Année Universitaire
2020 - 2021
TD3
Module
Nombre de pages
: Probabilités et Inférence Statistique
: 4
Exercice 1
Après la correction d'une épreuve comportant un grand nombre de candidats
(population), on constate que les notes ont pour moyenne 12 et pour écart-type 3. Soit
la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de taille 100 candidats prélevé au hasard et
avec remise, associe la moyenne des notes de cet échantillon.
?
1. Donner la loi de
2. On se propose de prélever un échantillon aléatoire de 100 notes (tirage avec
remise). Quelle est la probabilité d'avoir la moyenne des notes dans un tel
échantillon :
a. Supérieure à 12,5 ;
b. Comprise entre 12,5 et 12,9.
Exercice 2
Dans une population, on constate qu'il naît 52 % de garçons contre 48 % de filles. On note
p le pourcentage des garçons de cette population. Si
est la variable aléatoire qui, à toute
échantillon de taille 400 prélevé au hasard et avec remise dans cette population, associe le
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pourcentage de garçons dans cet échantillon.
1. Donner la loi de
.
1
XXPP
2. On se propose de prélever un échantillon au hasard et avec remise de 400
nouveaux-nés. Quelle est la probabilité d'avoir dans un tel échantillon :
a. Un pourcentage de garçons compris entre 50 % et 54 % ;
b. Un pourcentage de filles inférieur à 45 %.
Exercice 3
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi Binomiale ℬ(10, p), où p est un paramètre
inconnu. On se propose d’estimer p à l’aide d’un échantillon aléatoire de taille n de X : (X1,
X2, X3, …, Xn). On envisage les deux estimateurs suivants de p :
et
1. Calculer le biais de T1 et celui de T2 en estimant le paramètre p. Lequel des deux
estimateurs est sans biais.
2. Calculer l’EQM de T1 et celle de T2 en estimant le paramètre p. Lequel des deux
estimateurs est plus efficace.
Exercice 4
La compagnie d’assurance AssurNet veut estimer le montant moyen μ déboursé par ses
clients pour l’achat d’une police d’assurance vie (on suppose que ces montants sont
distribués selon une loi normale). Pour ce faire, un échantillon aléatoire de 9 clients
d’AssurNet a été sélectionné (tirage avec remise). On a établi dans cet échantillon que le
montant moyen déboursé par les clients d’AssurNet est égale à 500 Dinars.
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1. Supposons que l’intervalle de confiance à 90% pour la vraie moyenne μ est égale
, déterminer la valeur de l’écart-type s de l’échantillon ?
à
2. Supposons maintenant que = 25 et que l’échantillon reste inchangé. Avec quel
niveau de confiance peut-on affirmer que la vraie moyenne μ du montant
déboursé par les clients d’AssurNet est dans l’intervalle
?
3. Supposons que = 25 et que l’échantillon reste inchangé. Estimer par un intervalle
de confiance au seuil de 95% la vraie moyenne μ du montant déboursé par les
clients d’AssurNet.
4. Supposons que = 25. Déterminer le nombre de clients qu’on aurait fallu
sélectionner dans l’échantillon pour que l’on puisse affirmer, lors de l’estimation
de la moyenne μ par intervalle de confiance, avec un niveau de confiance de 95%
que l’erreur maximale commise soit égale à 10.
2
111niiTXn==21110niiTXn==x480,520480,520
Maintenant, AssurNet veut estimer la vraie proportion des clients ayant achetés une
police d’assurance vie après leur retraite. Le sondage a révélé que, sur 120 clients
sélectionnés au hasard, 84 clients achètent leur police d’assurance vie après leur retraite.
5. Déterminer une estimation ponctuelle de la varie proportion des clients ayant
achetés une police d’assurance vie après leur retraite.
6. Estimez, par intervalle de confiance au niveau 95%, la varie proportion
des
clients ayant achetés une police d’assurance vie après leur retraite.
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7. Déterminer le nombre de clients qu’on aurait fallu sélectionner pour que l’on
puisse affirmer avec un niveau de confiance de 95% que l’erreur maximale
commise est égale à 5%.
Exercice 5
Avant de concrétiser son adhésion à l’Europe, le gouvernement Espagnol a décidé
d’effectuer un sondage pour connaître l’opinion des gens sur une éventuelle adhésion. La
firme de sondage mandatée a choisi au hasard 1882 personnes à travers le pays pour
savoir si elles seraient favorables à cette adhésion. Le sondage a révélé que 885 personnes
ont été favorables à l’adhésion de leur pays à l’Europe.
1. Déterminer une estimation ponctuelle de la varie proportion des Espagnols qui
sont favorables à l’adhésion de leur pays à l’Europe.
2. Estimez, par intervalle de confiance au niveau 95%, la proportion des personnes
en Espagne qui sont favorables à l’adhésion à l’Europe.
3. Déterminer le nombre de personnes qu’il aurait fallu interroger pour que l’on
puisse affirmer avec un niveau de confiance de 95% que l’erreur maximale
commise est égale à 1%.
4. Avec un échantillon de 2000 personnes, quel est le niveau de confiance utilisé pour
obtenir une erreur maximale de 2%.
Exercice 6
Le responsable du service informatique d’une entreprise multinationale a noté le temps
d’utilisation (en minutes par heure) de 9 ordinateurs choisis au hasard parmi l’ensemble
des ordinateurs de cette entreprise. Les résultats de ces observations sont présentés dans
le tableau suivant :
3
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ppp
Temps d’utilisation
26.4
23.5
26.7
27.2
29.1
30.9
28.3
22.5
26.8
1. Calculer la moyenne et l’écart-type du temps d’utilisation de ces 9 ordinateurs.
2. Estimez par un intervalle de confiance au niveau 95%, la variance
du temps
d’utilisation des ordinateurs de cette entreprise multinationale (On suppose ici
que
temps d’utilisation des ordinateurs de cette entreprise suit
approximativement une loi normale).
le
4
2