Systèmes logiques

CHAPITRE III

ALGEBRE DE BOOLE ET FONCTIONS LOGIQUES

Les circuits logiques constituent une partie très importante dans les systèmes électroniques.

On distingue deux sortes de circuits logiques :

▪ Circuits combinatoires dans lesquels l’état des signaux de sortie ne dépend que des

signaux d’entrée, les états antérieurs d’entrées n’ont aucun effet sur la sortie.

▪ Circuits séquentiels dans lesquels l’état de sortie dépend des signaux d’entrées et du

temps.

Ces circuits logiques sont caractérisés par des variables binaires, qui effectuent des

transitions entre deux états possibles. Ces deux états sont appelés niveau haut et niveau bas

ou niveau 1 et niveau 0.

La correspondance entre la variable binaire et le signal physique peut être établie de deux

manières :

▪ En logique dite positive, la variable logique 1 correspond à une tension supérieure à

celle du niveau 0. En général c’est cette logique qui est adoptée.

▪ En logique dite négative, la variable logique 1 correspond à une tension inférieure à

celle du niveau 0.

Pour étudier d’une manière systématique, ces variables binaires, on utilise une algèbre

différente de l’algèbre classique, dite algèbre de Boole.

I. Algèbre de Boole

L’algèbre de Boole est un ensemble de variables à deux états (0 et 1) dites aussi booléennes,

muni de trois opérateurs élémentaires :

▪ La multiplication logique ET ; son symbole est (.).

▪ L’addition logique OU ; son symbole est (+).

▪ L’inverse logique NON ; son symbole est (--).

1. Opérateurs de base de l’algèbre de Boole

Opérateur ET : si deux variables logiques A et B sont combinées par la multiplication logique

ET, le résultas s’exprime par : X = A.B

Cela se traduit par l’expression suivante : si A est vraie ET B est vraie alors X est vraie.

La liste complète des valeurs que peut prendre la fonction booléenne X en fonction de toutes

les combinaisons possibles des valeurs A et B peuvent être résumés dans un tableau appelé

table de vérité.

Systèmes logiques

X = A.B

Opérateur OU : l’addition logique de deux variables A et B donne : X = A+B

Cela se traduit par l’expression suivante : X est vrai si au moins A ou B est vrai.

La table de vérité de l’opérateur OU est la suivante :

X = A+B

Opérateur inverseur : c’est un opérateur à une seule variable. Le résultat X de l’opérateur

inverseur sur une variable booléenne A donne son complément :

La table de vérité de l’opérateur inverseur est la suivante :

2. Théorèmes de l’algèbre de Boole

Théorème de commutativité :

A + B = B + A

A.B = B.A

Théorème d’associativité :

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C

A.(B.C) = (A.B).C = A.B.C

Théorème de distributivité :

A.(B + C) = A.B + A.C

A + (B.C) = (A + B).(A + C)

AX=AX=

Systèmes logiques

Théorème d’idempotence :

A +A = A

A.A = A

Théorème de complémentation :

Théorème des constantes :

A.1 = A

A+0 = A

A+1 = 1

A.0 = 0

Théorème d’absorption :

A+A.B=A

A.(A+B) = A.A + A.B = A + A.B = A(1+B) = A.1 = A

Théorème d’allégement :

Théorème de De Morgan :

Principe de dualité : chaque théorème vu précédemment se présente sous deux formes duales.

L’énoncé du théorème dual se déduit immédiatement en remplaçant (+) par (.) et (0) par (1)

et réciproquement.

3. Représentation d’une fonction logique

Une fonction logique est une combinaison de variables booléennes reliées par les opérations

ET, OU et NON. Elle peut être représentée par une écriture algébrique ou une table de vérité.

0.1==+AAAABABABAAABAA..0..).(=+=+=+BABABABA..=++=BA+BA.BA.BA+()BABAAABABABAABAA+=+++=++=+1.....

Systèmes logiques

Représentation algébrique : une fonction logique écrite sous forme algébrique peut être

représentée sous différentes formes : somme, produit, somme canonique ou produit

canonique.

▪

Forme somme : une fonction logique est écrite sous la forme de somme, si elle est

constituée de plusieurs termes reliés entre eux par l’opérateur OU (appelée aussi forme

disjonctive). Les fonctions logiques suivantes sont écrites sous forme de somme :

▪

Forme produit : une fonction logique est écrite sous la forme de produit, si elle est

constituée de plusieurs facteurs reliés entre eux par l’opérateur ET (appelée aussi forme

conjonctive). Les fonctions logiques suivantes sont écrites sous forme de somme :

D’après le théorème de De Morgan, nous pouvons affirmer que, si une expression est écrite

sous la forme somme, son inverse sera sous la forme produit et vice versa.

▪

Forme somme canonique : une fonction logique est écrite sous forme de somme

canonique si toutes les variables figurent dans chaque terme et si, dans chacun de ces termes,

toutes les variables sont reliées entre elles par l’opérateur ET. Ces termes se désignet sous le

nom de mintermes.

Exemples :

Soient les fonctions à trois variables A, B, C

Toutes ces fonctions sont écrites sous forme de somme canonique sauf la fonction Z, car son

premier terme n’est pas un minterme (puisque C n’apparaît pas dans ce terme).

▪

Forme produit canonique : une fonction logique est écrite sous forme de produit

canonique si toutes les variables figurent dans chaque produit et si, dans chacun de es

termes, elles sont toutes reliées entre elles par l’opérateur OU. Ces produits se désignent sous

le nom de maxtermes.

Si une expression X est écrite sous forme de somme canonique, d’après le théorème de De

Morgan, son inverse sera sous forme de produit canonique et vice-versa, comme le montre

l’exemple suivant :

Table de vérité d’une fonction logique : une expression logique X(A, B, C…), fonction des

variables A, B, C…, peut être représentée par une table de vérité. Cette table donne les

valeurs que peut prendre X, suivant les différentes combinaisons des variables A, B, C…

BAX+=CBAX.+=BAX.=)).(.(EDCBAX++=CBABAZCBACBACBAYCBACBAX.............+=++=+=()()()CBACBACBACBACBACBACBACBACBAXCBACBACBAX++++++==++=++=......................

Exemple : soit la table de vérité suivante à trois variables A, B et C.

Systèmes logiques

L’expression algébrique de la fonction X est donnée par la somme des mintermes des trois

variables A, B et C relatifs à chaque case de X = 1.

On note qu’une table de vérité donne l’expression de X sous forme de somme canonique.

4. Simplification des expressions logiques

La simplification d’une expression logique consiste à réduire cette expression à sa forme la

plus simple mais équivalente, c-à-d à un nombre minimal de termes et à un nombre minimal

de variable dans chaque terme. Pour cela, nous allons utilisé deux méthodes de

simplification : simplification algébrique et simplification graphique par le diagramme de

Karnaugh.

a. Simplification algébrique : en utilisant les théorèmes de l’algèbre de Boole.

Exemple 1 :

Exemple 2 :

Exemple 3 :

CBACBACBAX......++=()()()CBAXYXYXorXCBBACBABACBACCBACBACBACBAX+=+=++=+=++=++=...............()()()DBAADBDBDABDBAYDDBDDADAAorDDBDBBDABDDADBADAADDBABAY.1......0....................=++=++====+++++=+++=()BABABBAAABBABABAZ+=+=++=++=......

Systèmes logiques

b. Simplification par diagramme de Karnaugh :

▪ Construction du diagramme de Karnaugh : une expression logique ou une table de

vérité peut être représentée sous forme d’un diagramme de Karnaugh. Pour construire ce

diagramme, il faut suivre les règles suivantes :

• Le diagramme de Karnaugh d’une table de vérité ou d’une fonction logique à N

variables est constitué d’un rectangle divisé en 2N cases. Chaque case du diagramme

correspond à l’une des 2N combinaisons possibles des N variables.

• L’ordre des variables en abscisses et en ordonnée est choisi de telle sorte qu’entre

deux cases adjacentes, il n’y a qu’une seule variable qui change de valeur (on codifie le

tableau selon le code de Gray).

Exemple 1 : Chercher les diagrammes de Karnaugh relatifs aux tables de vérité suivantes :

Table de vérité à deux variables

Table de vérité à trois variables

Exemple 2 : Chercher les diagrammes de Karnaugh correspondant à la fonction logique à

quatre variables écrite sous forme de somme canonique suivante :

ABBA.BA.BA.BA.CDCBADCBADCBAX.........++=

Systèmes logiques

Exemple 3 : déterminer le diagramme de Karnaugh correspondant à la fonction logique à

trois variables, écrite sous forme de produit canonique suivante :

Comme cette fonction n’est pas écrite sous forme de somme canonique, son inverse

d’après le théorème de De Morgan :

le sera

Les cases à 0 du diagramme de Karnaugh correspondent aux mintermes de la fonction

alors que les cases à 1 correspondent à celles de la fonction

Exemple 4 : déterminer les diagrammes de Karnaugh relatifs aux fonctions suivantes :

Le diagramme de Karnaugh relatif à X1 est le suivant :

Le terme A.B de la fonction X1 lui correspond deux cases dans le diagramme de Karnaugh,

car si on écrit X1 sous forme de somme canonique, on aura la somme de trois mintermes

suivants :

Avant de déterminer le diagramme de Karnaugh de la fonction X2, il est préférable de mettre

l’expression de cette fonction sous forme de somme de produit de termes. Chaque produit

lui correspond une case ou un groupe de cases dans le diagramme de Karnaugh.

BA.BA.BA.BA.DC.DC.DC.DC.()()()CBACBACBAX++++++=..XCBACBACBAX......++=XXBACBAX...1+=()()CBABAX...2+=BA.BA.BA.BA.C()CBACBACBACCBACBABACBAX............1++=++=+=()()CBABACBABACBABAX........2+=++=+=BA.BA.BA.BA.C

Le diagramme de Karnaugh correspondant est alors le suivant :

Systèmes logiques

▪

Simplification par le diagramme de Karnaugh : la méthode de simplification par

diagramme de Karnaugh est la suivante :

• On transpose la table de vérité ou la fonction algébrique dans le diagramme de

Karnaugh.

• On effectue éventuellement des regroupements adjacents de 1, 2, 4, 8… cases de 1

appelées monômes. On cherche à avoir le minimum de regroupements ayant chacun le

maximum de cases possibles.

• Il faut noter que l’adjacence existe pour les extrémités du diagramme de Karnaugh,

car ce dernier se présente comme un cylindre horizontal ou vertical, dans lequel les cases du

haut sont adjacentes aux cases du bas et les cases de droites adjacentes aux cases de gauche.

• Dans un regroupement d’une case contenant 1, on ne peut éliminer aucune variable.

On écrit donc le produit des variables caractérisant cette case du diagramme.

• Dans un regroupement de deux cases contenant 1, on élimine la variable qui change

d’état et l’on conserve le produit des variables qui n’ont pas changé d’état dans le

regroupement, et cela en utilisant la relation

• Dans un regroupement de quatre cases contenant 1, on élimine les deux variables qui

changent d’état, et on ne conserve que le produit des variables qui n’ont pas changé d’état

dans le regroupement.

Cette règle se généralise en éliminant N variables dans un regroupement de 2N cases

adjacentes contenant la valeur 1.

• On cherche à faire apparaître dans le diagramme de Karnaugh le minimum de

regroupement de cases de 1, avec un maximum de cases possibles, en remarquant qu’un

même 1 peut faire partie de plusieurs groupes en tenant compte de la relation

• Tout regroupement totalement inclus dans un regroupement plus grand est éliminé

car son expression sera simplifiée. On dit qu’il n’est pas un impliquant premier.

• Traduire chaque regroupement de cases de 1 par son expression booléenne.

• L’expression logique simplifiée est la somme logique des expressions booléennes de

chaque regroupement.

Exemple 1 : cas de deux variables

BA.BA.BA.BA.CAXAXA=+..AAA=+ABBABA..+

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X=C

Exemple 2 : cas de trois variables

Exemple 3 : cas de quatre variables

ABAB+BA.BA.BA.BA.CCCB.BA.BA.BA.BA.CCCB.BA.BA.BA.BA.CBA.BA.BA.BA.CCBA.+BA.BA.BA.BA.DC.DC.DC.DC.DCBACBADB......++

Systèmes logiques

▪ Quelques particularités :

• La simplification d’un tableau de Karnaugh peut ne pas être unique. Soit par

exemple, le tableau suivant dont le regroupement des doublets peut se faire de deux

manières différentes.

Ces deux expressions représentent la même fonction logique malgré leurs écritures

différentes.

• Dans certains problèmes, il n’est pas important qu’une ou plusieurs combinaisons de

sortie de la table de vérité soit 0 ou 1, il s’agit alors d’états indifférents. Dans ce cas, on a le

choix de mettre des 0 ou des 1 vis-à-vis des états indifférents dans le tableau de Karnaugh

pour obtenir une expression logique de sortie la plus simple possible.

BA.BA.BA.BA.DC.DC.DC.DC.DBA.BA.BA.BA.DC.DC.DC.DC.DB.BA.BA.BA.BA.CCACBBA...++BA.BA.BA.BA.CCBBACA...++

Systèmes logiques

Dans ce tableau, on peut mettre un 1 dans le carré

et un 0 dans la case

pour

obtenir l’expression la plus simple possible suivante : X=

II. Portes logiques

1. Portes logiques élémentaires

Porte NON (NOT) : c’est une porte à une seule entrée, la sortie X est le complément de

l’entrée A. cette porte matérialise l’opérateur inverseur.

Symbole Américain Symbole Européen

Expression :

Table de vérité :

Chronogramme :

Porte ET (AND) : la porte ET est un circuit électronique qui réalise la fonction multiplication

logique.

Expression :

Table de vérité :

Symbole Américain

Symbole Européen

BA.BA.BA.BA.CCBA..CBA..BAX=BAX.=

Systèmes logiques

Chronogramme

A 1

B 1

X 1

Porte OU (OR) : la porte OU est un circuit électronique qui réalise la fonction addition

logique (+).

Expression :

Table de vérité :

2. Portes logiques complètes

Symbole Américain

Symbole Européen

Les portes NON-ET et NON-OU sont qualifiées d’opérateurs complets car toute fonction

logique peut être réalisée à partir d’une combinaison d’un seul type de ces portes.

Porte NON-ET (NAND) : elle est équivalente à une porte ET suivie d’un inverseur.

Expression :

Table de vérité

Symbole Américain

Symbole Européen

Porte NON-OU (NOR) : elle est équivalente à une porte OU suivie d’un inverseur.

Expression :

Table de vérité

BAX+=BAX.=BAX+=

Systèmes logiques

Symbole Américain

Symbole Européen

3. Applications

En utilisant uniquement des portes NON-ET puis des portes NON-OU, élaborer le circuit

logique relatif à l’expression suivante :

Utilisation des portes NON-ET :

Utilisation des portes NON-OU :

4. Porte OU-exculsif (XOR)

Une porte OU-exclusif à deux entrées A et B est définie algébriquement par la relation

BABAX..+=BABABABABABAX.......=+=+=()()()()()()BABABABABABABABABABABABAX+++=+++=++==+=+=........BABABAX..+==

Systèmes logiques

Symbole Américain

Symbole Européen

= 1

La porte OU exclusif vérifie les propriétés suivantes :

La porte OU exclusif permet :

• La détection de deux éléments binaires différents :

• La détection d’un nombre de variables impair : X=1 si A=1 ou B=1 mais pas les deux.

• L’addition de deux éléments binaires :

La table de vérité de la porte XOR à trois variables est la suivante :

D’après cette table de vérité, on note X=1 si une seule des variables vaut 1 ou quand les trois

variables d’entrée valent 1. Pour le cas d’une porte XOR à N variables, on peut généraliser les

résultats suivants :

• X vaut 1 lorsqu’un nombre impair de variables prennent la valeur 1.

()()AAAAAAAACBACBAABBA======1010BsiABABsiABA===,0,1uneretenue+====011101110000()CBAX=

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• X vaut 0 lorsqu’un nombre pair de variables prennent la valeur 1.

On peut dire alors que la fonction XOR à plusieurs entrées reconnaît un mot de parité

impaire quand sa sortie X=1, il s’agit alors d’un contrôleur de parité impaire.

5. Porte NI exclusif (XNOR)

La porte NI exclusif est une porte Ou exclusif suivie d’un inverseur.

Table de vérité

Symbole Américain

Symbole Européen

= 1

III. Synthèse de circuits logiques combinatoire

Pour réaliser une fonction logique d’un système combinatoire, le concepteur doit utiliser

plusieurs portes logiques. La réalisation de cette fonction par un assemblage de portes

constitue le problème général de la synthèse.

1. Etapes de la synthèse

• Préparer la table de vérité relative à l’énoncé du problème.

• Déterminer la forme algébrique de l’expression logique de sortie.

• Simplifier cette expression en utilisant le diagramme de Karnaugh ou les théorèmes

de l’algèbre de Boole.

• A partir de cette expression simplifiée, on peut construire le circuit logique.

2. Exemple

Déterminer le circuit logique à trois entrées A, B et C de façon que la sortie X soit Haute

quand au moins deux entrées sont à l’état Haut.

Table de vérité correspondante :

BABABAX..+==

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Cette expression peut être simplifiée à l’aide du diagramme de Karnaugh suivant :

CBACBACBACBAX........+++=BA.BA.BA.BA.CBACACBX...++=

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CHAPITRE IV

CIRCUITS LOGIQUES COMBINATOIRES

I. Codeurs

1. Définition

Un codeur ou encodeur est un circuit logique qui possède 2N voies d’entrée dont une seule

est active et N voies de sortie.

CODEUR

2N entrées

N sorties

EM-1

SN-1

2. Synthèse de codeurs

Codeurs BCD : c’est un codeur à dix voies d’entrée (les chiffres décimaux), et qui produit en

sortie l’équivalent binaire du chiffre décimal appliqué à l’entrée.

Entrées

Sorties

Les équations logiques associées aux sorties Si se déduisent à partir de la table de vérité :

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S0 = E1 + E3 + E5 + E7 + E9

S1 = E2 + E3 + E6 + E7

S2 = E4 + E5 + E6 + E7

S3 = E8 + E9

Le circuit logique du codeur BCD est le suivant :

Ce codeur ne fonctionne convenablement que si une seule entrée est activée à la fois. En effet,

si deux entrées sont activées simultanément, le résultat du codage ne correspond à aucune

des deux entrées. Si par exemple on porte simultanément à 1 les entrées E2 et E4, on obtient

en sortie le nombre binaire 0110, ce qui correspond au code binaire de l’entrée E6. Pour éviter

ces erreurs, il faut utiliser un codeur de priorité.

Codeur de priorité : c’est un dispositif qui réalise le codage du numéro le plus élevé dans le cas

où plusieurs entrées seraient actionnées. Si par exemple les deux entrées E2 et E4 sont activées

en même temps, la réponse en sortie du circuit est 0100, code relatif à l’entrée E4.

Entrées

Sorties

En utilisant

fois

relation d’allégement

obtient :

Le circuit logique vérifiant les expressions logiques est :

899983EEEEES+=+=4567895678967897892..............EEEEEEEEEEEEEEEEEES+++=YXYXX+=+.).(.4567892EEEEEES+++=).....(.24534567891EEEEEEEEEES+++=1246834685687890..........EEEEEEEEEEEEEEES++++=

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3. Codeurs en circuits intégrés

Codeur BCD de priorité 74147 : c’est un codeur de priorité à 9 entrées ayant le même principe

de fonctionnement que le codeur de priorité décrit précédemment sauf qu’il est actif à l’état

bas et produit à la sortie le code BCD inversé.

Schéma interne : p 92

Table de vérité :

Entrées

Sorties

Les sorties du 74147 sont à 1 quand aucune des entrées n’est à son niveau vrai (bas), cela

correspond au code inversé du chiffre 0.

Pour obtenir le code BCD à partir des sorties du 74147, il faut ajouter un inverseur à chacune

des sorties.

Codeur de priorité 74148 : c’est un codeur de priorité à huit entrées, actifs à l’état bas. Le code

de sortie est un code en binaire inversé. C’est un codeur très utile car il permet non

seulement le codage d’un nombre à huit entrées mais un nombre supérieur.

Entrées

Sorties

9E8E7E6E5E4E3E2E1EDCBA1E7I6I5I4I3I2I1I0I2A1A0AsG0E

Systèmes logiques

Ce codeur possède en plus des entrées classiques du codeur de priorité, trois broches

supplémentaires

▪

l’entrée

=1, alors

codeur n’est pas validé

les

sorties

=1 quelles que soit les entrées.

Si l’entrée

=0, alors le codeur est validé et fournit le code correspondant à l’entrée

prioritaire qui se trouve à l’état bas.

▪

=0 et si toutes les entrées

sont à 1, alors la sortie

est à l’état bas.

II. Décodeur

1. Définition

Un décodeur est un circuit numérique qui possède N entrées et 2N sorties. Pour chacune des

combinaisons possibles des entrées, seule une ligne de sortie est validée. Les décodeurs sont

souvent dotés d’une ou plusieurs entrées de validation E qui servent à valider son

fonctionnement. Le schéma fonctionnel d’un décodeur à N bits est donné par :

EN-1

N entrées

validation

DECODEUR

SM-1

2N sorties

2. Synthèse de décodeurs

Décodeur à 3 bits : avec un décodeur à trois bits d’entrée, on peut avoir huit combinaisons de

sortie. Le décodeur comporte alors trois entrées A, B, C et huit sorties.

Entrées

Sorties

0E1EsG1E2A1A0AsG0E1E1EiI0E

On en déduit :

Systèmes logiques

En utilisant des portes ET à 3 entrées et des inverseurs, on obtient le logigramme du

décodeur.

3. Décodeurs en circuits intégrés

Décodeur BCD 7442 : c’est un décodeur à quatre bits d’entrée et à six sorties, l’une d’entre

elles étant seule validée à zéro. Les dix combinaisons de sortie sur les seize possibles sont

employées pour désigner les dix chiffres décimaux 0 à 9. le fonctionnement du décodeur est

donné par la table de vérité :

Entrées

Sorties

On note que pour toute combinaison supérieure à 9 (1001) à l’entrée, aucune sortie n’est

validée. Schéma interne du décodeur BCD 7442 est :

Décodeur 74154 : il a 4 voies d’entrée donc 16 voies de sortie (décodeur 1 parmi 16). Pour un

code d’entrée donné, une seule sortie est vraie au niveau Bas, quand les entrées de validation

sont à l’état bas. Si l’une des entrées de validation est à l’état haut, le décodeur n’est

pas validé, et toutes les sorties sont à 1 quel que soit le code à l’entrée.

Entrées

D C B A 15 14 13 12 11 10 9

X X X X

X X X X X

Sorties

ABCS..0=ABCS..1=ABCS..2=ABCS..3=ABCS..4=ABCS..5=ABCS..6=ABCS..7=1G2G1G2G

Systèmes logiques

...

Systèmes Logiques - Chapitre III: Algèbre de Boole et Fonctions Logiques

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