Statistique et Probabilités

selon son image par . Il en r sulte :

Dans cette criture, les sommes sont des s ries convergentes si est infini et des

sommes ordinaires lorsque lensemble est fini.

II.2- Loi dune variable al atoire discr te

D finition : Soit une variable al atoire discr te sur On lui associe la fonction

densemble d finie sur la famille de toutes les parties de en posant :

puis pour tout B R :

La fonction densembles ainsi d finie est une probabilit sur la famille de toutes les

parties de . On lappelle loi de la variable al atoire .

La repr sentation graphique de la loi de probabilit est un diagramme en b ton.

6

II.3 Fonction de r partition

D finition : On appelle fonction de r partition de la variable al atoire , la fonction

d finie sur par :

On a aussi :

Th or me 1 La fonction de r partition dune variable al atoire discr te est croissante

sur , continue droite et limit e gauche en tout point. Elle tend vers 0 en et vers 1 en

. Elle caract rise la loi de , autrement dit : si et seulement si les variables

al atoires et ont m me loi.

Voici titre dexemple la repr sentation graphique de o est la variable al atoire

somme des points de deux d s.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0

1

La repr sentation graphique de la fonction de r partition est un diagramme en escalier.

II.4- Esp rance math matique, valeurs typiques

Soit X une variable al atoire dont lensemble des valeurs s crit .

Lesp rance math matique de X est le r el :

Propri t 1

Soit X une variable al atoire. Si

Corrollaire : En particulier, si X est une variable al atoire positive, alors .

7

Propri t s :

Lin arit de lesp rance

Soient deux variables al atoires ind pendantes alors

Variance dune variable al atoire

Soit une variable al atoire. La variance de est d finie par :

On appelle cart-type de X le r l

Propri t s :

Soit une variable al atoire et deux r els.

et ;

Th or me : In galit de Bienaym -Tchebychev

Soit une variable al atoire desp rance et de variance . Alors, pour tout

on a :

III- Lois usuelles discr tes

III.1- Loi Uniforme

Elle mod lise des situations d quiprobabilit s

III.1.1D finition : Une variable al atoire X suit une loi uniforme discr te lorsqu elle prend

ses valeurs dans lensemble{1,&..,n} avec quiprobabilit s (des probabilit s l mentaires

identiques).

si :

Donc on dit que les evenements {x = 1},&.,{x = n} sont quiprobables.

III.1.2 Les caract ristiques :

Esp rance math matique :

8

Variance :

Remarque : La distribution de probabilit dune loi Uniforme est repr sent e par un

diagramme en b tons.

Exemple :

On lance un d (non pip ). Soit X une variable al atoire qui repr sente les chiffres obtenus au

lancer.

a) D terminer lespace fondamental & et X(&).

b) Donner la loi de probabilit .

c) Calculer E(X) et V(X).

d) Repr senter graphiquement la distribution des probabilit s.

III.2- Loi de Bernoulli

Cette loi mod lise une exp rience dont lissue ne poss de que deux alternatives de type

succ s ou chec , oui ou non , vrai ou faux , pile ou face &etc. Un succ s est

repr sent par l v nement {X=1}. Alors que {X=0} correspond un chec.

La variable al atoire X(&) = {0, 1}.

III.2.1- D finition

X suit la loi de Bernoulli de param tre , si X(&) = {0, 1} et sa fonction de

probabilit est d finie par :

On crit .

Si A est un v nement de probabilit , son indicatrice d finie par:

est une variable al atoire suivant la loi de Bernoulli de param tre . R ciproquement, si

est une v.a. de Bernoulli, on peut toujours crire en d finissant

9

III.2.2- Les caract ristiques

Esp rance math matique :

donc

Variance :

donc V

Remarque : La distribution de probabilit dune variable de Bernoulli est repr sent e par un

diagramme en b tons.

Propri t :

Soient les deux variables al atoires ind pendantes

Soit la variable al atoire nest pas distribu e selon une loi de Bernoulli.

Exemple

On jette une pi ce de monnaie quilibr e. Soit X une variable al atoire qui est gale 1 si

pile, 0 si non.

a) D terminer lespace fondamental & et X(&).

b) Donner la loi de probabilit .

c) Calculer E(X) et V(X).

d) Repr senter graphiquement la distribution des probabilit s.

III.3- Loi Binomiale

III.3.1- Definition

La variable binomiale, X, repr sente le nombre de succ s obtenus lors de la r p tition de n

preuves identiques et ind pendantes. Chaque preuve ne peut donner que deux r sultats

possibles.

La variable al atoire suit la loi binomiale de param tres et si

lensemble des valeurs possibles est et

avec

Avec

Notation : . La formule ci-dessus d finit bien une loi de probabilit puisque

les

sont positifs et

.

10

III.3.2- Les caract ristiques

Esp rance math matique :

Si

Variance :

Si

Remarques :

La loi binomiale est la loi du nombre de succ s obtenus en une suite de n preuves

r p t es ind pendantes tel que chaque preuve a une probabilit de succ s gale . De

m me, soit une famille de n v nements mutuellement ind pendants ayant tous

m me probabilit et notons la variable de Bernoulli indicatrice de :

Alors la variable al atoire

suit la loi binomiale

La distribution de probabilit dune variable binomiale est repr sent e par un diagramme en

b tons.

Soient X1 et X2 deux variables al atoires ind pendantes : et

alors

Exemple :

Dans une population, on compte 35% sont de sexe masculin. On prend au hasard un

chantillon de 40 individus. Soit la variable al atoire X nombre dindividus de sexe

masculin dans l chantillon tir .

a) Donner la loi de probabilit de X.

b) Donner la probabilit davoir 9 gar ons dans l chantillon tir .

c) Donner la probabilit davoir au moins un gar on dans l chantillon tir .

d) Calculer E(X) et V(X).

III.4- Loi de Poisson

Cette loi est souvent utilis e dans la mod lisation des files dattente : nombre de clients en

attente une caisse de supermarch , nombre de conducteurs pass s un p age pendant une

p riode de temps.

III.4.1- D finition

Soit X une variables al atoires valeurs dans . On dit que X suit une loi de Poisson de

param tre avec si :

11

Notation .

On sait que la fonction exponentielle a un d veloppement en s rie enti re avec rayon de

convergence infini. En particulier :

On a donc:

III.4.2- Les caract ristiques

Remarque : soient X et Y deux variables al atoires ind pendantes :

)

Exemple:

A un guichet dune poste, on sait que le nombre moyen de clients par heure est 12. On

suppose que le nombre de clients par heure est distribu selon une loi de Poisson.

a) Quelle est la probabilit pour quen une heure, le guichetier soccupe de plus de 15

clients.

III.5- Loi g om trique

On r p te continuellement et de fa on ind pendante une epreuve de Bernoulli dont la

probabilit de succ s est P. Soit X le nombre d preuves n cessaires pour obtenir un premier

succ s. Alors X suit une loi g om trique de param tre p, d not . Avec

.

Il est signaler que le nombre d preuves nest pas fix lavance : on sarr te lorsque le

succ s est obtenu pour la premi re fois. Ainsi le caract re al atoire nest pas le nombre de

succ s, mais le nombre d preuves : X repr sente le nombre d preuves n cessaires au

premier succ s.

Loi de probabili :

12

ou ssi :

La fonction de r partition dune variable al atoire qui suit la loi g om trique est :

Les caract ristiques

III.6- Loi hyperg om trique

On consid re une population de taille N dont N1 individus pr sentent exactement un certain

caract re A. On pr l ve sans remise un chantillon de n individus. Soit X la variable al atoire

qui repr sente le nombre dindividus ayant le caract re A dans l chantillon.

On dit que X suit la loi hyperg om trique de param tre N, n et

:

Loi de probabilit :

La loi de probabilit de X est donn e par :

Avec

Les caract ristiques :

III.7- Approximation de la loi binomiale par une loi de Poisson

Soit X une variable al atoire discr te.

13

IV- Variables al atoires continues

IV.1- D finition

Une variable al atoire continue est une variable qui prend ses valeurs dans un intervalle de R.

IV.2- Fonction de r partition

Soit X une variable al atoire, on appelle fonction de r partition de X la fonction d finie sur R

par F(x) = P(X d x).

Propri t 1 La d finition nous permet d crire :

F(x) = P (X ] ; x ]).

P(a d X d b) = P(X d b) P(X d a) = F(b) F(a).

P(X > b) = 1P(X d b) = 1 F(b).

Remarque On admet que pour une variable al atoire continue, pour tout a R :

" P(a < X < b) = P(a < X d b) = P(a d X < b) = P(a d X d b),

" P(a < X) = P(a d X < b),

" P(X > b) = P(X e b).

Propri t 2 La fonction de r partition F dune variable al atoire continue X a les propri t s

suivantes :

F est une fonction croissante, d finie et continue sur R.

Pour tout x R, 0 d F(x) d 1.

lim x F(x) = 0 et lim x + F(x) = 1.

Densit et loi de probabilit

D finition Dans le cas o F est d rivable, la fonction f d riv e de F est appel e densit de

probabilit de X et pour tout x de R, F 2 (x) = f(x).

IV.3- Esp rance et variance

D finition Dans le cas dune variable al atoire continue X, sous r serve que les int grales

g n ralis e existent on a :

14

Exemple : Soit f la fonction d finie sur IR par :

Montrer que f est une densit de probabilit .

Calculer lesp rance de la variable al atoire continue pr c dente.

V- Lois usuelles continues

V.1- Loi Uniforme

V.1.1- D finition

La variable al atoire X suit une loi uniforme sur , a<b, not e U si sa fonction de

densit f(x) est donn e par :

V.1.2- Les caract ristiques

Fonction de r partition :

Exercice

On consid re que la mesure dun caract re biologique chez des patients suit une loi Uniforme

sur [0, 20]. Soit X la v.a qui associe un patient sa mesure biologique.

X U[0, 20].

1) Quelle est la probabilit davoir une mesure entre 14 et 18.

2) Quelle est la probabilit davoir une mesure entre 4 et 8.

15

V.2- Loi exponentielle

V.2.1- D finition

La loi exponentielle mod lise la survie au sens large ( tre humains, objets&). Elle a pour

param tre >0.

X : temps de survie.

On dit que la variable al atoire X est distribu e selon une loi exponentielle de param tre >0,

si lensemble de ses valeurs possibles est &x=]0, +[ et sa fonction densit est d finie par :

On crit

V.2.2-Les caract ristiques

Si , alors

Si , alors

Propri t : Soient X et Y deux variables al atoires ind pendantes.

Exercice

Le temps de survie de patients atteints dun certain cancer peut tre mod lis par une loi

exponentielle de moyenne 2 ans.

Soit X une v.a qui associe un patient sa dur e de survie en ann es.

Quelle est la probabilit de survivre au moins dun an ? 2ans ? 5ans ?

V.3- Loi Normale

D finition : On dit que la variable al atoire X est distribu e selon une loi normale de

param tre et , si lensemble de ses valeurs possibles est R et sa fonction densit

est d finie par :

On crit

Avec :

16

Pour donc X suit la loi normale centr e r duite ( . La densit de

probabilit correspondante :

La densit de la loi normale centr e r duite est sym trique par rapport z ro par cons quent :

Soit F(X) : la fonction de r partition avec

alors :

est le quantile dordre

est le quantile dordre

Le quantile dordre est loppos du quantile dordre 1- soit :

Tables statistiques de la loi normale centr e r duite

Table statistique de la fonction de r partition :

Soit , On veut d terminer la probabilit p(X<x) avec x connue.

P(X<1.64) = F(1.64) = 0.95.

P(X>1.64) =1- F(1.64) = 0.05

P(X<-1.96) = F(-1.96)

On sait que P(X<-1.96) = P(X>1.96) = 1- P(X<1.96) =0.025.

Cas dune Normale : avec et/ou

Soit . Pour d terminer P(X<x) o x est donn e, il faut centrer et r duire la

variable X en posant

. Soit

Table statistique des quantiles de la loi normale centr e r duite :

Soit , On veut d terminer le quantile x tel que p(X<x) = avec connu.

Exemple 1 : Soit

1- D terminer x tel que :

• P(X<x) = 0.95.
• P(X<x) = 0.05.

17

2- D terminer x1 et x2 tel que p(x1<X< x2) = 0.95

et p(X< x1) = 0.025

Exemple 2 : Soit

• D terminer P(X<x) = 0.95.

VI- Les lois d riv es de la loi normale

VI.1- La loi du Khi deux

Soient des variables al atoires ind pendantes avec . Soit la

v.a

, . La densit de est donn e par :

Avec

est la fonction Gamma au point n/2,

Les caract ristiques :

Soit la v.a

Propri t :

Stabilit de la loi de Khi-deux laddition

Table statistique des quantiles de la loi du Khi deux :

Soit . D terminer telle que La valeur est le quantile

dordre 5% de la loi du Khi deux 8 degr s de libert , soit

.

La valeur est le quantile dordre 5% de la loi du Khi deux 8 degr s de libert , soit

.

Soit . D terminer telle que

et la valeur est le quantile dordre 95% de la loi du Khi deux

12 degr s de libert , soit

VI.2 La loi de Student

18

Soient X et Y deux variables al atoires ind pendantes, et alors la

variable al atoire

Exemple : Soient et donc

La densit dune variable al atoire T est sym trique par rapport z ro puisque

La loi de Student est sym trique :

Le quantile dordre est loppos du quantile dordre 1 .

Les caract ristiques :

Soit

Table statistique des quantiles de la loi de Student :

Soit . D terminer le quantile t tel que

Soit D terminer le quantile t tel que

VI.3 La loi de Fisher

Soient deux variables al atoires ind pendantes avec et alors

La variable

F est distribu selon une loi de Fisher degr s de libert .

On a

Donc

2

19

Les caract ristiques :

Remarque :

donc

Donc

avec est un quantile.

Une variable de Fisher est equivalente au carr dune variable de student .

Si donc

Donc

Table statistique de la loi de Fisher

Soit , d terminer

Exemple

1) Soit D terminer donc

2) Soit D terminer donc

3) Soit D terminer

Donc

VII- Th or me central limite

Soient n variables al atoires ind pendantes et de m me loi quelconque

connue ou non telles que

.

Alors quelque soit le r el X, on dit que

converge en loi vers la loi

.

Le th or me central limite affirme que dans le cas g n ral, la loi est une bonne

approximation de la loi de , condition que n soit assez grand.

20

Remarque :

Le th or me central limite est utilis aussi pour lapproximation de certaines probabilit s.

Exemple 1:

Soient n variables al atoires ind pendantes et de m me loi avec

1- Montrer que

2- En d duire, pour n = 100, une approximation des probabilit s

125 =1 2<455

Exemple 2 :

Soient n variables al atoires ind pendantes et de m me loi avec

.

Montrer que

21

Chapitre 2 Echantillonnage

Nous supposerons dans la suite que lon proc de un chantillonnage al atoire, cest- dire

quon a tir au sort un chantillon al atoire de taille n parmi une population de taille N. Le

tirage peut tre effectuer de deux fa ons donnant lieu deux types d chantillons.

Un chantillon est dit exhaustif sil est constitu sans remise et non exhaustif sil est constitu

avec remise. Dans le cas dun tirage non exhaustif, il y a ind pendance entre les tirages. Dans

le cas contraire, il ny a pas dind pendance entre les tirages.

I-

Echantillon al atoire et ses caract ristiques

On consid re une machine qui produit des articles. On pr l ve un chantillon de n articles.

2

Soit

La s quence de variables al atoires sinterpr te comme un chantillon

al atoire de la population tudi e selon la variable .

Cet chantillon poss de certaines caract ristiques :

I.1- Moyenne empirique

I.1.1- D finition

Si est un chantillon ind pendant et identiquement distribu (i.i.d), alors la

moyenne empirique, not e , est d fini par :

La moyenne empirique est une statistique, donc cest une variable al atoire dont les

propri t s (esp rance math matique et variance) seront d duites partir de celles des

variables de l chantillon.

22

I.1.2- La distribution de : cas dun chantillon issu dune population normale

Soit est un chantillon al atoire ind pendant et identiquement distribu

avec

D terminer la loi de

ou encore

I.1.3- Distribution asymptotique de : cas dun chantillon quelconque

Consid rons l chantillon al atoire ind pendant et identiquement distribu e

selon une loi quelconque, . Pour une taille de l chantillon assez

grande (g n ralement ), on utilise le th or me central limite pour d duire la

distribution limite de la moyenne empirique, soit :

Propri t s :

Si

Le tableau suivant donne la distribution limite de la moyenne empirique pour diff rentes

lois.

23

Tableau 1 la distribution limite de la moyenne empirique pour diff rentes lois.

Distribution limite

Ind pendantes et de

m me loi

Bernoulli :

Binomiale :

Poisson :

Uniforme continue :

Exponentielle :

Exponentielle :

I.2- La variance empirique

I.2.1- D finition

Soit est un chantillon ind pendant et identiquement distribu dune

population de moyenne m et de variance . La variance est inconnue.

24

1er Cas : m est connu

Dans ce cas la variance empirique, not e

est d finie ainsi :

2eme Cas : m est in connu

Dans ce cas la variance empirique, not e

est d finie par :

La variance empirique corrig e (variance sans biais) :

Les caract ristiques de la variance :

2

Esperance de la variance.

I.2.2- Distribution de

: cas dun chantillon issu dune population normale

Soit est un chantillon al atoire ind pendant et identiquement distribu

avec donc nous avons :

donc

25

I.3- Fr quence

I.3.1- D finition

Soit est un chantillon al atoire de taille n avec

La fr quence

avec :

I.3.2- Distribution de la fr quence

Si la taille de lechantillon , on fait recours au th or me central limite alors

II-

Estimateur et ses propri t s statistiques

Lechantillonnage nous permet de d terminer des caract ristiques importantes dune variable

al atoire savoir lesp rance mathematique et la variance. Dans la pratique, on conna t

souvent lavance la forme de la loi de la variable tudi e et il nous reste d terminer

certains param tres par exemple si X suit la loi binomiale de param tre p inconnu, on doit

estimer ce param tre.

Dans cette section nous allons d finir un estimateur et nous allons tudier ses propri t s

statistiques. Les m thodes utilis es pour d terminer un estimateur dun parametre seront

pr sent es dans le chapitre suivant.

II.1- D finition dun estimateur

Soit un chantillon al atoire ind pendant et identiquement distribu de

m me loi que X ; ; ou la loi L est suppos connu et le param tre est inconnu. Un

estimateur de , not , est une statistique . Toute valeur

de cet estimateur est appel e une estimation.

II.2- Propri t s statistiques dun estimateur

Pour quun estimateur puisse fournir de bonnes estimations, il doit poss der certaines

propri t s. Il doit tre sans biais, convergent et efficace.

26

II.2.1- Estimation sans biais

On dit que est un estimateur sans biais du param tre si

: esperance mathematique de .

Remarque :

En g neral nous avons , est appel biais de lestimateur

.

est un estimateur sans biais de donc .

Un estimateur de est dit asymptotiquement sans biais si

ou encore

II.2.2- Estimateur convergent

Th or me :

On dit que est un estimateur convergent de ssi :

Exemple :

Soit un chantillon al atoire ind pendant et identiquement distribu de

m me loi que X, .

Soit est un estimateur de p.

1) Montrer que est un estimateur convergent ?

II.2.3- Estimateur efficace

On dit que est un estimateur efficace de si :

27

Avec est appel quantit dinformation rapport e par l chantillon.

est appel e distribution de probabilit conjointe de : elle est

appell e aussi la fonction de vraisemblance.

II.2.4- Comparaison de deux estimateurs

Soient deux estimateurs sans biais de dit que si

.

28

Chapitre 3 M thodes destimation ponctuelle et Intervalle de

Confiance

I-

Estimation ponctuelle : M thode du Maximum de vraisemblance

Soit une variable al atoire, ou est inconnu et d finie par sa fonction de

probabilit dans le cas ou X est discr te et par dans le cas continu. On tire un

chantillon ind pendant et identiquement distribu de X. Dapr s la

m thode du maximum de vraisemblance (MMV), lestimateur du param tre inconnu est

celui qui maximise la fonction de vraisemblance .

Lestimateur est la solution du programme :

Il est plus simple de maximiser le logarithme neperien de la fonction de vraisemblance par

rapport .

Pour trouver lestimateur , on peut proc der ainsi :

i) Ecrire la fonction de vraisemblance

ii) Ecrire le logarithme de la fonction de vraisemblance

iii)

donc trouver la valeur pour laquelle cette d riv e est gale

z ro.

Cette d riv e partielle peut sannuler si :

ne d pend pas de

et sont continues et d rivables par rapport .

29

iiii) Calculer

et v rifier le signe de cette d riv e seconde au point , si ce

signe est n gatif, est lestimateur du maximum de vraisemblance de .

I.1- Estimateur de la moyenne

Soit une population de taille N (ou ind finie) sur laquelle est d fini un caract re quantitatif

repr sent par une variable al atoire X desp rance math matique et decart type .

On pr l ve un chantillon de taille n, nous cr ons une suite de n variables al atoires

ind pendantes, de m me distribution que X ; not es et prenant respectivement pour

valeurs les valeurs prises par X sur chacun des n individus de l chantillon.

D finition :

On d finit la variable al atoire comme la moyenne de l chantillon

Avec :

donc La moyenne d chantillon est un estimateur sans biais de la moyenne de la

population.

La moyenne de la variable al atoire est toujours gale la moyenne de la population m re,

celle do l chantillon a t pr lev .

, on d duit

On note que l cart-type de la variable diminue quand la taille n de l chantillon augmente.

Th or me :

La moyenne empirique

est un estimateur sans biais et convergent de la moyenne de la

population .

I.2- Estimation dune proportion th orique

Dans une population, une proportion inconnue dunit s poss dent un caract re

donn C. Nous nous proposons destimer cette proportion.

30

Soit la variable al atoire : 2

On tire un chantillon de taille n. Soit la proportion dindividus ayant le caract re C dans cet

chantillon.

Th or me :

La proportion est un estimateur sans biais et convergent de p.

Remarque :

Lestimation dune proportion p est un cas particulier de la moyenne empirique au sens o les

variables al atoires consid r es sont de Bernouilli de param tre p.

I.3- Estimation du param tre dune loi de Poisson

Soit un chantillon i.i.d dune v.a

D terminer lestimateur du param tre :

Les propri t s statistiques de :

, si

Donc est un estimateur sans biais et convergent de .

Donc est un estimateur efficace de .

I.2- Estimation de la variance

I.2.1- Estimation de en supposant connu

Th or me :

Lorsque la moyenne de la population est connu on a :

est un estimateur sans biais et convergent de .

31

Lorsque n est assez grand, le th or me central limite nous permet de d terminer la loi

asymptotique de

, on a :

I.2.2- Estimation de en supposant inconnu

En g n ral on ne conna t pas ; on le remplace par un estimateur et on introduit la variance

empirique associ e.

Th or me :

,

: la variance calcul e sur l chantillon.

La variance empirique

asymptotiquement sans biais.

est un estimateur biais et convergent de . Il est

Avec :

Th or me :

La variance empirique corrig e :

de la variance de la population( .

est un estimateur sans biais et convergent

II-

Estimation par intervalle de confiance

Lestimation ponctuelle nest quune valeur approch e du param tre m me dans le cas o

lestimateur obtenu poss de de bonnes propri t s statistiques (sans biais, convergent et

efficace). Puisquon ne peut sattendre ce quune estimation ponctuelle soit exactement

gale la valeur du param tre de la population correspondant. Il serait plus pertinent de

d terminer un intervalle par exemple de la forme qui contient la

32

valeur v ritable de avec une probabilit donn e lavance et proche de lunit . Une

estimation par intervalle est souvent r alis e en ajoutant et en soustrayant une marge derreur

lestimation ponctuelle. La forme g n rale dune estimation par intervalle est : estimation

ponctuelle marge derreur.

Un intervalle de confiance de niveau pour est un intervalle tel que

2 , est une constante inconnue.

La construction des intervalles de confiance ; de niveau donn priori ; est bas e

essentiellement sur le choix ad quat dune fonction de et .

Soit telle que :

Sa loi est connu (normale, Khi-deux, Student, Fisher).

Cest une fonction pivotale pour c.a.d sa loi ne d pend pas de .

Les tapes de construction dun intervalle de confiance

1) Etant donn un niveau de confiance proche de 1, crire

2) Chercher la statistique .

3) Ecriture de lequation permettant de retrouver lintervalle :

o et sont les quantiles dordre respectifs et

de la loi de , avec . G n ralement on prend

.

4) D termination de et partir dune table statistique ( loi normale, Khideux,

Student)

5) D termination de et par r solution de lin quation de la troisi me tape par

rapport au param tre afin de ramener lecriture o et

seront en fonction de et .

II.1- Intervalle de confiance de la moyenne dans le cas dune loi normale

Consid rons une variable al atoire , et soit un chantillon i.i.d

de X. Avec .

Nous voulons d terminer un intervalle de confiance de niveau pour la moyenne

inconnue .

33

II.1.1- Cas ou la variance est connue

On sait que

donc la statistique

Th or me : , est connue. Lintervalle de confiance de niveau pour

la moyenne de la population est :

Cas dun intervalle unilat ral :

Lintervalle de confiance de la forme tel que donc

Lintervalle de confiance unilat ral de la forme est tel que

Donc

II.1.2- Cas ou la variance est inconnue

Dapr s les propri t s de la moyenne empirique dans le cas de normalit on a

donc

On sait que

Donc

Th or me : Soit , est inconnue. Lintervalle de confiance de niveau

pour la moyenne est :

34

II.2- Intervalle de confiance pour la proportion dune loi de Bernoulli

Soit est un chantillon ind pendand et identiquement distribu dune

variable al atoire X qui suit la loi de Bernoulli de param tre p. La taille de lechantillon est

gale n> 30.

D terminer un intervalle de confiance de niveau pour la proportion p tel que

.

est un estimateur sans biais de p

converge en loi vers la loi

Dapr s T.C.L

. Cette statistique ne peut pas tre utilis e pour la

construction de lintervalle de confiance puisque les bornes d pendront du param tre inconnu

p. Alors on remplace par . Nous aurons :

Lintervalle de confiance de niveau pour la proportion p dune loi de Bernouilli

est :

Exemple

Le commanditaire dune emission t l vis e veut d terminer un intervalle de confiance de

niveau 95% pour la proportion des t l spectateurs qui regardent r guli rement son

mission.

Parmi un chantillo...