Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime

u(cid:48)eu

u(cid:48)

u

u(cid:48) cos(u)

−u(cid:48) sin(u)

Fonction

Intervalle d’intégration

Primitive

(x − a)n, n ∈ N, a ∈ R

R

1

x − a

, a ∈ R

1

(x − a)n , a ∈ R, n ≥ 2

cos(ax), a ∈ R\{0}

] − ∞; a[ OU ]a; +∞[

] − ∞; a[ OU ]a; +∞[

−

sin(ax), a ∈ R\{0}

tan(x)

]kπ −

ln(x)

eax, a ∈ R\{0}

R

R

π

2

; kπ +

R+,∗

π

2

R

[, k ∈ Z

(x − a)α, a ∈ R, α ∈ R\{−1}

]a; +∞[

ax, a > 0

√

√

1

x2 + 1

x − a, a ∈ R

1

x − a

1

1 − x2

, a ∈ R

√

R

R

]a; +∞[

]a; +∞[

] − 1; 1[

1

n + 1

(x − a)n+1

ln(|x − a|)

1

(n − 1)(x − a)n−1

1

sin(ax)

a

1

−

a

cos(ax)

− ln(| cos(x)|)

x ln(x) − x

1

α + 1

eax

1

a

(x − a)α+1

1

ln(a)

ax

arctan(x)

2

3

(x − a)3/2

√

2

x − a

arcsin(x)

Quelques formules de trigonométrie vraiment utiles. a, b et x sont des réels (quelconques) :

cos2(x) + sin2(x) = 1,

cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b),

sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b),

cos(2x) = 2 cos2(x) − 1 = 1 − 2 sin2(x),

cos2(x) =

1 + cos(2x)

2

,

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x),

sin2(x) =

1 − cos(2x)

2

.

1

Fonctions usuelles : logarithme et exponentielle, fonction puissance,

fonctions circulaires et leurs réciproques

Définition 1 (Logarithme). On définit ln :]0, +∞[→ R comme la primitive de x (cid:55)→

1

x

qui s’annule en 1.

1. ln est continue et strictement croissante sur ]0, +∞[.

Propriété 1.

2. ∀x, y ∈]0, +∞[, ln(x · y) = ln(x) + ln(y).

3. ∀x > 0, ln( 1

x ) = − ln(x).

4. ∀x, y ∈]0, +∞[, ln( x

5. ∀n ∈ N, ∀x > 0, ln(xn) = n ln(x).

6.

y ) = ln(x) − ln(y).

ln(x) = −∞ et

ln(x) = +∞

lim

x→+∞

lim

x→0+

Définition 2 (Exponentielle). On définit exp : R →]0, +∞[ comme la solution de l’équation différentielle y(cid:48) = y de

condition initiale y(0) = 1.

On note exp(x) = ex.

1. exp est continue et strictement croissante sur R.

2. ∀x, y ∈ R, ex+y = ex · ey.

3. ∀x ∈ R, e−x = 1/ex.

ex

ey .

4. ∀x, y ∈ R, ex−y =

Propriété 2.

5. ∀n ∈ N, ∀x ∈ R, enx = (ex)n.

6.

ex = 0 et

ex = +∞.

lim

x→+∞

lim

x→−∞

Propriété 3. On a ∀x ∈ R, ln(ex) = x et ∀x > 0, eln(x) = x.

Définition 3 (Fonction puissance). Soit a ∈ R. On définit la fonction puissance sur ]0, +∞[ par

pa(x) := ea ln(x). On note xa := ea ln(x).

Exemples :

ln(x2) = 2 ln(x),

e2x+y = e2x · ey,

2x = ex ln(2),

√

x = x

1

2 = e

1

2 ln(x),

√

3

x = x

1

3 = e

1

3 ln(x).

Croissances comparées : Pour tous α > 0, β > 0,

lim

x→+∞

lim

x→+∞

(ln x)α

xβ = 0 et

eαx

xβ = +∞ et

xβ| ln x|α = 0

lim

x→0+

lim

x→−∞

|x|βeαx = 0

Autrement dit, l’exponentielle impose toujours sa limite en ±∞ aux fonctions puissances, et celles-ci imposent toujours

leur limites en 0+ ou +∞ au logarithme.

Fonctions circulaires réciproques

On suppose connues les fonctions sinus et cosinus. On rappelle que la fonction tangente est définie sur ] − π

2 ; π

2 [ par

tan(x) =

sin(x)

cos(x)

.

Valeurs spéciales des fonctions trigonométriques

x

0

cos(x) 1

0

sin(x)

tan(x) 0

π

6

√

3

2

1

2

1√

3

π

4

√

2

2

√

2

2

1

π

2π

π

2

3

3

0 − 1

1

2 −

2

√

√

√

3

3

1

√

√

2

2

3 ∞ −

3π

4

√

2

2 −

2

1

2

2

3 −1 − 1√

3

5π

π

6

√

3

2 −1

0

0

2

Formules de trigonométrie

cos2(x) + sin2(x) = 1

tan(x) =

sin(x)

cos(x)

cos(x + 2π) = cos(x)

sin(x + 2π) = sin(x)

tan(x + π) = tan(x)

cos(2x) = 2 cos2(x) − 1 = 1 − 2 sin2(x)

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

Définition 4 (Arcsinus). Sinus est une bijection de [− π

π

2

∀x ∈ [−1; 1], ∀θ ∈ [−

2 ; π

2 ] sur [−1; 1]. On appelle arcsinus sa réciproque.

π

2

x = sin(θ) ⇔ arcsin(x) = θ.

],

;

Définition 5 (Arccosinus). Cosinus est une bijection de [0; π] sur [−1; 1]. On appelle arccosinus sa réciproque.

∀x ∈ [−1; 1], ∀θ ∈ [0; π],

x = cos(θ) ⇔ arccos(x) = θ.

Définition 6 (Arctangente). Tangente est une bijection de ] − π

2 ; π

2 [ sur R. On appelle arctangente sa réciproque.

∀x ∈ R, ∀θ ∈] −

π

2

;

π

2

[,

x = tan(θ) ⇔ arctan(x) = θ.

Arcsinus

Arccosinus

Arctangente

1. ∀x ∈ [−1; 1], sin(arcsin(x)) = x.

Propriété 4.

2. ∀x ∈ [−1; 1], cos(arccos(x)) = x.

3. ∀x ∈ R, tan(arctan(x)) = x.

1. ∀θ ∈ [− π

2 ; π

2 ], arcsin(sin(θ)) = θ.

Propriété 5.

2. ∀θ ∈ [0; π], arccos(cos(θ)) = θ.

3. ∀θ ∈] − π

2 ; π

2 [, arctan(tan(θ)) = θ.

Ici x appartient au domaine de défi-

nition de la fonction réciproque.

(cid:70) Attention, ici θ ne parcourt pas

tout

l’ensemble de définition des

fonctions sinus, cosinus ou tangente !

Exemples :

1. arcsin(sin( 17π

2. arccos(cos( 17π

3. arctan(tan( 17π

5 )) = arcsin(sin( 20π

5 )) = arccos(cos( 20π

5 )) = arctan(tan(− 3π

5 − 3π

5 − 3π

5 )) = − 3π

5 .

5 )) = arcsin(sin(− 3π

5 )) = arccos(cos(− 3π

5 )) = − 3π

5 .

5 )) = arccos(cos( 3π

5 )) = 3π

5 .

Dérivées : Les fonctions arcsinus et arccosinus sont (infiniment) dérivables sur ] − 1; 1[ et arctangente est (infiniment)

dérivable sur R. Leurs dérivées sont données par

Propriété 6.

1. ∀x ∈] − 1; 1[, arcsin(cid:48)(x) =

√

1

1 − x2

.

2. ∀x ∈] − 1; 1[, arccos(cid:48)(x) = −

√

1

1 − x2

.

3. ∀x ∈ R, arctan(cid:48)(x) =

1

1 + x2 .

3