Traitement et reconnaissance d'images (TERI)

]

N ∈ [N

,N

min

max

(N

max

­ N

) = nombre de niveaux de gris

min

Log

(N

2

max

­ N

min

) = dynamique

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page 15

Échantillonnage et quantification

Résolution...

...spatiale :

Échantillonnage

256x256

128x128

64x64

32x32

...tonale :

Quantification

6 bits

4 bits

3 bits

2 bits

1 bit

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Échantillonnage et information

tenir  compte  du  contenu

L'échantillonnage  est  une  étape  fondamentale  qui informationnel doit pertinent  de  l'image  à  analyser.  Sur  l'exemple  ci­ contre, en 1d, le signal échantillonné « ressemble » à une sinusoïde de fréquence 8 fois plus faible :

Ce phénomène appelé aliasing est encore pire en 2d, car il affecte la fréquence et la direction  des structures  périodiques. Imaginons  par  exemple  qu'on  souhaite échantillonner  l'image  correspondant  aux bandes noires ci­contre :

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page 17

Échantillonnage et information

Avec  un  échantillonnage  adapté,  l'image numérique  fait  apparaître  des  structures conformes  à  l'information  présente  dans l'image :

en

seulement

considérant

1 Mais échantillon  sur  2,  une  structure  différente apparaît,  dont  l'analyse  (ici  des  bandes verticales,  plus  épaisses)  ne  sera  pas conforme à la réalité de l'objet :

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Échantillonnage et information

Un exemple, sur une image de synthèse :

sur  une

Et naturelle :

image

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Image originale

Image sous­échantillonnée

page 19

Quantification et information

La  quantification  peut  également  faire  apparaître  des distortions dans les images :

Comme pour l'échantillonnage, il existe des règles pour déterminer la bonne quantification (le bon nombre de bits) pour coder les images numériques. L'une  dépend  du  capteur,  et  de  sa  capacité  effective  à  observer  des  signaux  de  valeurs différentes : le rapport signal sur bruit. Le rapport signal sur bruit est défini à partir du rapport entre l'amplitude des niveaux de gris mesurables  par  le  capteur  (n  de  la

)  et  le  niveau  du  bruit,  en  gros  l'écart­type  s

­  n

max

min

n

perturbation  aléatoire  qui  affecte  les  niveaux  de  gris.  En  prenant  le  logarithme,  on  a  le nombre de bits utile au capteur pour coder les images.

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page 20

Quantification et information

Outre les capacités du capteur, le nombre de bits réellement nécessaires  pour  coder  une  image  varie  d'une  image  à l'autre, en fonction de leur contenu informationnel. Ce  nombre  dépend  de  l'entropie,  définie  à  partir  de  la distribution  des  niveaux  de  gris  de  l'image  (cf  plus  loin, modèle statistique).

E=∑

i N

− pi log 2

 pi



<  1)  de Où  N  est  le  nombre  de  niveaux  de  gris  présents,  p points  de  l'image  ayant  pour  niveau  de  gris  i.  Cette  grandeur  représente  le  nombre moyen  de  bits  par  pixel  nécessaires  pour  coder  toute  l'information  présente.  Elle  est utilisée  dans  les  techniques  de  compression  sans  perte  pour  adapter  le  volume  de donnée des images à leur contenu informationnel.

est  la  proportion  (0  <  p

i

i

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III Modèles et outils fondamentaux

Dans la suite, on présente une introduction aux outils d'analyse d'images numériques les plus courants. Pour des raisons didactiques, la présentation est organisée selon les principaux modèles mathématiques qui ont été employés pour traiter les images. Ces différents  modèles  ne  sont  cependant  ni  exclusifs  ni  cloisonnés,  et  la  séparation  ne sera pratiquement plus visible dans les cours suivants. Aux  différents  modèles  présentés  correspondent  un  certain  nombre  d'outils fondamentaux, qui se sont révélés au cours du temps plus ou moins incontournables, que  ce  soit  d'un  point  de  vue  pratique  ou  théorique.  Citons  :  la  convolution,  la transformée de Fourier, l'histogramme, les pyramides, la corrélation, la transformée en tout­ou­rien, les ondelettes... Nous donnons dans la suite de ce cours une introduction aux outils les plus basiques ou  les  plus  courants. Les autres  seront  traités  ou  approfondis dans  la suite  du  cours TERI, ou dans les autres cours optionnels.

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page 22

III­1 : Le modèle linéaire

Dans  le  modèle  linéaire,  la  structure  mathématique  sous­jacente  est  l'Espace Vectoriel.  Les  opérateurs  fondamentaux  sont  ceux  qui  préservent  la  structure d'espace vectoriel, c'est­à­dire les applications linéaires :

f  I  J = f  I  f  J  f  I = f  I 

Pour les images, ces opérateurs correspondent aux convolutions :

La convolution :

C'est  l'opérateur  de  base  du  traitement  linéaire  des  images.  Apparue  très  tôt  dans  les  premiers systèmes d'analyse d'images sous forme empirique et justifiée par des considérations d'implantation, ce  n'est  que  plus  tard  qu'on  a  fourni  des  justifications  physiques  et  fait  le  lien  théorique  avec  les filtres et le traitement du signal.

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page 23

La Convolution

Soit I une image numérique. ,x Soit h une fonction de [x 2

1

]×[y

,y 2

1

] à valeurs réelles.

La convolution de I par h est définie par :

x 2

 I∗h[ x , y ]=∑

i= x

1

y 2

∑

j = y 1

h [i , j ]⋅I [ x −i , y− j ]

Propriétés de la convolution :

COMMUTATIVITÉ

h∗g= g∗h

ASSOCIATIVITÉ

h∗g∗k = h∗ g∗k = h∗g∗k

DISTRIBUTIVITÉ / +

h∗ gk = h∗g h∗k 

La fonction h est dite noyau de convolution

x

h [ x , y ]

y

Les  nouvelles  valeurs  du  pixel sont calculées par produit scalaire entre le noyau de convolution et le voisinage correspondant du pixel.

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page 24

La Convolution

Exemple :

1/152

5 5 5

11 11 11

16 16 16

11 11 11

5 5 5

16 16 16 16

24 24 24 24

16 16 16 16

5 5 5

11 11 11 11

16 16 16 16

11 11 11 11

5 5 5

calculer  une

convolution,  on Pour remplace  la  valeur  de  chaque  pixel  par  la valeur du produit scalaire entre les valeurs du  noyau  de  convolution  et  les  valeurs  du voisinage du pixel considéré (par rapport à l'origine (0,0) du noyau de convolution). Attention : implémentation « parallèle ».

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III­2 : Le modèle fréquentiel

Le modèle fréquentiel tend à décrire l'image en termes de structures périodiques, en la décomposant dans une base de fonctions périodiques simples, comme des sinusoïdes :

La transformée de Fourier :

Outil  fondamental  d'analyse  en  traitement  du  signal,  le  pendant  bidimensionnel  de  la  TF  et  sa  version discrète  peut  être  appliqué  avec  profit  aux  images  numériques.  Si  son  utilisation  en  tant  qu'outil analytique et algorithmique s'est estompée en traitement d'images au profit d'approches mieux adaptées à la localisation spatiale des fréquences (ondelettes), elle reste un outil théorique et pédagogique important : la formalisation du phénomène de l'aliasing et des contraintes d'échantillonnage en est un exemple (voir cours Espace d'échelles).

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Transformée de Fourier

La transformée de Fourier permet la décomposition d'un signal f en combinaison linéaire de sinusoïdes complexes, dont les coefficients F[u,v] dit coefficients de Fourier, fournissent des informations  sur  les  fréquences  (u,v)  et  permettent  des  manipulations  dans  le  domaine fréquentiel.

Transformée de Fourier discrète bidimensionnelle :

(x,y)  sont  les  coordonnées du domaine spatial

Directe :

w−1

F [u , v]=∑

x =0

h −1

∑

y= 0

f [ x , y ]e−2i  uxvy  / wh

(u,v)  sont  les  coordonnées du domaine fréquentiel

Inverse :

f [ x , y ]=

1

wh

w−1

∑

u=0

h−1

∑

v=0

F [u , v ]e2i  uxvy  /wh

Propriétés de la transformée de Fourier (1) :

ÉCRITURE SOUS FORME MODULE / PHASE

F [ u , v]=∥F [ u , v]∥e i [ u , v ]

PÉRIODICITÉ

F [ u , v]= F [ u w , v h ]

SYMÉTRIE Si F est la transformée de Fourier d'une fonction réelle f :

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page 27

F [ u , v]= F [−u ,− v ]

et donc :

∥F [ u , v ]∥=∥F [−u ,−v ]∥

et

 [u , v ]=−[−u ,− v ]

Transformée de Fourier

Image

Module

v

Phase

v

u

u

f [ x , y ]

ln ∥F [u , v ]∥

 [u , v ]

Propriétés de la transformée de Fourier (2) :

TF

[ u , v]} { f [ x , y ]  F [ u , v ]

[ x , y ]  F 1 [ x , y ]  F 2

[ u , v ]

f 1 f 2

si

CORRESPONDANCE CONVOLUTION / PRODUIT

f 1

[ x , y]∗ f 2

[ x , y]  F 1

[ u , v ]⋅F 2

[ u , v]

f 1

[ x , y]⋅f 2

[ x , y ]  F 1

[ u , v ]∗F 2

[ u , v]

DÉRIVATION

∂ f [ x , y ] ∂ x

 iuF [ u , v ]

et

∂ f [ x , y ] ∂ y

 ivF [ u , v ]

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LINEARITÉ

a⋅f 1

[ x , y ] b⋅ f 2

[ x , y ]  a⋅F 1

[ u , v ] b⋅F 2

[ u , v]

TRANSLATIONS SPATIALES / FRÉQUENTIELLES

f [ x− x ' , y− y ' ]  F [u , v ]⋅e−2i  ux ' vy '  /wh

f [ x , y ]⋅e 2i  u ' xv ' y  / wh  F [u−u ' , v−v ' ]

THÉORÈME DE PARSEVAL

w−1

∑

x =0

h−1

∑

y =0

∥ f [ x , y ]∥2

=

1

wh

w−1

∑

u= 0

h −1

∑

v =0

∥F [ u , v ]∥2

page 28

QUIZZ ­ Transformée de Fourier

Attribuez à chaque image son spectre de Fourier

(1)

(2)

(3)

(4)

(a)

(b)

(c)

(d)

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QUIZZ ­ Transformée de Fourier

Attribuez à chaque image son spectre de Fourier

(1)

(2)

(3)

(4)

(a)

(b)

(c)

(d)

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III­3 : Le modèle statistique

On  s'intéresse  dans  ce  modèle  aux  propriétés  statistiques  des  images  :  la  distribution  des valeurs prises par les pixels, la corrélation existant entre des pixels spatialement proches, la fréquence d'occurrence de certaines structures spatiales... Les  mesures  statistiques  fournissent  des  grandeurs  et  fonctions  empiriques  sur  lesquelles peuvent s'appuyer des modèles probabilistes utilisés par les algorithmes d'analyse d'images.

Par exemple, le modèle des champs de Markov considère l'image comme la réalisation d'un champ aléatoire (chaque pixel correspondant à une variable aléatoire), où la valeur prise par un  pixel  ne  dépend  que  de  celle  de  ses  voisins  (selon  une  topologie  discrète  donnée,  voir plus loin).

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III­3 : Le modèle statistique

Un  autre  exemple  remarquable  d'analyse statistique  est l'utilisation  des  matrices  de co­ occurrence, habituellement utilisées pour caractériser les textures.

j

La  matrice  de  co­occurrence  M  associée  au vecteur v, est la matrice de taille N x N ( N est le (i,j) nombre  de  niveaux  de  gris),  tel  que  M représente la fréquence du couple de valeurs (i,j) parmi les couples de pixels (x,x+v).

v

v

i

v

i

j

Ces  techniques,  et  d'autres  exemples  de  modèles  statistiques  seront  présentées  plus  en détail dans les prochains cours. Dans le cadre de cette introduction, nous développerons seulement le premier outil statistique d'analyse des images : l'histogramme.

L'histogramme :

Outil  de  base  pour  l'étude  des  capteurs  ou  de  la  dynamique  d'une  scène,  il  est  utilisé  par  certains opérateurs d'analyse. On retiendra cependant qu'il ne faut pas considérer l'histogramme comme une caractéristique fondamentale de l'image dans la mesure où on peut le transformer radicalement sans changer significativement l'image.

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Histogramme

W

Histogramme

Effectif

H

H(x)

H(x) est le nombre de  pixels  dont  le niveau  de  gris  est égal à x.

Il

L'histogramme  représente  la répartition  des  pixels  en fonction  de  leur  niveau  de gris. diverses fournit les informations statistiques  d'ordre  (voir  ci­ (voir contre), précédemment), peut permettre d'isoler des objets.

l'entropie et

comme

Histogramme cumulatif normalisé

Niveau de gris

Effectif relatif

HC(x)

x

∑

i= 0

H  x 

W ×H

HC  x=

HC(x)  est  le  taux de  pixels  dont  le niveau  de  gris  est inférieur  à x.

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Min

Médian

Max

Niveau de gris

page 33

Traitement à base d'histogramme

On  présente dans  la  suite  quelques  traitement  d'analyse effectués  uniquement  à  partir de  l'histogramme.  Retenons  que  certains  de  ces  traitements  sont  souvent  calculés  au niveau  des  capteurs,  et  qu'en  général  leur  pertinence  est  très  intimement  liée  aux conditions d'acquisition.

(1) Normalisation

exploiter toute la dynamique de codage.

(2) Égalisation

équilibrer la dynamique de codage et augmenter le contraste.

(3) Segmentation

simplifier l'image en regroupant les pixels selon leurs valeurs.

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fi fi fi Histogramme : normalisation

La normalisation d'histogramme, ou expansion de dynamique, est une transformation affine du  niveau  de  gris  des  pixels  de  telle  sorte  que  l'image  utilise  toute  la  dynamique  de représentation.

● D : dynamique ● Nmin : la plus petite valeur dans l'image ● Nmax : la plus grande valeur dans l'image

f new

[ x , y ]= f [ x , y ]−Nmin⋅

2 D−1 Nmax− Nmin

Pour  rendre  la  normalisation  moins  sensible aux  valeurs  marginales  (outliers),  on  utilise généralement  un  paramètre  , 0<<1,et  on prend :

Nmin∈ HC−1 Nmax ∈ HC −11−

image d'origine f[x,y]

Nmin

Nmax

2D ­ 1

histogramme d'origine

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expansion de dynamique [x,y]

f

new

histogramme normalisé

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Histogramme : égalisation

L'égalisation d'histogramme  est une transformation des niveaux de gris dont le principe est d'équilibrer le mieux possible la distribution des pixels dans la dynamique (Idéalement, on cherche à obtenir un histogramme plat).

●La technique classique consiste à rendre « le plus linéaire possible »  l'histogramme  cumulé  de  l'image  en  utilisant  la transformation suivante :

f new

[ x , y ]= 2 D−1⋅

HC  f [ x , y]

wh

● D : dynamique ● (w,h) : dimension de l'image ● HC(.) : histogramme cumulé

Histogramme de f

Histogramme de f

new

Original f[x,y]

Histogramme cumulé de f

Histogramme cumulé de f

new

Après égalisation f

new

[x,y]

Le résultat est une augmentation globale du contraste dans l'image. Notez dans l'exemple ci­dessus l'accentuation des défauts avec la mise en évidence du bruit spatial fixe (effet de tramage) de l'imageur infra­rouge.

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page 36

Histogramme : segmentation

Il existe des techniques de segmentation basées sur un regroupement des niveaux de gris à partir de l'histogramme. Ces techniques sont rarement efficaces car elles ne considèrent que la valeur des pixels sans tenir compte de critères géométriques ou topologiques (voir cours Segmentation). Par  exemple,  la  méthode  ci­dessous  calcule  un  certain  nombre  de  quantiles  à  partir  de l'histogramme  cumulé,  les  regroupe  par  classes  en  fonction  d'un  critère  de  distance,  puis attribut la même étiquette aux pixels dont la valeur est la plus proche d'une classe donnée :

Image originale

Histogramme cumulé avec agrégation des quantiles

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Image segmentée

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III­4 : Le modèle différentiel

Dans  le  modèle  différentiel,  on  considère  l'image  comme  une  fonction  continue  f(x,y), dont on étudie le comportement local à l'aide de ses dérivées. Une  telle  étude,  fondée  sur  la  formule  de  Taylor,  n'a  de  sens  que  si  la  fonction  f  a  une certaine régularité, ce qui constitue le problème clef des méthodes différentielles.

I I

x x

Au  premier  ordre,  on  peut  ainsi  associer  à  chaque  point (x,y)  un  repère  propre  (t,g),  où  le  vecteur  t  donne  la direction  de  l'isophote  (ligne  de  variation  minimale)  et  g la direction orthogonale, celle du gradient.

le  continu,

le  modèle Grâce  au  plongement  dans différentiel  permet  en  outre  d'exprimer  un  grand  nombre d'opérations d'analyse en termes d'équations aux dérivées partielles  (EDP),  ce  qui  permet  de  donner  un  fondement mathématique  satisfaisant  aux  traitements  et  aussi  de fournir  des  méthodes  pour  les  calculer,  par  des  schémas numériques de résolution.

g g

f f

t t

y y

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page 38

(cid:209) (cid:209) III­5 : Le modèle ensembliste

En  morphologie  mathématique,  l'image  est  considérée  comme  un  ensemble,  dont  on étudie  les  propriétés  en  fonction  de  relations  locales  avec  un  ensemble  de  référence (élément structurant) en termes d'intersection et d'inclusion (relations en tout­ou­rien).

B ∩ X =∅

B ⊂ X

B ∩ X ≠∅

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Érosion et Dilatation

Les transformations morphologiques sont définies à partir des 2 opérateurs ensemblistes de base que sont l'érosion et la dilatation

Original (Matisse ­ 1952)

B  X ={x ∈ℝ2 ; B x ⊂ X }

B  X ={x ∈ℝ 2 ; B x ∩ X ≠∅}

(élément structurant : disque)

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page 40

Érosion et Dilatation

L'érosion  et  la  dilatation,  et  par  suite  l'ensemble  des  transformations  morphologiques,  se généralisent des ensembles (Images binaires) aux fonctions (Images en niveaux de gris) par l'intermédiaire des ensembles de niveaux :

I n={x ∈ℝ2 ; I x n }

MIN

MAX

Original (Man Ray ­ 1924)

B  I 

B  I 

(élément structurant : losange)

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page 41

III­6 : Le modèle discret

La  géométrie  discrète  est  une  discipline  au  moins  aussi  ancienne  que  le  traitement d'images.  Alors  que  le  modèle  différentiel  considère  les  structures  géométriques (courbes,  surfaces,  droites,  etc)  comme  des  approximations  numériques  de  leurs homologues continues, ou que le modèle fréquentiel traduit la discrétisation en termes de perte  d'information,  le  modèle  discret,  lui,  intègre  l'espace  échantillonné  comme  cadre mathématique,  et  s'efforce  de  donner  un  cadre  formel  aux  structures  géométriques discrètes : définition, propriétés, théorèmes,...

Quelle  est  la  distance entre les 2 points ?

Qu'est­ce qu'un trou ?

Qu'est­ce droite ?

qu'une

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page 42

Pavages du plan

Un pavage du plan est une partition du plan en cellules élémentaires (pixels). Il n'existe que 3 pavages réguliers du plan :

triangulaire

carré

hexagonal

... mais de nombreux pavages irréguliers :

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Pavages du plan

D'autres pavages irréguliers du plan...

Pavage apériodique de Penrose

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6

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Pavage périodique d'Escher

Pavages et maillages

A tout pavage du plan on peut associer un graphe où les sommets (noeuds) représentent les  cellules  élémentaires,  et  où  les  arêtes  représentent  la  relation  d'adjacence  entre  les cellules (2 cellules sont adjacentes si elles ont un côté en commun). Un tel graphe est un maillage du plan.

Les pavages et les maillages réguliers sont duaux :

Questions :

­ représentation dans Z2 ?

­ combien de directions ?

­ récursivité ?

Pavage triangulaire

Pavage carré

Pavage hexagonal

Maillage hexagonal

Maillage carré

Maillage triangulaire

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Maillage et connexité

Les relations topologiques dans les images discrètes sont définies à partir de la relation de connexité induite par le graphe du maillage (X,S), où X représente les sommets et S les arêtes.

X ⊂ℤ2 ; S⊂X 2

Soient x et y 2 points de X, par définition x et y sont voisins si :

x≈ y ⇔ x , y∈S

maille carrée 4­connexe

maille carrée 8­connexe

maille triang. 6­connexe

La clôture transitive de la relation de voisinage est une relation d'équivalence « il existe un chemin connexe entre x et y » :

}/ x≈ x1, ... , x i Les classes d'équivalence de cette relation s'appellent les composantes connexes de X

x~ y ⇔∃ {x 1, ... , x n

≈ x i1 , ... , x n

≈ y

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Topologie dans la maille carrée

Dans la maille carrée, la notion de trou dans un objet X (X ⊂Z2), qui doit correspondre à une composante connexe finie du complémentaire Xc, n'est pas bien définie...

Ce problème est lié à la validité du  théorème de Jordan,  selon  lequel  une  courbe  simple  fermée sépare  le  plan  en  2  composantes  connexes,  dont une bornée.

8­connexité

4­connexité

...sauf si l'on considère des connexités différentes pour X et pour Xc :

(8,4)­connexité

(4,8)­connexité

Le  théorème  de  Jordan  est  vérifié pour ces connexités.

Antoine MANZANERA ­ Cours TERI – Master IAD UPMC Paris 6

Questions :

de

combien composantes connexes,  combien  de  trous compte l'image ci­contre

­ en (8,4)­connexité ? ­ en (4,8)­connexité ?

Métrique dans la maille carrée

Le  graphe  du  maillage  induit  également  une  distance  dans  le  plan  discret,  la  distance entre 2 points x et y étant définie par la longueur du plus court chemin connecté entre x et y. En pondérant toutes les arêtes du maillage par la valeur 1, on trouve :

distance de la 4­connexité d 4  x , y =∣x1 − y 1∣∣x 2 − y 2∣

1

1

1

distance de la 8­connexité d 8  x , y = max ∣x 1 − y1∣,∣x 2 − y 2∣

On peut aussi pondérer différemment les arêtes du maillage 8­connexe, voire utiliser des maillages plus complexes (i.e. des voisinages plus grands) :

4

3 distance du chamfrein (3,4)

11

7

55

distance du chamfrein (5,7,11)

Questions :

y

(x,y),  d calculer  les  distances  d (x,y),  d 4 8 entre les 2 points x et y ci­contre :

(x,y),  d

ch(3,4)

ch(5,7,11)

(x,y)

x

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Conclusion

Équivalence convolution / multiplication

modèle linéaire

modèle fréquentiel

Ondelettes

Corrélation – ACP

modèle statistique

Morphologie statistique

.../...

modèle ensembliste

Filtres différentiels

modèle différentiel

EDP / Ensemble de niveaux

A retenir pour ce cours :

­ image numérique ­ échantillonnage ­ quantification ­ histogramme ­ convolution ­ représentation fréquentielle ­ connexité et distance discrètes

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Sources et bibliographie ­ Liens utiles

Livres :

● J.P. Cocquerez et S. Philipp « Analyse d'images : filtrage et segmentation » Masson 1995

● R.C. Gonzalez et Woods « Digital Image Processing ­ 2d edition

» Addison Wesley 2002

● A. Rosenfeld et A.C. Kak   « Digital picture processing » Academic Press ­ London 1982.

● H. Maître (ss la direction de) « Le traitement des images » Hermes Lavoisier IC2 2003.

● J.R. Parker « Algorithms for Image Processing and Computer Vision » Wiley & Sons 1997.

● S. Bres, J.M. Jolion, F. Lebourgeois « Traitement et analyse des images numériques» 2003

Hermes Lavoisier

● I.T. Young, J.J. Gerbrands et L.J. Van Vliet « Fundamentals of Image Processing » Université de Delft. internet : http://www.ph.tn.tudelft.nl/~lucas/publications/1995/FIP95TYJGLV/FIP2.2.pdf)

(sur

● D. Lingrand « Introduction au Traitement d'images » Vuibert 2004

Pages web :

● Telesun – INSA : http://telesun.insa­lyon.fr/~telesun/

● Univ. de Delft : http://www­ict.its.tudelft.nl/html/education/courses/

● Projet Marble : http://www.icbl.hw.ac.uk/marble/vision/low/fundamentals/intro.htm

● CVOnLine ­ Univ. d'Édimbourg : http://www.dai.ed.ac.uk/CVonline/

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