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Cinématique du solide
Cinématique du SOLIDE INDÉFORMABLE
iS par rapport à
Cinématique Etude des mouvements sans se préoccuper des causes qui les provoquent. Au programme de CPGE, la cinématique est limitée aux mouvements des solides ou d'ensemble de solides (le solide est indéformable). On sort du point de vue de la cinématique lorsque tous les mouvements relatifs (mouvement jS ) modélisés par leurs torseurs cinématiques sont déterminés en de ou couramment appelées paramètres
fonction des mobilités souvent notées cinématiques. La cinématique permet donc de déterminer les vecteurs positions, les vecteurs vitesses linéaire et angulaire et les vecteurs accélérations linéaire et angulaire des points d’un solide quelconque par rapport à un autre solide quelconque en fonction des mobilités du système mécanique. Remarque importante : lors de l’étude cinématique, les mobilités ne sont pas connues, seule la dynamique permettra de les déterminer.
u mmm
=
+
i
1
2
3
4
DÉFINITION DU SOLIDE INDÉFORMABLE........................................................................................2
ÉQUIVALENCE REPÈRE – SOLIDE.......................................................................................................2
POSITIONNEMENT D'UN SOLIDE.........................................................................................................2
POINT COÏNCIDANT - VECTEUR-POSITION - TRAJECTOIRE .....................................................2
4.1
POINT COÏNCIDANT .....................................................................................................................................2 Définition.............................................................................................................................................................2 Notations utilisées .......................................................................................................................................3
4.1.1.1
→ MO i
4.2
4.2.1
4.3
4.3.1
VECTEUR-POSITION
.........................................................................................................................3 Définition .........................................................................................................................................3 TRAJECTOIRE D'UN POINT PAR RAPPORT A UN REPERE ................................................................................4 Définition de la trajectoire.....................................................................Erreur ! Signet non défini.
5
TORSEUR CINÉMATIQUE.......................................................................................................................4
5.1.1 5.1.2
5.1.2.1 5.1.2.2
L'axe central du torseur cinématique...............................................................................................5 Mouvements de solides particuliers .................................................................................................6 Mouvement d’un solide Sk en rotation par rapport à un solide Si................................................................6 Mouvement d’un solide Sk en translation par rapport à un solide Si. ..........................................................6 COMPOSITION DE MOUVEMENTS.................................................................................................................7 Utilisation de la composition des mouvements ................................................................................8 5.2.1.1 Objectif........................................................................................................................................................8 Traduction de la cinématique du mécanisme ....................................................................................................................8
5.2
5.2.1
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1 DÉFINITION DU SOLIDE INDÉFORMABLE
On appelle système matériel un ensemble de points matériels. Un solide indéformable S est un système matériel, tel que la distance entre deux points A et B appartenant à ce système, reste constante au cours du temps et quel que soit sa position dans l’espace :
SA ∈∀
et
SB ∈∀
,
||
→ AB ||=
cte
dans le temps et dans l’espace
2 ÉQUIVALENCE REPÈRE – SOLIDE.
ℜ
k
k
)z;y;x,O( k
Un repère affine est défini par une origine et k trois vecteurs orthonormés directs. Les points extrémités des vecteurs unitaires sont à des distances constantes de leur origine (leur norme est égale à 1). Un repère affine est donc équivalent à un solide.
k
Par bijection, on associe donc un repère
)z;y;x(R k k
k
k
orthonormé
Oi
direct à un solide Sk.ou
ℜ
k
)z;y;x,O( k
k
k
k
.
xi
zk
zi
Ok
xk
yi
yk
Sk
3 POSITIONNEMENT D'UN SOLIDE
La position d'un solide Sk par rapport à un repère Ri, dans un espace à trois dimensions, est définie par trois points non alignés donc par neuf paramètres. Ces trois points restent à des distances invariables les unes des autres. Il convient donc d'ajouter trois équations de liaison de ces paramètres.
La position d'un solide Sk par rapport à un repère Ri dépend donc de six paramètres indépendants. Il est usuel en Mécanique de considérer :
• les trois coordonnées du point origine du repère Rk dans le repère Ri, • les trois angles qui définissent la position de la base du repère Rk par rapport à celle du repère Ri.
Les possibilités de variation de ces six paramètres correspondent aux possibilités de mouvement du solide Sk par rapport au solide Si. Une possibilité de mouvement est appelée degré de liberté. Il existe donc au maximum six degrés de liberté (trois translations et trois rotations).
4 POINT COÏNCIDANT - VECTEUR-POSITION - TRAJECTOIRE
4.1 Point coïncidant
4.1.1 Définition
Un point M, appartenant au solide Sk en mouvement par rapport à un repère Ri, coïncide à chaque instant avec un point M appartenant au solide Si. Ce point M est dit coïncident du point M à l'instant t. M est appelé point mobile et M, noté Mi(t) est appelé point coïncidant à l'instant t. En clair, il sera nécéssaire de toujours savoir à quel solide, le point M qui nous préoccupe appartient.
zk
zi
Ok
Oi
xi
xk yi
yk
M MM
Sk
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4.1.2 Notations utilisées
Cinématique du solide
→
V
(M
∈
/SS k
)
i
, M appartient au solide Sk. la précision de notation est indiquée dans
→
(MV
∈Rk/Ri)
par
kSM ∈ .
→
(MV
∈Rk/Ri)
se lit : Vitesse du point M appartenant au solide Sk par rapport au solide Si.
Le point Oi appartient au solide Si, L’appartenance de Oi à Si est moins visible mais est définie par la
dérivée par rapport au temps d’un vecteur dans un repère Ri :
→ MOd i dt
iR
. Dans cette notation,
l’appartenance du point M n’est pas indiquée, alors attention. C’est pourquoi la notation complète
→
suivant
V
(M
∈
/SS k
=
)
i
→ MOd i dt
R
i
est nécessaire.
4.2 Vecteur-position
→ MO i
4.2.1 Définition
La position du point M, appartenant au solide Sk en mouvement par rapport à un repère de référence
Ri, est variable avec le temps. Le vecteur du point M relativement au repère Ri.
→ (t)MO i
i
Attention, pour ne pas alourdir les notations, on note souvent M.
, variable avec le temps, est appelé vecteur-position
→ MO i
sans spécifier l’appartenance de
4.2.2 Le paramétrage d'un point
Remarque : Pour exprimer le vecteur-position dans le repère de référence, il faut utiliser le système de coordonnées adéquat
•
coordonnées cartésiennes,
→ = x.xMO
i
i
+
y.y
i
+
z.z
i
•
coordonnées cylindriques
les coordonnées cylindriques du point M dans le repère ℜ )z,
sont
,r( θ
r
rr i
i
i
)z,y,x,O( i i ou en cartésiennes → .rMO
θ x..
cos
=
i
+
sin.r
θ y.
i
+
z.z
i
i
•
coordonnées sphériques.
les coordonnées sphériques du point M dans le repère ϕθ ℜ ) ,
sont
,r(
r
rr i
i
)z,y,x,O( i i ou en cartésiennes
i
zi z
Oi
x
M
xi
y
yi
zi z
Oi
θθθθ
M
xi
r
yi
zi
Oi
M
ϕϕϕϕ
r
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xi
yi
θθθθ EduKlub S.A.
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→ = sin.rMO
i
ϕ .
cos
θ x..
+
i
sin.r
ϕ
sin.
θ y.
i
+
.r
cos
ϕ
z.
i
4.2.3 Trajectoire d'un point par rapport à un repère
La trajectoire d'un point M d'un solide Sk en mouvement par rapport à un repère de référence Ri est l'ensemble des points Mi(t) coïncidant à chaque instant avec le point M au cours du déplacement du solide Sk. Attention, la trajectoire, extrémité du vecteur position dépend du repère ou solide de référence. Exemple :
y3
D
γγγγ
3
C
y1
x2
z0
1
αααα
A
0
y1
2
x1
ββββ
B
Publicité
x0
La trajectoire du point B appartenant au solide 1 par rapport au solide 0 est un cercle de centre A et de rayon AB. La trajectoire du point B appartenant au solide 2 par rapport au solide 1 est un point, le point B.
5 TORSEUR CINÉMATIQUE
5.1 Définition
En reprenant la définition d’un solide : cte cette équation scalaire par rapport au temps dans le
2
→ AB
=
et en dérivant
repère
ℜ
i
)z;y;x,O( i i
i
i
de base
)z;y;x(R i i
i
i
, on obtient :
→
→ AB.ABd dt
Ri
=
→ .AB.2
→ ABd dt
Ri
=
0
→ → ABd .AB dt
Ri
=
0
et par définition, on a :
zk
zi
A
Ok
yk
B
Sk
Oi
xi
xk
yi
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→
V
∈ /SkB
Ri
=
→ BOd i dt
Ri
→
et
V
∈ /SkA
Ri
=
→ AOd i dt
Ri
d’où
→ .AB
+
→ AOd i dt
→ BO i
⇔= 0
→ .AB
→ BOd i dt
Ri
=
→ .AB
→ AOd i dt
Ri
Ri → V.AB
→
∈ /SkB
=
Ri
→ V.AB
→
∈ /SkA
Ri
Le champ des vecteurs-vitesse pour un solide (et uniquement pour un solide) est équiprojectif. D'après le théorème de DELASSUS, un champ équiprojectif est antisymétrique. Nous avons donc la relation :
Le champ des vecteurs-vitesse, pour tout point M d'un solide Sk par rapport à un repère Ri, s'écrit :
→
→
V
∈ /SkM
Ri
V=
∈ /SkA
Ri
→ MA+
Ω∧
→
→
→
Sk/Ri
ou
V
∈ /SkM
Ri
V=
∈ /SkOi
Ri
→
→ MO+
i
Ω∧
Sk/Ri
les composantes vectorielles du torseur modélisant ce champ antisymétrique de vecteurs s'écrivent au point A et M :
{ /SkV
Ri
}
=
→ Ω
Sk/Ri
→
V
∈ /SkA
Ri
A
=
→ Ω
Sk/Ri
→
→
V
∈ /SkM
Ri
V=
∈ /SkA
Ri
→ MA+
→
Ω∧
Sk/Ri
M
Ce torseur est appelé torseur cinématique du mouvement du solide Sk par rapport au repère Ri Ce torseur modélise la cinématique du solide Sk par rapport au repère Ri. Le torseur cinématique est défini à tout instant.
→ Ω Sk/Ri : vecteur taux de rotation de Sk par rapport au repère Ri est la coordonnée somme du torseur
cinématique modélisant le mouvement du solide Sk par rapport au repère Ri.
Ri
→ /SkAV : vecteur vitesse du point A appartenant au solide Sk par rapport au repère Ri est la ∈ coordonnée moment du torseur cinématique modélisant le mouvement du solide Sk par rapport au repère Ri.
Attention : Le champ des vecteurs-accélération, pour tout point M appartenant au solide Sk par rapport à un repère Ri, n'est pas équiprojectif. Ce n'est donc pas un champ de moments de torseurs. (voir cinématique du point)
5.2 Axe central du torseur cinématique
L'axe central du torseur cinématique est encore appelé axe de viration. Cet axe central (voir "Les outils utiles en mécanique")
•
•
•
•
est le lieu des points I tel que
→
V ∈ I
/Sk
Ri
existe si
→ Ω
Sk/Ri
r≠ 0
→
Ω∧
Sk/Ri
r= 0
,
est obtenu par la relation :
→ AI
−=
→
→
V
∈ /SkM
Ω∧ 2
Ri → Ω
Sk/Ri
Sk/Ri
Ωλ+ .
→
Sk/Ri
, avec λréel quelconque.
est le lieu des points où les modules des vecteurs-vitesse sont minimaux.
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6 MOUVEMENTS DE SOLIDES PARTICULIERS
6.1 Mouvement d’un solide Sk en rotation par rapport à un solide Si.
Toutes les pièces en liaison complète (pas de mouvement relatif entre elles) avec l’arbre, ici colorié en bleu ci-contre, forment un solide Sk par hypothèse de non déformation des différentes pièces constituant cette ensemble. Le solide Sk est en rotation par rapport au bâti Si non colorié. L’axe de l’arbre z est l’axe de rotation. Cette liaison est réalisée par une butée à billes et un roulement sphérique à double rangées de rouleaux.
En tout point de l’axe de l’arbre, le torseur cinématique de Sk par rapport à Si s’écrit : → Ω
, ce torseur est donc un
{ /SkV
}
Sk/Ri
r 0
=
Ri
A
glisseur donc l’axe central est l’axe
zA r,
.
Conclusion : Un torseur glisseur cinématique modélise un mouvement de rotation d’un solide autour de son axe central, et un mouvement d’un solide en rotation est modélisé par un torseur cinématique glisseur d’axe central l’axe de rotation du solide.
6.2 Mouvement d’un solide Sk en translation par rapport à un solide Si. Glissière INALineartechnichnik oHG
les conditions géométriques sont
Soit la représentation schématique d’un mécanisme à les tel que → → = CD AB On montrera dans la suite de ce document que la du solide S3 par rapport au solide S0 est une
→ = BD
→ AC
et
.
circulaire d’où :
→
V
∈
0S/3SB
=
→
V
∈
0S/3SD
(tout point M
vitesse par rapport au solide S0 :
→ 0S/3SBV ∈
.
D
S2
C
B
S3
S1
A
chaîne fermée suivantes :
cinématique translation
de S3 a pour
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S0
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Le torseur cinématique de S3 par rapport à S0 s’écrit :
{ 3R/3SV
}
Publicité
=
r 0
→
V
∈
0S/3SB
B
, ce torseur est donc un torseur couple
Ce torseur n’a pas d’axe central.
Conclusion : Un torseur couple cinématique modélise un mouvement d’un solide en translation, et une translation ( rectiligne ou curviligne) d’un solide est modélisée par un torseur couple.
6.3 Composition de mouvements
6.3.1 Définition
Soit le torseur cinématique modélisant le mouvement du solide S1 par rapport au solide S0, dont les éléments de réduction s'écrivent au point A :
{ 0S/1SV
}
=
→ Ω
0S/1S
→
V
∈
0S/1SA
A
Soit le torseur cinématique modélisant le mouvement du solide S2 par rapport au solide S1, dont les éléments de réduction s'écrivent au point A :
{ 1S/2SV
}
=
→ Ω
1S/2S
→
V
∈
1S/2SA
A
Et comme par on a les relations : obtient :
→
→
→
V
∈
0S/2SA
V=
∈
1S/2SA
V+
∈
0S/1SA
→ Ω
0/S2S
et
→
→
Ω=
Ω+
1/S2S
{ V
1S/2S
}
+
{ V
0S/1S
}
=
→ Ω
1S/2S
→
V
∈
1S/2SA
A
+
→ Ω
0S/1S
→
V
∈
0S/1SA
A
=
→ Ω
1S/2S
→
V
∈
1S/2SA
Ω+
→
0S/1S
+
→
V
∈
0S/1SA
A
alors on
0/S1S
{ V
0S/2S
}
=
On obtient la composition des mouvements modélisée par la somme torseurielle ci- dessous : { V
{ V
{ V
}
}
}
0S/2S
1S/2S
0S/1S
+
=
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6.3.2 Utilisation de la composition des mouvements
6.3.2.1 Objectif
Montrons que la cinématique du solide S3 par rapport au solide S0 est une translation circulaire.
6.3.2.2 Traduction de la cinématique du mécanisme
Z2
D
Z0
Z1
B
S3
S2
C
S0
Y01
On a :
→ AB
=
→ Ω
0S/1S
→ CD
et
→ r= AC 1zb et en posant : → Ω
;
0S/2S
01
y.r&β=
→ BD
=
r= 0xc
.
&α=
y.r
012
x0
x0
x2
x1
ββββ
z2
αααα
y012
z0
ββββ
y01
z1
ββββ
z0
S1
A
X0
{ 0S/1SV
}
=
{ 0S/2SV
}
=
{ 1S/3SV
}
=
•
•
•
0S/1S
→ Ω
r 0
0S/2S
→ Ω
r 0
1S/3S
→ Ω
r 0
A
B
• {
2S/3SV
}
=
→ Ω
2S/3S
r 0
=
→
V
∈
0S/2SA
→ Ω
0S/2S
→ AC=
Ω∧
→
0/S2S
A
=
=
B
D
→ Ω
1S/3S
→ AB=
→
V
∈
1S/3SA
→
Ω∧
1/S3S
A
→ Ω
2S/3S
→
V
∈
2S/3SA
→ AD=
Ω∧
→
2/S3S
A
par composition de mouvement, on obtient :
{ V
1S/0S
}
+
{ V
3S/1S
}
+
Publicité
{ V
2S/3S
}
+
{ V
0S/2S
}
=
r 0 r 0
En sommant les torseurs au point A, on obtient :
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0S/1S
→ Ω
r 0
A
−
→ Ω
1S/3S
→ AB=
→
V
∈
1S/3SA
→
Ω∧
1/S3S
A
+
→ Ω
2S/3S
→ AD=
→
V
∈
2S/3SA
→
Ω∧
2/S3S
A
+
→ Ω
0S/2S
→ AC=
→
V
∈
0S/2SA
Ω∧
→
0/S2S
A
=
r 0 r 0
A
et avec
→ AB
→ = CD
→ AC
→ = BD
et
−
−
+
0S/1S
→ Ω
r 0
A
−
→ Ω
1S/3S
→ AB=
→
V
∈
1S/3SA
Ω∧
→
1/S3S
A
+
→
V
∈
2S/3SA
→
V
∈
0S/2SA
→ Ω
0S/2S
→ AC=
Ω∧
→
0/S2S
A
=
r 0 r 0
A
A
Ω∧
→
2/S3S
→ Ω
2S/3S
→ AC
+
→ AB
=
A
→ AB
−
=
→ AB
→
→
→
→
Ω−
Ω−
Ω+
0S/1S
1S/3S
2S/3S
Ω+
Ω∧
→
1/S3S
→ AC
+
→ AB
+
Ω∧
→
2/S3S
→
→
→
→
Ω−
Ω−
Ω+
Ω+
0S/1S
1S/3S
2S/3S
0S/2S
0S/2S
→ AC
+
Ω∧
→
0/S2S
Ω−∧
→
→
Ω+
1/S3S
→ AC
+
Ω∧
→
→
Ω+
0/S2S
2/S3S
A
=
r 0
r 0
A
d’où en projetant,
∧
0 0 b
1R
0 =α−β & &
1R
0
0R
2/S3S
∧
0 0 c
0 α−β⇔θ & - &
( & b.
03 0
0R
) r x
1
r ⇔−= z.c 0
-
) ( α−β & - b. . & ) ( α−β & b. sin. &
cos
=β 0 θ=β &
03
⇔
α=β & & =θ & 03
0
Conclusion : → r= Ω 0
0/S3S
, ce qui
implique puisque
→
V
∈
SSB 0/3
+ V
→
∈
SSB
0/1
=
→ AB
→ r ≠Ω∧ 001 /SS
que
le
torseur
cinématique est un couple :{
0S/3SV
}
=
→ AB
r 0
→
Ω∧
→
= V ∈ SSB 1/3 321 r 0
0/S1S
A
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