Transferts thermiques dans le verre au cours du procédé de thermoformage

Temps (min)

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

Déf. thermofromage

Pb. de mise en forme

Développement banc d’essais

Écart de température

Problématique

6

Problématiques/Objectifs du projet

• Problématique : simuler numériquement le procédé de thermoformage

– Mieux appréhender l’influence des paramètres (chargement thermique, moule, géométrie

initiale) sur la géométrie finale de la pièce.

– A long terme, déterminer par analyse inverse le chargement thermique optimal à imposer en

intégrant les conditions opératoires.

• Objectifs :

– Développer un code de calcul radiatif spécifique (MMC)

– Implémenter les C.L. radiatives

– Disposer d’un code de résolution de l’équation de la Chaleur

– Coupler la mécanique avec la thermique

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

Déf. thermofromage

Pb. de mise en forme

Développement banc d’essais

Écart de température

Problématique

7

Résolution de l’équation de la Chaleur

Bilan des échanges thermiques sur un élément de volume :

 Conduction

 Rayonnement

 Pas de convection (on considère que le verre reste solide)

Méthode de

Monte Carlo

Quel code de résolution?

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

Résolution éq. de la Chaleur

EF2D/VF2D

MMC

Tirages aléatoires

Validation MMC

Validation EF2D/VF2D

8

rpSTgraddivdtdTC))((Solution EF2D

A un temps ti donné :

THERMIQUE (gérée par ABAQUS©)

Subroutine rayonnement implémentée

dans ABAQUS©

Calcul du terme source par une méthode de

Monte Carlo au début de l’incrément avec les

données de l’instant ti-1 (température, maillage)

1 calcul par

pas de temps

Résolution de l’équation de la Chaleur :

ABAQUS©

N itérations

MÉCANIQUE

ABAQUS©

Solution éléments finis 2D (EF2D)

 Couplage thermique faible

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

Résolution éq. de la Chaleur

EF2D/VF2D

MMC

Tirages aléatoires

Validation MMC

Validation EF2D/VF2D

9

Solution VF2D

A un temps ti donné :

THERMIQUE (gérée par ABAQUS©)

Subroutine rayonnement implémentée

dans ABAQUS©

Calcul du terme source par une méthode de

Monte Carlo au début de l’incrément avec les

données de l’instant ti-1 (température, maillage)

1 calcul par

pas de temps

Résolution de l’équation de la Chaleur :

ABAQUS©

THERMIQUE (Externe à ABAQUS©)

Code FORTRAN

Calcul du terme source par une méthode de

Monte Carlo

N itérations

Résolution de l’équation de la Chaleur :

Code « maison » volumes finis

Solution éléments finis 2D (EF2D)

Solution volumes finis 2D (VF2D)

 Couplage thermique faible

 Couplage thermique fort

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

Résolution éq. de la Chaleur

EF2D/VF2D

MMC

Tirages aléatoires

Validation MMC

Validation EF2D/VF2D

10

Méthode de Monte Carlo directe

Maillage du domaine (2D) :

1.Emission de quanta depuis une

paroi (frontières du domaine)

2.Emission de quanta

depuis le milieu

Hypothèses:

Verre : absorbant (et émettant), non diffusant

Milieu gris par bandes : 𝜀λ, κλ, 𝑛λ constants sur une bande de longueurs d’onde

(ou fréquences)

Réflexion spéculaire

T constante sur un élément

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

Résolution éq. de la Chaleur

EF2D/VF2D

MMC

Tirages aléatoires

Validation MMC

Validation EF2D/VF2D

11

Tirages aléatoires

Maillage 2D

réflexion

ou transmission?

φ,θ

(xe ,ye)

Absorption progressive

de l’énergie du quantum

Tirage aléatoire :

Choix des autres paramètres :

•

•

•

Du point d’émission (xe , ye)

De la direction (φ, θ)

Transmission ou réflexion

• Nombre de quantas envoyés par élément : proportionnelle à la

taille d’un élément.

•

Énergie transportée par quantum : Qélem/nb quanta

• Nombre de quanta envoyés sur une bande de longueurs d’onde :

proportionnel à Qbande de longueurs d’onde/Qtotale

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

Résolution éq. de la Chaleur

EF2D/VF2D

MMC

Tirages aléatoires

Validation MMC

Validation EF2D/VF2D

12

Validation du code MMC

 Échanges thermiques uniquement par rayonnement

Cas-test

x = 0,5

T = 0K

Transferts discrets (Feldheim 2002)

Monte-Carlo (cette étude)

𝑛 = 1

κ = 1

Flux thermique

surfaciques

(W.m-2)

y

x

𝜑 = 1𝑊. 𝑚−2

Enceinte carrée 1 x 1 (ε = 1)

y (en x = 0,5)

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

Résolution éq. de la Chaleur

EF2D/VF2D

MMC

Tirages aléatoires

Validation MMC

Validation EF2D/VF2D

(Feldheim (2002), Simulation numérique des transferts thermiques combinés

conduction-convection-rayonnement dans des domaines de géométrie complexe)

13

Validation de EF2D et VF2D

 Échanges thermiques par conduction et rayonnement

Cas-test

T = 50K

𝑛 = 1

κ = 1

x = 0,5

y

x

Tréf = 100K

T(K)

Enceinte carrée 1 x 1 (ε = 1)

𝑁 =

κλ

3

4𝜎𝑇𝑟é𝑓

Nombre de Stark

1

0,1

0,05

Conductivité

0,2268

0,02268

0,01134

y (en x = 0,5)

(Rousse et al. (1999), Numerical predictions of two-dimensional

conduction, convection, and radiation heat transfer. ii. validation)

(Feldheim (2002), Simulation numérique des transferts thermiques combinés

conduction-convection-rayonnement dans des domaines de géométrie complexe)

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

Résolution éq. de la Chaleur

EF2D/VF2D

MMC

Tirages aléatoires

Validation MMC

Validation EF2D/VF2D

14

Thermoformage – cas étudié

• Géométrie et propriétés du verre :

6 mm

Verre entouré d’un gaz considéré comme un corps noir (h = 10 W.K-1.m-1)

Tinit= 300K

λ = 1,8W.m-1.K-1 ; Cp = 1,2 W.kg-1.K-1 ; ρ = 2500kg.m-3 ; κλ ; nλ

•

Chargement thermique (Tgaz = Tair dans le four):

125 mm

• Milieu gris par bandes :

– 10 bandes de longueurs d’onde dans le domaine semi-transparent [0,25µm ; 5,25µm] (Rubin(1985),

Optical properties of soda lime silica glasses for windows)

– Frontières opaques au-delà de 5,25µm

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

Chargement thermique VF2DS et VF2DW

Influence du nombre de quanta

Comparaison couplage fort/faible

Cas thermomécanique

15

Déclinaison de VF2D en deux versions : VF2DS et VF2DW

Différence liée à la méthode de résolution ou au type de couplage?

VF2DS

Volumes finis

Rayonnement

N itérations

Eq. De la

Chaleur

VF2DW

Volumes finis

Rayonnement

EF2D

Eléments finis

Rayonnement

1 seul calcul

1 seul calcul

Eq. De la

Chaleur

Eq. De la

Chaleur

Couplage fort

Couplage faible

Couplage faible

Différence liée au

type de couplage

Différence liée à la

méthode de résolution

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

Chargement thermique VF2DS et VF2DW

Influence du nombre de quanta

Comparaison couplage fort/faible

Cas thermomécanique

16

Influence du nombre de quanta envoyés

Température moyenne dans la plaque de verre (VF2DS ; Δt = 5s)

Tair

Zoom

Tverre

 A partir de 2.109 quanta/m2 et 2.106 quanta/m, il n’y a plus d’amélioration sensible de la

précision lorsque l’on augmente le nombre de lancers.

Temps CPU de la

simulation

(PC - DELL T7500) :

4.108 quanta/m2

2.109 quanta/m2

1010 quanta/m2

5.1010 quanta/m2

2h

8h

1 jour et 18h

8 jours

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

Chargement thermique VF2DS et VF2DW

Influence du nombre de quanta

Comparaison couplage fort/faible

Cas thermomécanique

17

Comparaison couplage fort / faible et variation Δt

 Phase de montée

Tair

Zoom

Tverre

Température moyenne dans la plaque de verre

ΔT ≈ 3°C

Température de l’air

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

Chargement thermique VF2DS et VF2DW

Influence du nombre de quanta

Comparaison couplage fort/faible

Cas thermomécanique

18

Comparaison couplage fort / faible et variation Δt

 Phase de palier

Température moyenne dans la plaque de verre

Tair

Zoom

Tverre

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

Chargement thermique VF2DS et VF2DW

Influence du nombre de quanta

Comparaison couplage fort/faible

Cas thermomécanique

19

Comparaison couplage fort / faible et variation Δt

 Phase de descente

Tair

Zoom

Tverre

Température moyenne dans la plaque de verre

ΔT ≈ 1,5°C

 Le couplage fort VF2DS est proche d’avoir convergé pour Δt = 5s

 Relativement à l’ordre de grandeur de la température, les écarts entre VF2DS, VF2DW et EF2D sont faibles en

prenant Δt = 5s

Temps CPU de la

simulation :

VF2DS (Δt = 5s)

VF2DS (Δt =10s) VF2DW (Δt = 5s) VF2DW (Δt = 10s)

EF2D (Δt = 5s)

1 jour et 18h

1 jour

1 jour et 10h

17h

2 jours et 5h

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

Chargement thermique VF2DS et VF2DW

Influence du nombre de quanta

Comparaison couplage fort/faible

Cas thermomécanique

20

Modèle élasto-visco-plastique

• Caractéristiques thermiques :

Idem que le cas thermique pur

• Chargement thermique :

z = 0

Axe de symétrie

• Caractéristiques mécaniques :

E = 6,4.1010 Pa

ν = 0.22

α = f(T)

Séries de Prony* :

t = 0s

T = 596°C

hz = 6,7mm

Gi

τi

5,52.10-2 8,21.10-2 1,22.10-1 2,29.10-1 2,86.10-1 2,27.10-1

6,71.103 1,21.105 1,53.106 1,69.107 7,59.107 3,33.108

hz = -27,9mm

T = 677°C

t = 6957s

Loi WLF* :

θ0

400

C1

35

C2

660

• Contact verre/moule glissant

(*Duffrene (1994), Comportement viscoélastique d’un verre silico-

sodo-calcique dans le domaine des températures intermédiaires :

approche phénoménologique et modélisation en triaxialité)

T = 641°C

hz = -46,9mm

t = 5792s

t = 9000s

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

Chargement thermique VF2DS et VF2DW

Influence du nombre de quanta

Comparaison couplage fort/faible

Cas thermomécanique

21

Bilan des résultats

• Développement de 2 codes pour résoudre la thermique :

– Code EF2D intégré à Abaqus©.

– Code VF2D pour la comparaison du couplage fort et du couplage faible.

• Dans un premier temps : déterminer le nombre de quanta à envoyer pour obtenir un

rapport précision / temps de calcul satisfaisant.

•

Les résultats des simulations montrent que le choix du couplage fort ou faible influe peu

sur la précision des résultats dans notre cas.

 Si le pas de temps choisi est suffisamment petit : le code EF2D offre une précision

suffisante pour un pas de temps Δt = 5s.

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

22

Perspectives

C.L. du cas présenté

Verre

Gaz à température de l’air dans le four

C.L. réelles

Résistances

chauffantes

𝜑𝑟𝑎𝑑 =?

Four

Verre

Moule

Paramètres constants en fonction de T

Paramètres déterminés expérimentalement en fonction de T

Cp, ρ, λcond,…

Cp(T), ρ(T), λcond(T), nλ(T), kλ(T)

Maillage 2D

Thermique

Maillage 3D

Réduire les temps de calcul :

Paralléliser le code Monte-Carlo dans Abaqus.

Passer d’une méthode directe à une méthode

réciproque?

+

Implémenter les lois élastoviscoplastiques

en 2D : déjà réalisée par L. Soudre

Implémenter les lois élastoviscoplastiques dans

Abaqus en 3D

Mécanique

Sommaire

Contexte

Modélisation thermique

Cas de thermoformage

Bilan des résultats

Perspectives

23

Merci de votre attention

24

Profil de température dans la plaque de verre

Profil de T à t = 2000s

Profil de T à t = 5000s

25

Coefficients pris sur chaque bande de longueurs d’onde

λ0(µm)

[0,25 ; 0,75]

[0,75 ; 1,25 ]

[1,25 ;1,75]

[1,75 ; 2,25 ]

[2,25 ; 2,75]

[2,75 ; 3,25 ]

[3,25 ; 3,75]

[3,75 ; 4,25 ]

[4,25 ; 4,75]

[4,75 ; 5,25 ]

n

1,52

1,485

1,463

1,447

1,428

1,41

1,395

1,375

2,352

1,324

k

1,3926.10-7

4,7746.10-6

3,9391.10-6

4,1380.10-6

5,9683.10-6

7,1620.10-5

1,058410-4

9,8676.10-5

2,8648.10-4

2,9842.10-3

(Rubin (1985), Optical properties of soda lime silica glasses for windows)

26