Sciences Industrielles
TD 1 - Enoncé
Cinématique chaînes fermées
MELANGEUR
1. Description
Le mécanisme dont le schéma cinématique est donné ci-dessous représente un mélangeur. Un moto-réducteur non représenté entraîne en r rotation uniforme autour de l’axe )y,A( 0 l’arbre d’entrée 1. Le déplacement de l’axe de transmission 3, ainsi produit, permet la rotation alternative de l’arbre récepteur 4 . autour de l’axe
r )z,C( 0
2. Dessin technique en coupe du mélangeur
1
A
B
2
3
4
C
La pièce 2 est une sphère.
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Cinématique chaînes fermées
3. Repères associés aux solides rrr == ; zyxARB ;( ; 0 0 0 0 0 rrr == zyxARB ;( ; ); 1 11 1 1 rrr == ; RB zyxB ;( ; 2 2 2 2 2 rrr == ; zyxBRB ;( ; ) 3 3 3 3 rrr == zyxCRB ;( ; ; 4 4 4 4
lié au bâti 0 ) lié à l’arbre d’entrée 1 lié à l’axe de transmission 3 ) lié à la sphère 2 lié à l’arbre de sortie 4
)
4
3
4. Paramétrage AC r= La géométrie : 0yh La position angulaire des repères les uns par rapport aux autres. x1
1zlAB r=
CB rλ= 3z
y0
z4
z3
x0
y4
z1
z0
Θ01
x3=x4
Θ34
y4
y3
z4=z0
y0=y1
5. Torseurs cinématiques associés aux liaisons Li/j
x0
θ40 x4
{ V
ij
ij
i
p
=
} )S/S( Aj
q r ij r xp)S/S( j
r Ω
=
ij
i
ij
u
v ij w
Aij r + yq ij
+
r zr ij
r r xu)S/S,A(V
=
i
j
ij
+
r
r + zwyv
ij
ij
avec
6. TRAVAIL DEMANDE Question 1 : Tracer le graphe du mécanisme en indiquant les liaisons
Question 2 : Tracer le schéma cinématique du mélangeur en perspective isométrique et placer sur ce
schéma les différents repères R0, R1,R2, R3 et R4.
Question 3 : Déterminer le torseur équivalent à l’association des liaisons L12 et L23, et tracer en
perspective isométrique le schéma cinématique minimal.
Question 4 : Ecrire la fermeture géométrique du mécanisme. Quel est le paramètre d'entrée et quels
sont les paramètres de sortie ?
Question 5 : Calculer
θ tan 40
, λ et
cos θ en fonction de tous les paramètres utiles et notamment
34
h,l
et
θ . 01
Question 6 : Ecrire
la fermeture cinématique du mécanisme au point C dans
la base
B
0
r=
r )z;y;x( 0 0
r
0
.
Question 7 : Quelle est la mobilité du mécanisme ?
Question 8 : Déterminer la relation entrée-sortie soit
40r
en fonction de
10q et de tous les
paramètres utiles.
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TD 1 - Corrigé
Cinématique chaînes fermées
Question 1 : Tracer le graphe du mécanisme en indiquant les liaisons
Liaison 01L 21L 32L 40L 34L
Nom de la liaison r Pivot d’axe )y,A( 0 Rotule de centre B B zr , 4 ) ) 4
Pivot glissant d’axe ( C zr Pivot d’axe ( , C xr Pivot d’axe ( ,
) 2
Question 2 : Tracer le schéma cinématique du mélangeur en perspective isométrique et placer sur ce schéma les différents repères R0, R1,R2, R3 et R4.
z1
z0
z2
Publicité
B
S2
θ01
S1
A
S0
z04
x4 θ04
y01
x0
S3
C
S4
S0
Question 3 : Déterminer le torseur équivalent à l’association des liaisons L12 et L23 La liaison équivalente à l'association en série des deux liaisons linéaire annulaire d’axe ( 2 . ) Schéma cinématique minimal :
B zr ,
L 21
Let
32
est une liaison
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z1
z0
z2
B A
θ01
S1
A
S0
z04
S3
C
S4
S0
Question 4 : Ecrire la fermeture géométrique du mécanisme. Quel est le paramètre
d'entrée et quels sont les paramètres de sortie ?
Projection de (1) sur
B
0
Question 5 : Calculer notamment
AB r zl r
λ−
+
=
+
−
BC r z
CA r yh
r 0 r 0 , on obtient : λ−θ
=
θ
3
0
sin θ
01 λ−− h
sin 34 λ−θ cos
01
cos
sin θ
34 cos
=θ 40 =
0
40 =θ 34
0
r=
0
1 r )z,y,x( 0 0 sinl
l
(1)
0
, λ et
cos θ en fonction de tous les paramètres utiles et
34
θ tan 40 h,l et
θ . 01
tg
−=θ
40
sin
θ
01
l h + 2
2
h
=λ
cos
=θ 34
l
2
l
l +
2
h
cos
θ
01
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Question 6 : Ecrire la fermeture cinématique du mécanisme au point C dans la base
B
0
r=
r )z;y;x( 0 0
r
0
.
{ V
} )S/S( 0
1
=
0 q
10 0
Publicité
0 0
0
B,C
0
{ V
} )S/S( 1
3
=
31
31
p q
r 31
0 0
w
31
B,B
3
{ V
} )S/S( 3
4
=
p 43 0
0
0 0
0
B,C
4
{ V
} )S/S( 0
4
=
0 0
r 40
0 0
0
B,C
4
{ V
} )S/S(
C0
1
{ V
+
} )S/S(
C1
3
{ V
+
} )S/S(
C3
4
{ V
−
} )S/S(
C0
4
r Ω
)S/S( 0
1
r Ω+
)S/S( 1
3
r Ω+
)S/S( 3
4
r Ω−
r 0)S/S( 0
=
4
r r r 0)S/S,C(V)S/S,C(V)S/S,C(V)S/S,C(V
+
+
−
=
r
r
3
1
4
3
4
0
1
0
=
{ }0
)3(
)4(
Le calcul de
r = )S/S,B(V)S/S,C(V 1
r
3
3
1
+
CB
r Ω∧
r r zw)S/S,C(V 1 31
=
3
3
+
donne : λβ− λα
=
31
31
)S/S( 1 3 α 0 β 0 λ γ
∧
31
31
31
Rw
31
3
Publicité
Projections de (3) et (4) sur
B
4
1 ( )
2 ( )
3 ( )
4 ( )
(5)
6 ( )
r=
r
r )z,y,x( 4 4 − + sin
4 q 10
θ 40
q 10
cos
θ 40
+
q 31
p 31
+
=
p 43
0
−
cos
θ 34 θ 34
sin
q 31 λ − q 31 θ 34
cos
sin
θ 34
+
r 31
sin
+ r 31
cos
θ 34 θ 34
−
r 40
=
0
=
0
=
0
=
0
=
0
w
31
sin
w
31
cos
λθ + p 31 34 λθ − p 31 34
Question 7 : Quelle est la mobilité du mécanisme ? Les inconnues cinématiques sont : Le rang cinématique
soit 31 = . La mobilité du mécanisme vaut donc :
r,q ,p
r ,w, 31
q , 10
pet
6
40
43
31
31
rc
N c
= . 7
Question 8 : Déterminer la relation entrée-sortie soit 40r
en fonction de
10q et de tous les
paramètres utiles.
= Nm
−
r c
=
1
c
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p
q
31
31
r 31
w
31
p
43
r 40
= =
−=
q
10
=
=
q
10
−=
q
10
0
0 cos sin 0
θ θ
40
34
θ sin 40 θ cos θ tg
34
40
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