dans cette première partie sont étendues à un

niveau master dans la deuxième partie de l’ouvrage.

2

LES PRINCIPAUX

MODES DE TRANSFERT

D’ÉNERGIE

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Notions clés

(E.T.L.), flux conductif, flux radiatif, flux

Équilibre Thermodynamique Local

convectif, flux conducto-convectif, conditions aux limites, bilan en régime sta-

tionnaire sans mouvement.

1.1 LIMITATIONS PHYSIQUES ET OBJECTIFS

1.1.1 Le système

Tout système physique se compose de deux sous-systèmes en interaction perma-

nente : un système matériel et un champ de rayonnement.

Le système matériel est en général considéré du point de vue des milieux continus.

Il est en fait constitué, à l’échelle élémentaire, de molécules (atomes, ions, molé-

cules), d’électrons, de particules fictives telles que les phonons (qui représentent des

quanta d’énergie de vibration dans un solide). Adopter le point de vue des milieux

continus consiste à limiter l’analyse d’un système matériel à des éléments de vo-

lume arbitrairement petits à l’échelle macroscopique mais suffisamment grands pour

que les nombres de molécules qu’ils contiennent soient extrêmement élevés [112]. À

titre d’exemple, l’état d’un système matériel fluide, dans un élément de volume dV,

pendant un bref intervalle de temps dt, est caractérisé par des grandeurs physiques

macroscopiques : pression, vitesse hydrodynamique (vitesse du centre de masse des

molécules dans dV), etc. et, sous certaines conditions seulement, température.

Le champ de rayonnement électromagnétique est caractérisé à l’échelle macro-

scopique par la donnée à chaque instant t, en tout point r de l’espace, pour toute

direction u, d’une grandeur énergétique L(cid:5)

ν dépendant de la fréquence ν et appelée

luminance monochromatique1, qui sera définie dans le Chapitre 4. Le champ radiatif

résulte de la distribution des photons caractérisés chacun par une fréquence ν, une

quantité de mouvement p et un état de spin ms.

1. La luminance est introduite directement en physique statistique (voir paragraphe 10.1.4).

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Chapitre 1 • Les principaux modes de transfert d’énergie

1.1.2 Déséquilibre thermique et équilibre

thermodynamique local (E.T.L.)

L’équilibre thermique, une des conditions de l’Équilibre Thermodynamique Parfait

(E.T.P.), est caractérisé par l’isothermie à la température absolue2 T (en K) de l’en-

semble du système ou, formulation équivalente, par l’absence de tout flux thermique.

Les systèmes considérés dans cet ouvrage sont en déséquilibre thermique, par

exemple du fait des contraintes imposées par le milieu extérieur. De nombreux mé-

canismes à l’échelle élémentaire tendent alors à faire retourner le milieu vers un état

d’équilibre thermique : collisions molécule-molécule ou molécule-paroi, transitions

molécule-photon (absorption, émission spontanée, émission induite, etc.), interac-

tions phonon-phonon, phonon-électron, électron-photon, phonon-photon, etc. L’évo-

lution énergétique du système résulte du couplage, à l’échelle macroscopique, entre :

• Les effets cumulés de ces processus élémentaires de transfert thermique, qui

donnent naissance aux phénomènes de conduction et de rayonnement thermique,

• Le transfert de chaleur associé à un éventuel transfert macroscopique de masse,

appelé convection.

Dans le cas d’un déséquilibre thermique important le système matériel ne peut être

caractérisé, au point r, à l’instant t, que par la distribution statistique des populations

Ni j des différentes espèces j (molécules, particules) sur les différents niveaux quan-

tiques d’énergie i, discrets ou continus. Les mécanismes mentionnés précédemment,

comme les collisions par exemple, conduisent à des équations de relaxation régissant

les évolutions des populations Ni j, analogues aux équations de la cinétique chimique.

Une méthode puissante pour décrire les évolutions du système est le formalisme des

équations de Boltzmann [46]. Cette approche est nécessaire à l’étude des transferts

thermiques dans diverses applications : milieux lasers, plasmas froids utilisés comme

source d’énergie ou pour...