Thermodynamique de l’ingénieur : Énergétique et Environnement

=

f

(2)

-

f

(1)

[1.1]

où f(2) et f(1) sont les valeurs prises respectivement par la fonction d’état f aux états thermodynamique 2 et 1. Pour une transformation cyclique (état final rigoureusement identique à l’état initial) :

d

f =

0

Ú(cid:118)

[1.2]

Réciproquement, si une grandeur E est telle que sa variation entre deux états thermodynamiques 1 et 2 est indépendante du chemin suivi, on peut dire que E est une fonction d’état et sa variation pour une transfor- mation élémentaire est une différentielle totale dE. En revanche, pour une grandeur q qui n’est pas une fonction d’état :

2 q - = dÚ 1 2 1

q

[1.3]

dépend du chemin suivi pour aller de l’état 1 à l’état 2 car δq n’est pas une différentielle totale. De plus, pour une transformation cyclique :

qd π

0

Ú(cid:118)

[1.4]

3

. t i l é d

n u

t s e

e é s i r o t u a

n o n

e i p o c o t o h p

a L –

d o n u D ©

1 (cid:127) Les deux principes de la thermodynamique

1.2 Le premier principe de la thermodynamique

1.1.4 Équation d’état

Nous avons vu que toute propriété d’un système thermodynamique à l’équilibre se trouve reliée aux variables thermodynamiques du système. On appelle équation d’état toute équation reliant une propriété du système à un ensemble de variables indépendantes. C’est ainsi que les propriétés de la matière sont représentées par des équations d’état. L’équation des gaz parfaits PV = nRT (que nous présenterons au chapitre 3) est ainsi une équation d’état. L’équation de Van der Waals est une autre équation d’état largement utilisée pour les fluides :

Ê Á Ë

P

+

2 n a 2 V

ˆ Ê Á ˜ Ë ¯

V n

-

b

ˆ ˜ ¯

=

RT

[1.5]

1.2 Le premier principe

de la thermodynamique

Historiquement, la thermodynamique a d’abord été un outil d’analyse de la conversion de la chaleur en énergie mécanique : le Français Sadi Carnot fut un pionnier en publiant en 1824 ses Réflexions sur la puissance motrice du Feu. Nous allons maintenant introduire sous une formulation simple les bases de la thermodynamique nécessaires à la compréhension de la conversion de la chaleur en énergie mécanique et vice versa.

1.2.1 Système thermodynamique fermé (cid:1) Système thermodynamique fermé décrivant un cycle Le premier principe postule que, pour tout système fermé décrivant un cycle (état final thermodynamiquement identique à l’état initial), la cha- leur échangée avec l’environnement est rigoureusement égale (et de signe opposé) au travail échangé avec l’environnement au cours de ce cycle; ceci est vrai pour un cycle décrit de façon irréversible comme pour un cycle réversible. On peut écrire :

d

Q

(cid:118) Ú

(cid:118) + d Ú

W

=

0

[1.6]

4

1 (cid:127) Les deux principes de la thermodynamique

1.2 Le premier principe de la thermodynamique

On écrit δQ et δW et non dQ et dW pour bien montrer que ce ne sont pas des différentielles exactes : les valeurs de δQ et δW dépendent du chemin suivi. La règle de signe retenue pour décrire ces systèmes thermodynamiques convertissant la chaleur en énergie mécanique est la suivante : on compte positivement toute grandeur entrant dans le système et négativement toute grandeur sortant du système (règle dite « du banquier »). Cette règle vaut non seulement pour l’énergie mais également pour la matière.

Attention

Une autre règle de signe largement répandue consiste à compter positive- ment le travail mécanique produit et positivement la quantité de chaleur absorbée par le système. Cette règle généralement utilisée par les Anglo- Saxons présente des avantages dans le cas de la conversion thermomécanique (cas où on s’intéresse au travail produit et à la chaleur consommée).

Ceci est un postulat qui ne peut pas être démontré mais dont le résultat n’a jamais été mis en défaut. Ce premier principe, qui n’est autre qu’une loi de conservation, est à l’énergie, l’équivalent de la loi de Lavoisier, pour la matière, de conservation de la masse.

(cid:1) Système thermodynamique fermé évoluant entre deux états

thermodynamiques différents (cid:1) La fonction d’état « Énergie »

P

2

A

1

C

B

Figure 1.1 − Schéma pour démontrer l’existence de la fonction d’état « Énergie totale E ».

v

Si un système fermé évolue entre deux états thermo- dynamiques 1 et 2 par une transformation A, nous allons supposer que ce même sys- tème subit une transforma- tion B ultérieure qui le ramène à l’état 1 (Figure 1.1).

5

. t i l é d

n u

t s e

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n o n

e i p o c o t o h p

a L –

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1 (cid:127) Les deux principes de la thermodynamique

1.2 Le premier principe de la thermodynamique

Au cours de la transformation A + B, le système a donc décrit un cycle et nous sommes ramenés au cas précédent. Nous pouvons donc utiliser le postulat précédent et écrire :

d

Q

(cid:118) Ú

(cid:118) + d Ú

W

=

0

en décomposant le cycle en deux parties, on obtient :

2 Ú 1

d

Q A

1 + d Ú 2

Q B

2 + d Ú 1

W

A

1 + d Ú 2

W B

=

0

[1.7]

Supposons maintenant qu’une autre transformation C permette de revenir de l’état 2 à l’état 1, on aura de même :

2 Ú 1

d

Q A

1 + d Ú 2

Q C

2 + d Ú 1

W

A

1 + d Ú 2

W C

=

0

En combinant ces deux dernières équations, on obtient :

1 Ú 2

(

d

Q W + d

1 Ú 2

(

=

)

B

d

Q W + d

) C

[1.8]

[1.9]

Comme B et C sont des transformations quelconques, ceci démontre que la variation de (δQ + δW) est la même pour toute transformation permettant de passer de l’état 2 à l’état 1 indépendamment du chemin parcouru. Les états 1 et 2 étant également quelconques, ce résultat est valable pour toute transformation. Nous en concluons que δQ + δW est une différentielle exacte d’une fonction d’état; cette fonction d’état est appelée l’énergie totale E du système thermodynamique :

δQ + δW = dE

[1.10]

Nous notons dE et non δE car dE est une différentielle exacte (ce que ne sont ni δQ ni δW).

6

1 (cid:127) Les deux principes de la thermodynamique

1.2 Le premier principe de la thermodynamique

Le sens physique de la fonction d’état énergie E est qu’elle représente toute l’énergie du système thermodynamique dans un état thermodyna- mique donné. Cette énergie peut être décomposée en trois parties : – l’énergie cinétique Ecin correspond au déplacement macroscopique des éléments du système thermodynamique (mais n’incluant pas l’agita- tion moléculaire);

– l’énergie potentielle Epot globale des éléments du système (mais

n’incluant pas l’énergie potentielle atomique ou moléculaire);

– l’énergie interne U qui regroupe toutes les autres énergies non com-

prises dans les deux précédentes :

E = U + Ecin + Epot

En différentiant, on obtient :

dE = dU + dEcin + dEpot

où toutes les différentielles sont des différentielles exactes. Le premier principe de la thermodynamique peut donc s’écrire :

δQ = dU + dEcin + dEpot – δW

L’énergie cinétique du système est simplement donnée par :

E

cin

1 2

= Â i

2

ˆ m V i i

[1.11]

[1.12]

[1.13]

[1.14]

où mi est la masse d’un sous-système i animé de la vitesse . La décom- position doit être effectuée sur l’ensemble des sous-ensembles de vitesses différentes. L’énergie potentielle due à la force de gravité est de même donnée par :

ˆ iV

E

pot

= Â j

m gz j

j

[1.15]

où mj est la masse du sous-système j placé au point d’altitude zj dans le champ de la gravité g. Les énergies cinétique, potentielle et interne sont des grandeurs extensives car elles dépendent de la masse du système. On définit des énergies

. t i l é d

n u

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7

1 (cid:127) Les deux principes de la thermodynamique

1.2 Le premier principe de la thermodynamique

massiques qui correspondent aux énergies d’une unité de masse du sys- tème et sont des grandeurs intensives. Considérons l’échange de travail mécanique au cours d’une opération de compression puis de détente d’un gaz entre deux états 1 et 2. Les travaux réversibles de compression et de détente sont donnés respectivement par :

W

2 - = -Ú 1 2 1

d P V

W

1 - = -Ú 2 1 2

d P V

le travail total au cours de la compression et la détente est égal à :

W

= -

Ú(cid:118)

d P V

π

0

P

P

P

3

2

2

3

1

1

4

1

2

4

V

V

V

Figure 1.2 − Travail échangé dépendant du chemin suivi.

Afin d’illustrer ce point, sur la figure 1.2 est tracée une évolution cycli- que au cours de laquelle un gaz subit un chauffage à volume constant (évolution 1-3), une détente à pression constante (3-2), un refroidis- sement à volume constant (2-4) puis une compression à pression cons- tante (4-1). Le travail résultant du travail contre les forces de pression est représenté par l’aire hachurée 1-3-2-4-1 sur la figure 1.2. Ce travail n’est pas nul et l’on constate que, si l’on va de 1 en 2 en passant par 3 ou par 4, le travail contre les forces de pression n’est pas le même. Ce travail

8

1 (cid:127) Les deux principes de la thermodynamique

1.2 Le premier principe de la thermodynamique

dépend du chemin suivi au cours de la transformation 1-2. δW = −PdV n’est pas une différentielle exacte et le travail n’est pas une fonction d’état. Il en est de même pour la chaleur. Notons que si δW était une fonction d’état, il n’y aurait pas de travail échangé au cours d’un cycle.

(cid:1) Système thermodynamique fermé évoluant entre deux états

thermodynamiques à volume total constant

Lorsque le volume total du système est constant, il n’y a pas de travail contre les forces de pression et, en l’absence d’échange d’énergie méca- nique avec l’extérieur, l’équation [1.13] se réduit à :

(

d

Q

) V

=

(

)d E V

[1.16]

et, en l’absence de variation d’énergie cinétique et d’énergie potentielle :

(

d

Q

) V

=

(

)d U V

Dans une transformation à volume constant, la quantité de chaleur échangée entre un système et le milieu extérieur est simplement égale à la variation d’énergie de ce système. La capacité thermique C d’un système fermé est définie comme le rapport :

C

=

d d

Q T

où δQ est la chaleur échangée par le système fermé avec l’extérieur et dT est la variation de température, supposée uniforme, du système. Dans la mesure où δQ dépend du chemin suivi pour effectuer la transformation, pour définir la capacité thermique, il faut préciser la transformation thermodynamique. C’est ainsi qu’est définie la capacité thermique à volume constant pour un système fermé :

C

v

=

dÊ Á Ë d

Q T

ˆ ˜ ¯

v

=

Ê Á Ë

d d

U T

ˆ ˜ ¯

v

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. t i l é d

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1 (cid:127) Les deux principes de la thermodynamique

1.2 Le premier principe de la thermodynamique

(cid:1) Système thermodynamique fermé évoluant entre deux états

thermodynamiques à pression totale constante

Dans les applications, on rencontre souvent des cas de transformations au cours desquelles la pression totale reste constante. Supposant qu’il n’y a pas de modifications de l’énergie cinétique ni de l’énergie potentielle, le premier principe s’écrit simplement :

Q

1 2 -

=

U U W

-

-

2

1

1 2 -

[1.17]

Le travail réversible contre les forces de pression est donné par :

W

- = - 1 2

2 Ú 1

d P V

= -

( P V 2

-

V 1

)

[1.18]

En combinant ces équations, on obtient :

Q

- = 1 2

( U

2

+

P V 2 2

)

-

( U P V + 1

1

1

)

[1.19]

On voit que, dans ce cas très particulier, la quantité de chaleur transférée pendant la transformation est donnée par la variation de la quantité U + PV entre les états initial et final. Il est donc utile de définir une nouvelle fonction d’état, l’enthalpie, qui est également une grandeur extensive :

H = U + PV

Pour une transformation à pression constante, on a simplement :

(

) 1 2 PQ -

= D

H

[1.20]

[1.21]

On peut également définir une enthalpie massique correspondant à une masse unitaire :

h = u + Pv

[1.22]

On définit une capacité thermique à pression constante :

C

P

=

dÊ Á Ë d

Q T

ˆ ˜ ¯

P

=

Ê Á Ë

d d

H T

ˆ ˜ ¯

P

10

1 (cid:127) Les deux principes de la thermodynamique

1.2 Le premier principe de la thermodynamique

1.2.2 Système thermodynamique ouvert

Considérons maintenant un système ouvert qui échange non seulement chaleur et énergie mécanique avec le milieu extérieur mais également de la matière. Pour aborder ce problème, nous allons d’abord introduire les notions de volume de contrôle et de système fermé déformable.

(cid:1) Volume de contrôle

Le système ouvert n’est bien défini que si sa surface extérieure est elle- même bien définie. Or cette surface est limitée par certains orifices par lesquels s’effectue l’échange de matière avec l’extérieur. Contentons- nous, pour l’explication, du cas où il n’y a que deux orifices : un orifice pour l’entrée de matière et un orifice pour la sortie de matière. On peut ainsi définir un volume de contrôle correspondant au système ouvert. Mais on peut également définir un volume de contrôle ayant pour sur- face extérieure celle du système ouvert mais comprenant de plus un volume dans le conduit d’entrée et/ou de sortie. Considérant un écoule- ment de fluide dans le système ouvert, nous allons ainsi définir trois volumes de contrôle : – le volume de contrôle du système ouvert; – le volume de contrôle comprenant le système ouvert plus le volume du fluide dans le conduit d’entrée comprenant la masse de fluide qui va pénétrer dans l’ouvert entre les temps t et t + dt;

– le volume de contrôle comprenant le système ouvert plus le volume du fluide dans le conduit de sortie comprenant la masse de fluide qui va sortir de l’ouvert entre les temps t et t + dt.

(cid:1) Système fermé déformable

Ayant introduit ces différents volumes de contrôle, on peut définir un système fermé déformable (Fermé 1) qui, à l’instant t, comprend tout le système ouvert plus la matière contenue dans le volume du conduit d’entrée qui sera introduite dans le système ouvert entre les temps t et t + dt (Figure 1.3). Au cours du temps t à t + dt, la matière contenue dans le conduit d’entrée va pénétrer dans l’ouvert; en revanche de la matière va sortir dans le conduit de sortie. Ainsi, on peut définir à l’instant t + dt

. t i l é d

n u

t s e

e é s i r o t u a

n o n

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a L –

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11

1 (cid:127) Les deux principes de la thermodynamique

1.2 Le premier principe de la thermodynamique

un système fermé (Figure 1.3) qui comprend le système ouvert plus la matière contenue dans le volume du conduit de sortie qui est extraite entre les temps t et t + dt (Fermé 2, Figure 1.3). La matière contenue dans ces deux systèmes fermés que nous venons de définir est, par cons- truction de ces deux fermés, la même. Ces deux fermés ne constituent qu’un seul et même système ayant des volumes de contrôle différents. On a ainsi défini un volume fermé déformable qui évolue en fonction du temps sans échanger de matière avec l’environnement.

. Q

Système fermé à l’instant t = système ouvert à t + masse qui va rentrer pendant l’intervalle de temps t, t + dt

∆Me

(M, E) ouvert, t

∆Ee

∆Ve

. W

. Q

Système fermé à l’instant t + dt = système ouvert à (t + dt) + masse qui est sortie pendant l’intervalle de temps t, t + dt

(M, E) ouvert, t + dt

. W

∆Vs

∆Ms

∆Es

Figure 1.3 − Volume de contrôle déformable simulant un système ouvert à partir d’un système fermé.

12

1 (cid:127) Les deux principes de la thermodynamique

1.2 Le premier principe de la thermodynamique

M

fermé

=

M

ouvert,

t

+ D

M

e

=

M

ouvert,

t dt +

+ D

M

s

[1.23]

où nous avons appelé Mouvert,t et Mouvert,t + dt la masse du système ouvert aux instants t et t + dt (cette masse est différente en régime transitoire mais est la même en régime stationnaire – ou permanent) et ∆Me et ∆Ms les quantités de matière qui rentrent dans et sortent du système ouvert pendant l’intervalle de temps dt. La relation [1.23] intègre le fait que la masse est une grandeur extensive. La même démarche sera appliquée dans ce chapitre pour l’énergie et pour l’entropie. On a utilisé les valeurs absolues car, avec notre règle de signe, ∆Ms est négatif.

(cid:1) Conservation de l’énergie

Q(cid:5)

W(cid:5)

Ayant introduit un système fermé déformable (Figure 1.3), il est pos- sible de lui appliquer le premier principe, sous la forme [1.10] (dE = δQ + δW), qui échange une puissance calorifique avec le milieu extérieur (correspondant à une quantité de chaleur δQ pendant l’intervalle de temps dt) et une puissance mécanique (d’énergie autre que calorifique) avec le milieu extérieur (correspondant à un travail δW pendant l’intervalle de temps dt). Néanmoins, du travail est également transporté par le débit massique (c’est le travail de transvasement). En effet, le fluide à une entrée ou une sortie a un ensemble de propriétés P, v, e, u, h, etc. Supposons qu’une masse de fluide possédant ces propriétés se trouve dans un conduit en entrée. Cette masse de fluide se trouve poussée dans le volume de contrôle par le reste du fluide. Au cours du transvasement, cette poussée effectue un travail équivalent à celui d’un piston qui se déplace de ∆Ve et ce ∆Ve pour un volume déplacé ∆Ve à la pression Pe. Pour le travail est égal à Pe fluide extrait du volume de contrôle, le même raisonnement vaut, mais cette fois, le système doit produire du travail pour pousser le fluide et le ) . Une autre quantité de travail est à travail est égal à s prendre en considération, c’est celle liée à la déformation éventuelle du système (nulle en régime permanent mais qui peut exister en régime transitoire). Nous supposerons ici que cette quantité de travail est prise en compte dans le terme δW qui comptabilise donc tous les échanges de

P V - D s s

P V D

=

(

. t i l é d

n u

t s e

e é s i r o t u a

n o n

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13

1 (cid:127) Les deux principes de la thermodynamique

1.2 Le premier principe de la thermodynamique

travail autres que le travail de transvasement. Dans ces conditions, l’équation [1.10] de conservation de l’énergie du système fermé s’écrit :

E

fermé,

+ - t dt

E

fermé,

= d

t

Q W P V +

+ d

D

= d

Q W P V

+ d

D

+

( (

)

s

) )

e

e

- (

+

P V D

( P V D

)

s

[1.24]

s

e

(

)

)

(

+

P V D

P V D

Cette expression n’est rien d’autre que la relation [1.10] appliquée au système déformable dans laquelle apparaissent deux termes supplé- où les quantités ∆V sont des grandeurs mentaires : algébriques; dans l’équation [1.24], nous avons utilisé les deux notations avec et sans valeurs absolues pour bien indiquer que ∆Vs est négatif. En effet, la variation ∆V est comptée positivement si elle correspond à une masse qui pénètre dans le système. Par définition du système fermé déformable et introduisant les gran- deurs massiques, on peut comparer l’énergie du système fermé, qui est une grandeur extensive comme la masse, à celle du système ouvert de façon similaire à ce qui a été fait pour la masse :

E

fermé,

(

t

+

d

t

)

-

E

fermé,

t

=

E

ouvert,

(

t

+

d

t

)

-

E

ouvert,

( - D

e M

)

t

s

( - D

e M

)

e

[1.25]

où ont été introduits :

D

E

, e s

( = D

e M

)

, e s

D

V

, e s

=

(

v M D

)

, e s

[1.26]

où e et v sont respectivement l’énergie et le volume massique de la matière échangée avec le milieu extérieur. L’indice e ou s se réfère au débit entrant ou sortant. Introduisant les notions de puissances ( de débits (Figure 1.4), les équations [1.24] et [1.25] peuvent maintenant s’écrire sous la forme :

(cid:5) etQ

) et

(cid:5) W

m(cid:5)

E

fermé,

(

t

+

d

t

)

-

E

fermé,

=

t

(cid:5) d Q t W t +

d

(cid:5)

E

fermé,

(

t

+

d

t

)

-

E

fermé,

=

t

E

ouvert,

(

t

+

d

t

)

+

-

d

( (cid:5) t P vm

E

ouvert,

t

e

) -

Ï Ô Ì ÔÓ

14

d

+ (

( (cid:5) t P vm ) d e m t s

) ( -

(cid:5)

s

(a)

(cid:5) e m

)

e

d (b)

t

[1.27]

1 (cid:127) Les deux principes de la thermodynamique

1.2 Le premier principe de la thermodynamique

δQ

δW

dm

Considérons un système ouvert qui, dans l’intervalle de temps dt, échange de la chaleur, du travail mécani- que et de la masse avec son environnement. On définit les débits et les puissances instantanés en écrivant sim- plement que = (cid:5) d Q Q t = (cid:5) d m m t

d

Figure 1.4 − Définition des débits et puissances.

= (cid:5) , et d W W t d sans oublier la d règle de signe qui consiste à compter positivement ce qui rentre dans le système et à compter négati- vement ce qui sort du système. En régime stationnaire (les grandeurs définies dépendent de l’espace mais ne varient pas dans le temps), les débits et puissances instantanés sont des constantes indépendantes du temps mais pouvant varier dans l’espace. Combinant les équations [1.27a et b] et introduisant :

E

ouvert,

(

t

+

on obtient :

d E d t (cid:78) Accumulation

=

(cid:5) (cid:5) Q W + (cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:11)(cid:10)

Flux d’énergie thermique mécanique +

) d t d t

+

-

E

ouvert,

t

=

d E d t

e

(

)

) (cid:5) m e P v + + s (cid:8)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:9)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:10) Flux d’énergie via les transferts de masse

(cid:5) m e P v +

(

e

s

[1.28]

La formule la plus générale tient compte du fait qu’il peut y avoir plu- sieurs entrées et sorties possibles pour la matière ainsi que plusieurs sources de chaleur, sommant sur toutes ces entrées et sorties possibles ainsi que sur toutes les sources de chaleur :

d E d t

=

 i

(cid:5) (cid:5) Q W +

i

+

 , e s

( (cid:5) m e P v

+

, e s

)

, e s

[1.29]

En l’absence d’autre contribution à l’énergie spécifique totale que l’énergie interne, l’énergie cinétique et l’énergie potentielle de gravité, l’énergie

15

. t i l é d

n u

t s e

e é s i r o t u a

n o n

e i p o c o t o h p

a L –

d o n u D ©

1 (cid:127) Les deux principes de la thermodynamique

1.2 Le premier principe de la thermodynamique

massique e n’est autre que

1 ˆ V + 2 compte de la définition de l’enthalpie h = u + Pv, [1.29] s’écrit :

gz

ˆV

(

+

u

2

est la vitesse); en tenant

d E (cid:5) Q = i d t (cid:78) (cid:78) accumulation flux de chaleur

 i

+

(cid:5) W (cid:78) puissance mécanique

+

(cid:5) m

1 ˆ Â V 2 , e s , e s (cid:8)(cid:11)(c