Tous les exercices d'algèbre et de géométrie PC-PSI

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L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 8. Quadriques et coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 9. Étude affine et métrique des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 10. Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2 Exercices d’entraînement et d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3 Surfaces usuelles

PC

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Chapitre 11. Compléments de géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.1 Géométrie affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.2 Géométrie affine euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3 Isométries vectorielles et affines en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.4 Lieux géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.5 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Présentation de la série « Tous les exercices de mathématiques »

L’évolution récente de l’enseignement des disciplines scientifiques dans les C.P.G.E s’est concrétisée par la définition d’un nouveau programme de première année en 2003 et de seconde année en 2004. Un des objectifs de cette évolution a été de com- bler le fossé grandissant entre la classe terminale et les classes préparatoires. La progression est explicitement imposée par le nouveau programme qui prévoit notam- ment « un programme de début de l’année », qui exclut la présentation abstraite des concepts au profit d’une démarche fondée sur l’exemple comme point de départ de la conceptualisation, qui préconise l’approche algorithmique en complément de l’ap- proche démonstrative et qui légitime la démarche expérimentale en mathématiques par l’utilisation des logiciels Maple ou Mathematica, logiciels systématiquement uti- lisés dans de nombreux concours, notamment dans le concours commun « Centrale - Supélec ». Mais les programmes des classes préparatoires ne sont pas les seuls à avoir évolué, les programmes de l’enseignement secondaire ont fait l’objet d’une évolution préalable. Enfin, l’attitude nouvelle des élèves face aux disciplines scien- tifiques rend inefficace l’approche axiomatique et leur appropriation grandissante de l’outil informatique nécessite d’intégrer cet outil à la pédagogie. L’ensemble de ces changements rend impérative la rédaction de nouveaux ouvrages. On constate que c’est davantage la structure, l’ordre des thèmes abordés, l’esprit du programme qui ont évolué, le fond étant resté relativement stable. Sur ce fond, que nous n’avons pas la prétention de renouveler, il existe déjà une abondante et excellente littérature ; nous revendiquons une continuité par rapport à nos illustres prédécesseurs et nous nous sommes largement inspirés de leurs écrits pour y pui- ser exercices et sujets en nous efforçant de les présenter en parfaite cohérence avec l’esprit du programme actuel. Car cette nouvelle collection répond à une nécessité : entièrement rédigée après la parution des nouveaux programmes et le début de leur mise en œuvre, elle garantit une parfaite compatibilité entre la rédaction des ouvrages et les préconisations du programme. . . ce que n’aurait pu assurer sans risque d’ano- malies une simple remise en forme d’une rédaction antérieure. Tous les ouvrages de

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Présentation de la série « Tous les exercices de mathématiques »

cette collection sont écrits trois ans après l’apparition des nouveaux programmes et en respectent scrupuleusement l’esprit. Les rédacteurs ont enseigné et interrogé dans le cadre de l’ancien et du nouveau pro- gramme, ils perçoivent donc parfaitement l’importance de l’évolution. Leur expé- rience de l’enseignement en classes préparatoires et à l’Université, leur interven- tion régulière en « colles », leur participation aux concours comme interrogateurs à l’oral et/ou correcteurs à l’écrit permettent d’affirmer qu’il s’agit d’équipes très « professionnelles ». L’équilibre entre la pluralité des approches qui enrichit le fond et la cohérence de la forme qui renforce l’efficacité est le résultat d’un véritable travail collaboratif, d’une maîtrise d’œuvre rigoureuse et de sources d’inspiration précieuses. . . citons particulièrement pour les exercices d’oral la Revue de Mathé- matiques Spéciales, l’Officiel de la Taupe et les Archives des Professeurs de Spé du Lycée Henri Poincaré de Nancy en particulier celles constituées par Walter APPEL. Cette collection a l’ambition de faire bénéficier le lecteur de l’expertise profession- nelle des rédacteurs, chaque ouvrage est donc rédigé avec un souci de rigueur et de clarté au service de la pédagogie, souci qui s’exprime dans quelques principes :

– La qualité de rédaction aboutie exigée des élèves nécessite que les auteurs soient eux-mêmes exemplaires dans leur rédaction, aussi bien celle des énoncés que celle des corrigés. Un soin tout particulier est apporté à l’écriture des éléments « logiques » : précis et sans ambiguïté, le style traduit explicitement les connexions logiques, implication, nécessité, suffisance. . . dans un souci permanent de rendre explicite ce qui, ailleurs, reste parfois implicite.

– Les corrigés proposés sont toujours complets et commentés quand il le faut, en privilégiant les solutions méthodiques et raisonnables aux approches « astu- cieuses » et « miraculeuses ». L’expérience prouve en effet qu’un corrigé trop « brillant » inquiète l’élève qui se sent incapable de la même performance et ne lui apprend rien de la démarche constructive qui peut amener à une solution lorsqu’on possède une maîtrise suffisante des concepts. L’expérience montre aussi la vertu du contre-exemple. . . il en est fait un usage courant.

– La présence de rappels de cours synthétiques est nécessaire pour replacer les exer- cices dans leur contexte théorique sans avoir à quitter l’ouvrage en cours de lecture, pour fixer aussi quelques notations choisies parmi les standards. Mais ces éléments de cours ne se substituent en rien à l’enseignement magistral ou aux ouvrages de référence, ils constituent seulement un « minimum conceptuel » immédiatement disponible pour aider la compréhension des exercices qui restent la matière essen- tielle de l’ouvrage.

– La volonté de respecter l’esprit des nouveaux programmes privilégie la présenta- tion de sujets récents (de 2004 à 2007) en respectant scrupuleusement la forme de leur rédaction : aucun toilettage rédactionnel ne doit en masquer l’originalité, voire la difficulté. Le respect du lecteur exige sa mise en situation réelle de concours. Toutefois ces énoncés sont commentés et expliqués pour rassurer le lecteur en lui montrant que sous des traits parfois déroutants on peut retrouver des « visages

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Présentation de la série « Tous les exercices de mathématiques »

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connus ». Certains exercices proposés aux concours avant 2003 figurent également dans cette collection en raison de leur intérêt ; ils sont alors rédigés sous une forme compatible avec le programme actuel.

Si ces principes généraux sont respectés dans l’ensemble de la collection, la plus grande maturité des élèves de deuxième année justifie quelques différences entre les ouvrages de première et de deuxième année. L’élève de première année peut avoir des difficultés à choisir seul, avec discernement, des sujets d’écrits dans les annales. Les ouvrages de première année présentent donc une sélection d’extraits de problèmes d’écrits. L’élève de deuxième année, plus mûr, est capable de trouver lui-même des sujets d’écrit, les ouvrages de deuxième année n’en présentent donc pas. Cette plus grande maturité explique aussi le choix qui a été fait de présenter en deuxième année un bon tiers des exercices d’oral dans leur rédaction d’origine, sans commentaires explicatifs, pour placer l’élève au plus près de la situation réelle du concours ; bien entendu, le corrigé est toujours rédigé clairement, avec toutes les indications et tous les commentaires que nécessite leur compréhension. L’objectif essentiel est le res- pect des élèves que l’on met dans une situation proche de celles des concours tout en les guidant dans la correction. Il semble également que des ouvrages spécifiques suivant les programmes (MP-MP*, PC-PC* et PSI-PSI*) soient justifiés en Mathé- matiques Spéciales alors qu’ils ne le sont pas en premier semestre de Mathématiques Supérieures. Mais, quels que soient les ouvrages, les auteurs ont réalisé un travail de sélection important parmi la multitude d’exercices disponibles pour proposer ceux qu’ils considèrent comme les plus significatifs : certains sont sélectionnés pour leur intérêt pédagogique, leur généralité, leurs déclinaisons possibles. . . d’autres sont pré- sentés essentiellement pour donner une idée fidèle de « l’état de l’art actuel » des exercices d’oral et faire l’objet de commentaires au profit des futurs candidats. On aura compris que les ouvrages de cette collection sont avant tout au service des élèves pour lesquels elle constitue un véritable outil pédagogique d’appren- tissage et d’entraînement en vue des concours. Ces ouvrages devraient également convaincre les élèves de l’étendue des points abordés dans les sujets d’oral et d’écrit, qui couvrent réellement les programmes de première et de deuxième années. Mais les enseignants des C.P.G.E pourront aussi utiliser cette collection comme support de travaux dirigés et comme référence. Enfin, les examinateurs disposeront avec cette collection d’exemples de vrais sujets d’oraux donnés récemment ; les commentaires qui en sont faits pourront inspirer leur propre démarche pour une évaluation efficace et progressive des candidats. Pour conclure cette présentation, on me pardonnera d’utiliser un ton plus personnel. Maître de conférences et agrégé en Mathématiques, j’ai souhaité partager plusieurs années d’expérience en assurant la maîtrise d’œuvre des ouvrages de cette collection. Quinze années de participation à différents concours en tant que correcteur d’écrit et examinateur d’oral, m’ont permis de bien connaître la littérature existante et de bien observer l’évolution de l’attitude des élèves qui sont soumis, toujours davan- tage, à des sollicitations nombreuses et diverses, sollicitations qui ne facilitent pas la concentration et peuvent, parfois, les gêner dans la maîtrise de l’ensemble des

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Présentation de la série « Tous les exercices de mathématiques »

techniques. La nécessité ressentie d’ouvrages adaptés, l’enthousiasme face à l’idée de les rédiger, l’impossibilité de réaliser seul un tel travail, m’ont conduit à réunir des équipes de rédaction et à assurer la maîtrise d’œuvre du projet tout en partici- pant activement à l’écriture. Au-delà de l’ambition de réaliser un travail de qualité, il s’agit d’une expérience humaine inoubliable. Trois personnes ont contribué à la réalisation de ce projet et je souhaite, au sens propre, leur donner le dernier mot : merci. Merci à Eric d’Engenières, éditeur chez Dunod, qui m’a accordé sa confiance, a su m’encourager par la qualité de nos échanges et a pu me guider par des conseils et suggestions toujours formulés de manière chaleureuse. Merci à Hervé Coilland, directeur de l’I.U.T Nancy-Charlemagne et Vice-Président de l’Université Nancy 2 qui a toujours trouvé le temps pour des discussions ami- cales au cours desquelles se précisent les objectifs, s’échangent les idées et s’affinent quelques points de rédaction. Merci, infiniment, à Nezha, ma femme, qui accepte que beaucoup de temps soit consacré à ce projet, qui préserve autour de moi le calme nécessaire à une entreprise rédactionnelle, qui m’encourage et me conseille dans les phases les plus critiques et dont l’amour est un soutien permanent.

Nancy, le 15 février 2008 El-Haj LAAMRI

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Avant-propos

Ce livre couvre le programme d’algèbre et de géométrie de deuxième année PC et PSI, et poursuit la démarche rédactionnelle entamée avec les ouvrages de première année. Comme pour l’ensemble de la collection, le respect du programme officiel est un principe que nous avons suivi à la lettre. Ainsi, tout exercice et tout rappel de cours faisant appel à une notion qui n’est pas commune aux programmes de PC et PSI est signalé de façon explicite. Par ailleurs, le programme prévoit la reprise et l’ap- profondissement en deuxième année de certains points abordés en première année : espaces vectoriels, applications linéaires, calcul matriciel, déterminants, étude affine et métrique des courbes, espaces euclidiens. Nous avons mis à profit cette possi- bilité pour que le présent ouvrage, tout en étant sans ambiguïté destiné aux élèves de deuxième année, présente plusieurs chapitres utilisables en première lecture dès le deuxième semestre de première année et pour les « révisions estivales » entre la première et la deuxième année. Les premiers chapitres traitent des espaces vectoriels et des applications linéaires, puis du calcul matriciel. Les notions nouvelles de sommes directes, de trace et de matrices semblables sont illustrées par de nombreux exercices. De manière délibé- rée, les exercices proposés ont été sélectionnés pour clarifier et maîtriser l’articula- tion entre le point de vue matriciel et le point de vue vectoriel, plus géométrique. Ces chapitres permettent de réviser et d’approfondir le programme de première année tout en donnant une vue réaliste des exercices donnés à l’oral. Les systèmes linéaires et les déterminants nous ont permis, par les exercices choisis, de montrer l’effica- cité d’une démarche méthodique sur des exemples simples qui s’appuient sur les acquis première année. Le passage à la dimension n supérieure à 3 justifie pleine- ment l’approche conceptuelle, complément impératif de l’approche technique anté- rieure. La réduction des endomorphismes est un point essentiel du programme de deuxième année en raison de son intérêt pour la formation de l’élève (toutes les notions d’algèbre linéaire sont sollicitées), de son intérêt pour la préparation aux concours (toutes les épreuves de concours, ou presque, abordent ces questions) et de son intérêt pour l’évolution future de l’élève-ingénieur qui rencontrera ces notions

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Avant-propos

utilisées dans de nombreux domaines scientifiques. Les espaces préhilbertiens et euclidiens réalisent une synthèse encore plus profonde entre les outils techniques et la démarche conceptuelle. Nous avons tenté de rendre compte par les rappels de cours et le choix des exercices de la richesse de ces concepts en privilégiant l’ap- proche méthodique et en montrant à l’élève les vertus unificatrices de notions qui dépassent largement la géométrie et s’appliquent aussi bien à l’analyse qu’à l’al- gèbre. Dans le chapitre « quadriques et coniques », la classification et la méthode de réduction sont présentées de façon détaillée et illustrées par de nombreux exemples. Notre expérience d’examinateurs d’oral nous montre que les courbes polaires et para- métrées sont souvent négligées par les élèves. Par des exercices venant de tous les concours, nous souhaitons leurs montrer que cette négligence est risquée. Nous avons rédigé ce chapitre de manière progressive en y intégrant les éléments de programme de première année pour construire un ensemble complet et autonome. Le chapitre suivant traite des surfaces définies par un paramétrage ou par une équation carté- sienne. C’est sous l’éclairage de ce double point de vue que sont abordées les notions fondamentales de vecteur normal et de plan tangent en un point régulier. Un choix judicieux et progressif d’exercices de concours permet aux étudiants de se familiari- ser avec les surfaces usuelles. Le dernier chapitre intitulé « compléments de géomé- trie » regroupe des exercices de tous les concours abordant les questions de géomé- trie (affine, euclidienne, isométries affines et vectorielles, lieux géométriques, calcul d’extrema). Absentes des programmes de deuxième année, ces notions ne sont pas absentes des concours. Enfin, nous avons apporté un soin tout particulier aux figures qui illustrent ces derniers chapitres. Les premiers chapitres, par leur contenu et leur structure, marquent la transition entre les principes rédactionnels et pédagogiques propres aux ouvrages de première année et ceux utilisés pour les ouvrages de deuxième année. En première année, nous avions choisi de présenter et d’illustrer de façon linéaire chaque nouvelle notion l’une après l’autre. Nous nous adressions alors à des lecteurs sortant des classes terminales et encore peu autonomes dans leur approche. En deuxième année, nous avons choisi de présenter globalement l’essentiel des notions d’un chapitre puis de progresser par étapes vers une compréhension et une maîtrise de plus en plus approfondies. Chaque chapitre est donc constitué de trois parties :

– une présentation synthétique de l’essentiel du cours suivie d’exercices d’assimila- tion immédiate, dans lesquels chaque nouvelle notion est testée, sans complication inutile à ce niveau, dans un contexte qui permet d’identifier clairement une et une seule difficulté et de la résoudre, en respectant une sorte de « règle des trois uni- tés » : un exercice, une difficulté, une solution ;

– des exercices d’entraînement dont la rédaction progressive et le découpage en questions ont pour objectif d’amener le lecteur à la compréhension en le confron- tant de façon progressive aux difficultés propres à la notion étudiée ;

– des exercices d’approfondissement destinés à mettre l’élève en situation de concours , avec la nécessité pour lui de faire preuve de compréhension, d’initia- tive, d’intuition et de maîtrise technique.

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Avant-propos

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La lecture d’un tel chapitre n’est donc plus nécessairement linéaire. La structure est parfaitement adaptée à des lecteurs de niveaux variés qui pourront éventuellement passer directement à une forme d’auto-évaluation en se concentrant sur les exercices d’approfondissements ou, au contraire, progresser pas à pas avec les exercices d’as- similation. Si les élèves de deuxième année ont pu gagner en autonomie, il n’en reste pas moins que leurs niveaux de compétence et de compréhension restent très hétéro- gènes. Ainsi, entre des « 3/2 » qui découvrent le programme pour la première fois et n’ont encore été confrontés à aucun concours, des « 5/2 » qui ont déjà étudié le programme mais ont échoué à leur première expérience et des « 5/2 » déjà admis à des concours mais dont l’ambition les amène à viser encore plus haut, les différences sont très fortes. Ce sont ces différences, constatées en particulier lors des séances de « colles », qui nous ont amenés à cette rédaction permettant plusieurs niveaux de lecture et d’utilisation de l’ouvrage. Entre les chapitres eux-mêmes, le programme de deuxième année n’impose pas d’ordre ni de découpage, contrairement au programme de première année. Cette liberté nous a permis de choisir une progression qui nous semblait la plus adaptée et la plus équilibrée. Chaque étape présente un nombre de notions nouvelles accep- table pour une perception d’ensemble compatible avec la structure des chapitres. Il n’y a pas que la hauteur des étages qui fait la difficulté d’un escalier : la hauteur acceptable des marches et leur régularité peut faciliter l’ascension. . . Nous avons donc retenu une progression qui nous semble adaptée, sans affirmer pour autant que d’autres progressions sont à rejeter. Notre diversité d’expérience, avantage de la rédaction collective, nous amène d’ailleurs à utiliser différentes progressions dans nos pratiques d’enseignement. Il reste ensuite le choix le plus difficile : face à l’infi- nité d’exercices possibles et au temps fini dont disposent les élèves pour préparer les concours, que proposer ? Quelques principes ont guidé notre sélection :

– respecter le parti-pris de progressivité en donnant des exercices qui permettent

d’assimiler, puis de s’entraîner et enfin d’approfondir ;

– donner une vue précise et réaliste d’exercices qui « tombent à l’oral » en s’ap- puyant en particulier sur une veille attentive des sujets donnés à l’oral dans plu- sieurs concours depuis plusieurs années ;

– privilégier les exercices « génériques » dont la maîtrise donne les clefs de nom- breux exercices (comme il avait déjà été annoncé en avant-propos des ouvrages de première année : habituer les élèves à reconnaître les « visages connus » sous leurs différentes apparences) ;

– profiter du « nomadisme » des exercices constaté entre des concours différents et ne pas hésiter à proposer un sujet de MP si son intérêt pédagogique le justifie, sachant que ce même sujet peut apparaître plus tard en PC ou PSI. . .

– convaincre les élèves que les oraux couvrent tout le programme des deux années.

Pour éviter l’arbitraire des préférences personnelles lors d’une rédaction collective, une référence incontestable et « objective » est nécessaire : nous avons choisi pour

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Avant-propos

référence la réalité des exercices donnés à l’oral, principalement depuis 2004, date d’application du nouveau programme. Mais ces exercices ont pour objectif le « clas- sement » des élèves et non leur formation. Dans un ouvrage d’apprentissage quoti- dien, certaines retouches se sont avérées nécessaires : lorsqu’ils utilisent ce livre, les élèves sont en cours de formation et pas encore en concours ! Notre expérience d’en- seignants d’abord, de « colleurs » ensuite, d’examinateurs enfin, nous a permis d’ob- server en situation réelle, dans différentes classes, les élèves face à ces exercices. . . ce qui nous a convaincus de la nécessité d’en faire évoluer la rédaction pour qu’ils passent du statut d’exercice d’oral au statut d’exercice pédagogique. Notre expé- rience nous a permis cette adaptation sans, en aucune manière, dénaturer ces exer- cices. La rédaction retouchée de certains exercices répond à la fois à un objectif péda- gogique et psychologique. Objectif pédagogique de guider l’élève par une rédaction détaillée qui fasse apparaître de façon explicite les difficultés et les techniques à maî- triser. Objectif psychologique de rassurer l’élève en l’amenant à résoudre seul une majorité de questions en favorisant ainsi le développement de son autonomie. Si un sujet a été donné à plusieurs concours, nous avons toujours choisi la version qui nous semblait la plus pédagogique, la plus détaillée. Nous avons également regroupé cer- tains énoncés d’oral qui nous semblaient complémentaires ou permettaient de donner un aperçu des sujets régulièrement abordés à l’écrit. Quant aux éléments de cours, chacun sait que ce qui est élégamment écrit dans un cours à la rédaction parfaite n’est pas toujours aussi clair dans l’esprit des élèves. . . et nous n’avons pas hésité, parfois, à sacrifier l’élégance de la rédaction à la redondance lorsque cette dernière nous permettait de rendre explicites des notions souvent restées implicites. C’est en premier lieu aux élèves des classes préparatoires MP, MP*, PC1, PC2 et PC* du Lycée Henri Poincaré et PSI et PSI* du Lycée Henri Loritz de Nancy que nous adressons, collectivement, nos remerciements. Ils ont en effet largement contribué par leurs réactions, leurs questions, leurs erreurs et leur compréhension à guider nos efforts de présentation des exercices, de clarification des questions, de simplification des corrigés.

Toujours aussi enthousiasmante cette aventure rédactionnelle est aussi une aventure humaine dans laquelle nous avons été aidés. Aidés matériellement par l’Institut Elie Cartan de Nancy qui nous a permis d’utiliser ses moyens informatiques et ses ressources documentaires. Aidés par l’IREM qui nous a donné un accès privilégié à ses ressources documen- taires, ainsi que par l’I.U.T Nancy-Charlemagne dont la bibliothèque nous a toujours reçus avec sourire et efficacité. Aidés également par le Lycée Henri Poincaré de Nancy qui nous a accueillis chaque samedi matin, de septembre à mars, dans une salle équipée de moyens informatiques. Aidés enfin par trois collègues du Lycée Henri Poincaré, Gilles Demeusois, Michel Eguether et Edouard Lebeau qui nous ont lus en détail et dont les remarques ont sen- siblement amélioré le présent ouvrage. Que tous soient sincèrement remerciés.

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Avant-propos

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Notre collègue de l’Institut Elie Cartan de Nancy, Françoise Géandier, a relu une partie du manuscrit... et a du supporter dans notre bureau commun la présence de l’ensemble de l’équipe. Nous la remercions et nous lui demandons de nous excuser pour le désordre conséquent. Il est inévitable que certaines erreurs aient échappé à la vigilance de tous ceux qui ont lu cet ouvrage. Nous en assumons seuls la responsabilité et nous espérons que ceux qui en découvriront voudront bien nous faire part de leurs remarques à l’adresse suivante [email protected]. Enfin, si dans cette aventure humaine certaines personnes nous ont aidés, il en est sans qui rien n’aurait été possible. Nos compagnes, par leur infinie patience, leur soutien sans faille et leur attentive présence ont joué un rôle essentiel dans l’abou- tissement de ce projet. Au moment de mettre un point final à cet ouvrage c’est vers elles que nos pensées se tournent.

Nancy le 15 avril 2008 El-Haj Laamri, Philippe Chateaux, Gérard Eguether, Alain Mansoux, David Rupprecht, Laurent Schwald

Les exercices qui nous ont semblé les plus difficiles sont signalés par un ou deux symboles (cid:0).

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Espaces vectoriels et applications linéaires

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Les exercices de ce chapitre portent sur une partie du cours qui pour son essentiel a été vue en première année. Les notions de famille génératrice, famille libre et base sont simplement étendues au cas des familles infinies. La notion plus nouvelle de somme directe est détaillée dans les rappels de cours et fait l’objet de plusieurs exer- cices. Les exercices d’assimilation et d’entraînement sont dans leur grande majorité abordables dès le second semestre de la première année. Ce chapitre constituera éga- lement un excellent support pour les révisions estivales. Les exercices d’approfon- dissement seront très utiles lors de la reprise de ce chapitre en deuxième année.

1.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION Dans tout ce qui suit, K est le corps R ou C.

1.1.1 Familles libres, familles génératrices, bases

Ce qu’il faut savoir

• Soit E un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble (éventuellement infini) et F = (xi )i∈I une famille d’éléments de E. ◦ On dit que la famille F est libre lorsque pour toute partie finie J de I et pour toute famille (li )i∈J d’éléments de K, on a :

(cid:2)

li xi = 0E ⇒ ∀i ∈ J , li = 0K.

i∈J

◦ On dit que la famille F est génératrice de E lorsque pour tout x élément de E il existe une partie finie J de I et une famille (li )i∈J d’éléments de K, telles que : (cid:2)

x =

li xi .

i∈J ◦ On dit que la famille F est une base de E lorsque c’est une famille libre et génératrice. • Espace vectoriel de dimension finie ◦ On dit que E est de dimension finie lorsque E admet une famille génératrice finie. ◦ Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, alors

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Chap. 1. Espaces vectoriels et Applications linéaires

1) E admet une base ;

2) toutes les bases de E ont même cardinal appelé dimension de E ;

3) toute famille libre peut être complétée en une base de E (théorème de la base

incomplète).

◦ Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ et soit F une famille de n éléments de E. Les trois propositions suivantes sont équivalentes : 1) F est une famille libre de E ; 2) F est une famille génératrice de E ; 3) F est une base de E.

• Exemples Soient n et p dans N∗. ◦ Le K-espace vectoriel (Kn, +, ·) est de dimension n. ◦ Le K-espace vectoriel (Kn[X ], +, ·) est de dimension n + 1. ◦ Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives n et p, le K-espace vectoriel (L(E, F), +, ·) des applications linéaires de E dans F est de dimension finie np. ◦ Le K-espace vectoriel Mnp(K) est de dimension np. ◦ Le K-espace vectoriel (K [X ] , +, ·) n’est pas de dimension finie. ◦ Le K-espace vectoriel des suites à valeurs dans K et le K-espace vectoriel des fonctions de classe Ck(I ) à valeurs dans K, où I est un intervalle de R non réduit à un point, sont des espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie.

Exercice 1.1 On considère une suite (Pk)k∈N de polynômes de K [X ] telle que pour tout k dans N on a deg Pk = k. 1) Montrer que pour tout n dans N la famille (Pk)0(cid:2)k(cid:2)n est une base de Kn [X ]. 2) Montrer que (Pk)k∈N est une base de K [X ].

1) Soit (l1, . . . , ln) dans Kn tel que (1)

n(cid:2)

lk Pk = 0 . Raisonnons par l’absurde

k=1 et supposons que les lk ne sont pas tous nuls. Soit alors p le plus grand des entiers k dans [[1, n]] tel que lk est non nul. Puisque pour tout k dans N on a deg Pk = k,

n(cid:2)

on en déduit que deg(

lk Pk) = p et par conséquent ce polynôme est non nul.

k=0

Ce qui contredit (1). La famille (Pk)0(cid:2)k(cid:2)n est libre et de cardinal n + 1 dans un espace vectoriel de dimension n + 1, c’est donc une base de Kn [X ].

2) • Montrons que la famille (Pi )i∈N est libre.

Soit J une partie finie de N. Montrons que la famille (Pj ) j∈J est libre. Comme

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1.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation

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J est finie, il existe n dans N tel que J ⊂ [[0, n]] et par conséquent, la famille (Pj ) j∈J est une sous-famille de (P0, . . . , Pn). Comme on a déjà montré que cette dernière famille est libre et qu’une sous-famille d’une famille libre est libre, on en déduit que la famille (Pj ) j∈J est libre. Le résultat est vrai pour toute partie J finie de N. On en conclut que la famille (Pi )i∈N est libre. • Montrons que la famille (Pi )i∈N est génératrice. Soit P dans K [X ]. Soit n le degré de P. Le polynôme P est dans Kn [X ] et s’écrit donc comme combinaison linéaire de la famille (P0, . . . , Pn), puisque d’après le résultat précédent la famille (P0, . . . , Pn) est une base de Kn [X ]. Il s’écrit donc comme une combinaison linéaire finie de la famille (Pi )i∈N. On a ainsi montré que la famille (Pi )i∈N est une base de K [X ]. Exemples de bases de K[X ] : Soit a ∈ K, les famille ((X − a)n)n∈N et (cid:3) sont des bases de K[X ] qui rendent souvent de bons services

(cid:4)

(X − a)n n!

n∈N

dans les exercices.

Exercice 1.2

CCP PC 2006 Soit n dans N∗ et soit (a, b) dans R2 tel que a (cid:7)= b. 1) Justifier que la famille B =

(X − a)k

(cid:5)

(cid:6) 0(cid:2)k(cid:2)2n est une base de R2n [X ].

2) Déterminer les coordonnées de (X − a)n(X − b)n dans la base B.

Indication de la rédaction : remarquer que X − b = X − a + (a − b).

1) On déduit de l’exercice 1.1 page 2 que la famille B est une base de R2n [X ]. On peut également utiliser la formule de Taylor : tout polynôme P de R2n [X ] s’écrit

P (k)(a) k!

(X − a)k. Ceci montre que la famille B est génératrice. Comme

2n(cid:2)

P =

k=0

elle est de plus de cardinal 2n +1 dans un espace de dimension 2n +1, on en déduit que c’est une base de R2n [X ].

2) On peut essayer d’utiliser la formule de Taylor mais les calculs ne sont pas com- modes. Comme X − b = X − a + (a − b), on a d’après la formule du binôme de

Newton (X − b)n =

(X − a)k(a − b)n−k. On en déduit que

(cid:4)

(cid:3) n k

n(cid:2)

k=0

(X − a)n(X − b)n =

(cid:3)

n(cid:2)

k=0

(cid:4)

n k

(X − a)n+k(a − b)n−k.

t i l é d

n u

t s e

e é s i r o t u a

n o n

e i p o c o t o h p

a L –

d o n u D ©

×

4

Chap. 1. Espaces vectoriels et Applications linéaires

Le changement d’indice i = n + k montre alors que

(X − a)n(X − b)n =

(cid:4)

(cid:3)

n i − n

2n(cid:2)

i=n

(X − a)i (a − b)2n−i .

On obtient alors les coordonnées l0, . . . , l2n de (X − a)n(X − b)n dans la base B

⎧ ⎨

lk =

⎩

(cid:4)

0 (a − b)2n−k

si

si

k ∈ [[0, n − 1]] k ∈ [[n, 2n]]

(cid:3)

n k − n

Exercice 1.3 Soit E = F(R, R) et soit a dans R. On considère la fonction fa définie pour tout x ∈ R par fa(x) = eax . Montrer que la famille L = ( fa)a∈R est une famille libre de E.

n(cid:2)

i=1

Montrons que toute sous-famille finie de L est libre. Pour cela, on va procéder par récurrence sur le cardinal des sous-familles finies de L. Soit L1 une sous-famille L de cardinal 1. Cette famille contient une seule fonction fa, cette famille est libre puisque cette fonction n’est pas nulle. Soit n (cid:2) 2 un entier naturel. On suppose que toute sous-famille Ln−1 de L de cardinal n − 1 est libre. Soit alors L = ( fa1, . . . , fan ) une sous-famille de L. Quitte