École Supérieure Privée d’Ingénierie et de Technologies
Série d’exercices : Interpolation polynomiale et approximation polynomiale
Niveau : 4ème année GC
Année universitaire : 2020-2021
Analyse Numérique
1. Partie Synchrone
Exercice 1.
Soit la fonction définie par f (x) = sin[
π
2
(x − 1)] et trois points x0 = 1, x1 =
3
2
et x2 = 2.
(1) Calculer le polynôme P interpolant f en x0, x1 et x2.
(2) Trouver la valeur approchée de f au point x = 1.75.
(3) En déduire l’erreur au point d’abscisse x = 1.75.
(4) Donner une majoration de l’erreur d’interpolation sur l’intervalle [1, 2].
Exercice 2 (Examen Mai 2019). Partie I : Interpolation polynomiale
(1) Justifier l’existence d’un unique polynï¿ 1
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2 me P2 ∈ R2[X] interpolant les points (−2, 16),
(0, −4) et (2, 8).
(2) Déterminer l’expression du polynï¿ 1
2 me P2 par une méthode (vue en cours) de votre
choix.
Partie II : Approximation au sens des moindres carrées
Dans l’objectif d’é tudier le chemin de freinage d’un véhicule, correspondant à la distance
parcourue en mètres (m) du dé but du freinage jusqu’ à l’arrï¿ 1
2 t total du vé hicule, en fonction
de la vitesse en Kilomètres par heure (Km/h) de ce dernier, 12 expériences indé pendantes
ont é té réalisé es. Les résultats obtenus sont présenté es dans le tableau ci-dessous. On note
par X = (xi)1 ≤ i ≤ 12 et Y = (yi)1 ≤ i ≤ 12, où xi, et yi, dé signent, respectivement, la
vitesse du vé hicule et le chemin de freinage associé s à l’éxpérience i.
(cid:19)
(cid:18) a
b
(1) Déterminer les coefficients Z =
de la droite f (t, Z) = a + bt, qui ajuste au
mieux les points (xi; yi)1≤i≤12 au sens des moindres carrées. On donne les valeurs des
sommes suivantes:
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12
(cid:88)
xi = 1140; (cid:80)12
xiyi = 80840
yi = 691;
12
(cid:88)
12
(cid:88)
i = 122600 ;
i=1 x2
i=1
i=1
i=1
(2) Rouler à une vitesse de 105 Km/h, le conducteur de ce véhicule pourrait-il éviter un
obstacle survenant à une distance de 60 m? Justifir votre réponse.
2. Partie Asynchrone
Exercice 3. Soit P le polynôme interpolation la fonction x (cid:55)−→
3, x2 = 7.5,
suit :
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x1 =
x3 = 9.1 et x4 = 12, exprimé dans la base des polynômes de Newton comme
x aux points x0 = 1,
√
1
P (x) = α0 + α1(x − 1)
(cid:125)
(cid:124)
(cid:123)(cid:122)
P1(x)
+ α2(x − 1)(x − 3)
+ α3(x − 1)(x − 3)(x − 7.5)
+ α4(x − 1)(x − 3)(x − 7.5)(x − 9.1)
(cid:124)
(cid:124)
(cid:124)
(cid:123)(cid:122)
P2(x)
(cid:125)
(cid:123)(cid:122)
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P3(x)
(cid:125)
(cid:123)(cid:122)
P4(x)
(cid:125)
avec α0 = 1, α1 (cid:39) 0.366, α2 (cid:39) −0.0219, α3 (cid:39) 0.0017, et α4 (cid:39) −1.1491 10−4.
Nous désignons par Pi, 1 ≤ i ≤ 4, le polynôme interpolant les points Aj(xj, f (xj)),
0 ≤ j ≤ i.
1. Calculer les erreurs EPi(8) = |Pi(8) − f (8)|, 1 ≤ i ≤ 4.
Nous ordonnons maintenant les abscisses xi en fonction de leurs distances par rapport à x = 8.
Nous considérons ainsi B0 = A2, B1 = A3, B2 = A4, B3 = A1 et B4 = A0.
2. Pour tout 1 ≤ i ≤ 4, déterminer l’expression de Qi, le polynôme interpolant les points
Bj(xj, f (xj)), 0 ≤ j ≤ i.
3. Calculer les erreurs EQi(8) = |Qi(8) − f (8)|, 1 ≤ i ≤ 4.
4. Comparer les résultats des questions (1) et (3) et Conclure.
2