1 | P a g e
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Exercice 1
<- LakeHuron
Time Series:
Start = 1875
End = 1972
Frequency = 1
[1] 580.38 581.86 . . . .. . . . . . .. . . . . ..
1) Commenter cette série en utilisant les graphiques suivants :
Est-elle stationnaire.
2) On effectue le test adf (stationnarité), on trouve le résultat suivant :
adf.test(LakeHuron)
Augmented Dickey-Fuller Test
data: LakeHuron
Dickey-Fuller = -2.7796, Lag order = 4,
p-value = 0.254
alternative hypothesis: stationary
Donner la décision du test au seuil de 5%.
3)
- Maintenant on applique le log à la série afin de la « stationnariser » et on trace l’ACF
correspondant:
2 | P a g e
Log(LakeHuron) est-elle stationnaire ?
- On applique à nouveau le test de adf de stationnarité et on trouve le résultat
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suivant :
adf.test(log(LakeHuron))
Augmented Dickey-Fuller Test
-
-
-
-
-
-
-
-
La série est-elle stationnaire ? justifier.
Expliquer pourquoi le log n’a pas pu améliorer le processus de la stationnarité de la série
data: log(LakeHuron)
Dickey-Fuller = -2.7792, Lag order = 4,
p-value = 0.2542
alternative hypothesis: stationary
4) A présent, on appelle l’objet sous R (diff).
- A votre avis et compte tenu de la question précédente faut-il appliqer diff à la série ou à
log(série) ?
- On applique diff à la série et on appelle z la nouvelle série :
adf.test(z)
Augmented Dickey-Fuller Test
data: z
Dickey-Fuller = -5.4687, Lag order = 4,
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p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary
Warning message:
In adf.test(z) : p-value smaller than printed p-value
Z est-elle stationnaire ? justifier
5) On applique le code sous R auto.arima aux deux modèles suivants :
> auto.arima(LakeHuron)
Series: LakeHuron
ARIMA(0,1,0)
sigma^2 estimated as 0.5588: log likelihood=-109.11
AIC=220.22 AICc=220.26 BIC=222.79
> auto.arima(log(LakeHuron))
Series: log(LakeHuron)
ARIMA(0,1,0)
sigma^2 estimated as 2.075e-06: log likelihood=507.91
3 | P a g e
AIC=-1013.82 AICc=-1013.78 BIC=-1011.25
Lequel des deux modèles faut-il choisir pour la prédiction. Justifier
Exercice 2 :
On extrait de R la série suivante :
window(visitors)
Jan Feb Mar Apr May Jun
1985 75.7 75.4
1986 98.0 118.0 129.5 110.6 91.7 94.8
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1) Quelle est la tache faite par window.
2) Soit le graphique suivant :
La série visitors est-elle stationnaire. Justifier les causes de votre réponse.
3) A votre avis si on applique auto.arima à la série sans la transformer, pensez-vous
qu’on va avoir un bon modèle permettant d’estimer la série et d’assurer la prédiction
par la suite. Justifier.
4) Proposer alors une démarche à suivre pour assurer une bonne estimation de la série
en montrant la ou les transformations à appliquer à la série tout en exposant l’effet
de ces transformations sur les données.
Exercice 3
On considère le modèle suivant :
Zt = 𝒆(𝑡) + 0.5𝒁(𝑡 − 1) − 0.8𝒁(𝑡 − 2) + 0.9𝒆(𝑡 − 1)
Où et est un bruit blanc Gaussien iid.
1) Identifier la série temporelle Z tout en exposant ses paramètres.
2) Z est-elle stationnaire. Justifier.
3) Z est-elle inversible. Justifier.
4) Proposer une simulation sous R de Z.
Exercice 4
4 | P a g e
Pour chacune des instructions (codes) suivantes, donner le modèle ARIMA
correspondant en justifiant s’il est stationnaire ou non :
- Model with ϕ1=0.6 and σ2=1. The process starts with y1=0:
- Model with ϕ1=0.6, θ1=0.6 and σ2=1
- Model with ϕ1=−0.8, ϕ2=0.3 and σ2=1