AIDE-M MOIRE DE LING NIEUR

2e dition

RENEE VEYSSEYRE

est agr g e

de math matiques

et professeur honoraire

l cole centrale

de Paris.

Ren e Veysseyre

STATISTIQUE

ET PROBABILIT S

POUR LING NIEUR

Cet aide-m moire rassemble toutes les d finitions,

lois et formules du calcul des probabilit s et de la

statistique utiles ling nieur en activit aussi bien

qu l tudiant en formation.

" La premi re partie donne les principales d finitions,

et propose un r sum de tous les r sultats que lon

peut obtenir partir dun tableau de donn es.

" La deuxi me partie donne le vocabulaire du calcul

des probabilit s et tudie les principales lois

discr tes et continues.

" La troisi me partie traite des probl mes rencontr s

par ling nieur dans le domaine de la d cision :

chantillonnage, estimation et tests dhypoth se,

tests de comparaison, tests dajustement, r gression.

" La quatri me partie propose un r sum de lanalyse

des donn es.

Cette nouvelle dition a t augment e dun chapitre

sur la r gression multiple.

ISBN 2 10 049994 7

www.dunod.com

2e dition

lims Page I Jeudi, 10. ao t 2006 11:21 11

Ren e Veysseyre

Aide-m moire

Statistique

pour ling nieur

probabilit s

dition

lims Page II Jeudi, 10. ao t 2006 11:21 11

Dunod, Paris, 2001, 2006

ISBN 2 10 049994 7

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page III #1

(cid:2)

TABLE DES MATI RES

Principales notations

Statistique descriptive

1 (cid:129) Repr sentation graphique et num rique des donn es

1.1

1.2

1.3

G n ralit s et principales d nitions

S ries num riques une dimension

S ries num riques deux dimensions

Calcul des probabilit s

2 (cid:129) Le mod le probabiliste

Introduction

Les concepts probabilistes

2.1

2.2

2.3 Mesure de probabilit et espace probabilis

2.4

chantillons et sous-populations

3 (cid:129) Probabilit conditionnelle. Ind pendance

3.1

3.2

3.3

D nition

Principe des probabilit s compos es

v nements ind pendants

c(cid:2)

(cid:2)

III

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page IV #2

(cid:2)

3.4

3.5

Ind pendance deux deux et ind pendance mutuelle

Th or me de Bayes

4 (cid:129) Variables al atoires r elles

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

G n ralit s sur les variables al atoires

Fonction de r partition

Densit de probabilit

Discontinuit s dune fonction de r partition et lois discr tes

Loi de probabilit dune variable al atoire Y fonction

dune variable al atoire X

Ind pendance de deux variables al atoires

4.6

4.7 Moments dune variable al atoire

5 (cid:129) Lois de probabilit discr tes

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

D nition dune variable discr te

Loi de Dirac

Loi uniforme

Loi binomiale ou loi des tirages avec remise

Loi multinomiale

Loi hyperg om trique ou loi du tirage exhaustif

Loi de Poisson

Lois limites

R sum

6 (cid:129) Lois de probabilit continues

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

G n ralit s

Loi uniforme

Loi exponentielle

Loi gamma

Lois b ta de types I et II

Loi de Laplace-Gauss ou loi normale

Loi log-normale

7 (cid:129) Convolution. Fonctions caract ristiques.

Convergences stochastiques

7.1

Convolution

100

109

112

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page V #3

(cid:2)

7.2

7.3

7.4

7.5

Fonction caract ristique

Convergence des suites de variables al atoires

Lois des grands nombres

Th or me central limite

8 (cid:129) Variables al atoires simultan es

8.1

8.2

8.3

8.4

tude dun couple de variables al atoires discr tes

tude dun couple de variables al atoires continues

Extension des vecteurs al atoires

Application : loi normale multidimensionnelle

9 (cid:129) Processus al atoires

D nitions

Processus quivalents

Continuit s

Processus stationnaires

Exemples de processus al atoires

9.1

9.2

9.3 Moments

9.4

9.5

9.6

9.7 Martingale

9.8 Mouvement brownien

9.9 Marche au hasard

9.10 Processus et cha nes de Markov

9.11 Processus ponctuels

9.12 Application aux ph nom nes dattente

Statistique inf rentielle

10 (cid:129) Caract ristiques dun chantillon.

Application aux chantillons gaussiens

10.1 Introduction

10.2 D nition dun chantillon al atoire

10.3 Caract ristiques dun chantillon al atoire

c(cid:2)

(cid:2)

116

120

124

125

127

132

139

141

146

147

148

149

150

153

154

156

157

158

166

170

179

180

181

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page VI #4

(cid:2)

10.4 Distribution du chi-deux

10.5 Distribution de Fisher-Snedecor

10.6 Distribution de Student

10.7 Cas particulier des chantillons gaussiens

11 (cid:129) Lois des valeurs extr mes. chantillons articiels

11.1 chantillons ordonn s et statistique dordre

(k), r alisation de rang k

11.2 Loi de la variable X

11.3 Loi de la variable X

(n), plus grande valeur observ e

11.4 Loi de la variable X

(1), plus petite valeur observ e

11.5 chantillons articiels et simulation

12 (cid:129) Th orie de lestimation

12.1 Expos du probl me et exemples

12.2 D nition dune statistique

12.3 Statistique exhaustive

12.4 Information de Fisher

185

188

190

192

195

198

199

202

203

210

212

213

218

13 (cid:129) Estimation ponctuelle

220

13.1 D nition dun estimateur

221

13.2 Principales qualit s dun estimateur

227

13.3 Estimateur sans biais de variance minimale

13.4 Pr cision intrins que dun estimateur et in galit de Cramer-Rao 228

229

13.5 M thode du maximum de vraisemblance (MV)

232

13.6 Extension au cas de plusieurs param tres

14 (cid:129) Estimation par intervalle de conance

14.1 D nition dun intervalle de conance

14.2 Exemples dintervalles de conance

14.3 Estimation et intervalle de conance dans le cas

dune population deffectif ni

15 (cid:129) Les tests statistiques

15.1 Notions g n rales sur les tests statistiques

15.2 Diff rentes cat gories de tests statistiques

235

238

253

255

263

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page VII #5

(cid:2)

15.3 Test entre deux hypoth ses simples et m thode de Neyman

et Pearson

15.4 Tests entre deux hypoth ses composites

15.5 Principaux tests param triques

16 (cid:129) Tests dajustement et de comparaison

16.1 Tests dajustement

16.2 Tests de comparaison d chantillons

16.3 Analyse de la variance simple entr e

264

267

270

277

289

299

17 (cid:129) Tests dind pendance

306

17.1 Variables quantitatives

308

17.2 Variables ordinales et corr lation des rangs

17.3 Concordance de p classements

313

17.4 Liaison entre une variable quantitative et une variable qualitative 314

316

17.5 Liaison entre deux variables qualitatives

18 (cid:129) Fiabilit

18.1 G n ralit s et principales d nitions

18.2 D nition math matique de la abilit

18.3 Taux de d faillance

18.4 Fiabilit dun mat riel usag

18.5 Fiabilit en cas de remplacement pr ventif

18.6 Esp rance de vie

18.7 Exemples de lois de abilit

18.8 Fiabilit dun syst me en fonction de celle de ses composants

Analyse des donn es

19 (cid:129) Introduction lanalyse des donn es

19.1 chantillon dune variable al atoire

19.2 chantillon dun couple de variables al atoires

c(cid:2)

321

322

324

326

327

328

332

337

338

343

VII

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page VIII #6

(cid:2)

19.3 chantillon de p variables al atoires

19.4 Pr sentation des principales m thodes

20 (cid:129) R gression lin aire simple

20.1 Introduction

20.2 Mesures de liaison

20.3 Choix des variables

20.4 Mod le th orique de la r gression simple

20.5 Ajustement du mod le de r gression lin aire

sur des donn es exp rimentales

20.6 tude de la r gression lin aire (aspects descriptifs)

20.7 tude de la r gression lin aire (aspects inf rentiels)

20.8 tude dune valeur pr visionnelle

20.9 Conclusions

345

348

352

353

354

355

357

359

363

371

375

21 (cid:129) R gression multiple. Mod le lin aire g n ral

376

21.1 Introduction

377

21.2 R gression entre variables al atoires

21.3 Mod le lin aire g n ral

382

21.4 Estimations des param tres du mod le de r gression (Y, Xb, s2 In) 385

21.5 Estimation du param tre b du mod le lin aire

21.6 Tests dans le mod le lin aire

21.7 Intervalle de pr vision

21.8 Corr lations

21.9 Fiabilit de la r gression

22 (cid:129) Analyse de la variance

22.1 G n ralit s et but de la th orie

22.2 Analyse de la variance double entr e

22.3 Analyse de la variance orthogonale entr es multiples

22.4 Analyse de la variance embo t e

22.5 Carr latin

387

390

393

410

411

419

422

427

VIII

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page IX #7

(cid:2)

Annexes

Analyse combinatoire

Rappels math matiques

Tables statistiques

Bibliographie

Index

c(cid:2)

(cid:2)

433

436

442

467

471

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page X #8

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page XI #9

(cid:2)

PRINCIPALES NOTATIONS

Ensemble des entiers positifs ou nuls (on dit aussi les entiers naturels).

Ensemble des entiers strictement positifs

(cet ensemble ne contient pas 0).

Ensemble des entiers de signes quelconques.

Ensemble Z sauf 0.

Ensemble des entiers de signes quelconques.

R1 Ensemble des entiers positifs ou nuls.

Ensemble des entiers non nuls.

Cardinal dun ensemble ni (abr viation card) :

Lentier naturel qui indique le nombre de ses l ments.

Cardinal dun ensemble inni : un nombre appel aleph.

1 fonction caract ristique de lensemble gale 1 pour les points de

cet ensemble et 0, sinon.

Notation de la fonction exponentielle :

ea ou exp a (la deuxi me notation est utilis e pour viter d crire un exposant

trop long).

Notation de la fonction logarithme :

ln d signe le logarithme n p rien et log le logarithme base 10 sauf dans le

cas de la loi log-normale.

Factorielle n! 5 n(n 1)(n 2)...2 3 1.

Matrice transpos e :

La matrice tA transpos e de la matrice A est obtenue en permutant lignes et

colonnes.

c(cid:2)

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page XII #10

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page 1 #11

(cid:2)

Statistique

descriptive

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page 2 #12

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page 3 #13

(cid:2)

1 (cid:129) REPR SENTATION

GRAPHIQUE ET NUM RIQUE

DES DONN ES

1.1 G n ralit s et principales d nitions

Ce premier chapitre donne les d nitions et les propri t s des principales no-

tions utiles pour comprendre et traiter un probl me de statistique.

La statistique descriptive a pour but :

de d gager les propri t s essentielles que lon peut d duire dune accumu-

lation de donn es ;

de donner une image concise et simpli e de la r alit .

Le r sultat dune observation, dune mesure, nest pas gale la valeur th o-

rique calcul e ou esp r e par ling nieur ; la r p tition dune m me mesure,

r alis e dans des conditions qui semblent identiques, ne conduit pas tou-

jours aux m mes r sultats. Ces uctuations, dues des causes nombreuses,

connues ou inconnues, contr l es ou non, cr ent des difcult s aux ing -

nieurs et aux scientiques. Quel r sultat doivent-ils prendre ? Quel degr de

conance peuvent-ils accorder la d cision prise ? Les r ponses une enqu te

varient dun individu un autre ; quelles conclusions valables peut-on tirer

dun sondage ? Les m thodes de la statistique descriptive apportent des r -

ponses ces probl mes.

Pour tre soumis un traitement statistique, un tableau de donn es doit com-

porter au moins une variable de nature al atoire. Une d nition simple du

caract re al atoire dune variable est quelle peut prendre au hasard des valeurs

diff rentes.

c(cid:2)

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page 4 #14

1 " Repr sentation

graphique et num rique

des donn es

1.1 G n ralit s et principales

d nitions

1.1.1 Population et individus

Ensemble statistique ou population : r union des individus sur lesquels on tu-

die une ou plusieurs propri t s.

Unit statistique : chaque individu.

Une population doit tre correctement d nie an que lappartenance dun

individu cette population soit reconnue sans ambigu t .

Exemple 1.1

Une usine fabrique des tiges m talliques utilis es dans lassemblage de certaines

structures. Pour tudier la r sistance la traction de ces tiges, on mesure cette

r sistance pour un lot de 100 tiges.

Propri t tudi e : la r sistance la traction de tiges m talliques.

Population statistique : lensemble des 100 tiges ou des 100 mesures.

Unit statistique : chacune des tiges ou chacune des 100 mesures.

1.1.2 Caract res et variables statistiques

Caract res

On sint resse certaines particularit s ou caract res des individus dune popu-

lation statistique :

un seul caract re tudi , s rie num rique une dimension (paragraphe 1.2),

(para-

deux caract res tudi s,

s rie num rique deux dimensions

graphe 1.3),

plus de deux caract res, on doit utiliser les techniques de lanalyse multidi-

mensionnelle (voir chapitres 19 et suivants).

Les caract res tudi s peuvent tre :

le poids, la taille, le niveau d tudes, la cat gorie socioprofessionnelle, le

lieu dhabitation..., dans le secteur des sciences humaines,

le poids, la masse, la composition..., dans le secteur des sciences techniques.

Modalit s

Un caract re peut prendre diff rentes modalit s. Ces modalit s doivent tre

incompatibles et exhaustives an que lappartenance ou la non-appartenance

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page 5 #15

1 " Repr sentation

graphique et num rique

des donn es

1.1 G n ralit s et principales

d nitions

dun individu une modalit soit d nie sans ambigu t . Un caract re peut

tre :

quantitatif, les modalit s sont mesurables ou rep rables,

qualitatif, les modalit s ne sont pas mesurables.

Variables statistiques ou al atoires

Une variable statistique ou al atoire est un caract re faisant lobjet dune tude

statistique. Elle peut donc tre qualitative ou quantitative.

Une variable quantitative est appel e :

discr te si elle prend un nombre ni de valeurs souvent enti res,

continue si elle prend toutes les valeurs dun intervalle ni ou inni.

Remarque

En toute rigueur, une variable statistique ne peut jamais tre continue, le degr

de pr cision des mesures ou des appareils entra nant toujours des discontinuit s

dans les r sultats.

Une variable statistique ou al atoire est not e par une lettre majuscule X , Y ,

et les valeurs quelle prend par des lettres minuscules x1, x2..., y1, y2...

1.1.3 chantillon

c(cid:2)

chantillon : groupe restreint, ou sous-ensemble, issu de la population.

chantillon al atoire : les r sultats recueillis sur ce sous-ensemble doivent pou-

voir tre tendus, cest- -dire inf r s, la population enti re.

Pour d nir un tel chantillon, une m thode consiste pr lever, au hasard, un

sous-ensemble dindividus, en utilisant, par exemple, des tables de nombres au

hasard (chapitre 11, paragraphe 11.5).

1.1.4 Fr quences absolues, relatives, cumul es

Dans le cas des variables discr tes, on appelle :

Fr quence absolue ni ou effectif, associ e une valeur xi de la variable al a-

toire X , le nombre dapparitions de cette variable dans la population ou

dans l chantillon.

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page 6 #16

1 " Repr sentation

graphique et num rique

des donn es

1.1 G n ralit s et principales

d nitions

Fr quence relative, associ e la valeur xi de la variable al atoire X , le nombre

fi 5

o ni est la fr quence absolue et n le nombre total de donn es.

Fr quence cumul e absolue, associ e une valeur xi de la variable, le nombre

dindividus dont la mesure est inf rieure ou gale xi.

i(cid:2)

Ni 5

k51

On d nit la fr quence cumul e relative :

Fi 5

i(cid:2)

k51

Exemple 1.2 D fauts relev s sur une pi ce de tissu

Un fabricant de tissu essaie une nouvelle machine ; il compte le nombre de d fauts

sur 75 chantillons de 10 m tres. Il a trouv les r sultats suivants :

Tableau 1.1 Nombre de d fauts sur une pi ce de tissus.

Nombre k de d fauts

Nombre nk d chantillons

Nombre dindividus : les 75 chantillons.

Fr quence absolue associ e la valeur k, le nombre nk : par exemple, sur les 75

chantillons examin s, 11 pr sentent k 5 2 d fauts, donc si k 5 2, nk 5 11.

Fr quence relative associ e la valeur k : le quotient nk

11/75 5 0,146 est la fr quence relative associ e la valeur k 5 2.

Fr quence cumul e absolue associ e la valeur k : le nombre d chantillons ayant

au plus k d fauts (k compris).

38 1 15 1 11 5 64 est la fr quence cumul e absolue associ e la valeur k 5 2.

Fr quence cumul e relative associ e la valeur k, le nombre d chantillons ayant

au plus k d fauts (k compris) divis par n.

/n.

64/75 5 0,853 est la fr quence cumul e relative associ e la valeur k 5 2.

Les fr quences relatives et les fr quences cumul es relatives peuvent tre utili-

s es pour comparer deux ou plusieurs populations.

(cid:2)

c(cid:2)

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page 7 #17

1 " Repr sentation

graphique et num rique

des donn es

1.2 S ries num riques

une dimension

Dans le cas dune distribution continue, les donn es sont en g n ral regrou-

p es en classes (paragraphe 1.2.1). Les fr quences absolues, relatives et cumu-

l es sont d nies par rapport aux classes et non par rapport aux valeurs de la

variable.

1.2 S ries num riques une dimension

1.2.1 Repr sentation graphique des donn es

En pr sence dun ensemble de donn es associ es un seul caract re, on doit :

ranger ces donn es par valeurs non d croissantes (ou non croissantes) et

d terminer les fr quences absolues, relatives et cumul es,

visualiser ces donn es laide dun diagramme en b tons pour des variables

discr tes ou dun histogramme pour des variables continues.

Rangement des donn es par valeurs non d croissantes

Variables discr tes

Tableau 1.2 Donn es discr tes.

Valeurs

de la

variable

Fr quences

absolues

Fr quences

relatives

Fr quences

cumul es

absolues

Fr quences

cumul es

relatives

i(cid:2)

Fi 5

k51

Exemple 1.3 D fauts relev s sur une pi ce de tissu (suite)

On compl te le tableau 1.1 en calculant les fr quences relatives fi, toutes les fr -

quences absolues cumul es Ni et les fr quences relatives cumul es Fi.

Tableau 1.3 tude statistique du nombre de d fauts sur une pi ce de tissu.

Nombre

de d fauts

0,506

0,20

53 5 38 1 15

0,706

0,146

64 5 53 1 11

0,853

0,08

0,04

70 5 64 1 6

73 5 70 1 3

0,933

0,973

0,026

75 5 73 1 2

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page 8 #18

1 " Repr sentation

graphique et num rique

des donn es

Variables continues

1.2 S ries num riques

une dimension

Les donn es sont regroup es en k classes.

Une classe est d nie par ses extr mit s ei1, ei et son effectif ni.

Effectif dune classe ou fr quence absolue

Le nombre ni de valeurs de la variable X telles que : ei1 (cid:2) X < ei.

Amplitude dune classe

La quantit ei ei1.

Fr quence cumul e relative

Fi 5

i(cid:2)

k51

avec F1 5 f1. Elle donne la proportion des individus tels que X < ei.

Tableau 1.4 Donn es continues.

Classes

ei1 (cid:2) X < ei

Effectifs

Fr quences absolues

Fr quences cumul es

Exemple 1.4 Essais de abilit de dispositifs lectroniques

100 dispositifs identiques ont t soumis un test de abilit ; on a not la dur e

de vie, en heures, jusqu d faillance (n de laptitude du dispositif remplir la

fonction requise).

Tableau 1.5 Dur e de vie de 100 dispositifs identiques.

Dur e de vie

(en heures)

0 (cid:2) X < 150

150 (cid:2) X < 300

300 (cid:2) X < 450

450 (cid:2) X < 600

600 (cid:2) X < 750

750 (cid:2) X < 900

900 (cid:2) X < 1 050

1 050 (cid:2) X < 1 200

1 200 (cid:2) X < 1 350

Nombre ni

de dispositifs

(fr quence

absolue)

Fr quence

relative fi

Fr quence

cumul e

absolue

Fr quence

cumul e

relative Fi

0,30

0,15

0,12

0,10

0,08

0,06

0,03

100

0,30

0,45

0,57

0,67

0,75

0,83

0,91

0,97

La variable statistique dur e de vie des dispositifs est une variable continue.

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page 9 #19

1 " Repr sentation

graphique et num rique

des donn es

1.2 S ries num riques

une dimension

Les classes peuvent tre d gale amplitude ou non ; on choisit, soit le nombre

de classes, soit lamplitude des classes. Dans lexemple 1.4, les classes sont

d gale amplitude (150 heures).

Le nombre de classes ne doit pas tre trop petit, perte dinformations, ni trop

grand, le regroupement en classes est alors inutile et de plus, certaines classes

pourraient avoir des effectifs trop faibles.

En g n ral, le nombre de classes est compris entre 5 et 20 ; il d pend du

nombre n dobservations et de l talement des donn es. La formule de Sturges

donne une valeur approximative du nombre k de classes :

5 1 1 3,222 log10 n

do le nombre de classes selon les valeurs de n (tableau 1.6).

Tableau 1.6 Effectif n de l chantillon et nombre k de classes.

n (cid:2) 10 10 < n

< 35

35 (cid:2) n

< 70

70 (cid:2) n

< 90

90 (cid:2) n

< 150

150 (cid:2) n

< 300

300 (cid:2) n

< 620

620 (cid:2) n

< 1 300

La premi re ligne donne leffectif de l chantillon tudi et la deuxi me ligne, le

nombre correspondant k de classes.

Amplitude des classes

Elle est gale E/k o E 5 xmaxxmin est l tendue de la s rie des observations

(si les classes sont d gale amplitude).

Si au contraire, on commence par d nir lamplitude des classes, on ne doit

pas choisir cette amplitude trop faible, le nombre de classes est alors trop lev

ni trop grande, le nombre de classes est alors trop petit par rapport celui que

donne la formule de Sturges.

Les valeurs dune classe sont assimil es la valeur centrale ou centre de la classe

gale :

ei1 1 ei

Le regroupement en classes fait perdre aux individus leur caract re propre ainsi

que les d tails ns des distributions.

Exemple 1.5 Essais de abilit de dispositifs lectroniques (suite)

30 dispositifs ont une dur e de vie comprise entre 0 et 150 heures, on admet que

ces 30 dispositifs ont tous une dur e de vie gale 75 heures.

c(cid:2)

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page 10 #20

1 " Repr sentation

graphique et num rique

des donn es

1.2 S ries num riques

une dimension

De m me, 10 dispositifs ont une dur e de vie comprise entre 450 et 600 heures

que lon prend gale 525 heures.

Le diagramme en feuilles

On d compose une donn e num rique en deux parties :

la tige qui comprend le premier ou les deux premiers chiffres,

la feuille qui comprend les autres chiffres.

On crit les tiges les unes sous les autres et en regard de chaque tige, les feuilles

correspondantes ; tiges et feuilles sont s par es par un trait vertical.

Exemple 1.6 Exemple de diagramme en feuilles

Le tableau 1.7 donne le poids en grammes de 25 prouvettes.

Tableau 1.7 Poids de 25 prouvettes.

250

271

284

253

272

285

256

273

286

258

274

287

260

276

288

261

276

290

263

279

290

265

279

270

281

Comme tige, on choisit les deux premiers chiffres de chaque mesure, cest- -dire

25, 26, 27, 28 et 29. Les feuilles sont alors constitu es du dernier chiffre de la

mesure :

Le diagramme indique que le poids moyen se situe entre 270 et 280 g et quil

doit tre voisin de 270 g.

Les diff rents modes de repr sentation graphique des donn es

Les repr sentations graphiques permettent davoir rapidement une vue den-

semble dun tableau de donn es.

Variables discr tes : diagramme en b tons

En abscisses, on porte les diff rentes valeurs xi prises par la variable X . Puis,

on trace un b ton dont la longueur est proportionnelle ni ou fi ; dans le

deuxi me cas, on peut ventuellement comparer deux s ries de donn es.

(cid:2)

c(cid:2)

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page 11 #21

1 " Repr sentation

graphique et num rique

des donn es

1.2 S ries num riques

une dimension

Exemple 1.7 Classement de 100 familles en fonction du nombre

denfants

On a relev le nombre denfants de 100 familles choisies au hasard. Le tableau 1.8

donne les principales caract ristiques de cette tude.

Tableau 1.8 Statistique sur le nombre denfants de 100 familles.

0,20

0,25

0,45

0,30

0,75

0,10

0,85

Total

100

0,05

0,90

0,05

0,95

0,03

0,98

0,02

xi nombre denfants compris entre 0 et 7.

ni nombre de familles ayant xi enfants.

fi fr quence relative des familles ayant xi enfants.

Fi fr quence cumul e des familles ayant au plus xi enfants.

0,3

0,2

0,1

Figure 1.1 Diagramme en b tons de la distribution de lexemple 1.7.

Variables continues ou r parties en classes

Histogramme et propri t s

Un histogramme est constitu de rectangles juxtapos s dont la base corres-

pond lamplitude de chaque classe et dont la surface est proportionnelle la

fr quence absolue ou relative de cette classe.

Lhistogramme est un outil statistique facile utiliser, donnant rapidement

une image du comportement dun proc d industriel et lallure globale de la

(cid:2)

doc 2006/8/9 11:52 page 12 #22

1 " Repr sentation

graphique et num rique

des donn es

1.2 S ries num riques

une dimension

distribution ; il montre l talement des donn es et apporte ainsi des rensei-

gnements sur la dispersion et sur les valeurs extr mes ; il permet de d celer,

ventuellement, des valeurs aberrantes.

Polygone de fr quences

Il permet de repr senter sous forme de courbe, la distribution des fr quences

absolues ou relatives. Il est obtenu en joignant, par des segments de droite,

les milieux des c t s sup rieurs de chaque rectangle de lhistogramme. Pour

fermer ce polygone, on ajoute chaque extr mit une classe de fr quence

nulle.

Exemple 1.8 tude de la dispersion dun lot de 400 r sistances

On a contr l 400 r sistances dont la valeur nominale est gale 100 kV et on a

regroup les r sultats en classes damplitude 2 kV qui repr sente environ...

Statistique et Probabilités pour l’Ingénieur

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