SIGNAUX ALÉATOIRES
J.-F. BERCHER École Supérieure d’Ingénieurs en Électrotechnique et Électronique
Novembre 2001 – version 0.8
CHAPITRE I
I Table des matières
I Signaux aléatoires
Table des matières
1
2
3
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Description complète . Description partielle . 1.2.1 1.2.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . Description d’un signal aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 . . . . . Description à un instant . . . . . . . . . . Description à deux instants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stationnarité 2.1 . . . . . . . . . . Ergodisme 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le syndrome gaussien . . . . . . 2.3 2.4 . . . . . . . . . . Signaux aléatoires à temps discret Propriétés énergétiques des signaux aléatoires stationnaires de puissance moyenne finie . . . . . . . . 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contexte . . . . . Maximisation du rapport signal-à-bruit Approche probabiliste . . . . . . . . . . . Notes sur le choix du signal test, signaux pseudo-aléatoires . . . . . . . .
. . . . . . Analyse dans le domaine temporel . . . . . . . . . . . Définitions et propriétés . . . . . 3.1.1 3.1.2 . . . . . . . . . . . Notion de bruit blanc . Transformation des fonctions aléatoires par filtrage . . . . . . . . 3.2.1 . . . . . . 3.2.2 3.2.3 . . . . . . . . Analyse dans le domaine fréquentiel . . . . 3.3 . . . . . . . . . . . La représentation de Cramér . . . 3.4 . . . . . . 3.5 . . . . . Bruit blanc à temps discret . . . . . . . . . . Un exemple d’application : le filtrage adapté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 . . . . . . 4.2 . . 4.3 . . . . . . . . . . . 4.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . Rappel Transformation de la moyenne . Théorème, ou formule des interférences
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . .
3.2
.
Exercices et problèmes .
3
5 5 5 6 6 6 7 7 8 9 11 11 11 11 13 14 14 14 15 17 20 21 21 21 21 23 24 26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CHAPITRE I
SIGNAUX ALÉATOIRES
DE LA MÊME MANIÈRE qu’une variable aléatoire est un ensemble de valeurs caractérisé par une loi de
probabilité, on appellera signal aléatoire, ou processus aléatoire un ensemble de fonctions auquel on adjoint une loi de probabilité.
Existe-il des signaux naturels qui soient intrinsèquement aléatoires ? La plupart des phénomènes non- quantiques peuvent être décrits à l’aide d’équations de la physique : le jeu de pile ou face, si l’on connaît les caractéristiques physiques de la pièce, l’impulsion donnée, la densité et la composition de l’air, la tempé- rature, la pression atmosphérique, la gravité locale, est un jeu dont le résultat est parfaitement prévisible. De même pour le tirage du loto. Simplement le système dépendant d’un trop grand nombre de variables et de paramètres devient trop compliqué à décrire. D’autres exemples sont le signal de parole, l’électromyogramme ou la mesure de l’activité cérébrale, dont on peut espérer qu’ils ne résultent pas de « tirages au hasard », sont caractérisés comme des signaux aléatoires. D’autres signaux sont impossibles à caractériser « a priori ». Il s’agit en particulier d’un message transmis sur une ligne téléphonique (ou autre) : du point de vue du récepteur, ce signal est aléatoire jusqu’à sa réception. En effet si ce signal était déjà connu du récepteur, son contenu informationnel serait nul et il serait inutile de le transmettre. Ainsi, on pourra modéliser comme des signaux aléatoires les signaux dont le processus de production est trop compliqué à décrire, ou méconnu, ou des signaux pour lesquels l’aléa provient de la propre incertitude de l’observateur. À partir d’un modélisation probabiliste, il faut alors espérer que l’on pourra aboutir à une caractérisation intéressante et à des outils de traitement qui pourront permettre d’extraire de l’information des signaux aléatoires.
Notation :
On notera X(t, ω) un signal aléatoire X. Il s’agit d’un ensemble de fonctions de la variable t, cet ensemble étant indexé par la variable ω. Un signal aléatoire est une quantité bivariée, dépendant à la fois du temps t et de l’épreuve ω. Lorsque l’épreuve est fixée, par exemple ω = ω i, on obtient une réalisation du processus aléatoire que l’on notera X(t, ω (t). Lorsque la variable t est fixée, le processus aléatoire i se réduit alors à une simple variable aléatoire. En considérant le processus pour t = ti, on obtient ainsi une (ω), ou Xi. Enfin, on notera xi les valeurs prises par la variable variable aléatoire X(ti aléatoire Xi.
, ω), que l’on notera Xi
) ou plus simplement xi
1 Description d’un signal aléatoire
Les signaux aléatoires pourront être caractérisés par le biais de deux types de description : une description complète qui permet de caractériser complètement le processus, mais qui nécessite une connaissance énorme, et une caractérisation partielle, à partir des moments du processus aléatoire.
1.1 Description complète
X(t, ω) est connu si ∀t1
,t2
, . . . ,tk, et ∀k, on connaît la loi conjointe
pX1
,X2
,...,Xk
(x1
, x2
, . . . , xk
),
, X2
, ω). En fait, où X1 ceci est équivalent à dire que l’on connaît X(t, ω) si l’on connaît les lois de toutes les variables aléatoires
, . . . , Xk sont les variables aléatoires associées aux k instants : X(t1
, ω), . . . , X(tk
, ω), X(t2
Page 6
ChapitreI. Signaux aléatoires
, ω), ainsi que toutes les interactions entre ces variables, et ceci ∀i. . . La connaissance à avoir est donc
X(ti gigantesque, et le plus souvent inaccessible, et l’on devra se contenter d’une description partielle.
1.2 Description partielle
1.2.1 Description à un instant
On dit que X(t, ω) est connu à un instant, si, ∀t1, on connaît la loi de la variable aléatoire X(t1
, ω). Celle-ci est simplement une variable aléatoire au sens habituel, que l’on peut en général (si ceux-ci existent et hors quelques cas de figures exceptionnels) caractériser à l’aide des moments.
Moments : on notera
mX
(t1
) = E
(cid:1)
X(t1
(cid:2)
, ω)
m
(n) X
(t1
) = E
(cid:1)
X(t1
, ω)n
(cid:2)
(cid:3)
(cid:3)
=
... =
x1 pX1
(x1
)dx1
xn 1 pX1
(x1
)dx1
(I.1)
(I.2)
Rappelons avec force que E {} désigne l’espérance mathématique, que l’intégrale est prise sur le domaine
de variation de l’« amplitude » de X1, c’est-à-dire de X(t, ω) considéré à l’instant fixé t1. L’écriture
(cid:3)
E {X(t, ω)} =
X(t)p(X(t, ω)dt,
(trop) souvent rencontrée dans des copies, indique une incompréhension attristante et constitue une erreur impardonnable.
1.2.2 Description à deux instants
On dit que X(t, ω) est connu à deux instants, si, ∀t1 , ω) et X(t2
, ω) :
X(t1
,t2, on connaît la loi conjointe des variables aléatoires
(x1 ,X2 La connaissance à deux instants nécessite donc de connaître le lien statistique entre X(t1
est connue ∀t1
, x2
pX1
,t2
)
.
, ω) et X(t2
, ω).
Notion de covariance : On appelle
CX
(t1
,t2
) = E
(cid:1)
X(t1
)X(t2
)∗
(cid:3) (cid:3)
(cid:2)
=
x1x∗
2 pX1
,X2
(x1
, x2
)dx1dx2
fonction de covariance. 1 Il s’agit dans le cas général d’une fonction bivariée qui permet de quantifier un certain « lien statistique » entre les variables aléatoires X1 et X2. Dans la mesure où l’argument de l’espérance mathé- matique fait intervenir le produit de deux variables aléatoires, et est donc homogène à un « carré », on parlera de caractérisation à l’ordre 2.
Remarque : En général, on ne peut pas exprimer la distribution conjointe pX1 butions pX1
), sauf dans le cas où les variables sont indépendantes. On a alors
) et pX2
(x1
(x2
,X2
(x1
, x2
) en fonction des distri-
,X2
pX1
, x2
) = pX1
(x1
)pX2
(x2
),
(x1 et la fonction de covariance s’écrit simplement X(t1 ) = mX
,t2 (t1 CX soit CX
) = E ,t2 (t1 Lorsqu’un tel signal est centré, c’est-à-dire de valeur moyenne nulle, alors C(t1 de signal aléatoire est appelé bruit blanc (au sens strict).
= E )∗. (t2
)X(t2 (t1
)∗ )mX
X(t2
X(t1
(cid:2) )
)∗
E
(cid:2)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:2)
,
,t2
) = 0, pour t1
(cid:3)= t2. Ce type
1En toute rigueur, il faudrait réserver le terme de covariance à la formule précédente appliquée à des signaux centrés, pour lesquels on a alors simplement une extension de la notion de variance d’une variable à deux variables aléatoires. Il s’agit ici d’une fonction puisque ces deux variables dépendent respectivement de t1 et t2. Lorsque les signaux ne sont pas centrés, on pourrait parler de moment d’ordre 2 croisé.
2. Propriétés fondamentales
Page7
2 Propriétés fondamentales
2.1 Stationnarité
La stationnarité est une propriété particulièrement importante pour l’analyse des signaux aléatoires.
Définition 1 On dit qu’un signal aléatoire est stationnaire si ses propriétés statistiques sont invariantes par translation dans le temps.
En ce qui concerne la description complète, ceci se traduit par
pX(t1
),X(t2
),...,X(tk
) = pX(t1
−τ),X(t2
−τ),...,X(tk
−τ),
et si τ = tk,
pX(t1
) = pX(t1 La distribution conjointe ne dépend plus alors que de k − 1 paramètres, au lieu des k paramètres initiaux. Ceci va se prolonger à la description partielle : les moments, qui dépendent dans le cas général de l’instant considéré, ) deviennent des quantités indépendantes du temps dans le cas stationnaire. La fonction de covariance CX devient quant-à-elle une quantité dépendant uniquement de l’écart entre t1 et t2.
),...,X(0).
),...,X(tk
),X(t2
),X(t2
,t2
(t1
−tk
−tk
Pour la description partielle à un instant, on a ainsi
pX(t1
) = pX(t1
−τ) = . . . = pX(0).
Toutes les variables X(ti
, ω) possèdent ainsi la même loi à un instant. Par suite, (cid:1)
(cid:2)
(cid:2)
(cid:1)
E
X(t1
)n
= E
X(t1
− τ)n
= . . . = m(n) X
.
On en déduit donc que tous les moments sont indépendants du temps.
À deux instants, la distribution conjointe ne dépend que de l’écart entre les deux instants et non des instants
eux-mêmes :
pX(t1
),X(t2
) = pX(t1
−t2
Publicité
),X(0).
On en déduit donc que (cid:1)
CX
(t1
,t2
) = E
X(t1
)X(t2
)∗
(cid:2)
(cid:1)
= E
X(t1
− t2
)X(0)∗
(cid:2)
(cid:1)
= E
X(0)X(t2
− t1
(cid:2)
)∗
= E {X(t)X(t − τ)∗} ,
avec t quelconque et τ = t1 de temps. On pose
−t2. La covariance devient une fonction de corrélation, qui ne dépend que de l’écart
(τ) = E {X(t)X(t − τ)∗} .
RX
On peut vérifier la stationnarité en calculant tous les moments, à tous les ordres. Ceci n’est pas forcément utilisable, et on se contentera souvent d’étudier une stationnarité au sens faible (par opposition à la stationnarité stricte), en définissant une stationnarité à l’ordre 1 — le moment d’ordre 1 est indépendant du temps, et une stationnarité à l’ordre 2 — moment d’ordre 1 et fonction de covariance invariants par translation dans le temps.
Exercice 1 : Si
X(t, ω) = A(ω) cos(2πf0t), où A(ω) est une variable gaussienne centrée et de variance σ2, vérifiez que X(t, ω) est stationnaire à l’ordre 1 mais pas à l’ordre 2.
Page 8
2.2 Ergodisme
ChapitreI. Signaux aléatoires
L’ergodisme est une propriété très souvent employée, mais non vérifiable, à l’exception de quelques do- maines de la physique. En traitement du signal, l’ergodisme sera le plus souvent un postulat, nécessaire pour travailler.
On considère un signal aléatoire X(t, ω). On note xi
(t) les différentes réalisations de ce signal. On définit (cid:3)
(cid:4)xn i
(cid:5) = lim T →+∞
1 T
(t)ndt,
xi
[T ]
la moyenne temporelle prise sur la réalisation i, durant toute son histoire. De la même manière, on définit les moyennes temporelles du signal aléatoire X(t, ω) par
(cid:4)X(t, ω)n(cid:5) = lim T →+∞
(cid:3)
1 T
[T ]
X(t, ω)ndt.
Dans le cas général, cette moyenne est une variable aléatoire, µ(n)(ω) dont les réalisations sont les (cid:4)xn i même façon, on définit des moyennes temporelles croisées, comme
(cid:5). De la
(cid:4)X(t, ω)X(t − τ, ω)(cid:5) = lim T →+∞
(cid:3)
1 T
[T ]
X(t, ω)X(t − τ, ω)dt.
Définition 2 Le signal X(t, ω) est dit ergodique si les moyennes temporelles sont des nombres certains.
Cette propriété entraîne donc, puisque (cid:4).(cid:5) est une variable certaine, que toutes les « réalisations » prennent la même valeur. En ce qui concerne les moments, on a ainsi (cid:4)X(t, ω)n(cid:5) qui est un nombre certain, ce qui entraîne (cid:4)xn 1
(cid:5). On notera µ(n) ce nombre.
(cid:5) = . . . = (cid:4)xn k
(cid:5) = (cid:4)xn 2
Il est d’une grande importance pratique d’avoir à la fois stationnarité et ergodisme. En effet, dans ce cas de
figure, les moyennes d’ensemble (les espérances mathématique) et les moyennes temporelles sont égales.
Exemple (moments).
On a
(cid:4)X(t, ω)n(cid:5) = lim T →+∞
(cid:3)
1 T
[T ]
X(t, ω)ndt.
Si le signal aléatoire est ergodique, alors (cid:4)X(t, ω)n(cid:5) est un nombre certain et
E {(cid:4)X(t, ω)n(cid:5)} = (cid:4)X(t, ω)n(cid:5) = µ(n).
Par conséquent,
µ(n) = (cid:4)X(t, ω)n(cid:5) = lim T →+∞
(cid:3)
(cid:3)
[T ]
1 T 1 T = E {X(t, ω)n} = m
= lim T →+∞
[T ]
E {X(t, ω)n} dt,
E {X(t, ω)n} dt,
,
(n) X
où la dernière ligne a été écrite en utilisant le fait que E {X(t, ω)n} ne dépend pas du temps si X(t, ω) est stationnaire.
Dans le cas stationnaire et ergodique, on a donc
E {X(t, ω)n} = lim T →+∞
(cid:3)
1 T
[T ]
X(t, ω)ndt,
ce qui signifie que l’on peut calculer les espérances mathématiques en effectuant des moyennes temporelles sur des réalisations quelconques du signal. Ceci est d’une grande importance pratique, car il est rare que l’on dispose de plusieurs réalisations du processus (et encore moins d’une infinité), et de sa distribution de proba- bilité. Notons cependant qu’il est au moins aussi rare que l’on dispose de réalisations du signal de −∞ à +∞ ;
2. Propriétés fondamentales
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on ne pourra donc pas calculer exactement la valeur des moyennes par la formule précédente. On se contentera d’approcher le résultat par des moyennes temporelles sur la durée où est connu une réalisation du processus. On parle alors d’estimation.
Exemple (covariance).
On a
(cid:4)X(t, ω)X(t − τ, ω)(cid:5) = lim T →+∞
Si le signal est ergodique, il vient
(cid:4)X(t, ω)X(t − τ, ω)(cid:5) = lim T →+∞
1 T
X(t, ω)X(t − τ, ω)dt.
(cid:3)
[T ]
1 T
(cid:3)
E {X(t, ω)X(t − τ, ω)} dt,
[T ]
et par stationnarité,
E {X(t, ω)X(t − τ, ω)} = RX
(τ)
est indépendant du temps t. Dans ce cas, on obtient
(cid:4)X(t, ω)X(t − τ, ω)(cid:5) = E {X(t, ω)X(t − τ, ω)} = RX
(τ),
soit finalement
RX
(τ) = E {X(t, ω)X(t − τ, ω)} = lim T →+∞
(cid:3)
[T ]
1 T
X(t, ω)X(t − τ, ω)dt.
2.3 Le syndrome gaussien
Le signal aléatoire gaussien est déduit de la variable aléatoire gaussienne. Le signal aléatoire gaussien est très important en traitement du signal en raison de sa facilité d’emploi, de l’optimalité des méthodes du second ordre pour les signaux gaussiens, et par son omniprésence liée au(x) théorème(s) central limite.
),X(t2
pX(t1
(cid:4) x1
conjointe
On rappelle que X(t, ω) est connu, au sens de la description complète, si l’on connaît la distribution (cid:5)
, . . . , xk , x2 , ω) sont des variables aléatoires gaussiennes. Or on sait Le signal est un processus gaussien si tous les X(ti qu’une variable aléatoires gaussienne est entièrement caractérisée par ses deux premiers moments. La des- (t) ∀t, tandis que la description à deux instants impose cription à un instant nécessitera donc de connaître mX ,t2. dans le cas d’un processus stationnaire, ceci se réduit à la connaissance de la ) ∀t1 de connaître CX moyenne mX et de la fonction d’autocorrélation RX En introduisant le vecteur X(ω) de dimension k
, . . . ,tk et ∀k.
),...,X(tk
(τ).
∀t1
(t1
,t2
,t2
)
la distribution du vecteur gaussien X(ω) est
X(ω)t = [X(t1
, ω), X(t2
, ω), . . . , X(tk
, ω)],
(x) =
pX
1(cid:6)
(2π)k det R
exp −
(cid:7)
1 2
(x − mX
)tR−1(x − mX
(cid:8) )
,
où
et
mX
= E {X(ω)} = [mX = mX
(t2
), mX
(t1 [1, 1, . . . , 1]t dans le cas stationnaire,
), . . . , mX
(tk
)]t ,
R = E {X c(ω)X
∗ c
(ω)} =
(cid:1) Xc(t1 (cid:1) Xc(t2 (cid:1)
Xc(tk
E E
E
, ω)Xc(t1 , ω)Xc(t1 ... , ω)Xc(t1
(cid:2) (cid:2)
(cid:2)
, ω)∗ , ω)∗
, ω)∗
E E
E
(cid:1) (cid:1)
Xc(t1 Xc(t2 (cid:1)
Xc(tk
(cid:2) (cid:2)
(cid:2)
, ω)Xc(t2 , ω)Xc(t2
, ω)∗ , ω)∗
, ω)Xc(t2
, ω)∗
. . . E . . . E . . . . . . E
(cid:1) (cid:1)
Xc(t1 Xc(t2 (cid:1)
Xc(tk
,
(cid:2) (cid:2)
(cid:2)
, ω)Xc(tk , ω)Xc(tk ... , ω)Xc(tk
, ω)∗ , ω)∗
, ω)∗
Page 10
ChapitreI. Signaux aléatoires
où X c désigne le signal centré : Xc = X − mX . On obtient finalement
(0) − t2
)
RX
)
(t2 RX
− t1 (0)
R =
RX
RX (t1 ... (t1
) )
. . . RX . . . RX . . . . . .
− t1 − t2
(tk (tk ... (0)
)
RX
− tk
− tk
Publicité
) RX
(t2 dans le cas stationnaire. Le terme mX est la moyenne du vecteur gaussien X(ω), et R est la matrice de corréla- tion. La distribution p(X(ω)) n’est autre que la distribution conjointe des k variables aléatoires X(t1 ), ou la moyenne mX et Par conséquent, si l’on connaît la moyenne mX (τ) du processus (dans le cas stationnaire), on est capable d’écrire la distribution la fonction de corrélation RX conjointe, et ceci quelque soient les ti et pour n’importe quelle dimension k. Ainsi, dans le cas gaussien, la connaissance de la moyenne et de la fonction de covariance suffit à caractériser entièrement le processus.
(t) et la fonction de covariance CX
, ω), X(t2
,t2
(t1
RX
, ω), . . . , X(tk
, ω)
Une autre définition du processus gaussien est
Définition 3 Le processus X(t, ω) est un processus gaussien si, quelque soit la fonction g(t),
(cid:3)
Z(ω) =
g(t)X(t, ω)dt
est une variable gaussienne.
On peut déduire de cette définition une propriété fondamentale des processus gaussiens : le caractère gaussien se conserve par transformation linéaire. En d’autres termes, si l’entrée d’un filtre linéaire est gaussienne, alors la sortie du filtre est également gaussienne.
Supposons donc que Y (t, ω) est la sortie d’un filtre de réponse impulsionnelle h(t) et d’entrée X(t, ω). Cette
sortie s’exprime donc sous la forme du produit de convolution
Y (t, ω) = (X ∗ h)(t, ω) =
(cid:3) +∞
−∞
h(t − τ)X(τ, ω)dτ.
À partir de la sortie Y (t, ω), on forme la variable aléatoire Z selon
(cid:3)
Z =
g(t)Y (t, ω)dt.
En écrivant Y (t, ω) en fonction de X(t, ω) et h(t), il vient alors
Z =
(cid:3) (cid:3) +∞
−∞
g(t)h(t − τ)X(τ, ω)dtdτ,
et en intégrant par rapport à t et en posant alors
il reste simplement
w(τ) =
(cid:3) +∞
−∞
(cid:3)
g(t)h(t − τ)dt,
Z =
w(τ)X(τ, ω)dτ.
Si X(τ, ω) est, par hypothèse, un signal aléatoire gaussien, alors Z est une variable gaussienne, par définition et d’après la relation précédente. Z ayant été introduit comme une transformation de Y (t, ω), avec g quelconque, on en déduit que Y (t, ω) est un processus aléatoire gaussien.
Ainsi, puisque le filtrage d’un processus gaussien conserve le caractère gaussien, il nous restera à examiner comment se transforment la moyenne et la fonction de corrélation, ces deux quantités suffisant à décrire un processus gaussien stationnaire. Nous examinerons ces points dans quelques paragraphes.
L’importance des signaux aléatoires gaussiens, outre leur facilité d’utilisation liée à la manipulation de seulement deux moments, provient également de l’importance quantitative des signaux gaussiens, liée au(x) théorèmes(s) central limite. Il existe en effet un certain nombre de théorèmes qui indiquent qu’un mélange de variables aléatoires, tend, lorsque le nombre de variables dans le mélange augmente, vers une distribution gaus- sienne. Ces théorèmes se distinguent par les hypothèses faites sur les lois des variables, leurs liens statistiques ou des hypothèses sur les conditions de mélange. Une formulation simple est la suivante :
3. Propriétés énergétiques dessignaux aléatoires stationnaires depuissance moyenne finie
Page11
Thorème 1 Soit
YN
= 1 N
N ∑ i=1
,
Xi
où Xi sont des variables aléatoires indépendantes et de même loi. Alors, lorsque N → +∞, la variable YN tend vers une variable aléatoire gaussienne de moyenne m et de variance σ2/N, si m et σ2 sont les moyenne et variance commune des variables Xi.
Ceci indique, que comme c’est souvent le cas en pratique, lorsqu’un signal aléatoire est composé par la super- position d’un grand nombre de « signaux élémentaires », alors le signal résultant est bien approximé par une distribution gaussienne. Rappelons qu’il existe d’autres théorèmes limite qui prennent en compte des combinai- sons linéaires quelconques de variables, qui peuvent être liés, et dont les distributions peuvent être différentes.
2.4 Signaux aléatoires à temps discret
À partir des signaux aléatoires précédemment définis « à temps continu », c’est-à-dire que la variable d’évolution t prend ses valeurs dans IR, on définit des signaux aléatoires « à temps discret », ou la variable d’évolution n prend ses valeurs dans un ensemble discret, NN, par exemple. Rappelons que s’il est commode d’appeler t et n des variables temporelles, celles-ci ne sont pas nécessairement homogènes à un temps : t et n peuvent représenter une distance, un évolution d’une intensité de stimulation ou autre.
On note X(n, ω) un signal aléatoire X, un ensemble de fonctions de la variable n, cet ensemble étant indexé ) par la variable ω. On notera x(n) une réalisation du processus aléatoire et on désignera par xi (n) ou X(n, ω i une réalisation particulière, obtenue pour ω = ω i. Lorsque n est fixé, le processus aléatoire se réduit alors à une simple variable aléatoire. Le processus aléatoire à temps discret ne se réduit pas à une collection de variables aléatoires indépendantes ; ces variables aléatoires peuvent être liées les unes aux autres, par le biais d’une fonction de la variable d’évolution n.
Un signal aléatoire à temps discret peut être construit directement à temps discret, ou être intrinsèquement
de nature discrète, ou peut résulter de l’échantillonnage d’un signal aléatoire à temps continu.
Les notions de description complète et partielles, les définitions des moments et covariance, les propriétés de stationnarité, d’ergodisme se transposent directement à partir du cas continu, à un très faible aménagement de notation près. Nous poursuivrons donc la présentation en donnant les résultats pour ces deux classes de signaux aléatoires, et en donnant les argumentations et exemples en se plaçant tantôt dans un cas, tantôt dans l’autre.
3 Propriétés énergétiques des signaux aléatoires stationnaires de puissance
moyenne finie
Les propriétés énergétiques des signaux aléatoires stationnaires sont décrites à l’aide des moments d’ordre deux, c’est-à-dire des fonctions d’auto et d’intercorrélation, dans le domaine temporel, et à l’aide des densités spectrales de puissance, dans le domaine de Fourier.
3.1 Analyse dans le domaine temporel
Les notions importantes sont ici les notions de fonctions de corrélation et leurs propriétés.
3.1.1 Définitions et propriétés
Définition 4 Si X(t, ω) et Y (t, ω) sont deux processus aléatoires conjointement stationnaires, les fonctions d’intercorrélation et d’autocorrélation sont définies par
RXY
RXX
(τ) (cid:7)= E {X(t, ω)Y ∗(t − τ, ω)} = erg (τ) (cid:7)= E {X(t, ω)X ∗(t − τ, ω)} =
lim T →+∞
lim T →+∞
erg
(cid:3)
[T ] (cid:3)
[T ]
1 T 1 T
X(t, ω)Y
∗(t − τ, ω)dt,
X(t, ω)X ∗(t − τ, ω)dt,
Page 12
ChapitreI. Signaux aléatoires
et, à temps discret, par
RXY
RXX
(k) (cid:7)= E {X(n, ω)Y ∗(n − k, ω)} =
erg
lim N→+∞
(k) (cid:7)= E {X(n, ω)X
∗(n − k, ω)} = erg
lim N→+∞
1 N 1 N
N ∑ n=0 N ∑ n=0
X(n, ω)Y ∗(n − k, ω),
X(n, ω)X
∗(n − k, ω).
Notons que si on note Ech l’opérateur d’échantillonnage et Corr l’opérateur de corrélation, alors on a
Corr[Ech[X(t, ω)]] = Ech[Corr[X(t, ω)]];
et c’est bien heureux, car les corrélateurs analogiques ne courent pas les rues.
Les fonctions de corrélation jouissent d’un certain nombre de propriétés que nous rappelons ci-dessous.
1. (Symétrie hermitienne)
RY X
(τ) = E {Y (t, ω)X
∗(t − τ, ω)} = E {Y (t + τ, ω)X
∗(t, ω)} = E {X(t, ω)Y
∗(t + τ, ω)}∗ = R
∗ XY
(−τ).
On dit que l’intercorrélation est à symétrie hermitienne.
2. (Parité). En appliquant la propriété de symétrie hermitienne à l’autocorrélation, on obtient
RXX
(τ) = R
∗ XX
(−τ).
3. (Centrage). Si mX est la moyenne de X(t, ω), en définissant par Xc(t, ω) = X(t, ω) − mX le signal centré,
on a
4. (Autocorrélation et puissance). Pour un retard τ nul, on a
RXX
(τ) = RXcXc
(τ) + m2 X
.
RXX
(0) = E
(cid:1)
|X(t, ω)|2
(cid:2)
= erg
lim T →+∞
1 T
(cid:3)
[T ]
|X(t, ω)|2dt = PX
.
La fonction d’autocorrélation prise pour le retard nul, RXX en déduit d’ailleurs que RXX
(0) > 0.
5. (Maximum).À partir de l’inégalité de Schwartz,
(0), est simplement la puissance du signal. On
| < x, y > |2 ≤< x, x >< y, y >,
et en utilisant < x1 (a) |RY X (b) |RXX
, x2 (τ)|2 ≤ RXX (τ)| ≤ RXX
>= E (0)RYY (0), ∀τ,
(cid:2) (t)
(cid:1)
(t)X ∗ X1 2 (0), ∀τ,
comme produit scalaire, on déduit que
(cid:1)
Exercice 2 : Au sens du produit scalaire défini ci-dessus, démontrez l’inégalité de Schwartz en dévelop- en un polynôme en λ et en notant que ce polynôme est toujours positif. À partir de pant E cette inégalité, retrouvez les deux propriétés de maximum.
|X + λY |2
(cid:2)
6. La fonction d’autocorrélation est définie non négative :
∑ i
∑ j
λ iRXX
(τ i
− τ j
)λ j
≥ 0, ∀i, j.
Ceci s’établit en développant E En reprenant cette démarche, on peut étudier
i
iX(τ λ i
| ∑
)|2
(cid:1)
(cid:2)
, qui est une quantité positive.
(cid:3)
(cid:7) |
E
X(t, ω) exp (− j2πf t)dt|2
,
(cid:8)
3. Propriétés énergétiques dessignaux aléatoires stationnaires depuissance moyenne finie
Page13
expression qui nécessiterait quelques précautions d’écriture (la transformée de Fourier d’un processus aléatoire stationnaire n’a pas de sens). En développant tout de même, on a
(cid:7)(cid:3)
(cid:3) (cid:3)
(cid:3) (cid:3)
E
=
=
X(t, ω) exp (− j2πf t)dt
X ∗(t(cid:10), ω) exp ( j2πf t(cid:10))dt(cid:10)
(cid:3)
(cid:8)
(cid:1)
(cid:2) X(t, ω)X(t(cid:10), ω)
E
RXX
(t − t
(cid:10)) exp (− j2πf (t − t
exp (− j2πf (t − t(cid:10)))dtdt(cid:10) (cid:10)))dtdt
(cid:10),
soit, en posant t − t(cid:10) = τ,
(cid:3)
( f ) (cid:7)=
SXX
RXX
(τ) exp (− j2πf τ)dτ ≥ 0.
On en déduit donc que la transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation est toujours posi- tive. On dit aussi que le caractère défini non négatif se conserve par transformée de Fourier. Ce résultat constitue le théorème de Bochner.
7. (Mémoire). On a vu que |RXX
(τ)| ≤ RXX (τ) (0)
ρc(τ) (cid:7)= RXX RXX
(0). On appelle
=
(cid:6)
E {X(t, ω)X ∗(t − τ, ω)} E {|X(t, ω)|2} E {|X ∗(t − τ, ω)|2}
le coefficient de corrélation, dont on vérifie aisément qu’il est compris entre -1 et 1. Il s’agit en fait de la fonction d’autocorrélation normalisée par rapport à son maximum. Lorsqu’au bout d’un temps tc le coefficient de corrélation devient nul, le processus est dit à mémoire finie.
3.1.2 Notion de bruit blanc
Un bruit blanc est un modèle de signal aléatoire « limite » que l’on rencontrera très souvent. Le bruit blanc est un bruit à corrélation microscopique, c’est-à-dire qu’entre deux instants, si proches soient-ils, ρc(τ) = 0. On pose, par définition,
RXX
(τ) (cid:7)= N0 2
δ(τ),
où δ(τ) est la distribution de Dirac. On peut noter dès à présent que la transformée de Fourier de cette fonction d’autocorrélation, que l’on a déjà notée SXX
/2.
( f ), est une constante, d’amplitude N0 (τ)] = N0 2
( f ) = T F[RXX
.
SXX
Par ailleurs, en se souvenant que RXX blanc possède une puissance moyenne infinie. . . Il s’agit donc d’un modèle délicat à manipuler.
(0) représente la puissance moyenne du signal, on constate que le bruit
On peut distinguer plusieurs types de bruit blanc : si toutes les variables aléatoires que l’on peut extraire du signal sont indépendantes, le bruit est blanc, puisque l’indépendance entraîne la décorrélation. Par contre, toutes les variables peuvent être décorrélées sans être nécessairement indépendantes. On parlera alors de bruit blanc au sens fort (ou au sens strict), dans le premier cas et de bruit blanc à l’ordre deux dans le second. Notons qu’il existe un certain nombre de situations intermédiaires.
Exercice 3 : Montrez qu’un bruit blanc est nécessairement de valeur moyenne nulle.
Exercice 4 : On considère un signal aléatoire U(t, ω) n’existant que sur l’intervalle de temps [0, T ] ; et on s’intéresse au signal périodique
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X(t, ω) = RepT
[U(t, ω)] = ∑ k
U(t − kT, ω).
1. Montrez que RUU 2. Montrez que RXX (τ).
RUU
(τ) = 0 pour τ /∈ [−T, T ]. (τ) est une fonction périodique de période T et exprimez RXX
(τ) en fonction de
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ChapitreI. Signaux aléatoires
Exercice 5 : On considère le signal aléatoire à temps discret X(n, ω), d’autocorrélation RXX définit
(k), et on
Calculez la fonction d’autocorrélation de Z(n, ω).
Z(n, ω) = X(n, ω) + aX(n − n0
, ω).
3.2 Transformation des fonctions aléatoires par filtrage
On étudie ici comment sont transformés les signaux aléatoires, ou plus exactement leurs caractéristiques, lors d’un filtrage linéaire. On s’intéressera d’abord à la représentation temporelle, transformation de la moyenne et des fonctions de corrélation, et établirons la formule des interférences et ses conséquences, puis nous exami- nerons la transformation des caractéristiques du signal dans le domaine fréquentiel.
3.2.1 Rappel
On rappelle qu’un filtre est un système linéaire invariant dans le temps (stationnaire), que l’on peut décrire par une équation différentielle à coefficients constants ou par une intégrale de convolution. À temps continu, si X(t, ω) est l’entrée du filtre de réponse impulsionnelle h(t), on a
Y (t, ω) = (X ∗ h)(t, ω) =
X(u, ω)h(t − u)du =
h(u)X(t − u, ω)du.
(cid:3)
(cid:3)
À temps discret, si X(n, ω) est l’entrée du filtre de réponse impulsionnelle h(n), on a
Y (n, ω) = (X ∗ h)(n, ω) = ∑ m
X(m, ω)h(n − m) = ∑ m
h(m)X(n − m, ω).
3.2.2 Transformation de la moyenne
On note mY la moyenne de la sortie du filtre, et on effectue le calcul à temps discret.
(cid:7)
(cid:8)
mY
= E {Y (n, ω)} = E
h(m)X(n − m, ω)
∑ m
= ∑ m
h(m)E {X(n − m, ω)} = mX ∑
m
h(m).
La moyenne de la sortie est donc simplement la moyenne du signal d’entrée affectée du facteur∑m h(m). Or si l’on considère la transformée de Fourier H( f ) de h(m),
H( f ) = ∑ m
h(m) exp { j2πf m}
(transformée de Fourier à fréquence continue), on note que pour la fréquence nulle, on retrouve
Ainsi, la moyenne en sortie s’écrit
H(0) = ∑ m
h(m).
mY
= mX H(0) = mX ∑
m
h(m).
La moyenne de la sortie du filtre est la moyenne de l’entrée, multipliée par le gain complexe (la fonction de transfert) pour la fréquence nulle.
Exercice 6 : Montrez que pour un signal aléatoire à temps continu, on a les formules analogues :
(cid:3)
mY
= mX H(0) = mX
h(u)du.
3. Propriétés énergétiques dessignaux aléatoires stationnaires depuissance moyenne finie
Page15
3.2.3 Théorème, ou formule des interférences
La très importante formule des interférences permet de relier l’intercorrélation entre les sorties de deux
filtres, aux intercorrélations des entrées de ces filtres. La figureI.1 décrit le dispositif expérimental.
(cid:7)
Y1 Y2
(n, ω) = (X1 (n, ω) = (X2
∗ h1 ∗ h2
)(n, ω), )(n, ω),
(n)
X1
(cid:1)
(n)
h1
(n)
Y1
(cid:1)
(n)
X2
(cid:1)
(n)
h2
(n)
Y2
(cid:1)
FIG. I.1: Dispositif pour la formule des interférences
Calculons l’intercorrélation entre Y1 (n, ω)Y ∗ 2
(m) = E
(cid:1) Y1
RY1Y2
(n) et Y2 (n) : (cid:2) (n − m, ω))
= E
(cid:1)
(X1
∗ h1
)(n, ω))(X ∗ 2
∗ h∗ 2
(cid:2) )(n − m, ω))
.
Les deux produits de convolution s’écrivent = ∑ )(n, ω)) u )(n − m, ω)) = ∑ v
∗ h1 ∗ h2
(X1 (X2
X1
X2
(u, ω)h1 (v, ω))h2
= ∑ (n − u) u (n − m − v) = ∑ v
h1
h2
(u, )X1 (v)X2
(n − u, ω),
(n − m − v, ω),
et
RY1Y2
(m) = E{∑ u = E{∑ u ∑ v
= ∑ u
X1 ∑ v h1
(n − u, ω)h1
∗ (n − m − v, ω)h 2
(v)}
X1
(n − u, ω)h1
(n − m − v, ω)h∗ 2
(v)}
∗ X 2
(u)∑ v (u)X ∗ 2
(u)RX1X2
(m + v − u)h∗ 2
(v).
En effectuant la somme sur u, on voit apparaître un produit de convolution entre h1 et RX1X2
, exprimé en (m+v) :
RY1Y2
(m) = ∑ v = ∑ v
(h1
(h1
∗ RX1X2 ∗ RX1X2
)(m + v)h∗ 2
(v)
)(m + v)h(−)∗
2
(−v),
(−v). Dans cette relation apparaît à nouveau un produit de convolution, cette fois-ci
où l’on a posé h(−) entre (h1
∗ RX1X2
(v) = h2 2 ) et h∗(−) : 2
RY1Y2
(h1
(h1
(m) = ∑ v = ∑ v(cid:10) (cid:15) h1
=
∗ RX1X2 ∗ RX1X2
)(m + v)h∗(−)
2
(−v)
)(m − v(cid:10))h∗(−) (cid:16)
2
(v(cid:10))
∗ RX1X2
∗ h∗(−) 2
(m).
Page 16
ChapitreI. Signaux aléatoires
On en déduit donc la formule des interférences :
RY1Y2
(m) =
(cid:15) h1
(cid:16)
∗ RX1X2
∗ h∗(−) 2
(m) .
Exercice 7 : Établir la même relation en continu.
Conséquences
1. Considérons non plus deux filtres, mais un filtre unique (voir figure I.2). On peut appliquer la formule
des interférences, en prenant
(cid:7)
X1 h1
= X2 = h2
= X, = h.
X (n, ω)
(cid:1)
h(n)
Y (n, ω)
(cid:1)
FIG. I.2: Filtre unique
Les deux sorties sont évidemment égales, Y1
= Y , et l’on obtient
= Y2 (cid:4)
RYY
(m) =
h ∗ RXX
∗ h∗(−)
(cid:5)
(m) .
2. On cherche maintenant à établir l’expression de l’intercorrélation sortie-entrée d’un filtre RY X
(m). Pour cela, on peut appliquer la formule des interférences avec un premier filtre d’entrée X(n, ω), de réponse impulsionnelle h(n) et de sortie Y (n, ω), et un second filtre unitaire, c’est-à-dire d’entrée X(n, ω) de réponse impulsionnelle δ(n) et donc de sortie X(n, ω). On considère ainsi :
X1 Y1 Y2 h2
= X,
= X2 = Y, = X, h1 = δ.
= h,
Dans ce cas, l’application de la formule des interférences fournit :
RY X
(m) = (h ∗ RXX
) (m) .
L’intercorrélation sortie-entrée s’exprime donc comme un filtrage de l’autocorrélation de l’entrée, ce filtrage étant analogue à celui-qui lie la sortie et l’entrée du filtre.
Application : identification de réponse impulsionnelle
La manière classique d’identifier une réponse impulsionnelle consiste à recueillir la sortie du filtre à une impulsion de Dirac. . . Ceci nécessite donc d’être capable de générer une impulsion de Dirac ; or il n’est évi- demment pas possible de générer une telle impulsion, qui devrait être de largeur nulle et d’amplitude infinie. Par ailleurs, si la sortie du filtre est bruitée, la réponse impulsionnelle ainsi identifiée sera inexploitable.
Si l’on prend pour X(t, ω) un bruit blanc, il est possible d’identifier la réponse impulsionnelle : en effet, si
X(t, ω) est blanc, RXX
(τ, ω) = N0
/2δ(τ), et
(τ) =
RY X
(cid:21)
h ∗ N0 2
(cid:22)
δ
(τ) = N0 2
h(τ).
3. Propriétés énergétiques dessignaux aléatoires stationnaires depuissance moyenne finie
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X (t, ω)
(cid:1)
h(t)
Y (t, ω) Y (t, ω) Y (t, ω) (cid:1)
(cid:1)