Extrait du:
SESSION 2013
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP
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MATHEMATIQUES 2
Problème : matrices «toutes-puissantes»
Notations et objectifs
Dans tout le texte, K désigne le corps R ou C et p un entier naturel non nul.
On note Mp(K) le K-espace vectoriel des matrices carrées de taille p à coefficients dans K et
Ip la matrice unité de Mp(K).
On pourra confondre M1(K) et K.
Une matrice N de Mp(K) est dite nilpotente s’il existe un entier naturel r tel que N r = 0.
Si M1, . . . , Mk sont des matrices carrées, la matrice diag(M1, . . . , Mk) désigne la matrice dia-
gonale par blocs dont les blocs diagonaux sont M1, . . . , Mk.
Si E est un K-espace vectoriel, on note idE l’application identité sur E.
Enfin, on note K[X] la K-algèbre des polynômes à coefficients dans K.
On dit qu’une matrice A de Mp(K) est «toute-puissante sur K» et on notera en abrégé TPK
si, pour tout n ∈ N∗, il existe une matrice B de Mp(K) telle que A = Bn.
On note Tp(K) l’ensemble des matrices de Mp(K) toutes-puissantes sur K :
Tp(K) = {A ∈ Mp(K) | ∀n ∈ N∗ ∃B ∈ Mp(K) A = Bn}.
L’objectif principal du sujet est d’établir le résultat suivant :
toute matrice inversible de Mp(C) est TPC.
Dans la partie I, on traite quelques exemples et contre-exemples.
Dans la partie II, on montre que, dans le cas où le polynôme caractéristique de la matrice A
est scindé, on peut ramener l’étude au cas des matrices de la forme λIp + N avec N nilpotente.
Dans la partie III, on traite le cas des matrices unipotentes c’est-à-dire de la forme Ip + N avec
N nilpotente et on en déduit le théorème principal.
Les parties I et II sont dans une large mesure indépendantes. La partie III utilise les résultats
des parties précédentes.
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Partie I : quelques exemples
1. Le cas de la taille 1
(a) Démontrer que T1(R) = [0, +∞[.
(b) Soient n ∈ N∗ et b = reiθ avec r > 0 et θ ∈ R. Donner les racines n-ièmes du nombre
complexe b, c’est-à-dire les solutions de l’équation zn = b d’inconnue z ∈ C.
(c) En déduire T1(C).
2. Une condition nécessaire...
(a) Démontrer que si A ∈ Tp(K), alors det A ∈ T1(K).
(b) En déduire un exemple de matrice de M2(R) qui n’est pas TPR.
3. ...mais pas suffisante
(cid:4)
(cid:3)
−1
0
0 −2
Soit A =
. Démontrer qu’il n’existe aucune matrice B =
(cid:3)
(cid:4)
a b
c d
de M2(R) telle
que A = B2. En déduire que la condition nécessaire de la question précédente n’est pas
suffisante.
⎛
4. Un cas où A est diagonalisable
⎞
2
3
0
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⎟
−2
2
5
⎠.
2 −3 0
Soit A =
⎜
⎝
(a) Démontrer que A est diagonalisable sur R (le détail des calculs n’est pas demandé).
(b) Démontrer que la matrice A est TPR.
(c) Pour chacun des cas n = 2 et n = 3, expliciter une matrice B de M3(R) vérifiant
Bn = A (on pourra utiliser la calculatrice).
5. Un exemple de nature géométrique
Soit A =
(cid:3)
(cid:4)
.
−1
0
0 −1
(a) Justifier que A est la matrice d’une rotation vectorielle dont on précisera une mesure
de l’angle.
(b) En déduire que A est TPR.
6. Le cas des matrices nilpotentes
Soit N une matrice nilpotente de Mp(K).
(a) Déterminer le polynôme caractéristique de N , en déduire que N p = 0.
(b) Démontrer que si N est TPK, alors N est la matrice nulle.
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Partie II : le cas où le polynôme caractéristique est scindé
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Dans toute cette partie, A désigne une matrice de Mp(K) dont le polynôme caractéristique
noté χA est scindé sur K, c’est-à-dire de la forme :
χA =
k(cid:11)
i=1
(X − λi)ri,
avec k, r1, . . . , rk des entiers de N∗ et λ1, . . . , λk les valeurs propres de A, éléments de K.
On note B la base canonique de Kp et u l’endomorphisme de Kp dont A est la matrice dans la
base B.
Enfin, pour i ∈ {1, . . . , k}, on note Ci = Ker(u − λi idKp)ri que l’on appelle sous-espace carac-
téristique de u associé à la valeur propre λi.
7. Démontrer que Kp = C1 ⊕ · · · ⊕ Ck.
8.
(a) Soit v un endomorphisme de Kp qui commute avec u et Q un polynôme à coefficients
dans K. Démontrer que Ker Q(u) est stable par v.
(b) En déduire que pour tout i ∈ {1, . . . , k}, le sous-espace caractéristique Ci est stable
par u.
On note ainsi uCi l’endomorphisme induit par u sur Ci.
9. Soit i ∈ {1, . . . , k}. Justifier que l’application uCi
− λi idCi est un endomorphisme de Ci
nilpotent.
10. En déduire que la matrice A peut s’écrire sous la forme :
A = P diag(λ1Ip1 + N1, . . . , λkIpk + Nk)P −1 ,
avec P une matrice inversible de Mp(K) et pour tout i ∈ {1, . . . , k}, pi = dim Ci et Ni est
une matrice nilpotente de Mpi(K).
On rappelle que diag(λ1Ip1 + N1, . . . , λkIpk + Nk) désigne la matrice diagonale par blocs de
premier bloc λ1Ip1 + N1, de deuxième bloc λ2Ip2 + N2 et de dernier bloc λkIpk + Nk.
11. Démontrer que, si pour tout i ∈ {1, . . . , k} la matrice λiIpi + Ni est TPK, alors A est
elle-même TPK.
Partie III : le cas des matrices unipotentes
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Soit N une matrice nilpotente de Mp(K). Nous allons montrer que la matrice unipotente Ip +N
est TPK.
On pourra confondre polynôme et fonction polynôme.
On rappelle que si f est une fonction, la notation f (x) = o(xp) signifie qu’il existe une fonction
ε tendant vers 0 en 0 telle que f (x) = xpε(x) au voisinage de 0.
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12. Une application des développements limités
(a) Soit V un polynôme de R[X] tel que V (x) = o(xp) au voisinage de 0.
Démontrer, à l’aide d’une division euclidienne, qu’il existe un polynôme Q de R[X] tel
que V = X p × Q.
(b) Soit n ∈ N∗. Démontrer l’existence d’un polynôme U de R[X] tel que l’on ait, au
voisinage de 0 :
1 + x = (U (x))n + o(xp)
(on pourra utiliser un développement limité de (1 + x)α).
(c) En déduire que, pour tout n ∈ N∗, il existe un polynôme Q de R[X] tel que :
1 + X = U n + X p × Q.
13. Applications
(a) Démontrer que la matrice unipotente Ip + N est TPK.
(b) Soit λ ∈ K non nul. En déduire que si λ est TPK, alors la matrice λIp + N est TPK.
14. Le résultat annoncé
(a) Conclure que toute matrice inversible de Mp(C) est TPC.
(b) Toute matrice de Mp(C) est-elle TPC ?
15. Donner un exemple de matrice de M4(R) non diagonalisable et non inversible qui est TPR.
Fin de l’énoncé
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