Statistique et Probabilités

Espérance mathématique :

8

Variance :

Remarque : La distribution de probabilité d’une loi Uniforme est représentée par un diagramme en bâtons.

Exemple :

On lance un dé (non pipé). Soit X une variable aléatoire qui représente les chiffres obtenus au lancer.

a) Déterminer l’espace fondamental Ω et X(Ω). b) Donner la loi de probabilité. c) Calculer E(X) et V(X). d) Représenter graphiquement la distribution des probabilités.

III.2- Loi de Bernoulli

Cette loi modélise une expérience dont l’issue ne possède que deux alternatives de type « succès ou échec », « oui ou non », « vrai ou faux », « pile ou face »…etc. Un succès est représenté par l’évènement {X=1}. Alors que {X=0} correspond à un échec.

La variable aléatoire X(Ω) = {0, 1}.

III.2.1- Définition

X suit la loi de Bernoulli de paramètre , si X(Ω) = {0, 1} et sa fonction de probabilité est définie par :

On écrit .

Si A est un événement de probabilité , son indicatrice définie par:

est une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre . Réciproquement, si

est une v.a. de Bernoulli, on peut toujours écrire en définissant

9

III.2.2- Les caractéristiques

Espérance mathématique :

donc

Variance :

donc V

Remarque : La distribution de probabilité d’une variable de Bernoulli est représentée par un diagramme en bâtons.

Propriété :

Soient les deux variables aléatoires indépendantes

Soit la variable aléatoire n’est pas distribuée selon une loi de Bernoulli.

Exemple

On jette une pièce de monnaie équilibrée. Soit X une variable aléatoire qui est égale à 1 si pile, 0 si non.

a) Déterminer l’espace fondamental Ω et X(Ω). b) Donner la loi de probabilité . c) Calculer E(X) et V(X). d) Représenter graphiquement la distribution des probabilités.

III.3- Loi Binomiale

III.3.1- Definition

La variable binomiale, X, représente le nombre de succès obtenus lors de la répétition de n épreuves identiques et indépendantes. Chaque épreuve ne peut donner que deux résultats possibles.

La variable aléatoire suit la loi binomiale de paramètres et si

l’ensemble des valeurs possibles est et

avec

Avec

Notation : . La formule ci-dessus définit bien une loi de probabilité puisque

les

sont positifs et

.

10

III.3.2- Les caractéristiques

Espérance mathématique :

Si

Variance :

Si

Remarques :

La loi binomiale est la loi du nombre de succès obtenus en une suite de n épreuves

répétées indépendantes tel que chaque épreuve a une probabilité de succès égale à . De

même, soit une famille de n événements mutuellement indépendants ayant tous

même probabilité et notons la variable de Bernoulli indicatrice de :

Alors la variable aléatoire

suit la loi binomiale

La distribution de probabilité d’une variable binomiale est représentée par un diagramme en bâtons.

Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes : et alors

Exemple :

Dans une population, on compte 35% sont de sexe masculin. On prend au hasard un échantillon de 40 individus. Soit la variable aléatoire X « nombre d’individus de sexe masculin dans l’échantillon tiré ».

a) Donner la loi de probabilité de X. b) Donner la probabilité d’avoir 9 garçons dans l’échantillon tiré. c) Donner la probabilité d’avoir au moins un garçon dans l’échantillon tiré. d) Calculer E(X) et V(X).

III.4- Loi de Poisson

Cette loi est souvent utilisée dans la modélisation des files d’attente : nombre de clients en attente à une caisse de supermarché, nombre de conducteurs passés à un péage pendant une période de temps.

III.4.1- Définition

Soit X une variables aléatoires à valeurs dans . On dit que X suit une loi de Poisson de paramètre λ avec λ si :

11

Notation .

On sait que la fonction exponentielle a un développement en série entière avec rayon de

convergence infini. En particulier :

On a donc:

III.4.2- Les caractéristiques

Remarque : soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes :

)

Exemple:

A un guichet d’une poste, on sait que le nombre moyen de clients par heure est 12. On suppose que le nombre de clients par heure est distribué selon une loi de Poisson.

a) Quelle est la probabilité pour qu’en une heure, le guichetier s’occupe de plus de 15

clients.

III.5- Loi géométrique

On répète continuellement et de façon indépendante une epreuve de Bernoulli dont la

probabilité de succès est P. Soit X le nombre d’épreuves nécessaires pour obtenir un premier

succès. Alors X suit une loi géométrique de paramètre p, dénoté . Avec

. Il est à signaler que le nombre d’épreuves n’est pas fixé à l’avance : on s’arrête lorsque le

succès est obtenu pour la première fois. Ainsi le caractère aléatoire n’est pas le nombre de

succès, mais le nombre d’épreuves : X représente le nombre d’épreuves nécessaires au

premier succès.

Loi de probabilié :

12

ou ssi :

La fonction de répartition d’une variable aléatoire qui suit la loi géométrique est :

Les caractéristiques

III.6- Loi hypergéométrique

On considère une population de taille N dont N1 individus présentent exactement un certain

caractère A. On prélève sans remise un échantillon de n individus. Soit X la variable aléatoire

qui représente le nombre d’individus ayant le caractère A dans l’échantillon. On dit que X suit la loi hypergéométrique de paramètre N, n et

:

Loi de probabilité :

La loi de probabilité de X est donnée par :

Avec

Les caractéristiques :

III.7- Approximation de la loi binomiale par une loi de Poisson

Soit X une variable aléatoire discrète.

13

IV- Variables aléatoires continues IV.1- Définition

Une variable aléatoire continue est une variable qui prend ses valeurs dans un intervalle de R.

IV.2- Fonction de répartition

Soit X une variable aléatoire, on appelle fonction de répartition de X la fonction définie sur R

par F(x) = P(X ≤ x).

Propriété 1 La définition nous permet d’écrire :

 F(x) = P (X ] − ∞ ; x ]).

 P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) = F(b) − F(a).

 P(X > b) = 1−P(X ≤ b) = 1 − F(b).

Remarque On admet que pour une variable aléatoire continue, pour tout a R :

• P(a < X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a ≤ X ≤ b),

• P(a < X) = P(a ≤ X < b),

• P(X > b) = P(X ≥ b).

Propriété 2 La fonction de répartition F d’une variable aléatoire continue X a les propriétés

suivantes :

 F est une fonction croissante, définie et continue sur R.

 Pour tout x R, 0 ≤ F(x) ≤ 1.



lim x→−∞ F(x) = 0 et lim x→+∞ F(x) = 1.

Densité et loi de probabilité

Définition Dans le cas où F est dérivable, la fonction f dérivée de F est appelée densité de

probabilité de X et pour tout x de R, F ′ (x) = f(x).

IV.3- Espérance et variance

Définition Dans le cas d’une variable aléatoire continue X, sous réserve que les intégrales

généralisée existent on a :

14

Exemple : Soit f la fonction définie sur IR par :

Montrer que f est une densité de probabilité.

Calculer l’espérance de la variable aléatoire continue précédente.

V- Lois usuelles continues V.1- Loi Uniforme

V.1.1- Définition

La variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a ,b], a<b, notée U[a, b] si sa fonction de densité f(x) est donnée par :

V.1.2- Les caractéristiques

∞ ∞

Fonction de répartition :

Exercice

∞

On considère que la mesure d’un caractère biologique chez des patients suit une loi Uniforme sur [0, 20]. Soit X la v.a qui associe à un patient sa mesure biologique.

X→U[0, 20]. 1) Quelle est la probabilité d’avoir une mesure entre 14 et 18. 2) Quelle est la probabilité d’avoir une mesure entre 4 et 8.

15

V.2- Loi exponentielle

V.2.1- Définition

La loi exponentielle modélise la survie au sens large (être humains, objets…). Elle a pour paramètre λ>0.

X : temps de survie.

On dit que la variable aléatoire X est distribuée selon une loi exponentielle de paramètre λ>0, si l’ensemble de ses valeurs possibles est Ωx=]0, +∞[ et sa fonction densité est définie par :

On écrit

V.2.2-Les caractéristiques

Si , alors

Si , alors

Propriété : Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes.

Exercice

Le temps de survie de patients atteints d’un certain cancer peut être modélisé par une loi exponentielle de moyenne 2 ans.

Soit X une v.a qui associe à un patient sa durée de survie en années.

Quelle est la probabilité de survivre au moins d’un an ? 2ans ? 5ans ?

V.3- Loi Normale

Définition : On dit que la variable aléatoire X est distribuée selon une loi normale de paramètre et , si l’ensemble de ses valeurs possibles est R et sa fonction densité est définie par :

On écrit

Avec :

16

Pour donc X suit la loi normale centrée réduite ( . La densité de probabilité correspondante :

La densité de la loi normale centrée réduite est symétrique par rapport à zéro par conséquent :

 Soit F(X) : la fonction de répartition avec

alors :

 est le quantile d’ordre  est le quantile d’ordre  Le quantile d’ordre est l’opposé du quantile d’ordre 1- soit :

Tables statistiques de la loi normale centrée réduite

 Table statistique de la fonction de répartition :

Soit , On veut déterminer la probabilité p(X<x) avec x connue.

P(X<1.64) = F(1.64) = 0.95.

P(X>1.64) =1- F(1.64) = 0.05

P(X<-1.96) = F(-1.96)

On sait que P(X<-1.96) = P(X>1.96) = 1- P(X<1.96) =0.025.

Cas d’une Normale : avec et/ou

Soit . Pour déterminer P(X<x) où x est donnée, il faut centrer et réduire la variable X en posant

. Soit

Table statistique des quantiles de la loi normale centrée réduite :

Soit , On veut déterminer le quantile x tel que p(X<x) = avec connu.

Exemple 1 : Soit

1- Déterminer x tel que : - P(X<x) = 0.95. - P(X<x) = 0.05.

17

2- Déterminer x1 et x2 tel que p(x1<X< x2) = 0.95

et p(X< x1) = 0.025

Exemple 2 : Soit

- Déterminer P(X<x) = 0.95.

VI- Les lois dérivées de la loi normale

VI.1- La loi du Khi deux

Soient des variables aléatoires indépendantes avec . Soit la v.a

, . La densité de est donnée par :

Avec

est la fonction Gamma au point n/2,

Les caractéristiques :

Soit la v.a

Propriété :

Stabilité de la loi de Khi-deux à l’addition

Table statistique des quantiles de la loi du Khi deux :

Soit . Déterminer telle que La valeur est le quantile d’ordre 5% de la loi du Khi deux à 8 degrés de liberté, soit

.

La valeur est le quantile d’ordre 5% de la loi du Khi deux à 8 degrés de liberté, soit

.

Soit . Déterminer telle que et la valeur est le quantile d’ordre 95% de la loi du Khi deux à 12 degrés de liberté, soit

VI.2 La loi de Student

18

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, et alors la variable aléatoire

Exemple : Soient et donc

La densité d’une variable aléatoire T est symétrique par rapport à zéro puisque

La loi de Student est symétrique :

Le quantile d’ordre α est l’opposé du quantile d’ordre 1−α.

Les caractéristiques :

Soit

Table statistique des quantiles de la loi de Student :

Soit . Déterminer le quantile t tel que

Soit Déterminer le quantile t tel que

VI.3 La loi de Fisher

Soient deux variables aléatoires indépendantes avec et alors

La variable

F est distribué selon une loi de Fisher à degrés de liberté.

On a

Donc

′

19

Les caractéristiques :

Remarque :

donc

Donc

avec est un quantile.

Une variable de Fisher est equivalente au carré d’une variable de student .

Si donc

Donc

Table statistique de la loi de Fisher

Soit , déterminer

Exemple

1) Soit Déterminer donc 2) Soit Déterminer donc 3) Soit Déterminer

Donc

VII- Théorème central limite

Soient n variables aléatoires indépendantes et de même loi quelconque connue ou non telles que . Alors quelque soit le réel X, on dit que converge en loi vers la loi .

Le théorème central limite affirme que dans le cas général, la loi est une bonne approximation de la loi de , à condition que n soit assez grand.

20

Remarque : Le théorème central limite est utilisé aussi pour l’approximation de certaines probabilités. Exemple 1: Soient n variables aléatoires indépendantes et de même loi avec

1- Montrer que

2- En déduire, pour n = 100, une approximation des probabilités

125 =1 2<455

Exemple 2 :

Soient n variables aléatoires indépendantes et de même loi avec .

Montrer que

21

Chapitre 2 Echantillonnage

Nous supposerons dans la suite que l’on procède à un échantillonnage aléatoire, c’est-à dire

qu’on a tiré au sort un échantillon aléatoire de taille n parmi une population de taille N. Le

tirage peut être effectuer de deux façons donnant lieu à deux types d’échantillons.

Un échantillon est dit exhaustif s’il est constitué sans remise et non exhaustif s’il est constitué

avec remise. Dans le cas d’un tirage non exhaustif, il y a indépendance entre les tirages. Dans

le cas contraire, il n’y a pas d’indépendance entre les tirages.

I-

Echantillon aléatoire et ses caractéristiques

On considère une machine qui produit des articles. On prélève un échantillon de n articles.

′

Soit

La séquence de variables aléatoires s’interprète comme un échantillon

aléatoire de la population étudiée selon la variable .

Cet échantillon possède certaines caractéristiques :

I.1- Moyenne empirique

I.1.1- Définition

Si est un échantillon indépendant et identiquement distribué (i.i.d), alors la moyenne empirique, notée , est défini par :

La moyenne empirique est une statistique, donc c’est une variable aléatoire dont les propriétés (espérance mathématique et variance) seront déduites à partir de celles des

variables de l’échantillon.

22

I.1.2- La distribution de : cas d’un échantillon issu d’une population normale

Soit est un échantillon aléatoire indépendant et identiquement distribué avec

Déterminer la loi de

ou encore

I.1.3- Distribution asymptotique de : cas d’un échantillon quelconque

Considérons l’échantillon aléatoire indépendant et identiquement distribuée selon une loi quelconque, . Pour une taille de l’échantillon assez

grande (généralement ), on utilise le théorème central limite pour déduire la

distribution limite de la moyenne empirique, soit :

Propriétés :

Si

Le tableau suivant donne la distribution limite de la moyenne empirique pour différentes lois.

23

Tableau 1 la distribution limite de la moyenne empirique pour différentes lois.

Distribution limite

Indépendantes et de

même loi

Bernoulli :

Binomiale :

Poisson :

Uniforme continue :

Exponentielle :

Exponentielle :

I.2- La variance empirique

I.2.1- Définition

Soit est un échantillon indépendant et identiquement distribué d’une population de moyenne m et de variance . La variance est inconnue.

24

1er Cas : m est connu

Dans ce cas la variance empirique, notée

est définie ainsi :

2eme Cas : m est in connu

Dans ce cas la variance empirique, notée

est définie par :

La variance empirique corrigée (variance sans biais) :

Les caractéristiques de la variance :

ê

é ′

Esperance de la variance.

I.2.2- Distribution de

: cas d’un échantillon issu d’une population normale

Soit est un échantillon aléatoire indépendant et identiquement distribué avec donc nous avons :

donc

25

I.3- Fréquence

I.3.1- Définition

Soit est un échantillon aléatoire de taille n avec

La fréquence

avec :

I.3.2- Distribution de la fréquence

Si la taille de l’echantillon , on fait recours au théorème central limite alors

II-

Estimateur et ses propriétés statistiques

L’echantillonnage nous permet de déterminer des caractéristiques importantes d’une variable

aléatoire à savoir l’espérance mathematique et la variance. Dans la pratique, on connaît

souvent à l’avance la forme de la loi de la variable étudiée et il nous reste à déterminer

certains paramètres par exemple si X suit la loi binomiale de paramètre p inconnu, on doit

estimer ce paramètre.

Dans cette section nous allons définir un estimateur et nous allons étudier ses propriétés

statistiques. Les méthodes utilisées pour déterminer un estimateur d’un parametre seront

présentées dans le chapitre suivant.

II.1- Définition d’un estimateur

Soit un échantillon aléatoire indépendant et identiquement distribué de

même loi que X ; ; ou la loi L est supposé connu et le paramètre est inconnu. Un estimateur de , noté , est une statistique . Toute valeur de cet estimateur est appelée une estimation.

II.2- Propriétés statistiques d’un estimateur

Pour qu’un estimateur puisse fournir de bonnes estimations, il doit posséder certaines

propriétés. Il doit être sans biais, convergent et efficace.

26

II.2.1- Estimation sans biais

On dit que est un estimateur sans biais du paramètre si

: esperance mathematique de .

Remarque :

 En géneral nous avons , est appelé biais de l’estimateur

.

est un estimateur sans biais de donc .

 Un estimateur de est dit asymptotiquement sans biais si

ou encore

II.2.2- Estimateur convergent

Théorème :

On dit que est un estimateur convergent de ssi :

Exemple :

Soit un échantillon aléatoire indépendant et identiquement distribué de même loi que X, .

Soit est un estimateur de p.

1) Montrer que est un estimateur convergent ?

II.2.3- Estimateur efficace

On dit que est un estimateur efficace de si :

27

Avec est appelé quantité d’information rapportée par l’échantillon.

est appelée distribution de probabilité conjointe de : elle est appellée aussi la fonction de vraisemblance.

II.2.4- Comparaison de deux estimateurs

Soient deux estimateurs sans biais de dit que si .

28

Chapitre 3 Méthodes d’estimation ponctuelle et Intervalle de Confiance

I-

Estimation ponctuelle : Méthode du Maximum de vraisemblance

Soit une variable aléatoire, ou est inconnu et définie par sa fonction de

probabilité dans le cas ou X est discrète et par dans le cas continu. On tire un

échantillon indépendant et identiquement distribué de X. D’après la méthode du maximum de vraisemblance (MMV), l’estimateur du paramètre inconnu est celui qui maximise la fonction de vraisemblance .

L’estimateur est la solution du programme :

Il est plus simple de maximiser le logarithme neperien de la fonction de vraisemblance par

rapport à .

Pour trouver l’estimateur , on peut procéder ainsi :

i) Ecrire la fonction de vraisemblance

ii) Ecrire le logarithme de la fonction de vraisemblance

iii)

donc trouver la valeur pour laquelle cette dérivée est égale à

zéro.

Cette dérivée partielle peut s’annuler si :

 ne dépend pas de

 et sont continues et dérivables par rapport à .

29

iiii) Calculer

et vérifier le signe de cette dérivée seconde au point , si ce

signe est négatif, est l’estimateur du maximum de vraisemblance de .

I.1- Estimateur de la moyenne

Soit une population de taille N (ou indéfinie) sur laquelle est défini un caractère quantitatif

représenté par une variable aléatoire X d’espérance mathématique et d’ecart type .

On prélève un échantillon de taille n, nous créons une suite de n variables aléatoires

indépendantes, de même distribution que X ; notées et prenant respectivement pour

valeurs les valeurs prises par X sur chacun des n individus de l’échantillon.

Définition :

On définit la variable aléatoire comme la moyenne de l’échantillon

Avec :

donc La moyenne d’échantillon est un estimateur sans biais de la moyenne de la population. La moyenne de la variable aléatoire est toujours égale à la moyenne de la population mère,

celle d’où l’échantillon a été prélevé.

, on déduit

On note que l’écart-type de la variable diminue quand la taille n de l’échantillon augmente.

Théorème :

La moyenne empirique

est un estimateur sans biais et convergent de la moyenne de la

population .

I.2- Estimation d’une proportion théorique

Dans une population, une proportion inconnue d’unités possèdent un caractère

donné C. Nous nous proposons d’estimer cette proportion.

30

Soit la variable aléatoire : ′ é è è

On tire un échantillon de taille n. Soit la proportion d’individus ayant le caractère C dans cet

échantillon.

Théorème :

La proportion est un estimateur sans biais et convergent de p.

Remarque :

L’estimation d’une proportion p est un cas particulier de la moyenne empirique au sens où les

variables aléatoires considérées sont de Bernouilli de paramètre p.

I.3- Estimation du paramètre d’une loi de Poisson

Soit un échantillon i.i.d d’une v.a Déterminer l’estimateur du paramètre λ :

Les propriétés statistiques de :

, si

Donc est un estimateur sans biais et convergent de . Donc est un estimateur efficace de .

I.2- Estimation de la variance

I.2.1- Estimation de en supposant connu

Théorème :

Lorsque la moyenne de la population est connu on a :

est un estimateur sans biais et convergent de .

31

Lorsque n est assez grand, le théorème central limite nous permet de déterminer la loi

asymptotique de

, on a :

I.2.2- Estimation de en supposant inconnu

En général on ne connaît pas ; on le remplace par un estimateur et on introduit la variance

empirique associée.

Théorème :

,

: la variance calculée sur l’échantillon.

La variance empirique asymptotiquement sans biais.

est un estimateur biaisé et convergent de . Il est

Avec :

Théorème :

La variance empirique corrigée :

de la variance de la population( .

est un estimateur sans biais et convergent

II-

Estimation par intervalle de confiance

L’estimation ponctuelle n’est qu’une valeur approchée du paramètre même dans le cas où

l’estimateur obtenu possède de bonnes propriétés statistiques (sans biais, convergent et

efficace). Puisqu’on ne peut s’attendre à ce qu’une estimation ponctuelle soit exactement

égale à la valeur du paramètre de la population correspondant. Il serait plus pertinent de déterminer un intervalle par exemple de la forme qui contient la

32

valeur véritable de avec une probabilité donnée à l’avance et proche de l’unité. Une

estimation par intervalle est souvent réalisée en ajoutant et en soustrayant une marge d’erreur

à l’estimation ponctuelle. La forme générale d’une estimation par intervalle est : estimation

ponctuelle marge d’erreur.

Un intervalle de confiance de niveau pour est un intervalle tel que

2 , est une constante inconnue.

La construction des intervalles de confiance ; de niveau donné à priori ; est basée

essentiellement sur le choix adéquat d’une fonction de et .

Soit telle que :

 Sa loi est connu (normale, Khi-deux, Student, Fisher).

 C’est une fonction pivotale pour c.a.d sa loi ne dépend pas de .

Les étapes de construction d’un intervalle de confiance

1) Etant donné un niveau de confiance proche de 1, écrire

2) Chercher la statistique .

3) Ecriture de l’equation permettant de retrouver l’intervalle :

où et sont les quantiles d’ordre respectifs et de la loi de , avec . Généralement on prend

.

4) Détermination de et à partir d’une table statistique ( loi normale, Khideux,

Student)

5) Détermination de et par résolution de l’inéquation de la troisième étape par rapport au paramètre afin de ramener à l’ecriture où et

seront en fonction de et .

II.1- Intervalle de confiance de la moyenne dans le cas d’une loi normale

Considérons une variable aléatoire , et soit un échantillon i.i.d de X. Avec .

Nous voulons déterminer un intervalle de confiance de niveau pour la moyenne

inconnue .

33

II.1.1- Cas ou la variance est connue

On sait que

donc la statistique

Théorème : , est connue. L’intervalle de confiance de niveau pour

la moyenne de la population est :

Cas d’un intervalle unilatéral :

 L’intervalle de confiance de la forme tel que donc

 L’intervalle de confiance unilatéral de la forme est tel que

Donc

II.1.2- Cas ou la variance est inconnue

D’après les propriétés de la moyenne empirique dans le cas de normalité on a

donc

On sait que

Donc

Théorème : Soit , est inconnue. L’intervalle de confiance de niveau

pour la moyenne est :

34

II.2- Intervalle de confiance pour la proportion d’une loi de Bernoulli

Soit est un échantillon indépendand et identiquement distribué d’une

variable aléatoire X qui suit la loi de Bernoulli de paramètre p. La taille de l’echantillon est

égale à n> 30.

Déterminer un intervalle de confiance de niveau pour la proportion p tel que .

est un estimateur sans biais de p

converge en loi vers la loi

D’après T.C.L

. Cette statistique ne peut pas être utilisée pour la

construction de l’intervalle de confiance puisque les bornes dépendront du paramètre inconnu

p. Alors on remplace par . Nous aurons :

L’intervalle de confiance de niveau pour la proportion p d’une loi de Bernouilli

est :

Exemple

Le commanditaire d’une emission télévisée veut déterminer un intervalle de confiance de

niveau 95% pour la proportion des téléspectateurs qui regardent régulièrement son

émission.

Parmi un échantillon de 900 télespectateurs pris au hasard, 200 affirment qu’ils regardent

régulièrement l’emission.

Déterminer l’intervalle de confiance de niveau de 95% pour la proportion p.

35

II.3- Intervalle de confiance pour la moyenne d’une loi inconnu

Soit est un échantillon indépendand et identiquement distribué d’une variable aléatoire X dont la loi est inconnu. . La taille de

l’échantillon est égale à .

Déterminer un intervalle de confiance pour la moyenne de la population.

Selon le théorème central limite est un estimateur de .

Nous avons deux cas :

 La variance est connue.

 La variance est inconnue.

II.3.1- Cas ou la variance est connue

D’après le théorème central limite :

Donc

Donc

Théorème :

Lorsque est connu, l’intervalle de confiance de niveau pour la moyenne de la

population est :

II.3.2- Cas ou la variance est inconnue

Dans ce cas on doit remplacer par son estimateur sans biais :

,

,

: la variance calculée

sur l’échantillon.

D’après le théorème central limite :

36

Théorème :

Lorsque est inconnu, l’intervalle de confiance de niveau po