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Théorie des Mécanismes
1. Introduction
L'objectif de ce chapitre est :
- de localiser quand elles existent, les inconnues de liaison ( inconnues hyperstatiques) que l'on ne peut
pas déterminer uniquement par l'application du principe fondamental de la statique ( ou de la
dynamique).
- de proposer éventuellement des modifications pour rendre le mécanisme isostatique ( sans inconnues
hyperstatiques)
2. Graphe des liaisons d'un mécanisme
3. Torseur statique et cinématique d'une liaison
4. Liaison équivalente
Supposons qu'il existe entre deux pièces (S1) et (S2) plusieurs liaisons réalisées avec ou sans pièces
intermédiaires
La liaison équivalente à l'ensemble des liaisons
situées entre (S1) et (S2) est la liaison théorique (L12)
qui a le même comportement que cette association
de liaisons. C'est-à-dire qui transmet la même action
mécanique et qui autorise le même mouvement.
Soit ℜ(O,x,y,z) un repère lié à (S2).
Torseur d'action mécanique de (S1) sur (S2) de la liaison équivalente:
{ ( τ
S
1
→
S
} )
O
2
=
{ } τ
O
=
( SR 1 ( SM O
→ →
S 2 S
1
)
)
2
=
X Y Z
L M N
(
, ), zyxO
,
; Dans la base
,( ), zyx
:
( SR (
1 SM O
)
S =→ 2 ) S =→ 2
1
zZyYxX
+
+
zNyMxL
+
+
Torseur cinématique du mouvement de (S2) par rapport à (S1) de la liaison équivalente:
{ ( ϑ
S
2
/
S
1
} )
O
=
{ } ϑ
O
=
(
Ω S 2 ( SV O
2
/
S /
1 S
)
)
1
O
=
α β γ
u
v w
(
), , zyxO
,
;Dans la base
), ,( zyx
:
Publicité
(
)
S
S 1 ( SV O
=→Ω )
2 S =→ 2
1
z γβα
+
+
y
x
xu
+
zwyv +
5. Liaison en parallèle
5.1. Définition
2
Exemple:
5.2. Liaison Equivalente
5.2.1Torseur statique
Le torseur statique de la liaison équivalente s’écrit en fonction des torseurs statiques des n liaisons en parallèle
comme suivant:
{ } τ
O
=
{ }∑ τ
Oi
i
=
,1
n
Remarque:Pour qu'une composante du torseur statique de la liaison équivalente ne soit pas nulle, il suffit
qu'une seule composante correspondante d'une liaison (Li) ne soit pas nulle.
5.2.2. Torseur Cinématique
Le torseur cinématique de la liaison équivalente doit être compatible avec les torseurs cinématiques des
liaisons (Li): { }Oi { } O ϑϑ =
∀ i=1..n
ou bien:
5.2.3. Mobilité : m= Nc-rc =6- rs
{ } { } = ϑϑ 1
O
O
=
{ } ϑ 2
O
=•••=
{ }On ϑ
avec { }
ϑ = Oi
{ )1/2(ϑ
i
}O
m ( ou d), le degré de mobilité de la liaison équivalente est le nombre de composantes non nulles dans le
torseur cinématique de la liaison équivalente
5.2.4. Hyperstatisme: h=Ns -rs
li est le degré de liaison de la liaison (Li)
h
= ∑
l
i
i
=
,1
n
6 +−
m
6. Liaison en Série
6.1. Définition
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On dit également que les (n+1) solides assemblés par les n liaisons en série constituent une chaîne continue
ouverte
Exemple:
6.2. Liaison Equivalente
6.2.1Torseur statique Soit : { } τ
{ ( S −τ i i
=
Oi
1 →
S
i
}O )
Le torseur statique { }Oτ de la liaison équivalente représente l'action mécanique du solide (S0) sur le solide (Sn)
Torseur statique de la liaison équivalente en fonction des torseurs statiques des n liaisons en série:
{ } τ
O
=
{ } τ 1
O
=
{ } τ 2
O
=•••=
{ }On τ
6.2.2. Torseur Cinématique }O Soi t : { } ) ϑ
{ = ϑ i
/ SS i
Oi
1−
Publicité
(
i
Le torseur cinématique { }Oϑ de la liaison équivalente représente le mouvement du solide (Sn) par rapport au
solide (S0)
6.2.3 Degré de mobilité : m= Nc
{ } { } = ϑϑ
O
On
+
{ ϑ n
1 −
}
O
+•••+
{ }O ϑ 1
Le degré de mobilité m de la chaîne continue ouverte comprenant n liaisons s'écrit:
m
c N = =
∑
i
=
,1
n
cin
où nci est le degré de liberté de la liaison (Li)
m=mu+mi
avec mu est le degré de mobilité utile et mi est le degré de mobilité interne
Une pièce a une mobilité interne mi dans un mécanisme si elle peut avoir un mouvement qui n'entraîne aucun
mouvement des autres pièces du mécanisme.
6.2.4. Hyperstatisme : h=0
la liaison équivalente aux n liaisons en série entre (S0) et (Sn) est toujours isostatique
7. Chaîne continue fermée
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Exemple:
7.1. Définition
7.2. Liaison Equivalente
7.2.1Torseur statique
Soit ℜ(O,x,y,z) un repère lié au solide (S0) qu'on le supposera être le bâti supportant la chaine continue fermée
Le nombre d'inconnues statiques introduit par les (n+1) liaisons de la chaine continue fermée es t :
N
s
=
∑
l i 1 +
i
,1 n =
avec li est le degré de liaison de la liaison (Li)
Toutes les relations entre ces Ns inconnues statiques s'obtiennent en appliquant le P.F.S. successivement aux
(n+1) solides(S0), (S1), (S2),…. (Sn).
En explicitant ces relations on trouve rs équations indépendantes entre les Ns inconnues statiques.
7.2.2. Torseur Cinématique
En écrivant la relation de composition des mouvements des différents solides en présence on obtient:
{ ( ϑ
S
0
/
S
0
} )
O
=
{ ( ϑ
S
0
/
S
n
} )
O
+
{ ( ϑ
S
n
/
S
n
1 −
} )
O
+•••+
{ ( ϑ
S
1
/
S
0
} )
O
=
{ }O 0
d'où
∑
{ } ϑ 1 +
Oi
i
,1 =
n
=
{ }O 0
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En explicitant ces relations on trouve 6 équations entre les Nc inconnues cinématiques.
N
c
=
∑
i
,1 =
n
n
ci
où nci est le degré de liberté de la liaison (Li)
7.2.3 Degré de Mobilité: m= Nc-rc
m représente le nombre d’inconnues cinématique indépendantes de la chaîne continue fermée.
où rc est le nombre de relations indépendantes entre les Nc inconnues cinématiques.
7.2.4. Hyperstatisme : h=Ns -rs
m=mu+mi
h=m+6- Nc
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8. Chaîne complexe
8.1. Définition
Une chaîne complexe est une chaîne cinématique constituée de plusieurs chaînes continues fermées.
Exemple
(L5)
(L1 ) (S0)
(S1)
(L2) (S2) (L3 ) (S3)
8.2. Nombre cyclometrique
(L4 )
(L1)
S0
S1
(L2)
(L5)
S2
(L4)
(L3)
S3
Soit p le nombre de pièces et l le nombre de liaisons de la chaîne complexe. Le nombre de chaînes continues
fermées indépendantes à étudier est :
γγγγ=l-p+1
γ est appelé nombre cyclometrique de la chaîne continue complexe
L’étude statique et cinématique de la chaîne continue complexe est réalisée en étudiant les γ chaînes continues
fermées qui la constitue.
On choisit les γ chaînes continues fermées de telle façon que toutes les liaisons y apparaissent au moins une
fois.
8.3. Degré de mobilité : m= Nc-rc
8.3. Hyperstatisme : h=Ns -rs
avec : • m : degré de mobilité • li :degré de liaison de la iéme liaison • p : le nombre de pièce de la chaine
m=mu+mi
mh
= ∑ +
l i
−
(6
p
−
)1
i
on peut aussi utilser la relation :
avec : • γ est appelé nombre cyclometrique de la chaîne continue complexe •
cN : Le nombre de degrés de liberté total des liaisons du mécanisme
mh =
+
γ6
−
cN
6
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1. Système ISO
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LES AJUSTEMENTS
2. Tolérances
3. Ajustement
Système à alésage normal (à utiliser de préférence) : La position de l’IT de l’alésage est fixée par la
lettre H (EI=0). On obtient le jeu ou le serrage en variant la position de l’IT de l’arbre.
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Exemple
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GUIDAGE EN ROTATION
PALIERS LISSES : bagues autolubrifiantes
TYPES DE ROULEMENTS
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MONTAGE DE ROULEMENTS
REGLES GENERALES DE MONTAGE
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CHOIX DES FIXATIONS RADIALES ET AXIALES
15
CHOIX DES AJUSTEMENTS
16
MONTAGE EN X – MONTAGE EN O
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CALCUL DES CLAVETTES
CALCUL DE GOUPILLE
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CALCUL DES VIS