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Cin matique du solide

Cin matique du SOLIDE IND FORMABLE

iS par rapport

Cin matique

Etude des mouvements sans se pr occuper des causes qui les provoquent. Au programme

de CPGE, la cin matique est limit e aux mouvements des solides ou d'ensemble de solides

(le solide est ind formable).

On sort du point de vue de la cin matique lorsque tous les mouvements relatifs (mouvement

jS ) mod lis s par leurs torseurs cin matiques sont d termin s en

de

ou couramment appel es param tres

fonction des mobilit s souvent not es

cin matiques.

La cin matique permet donc de d terminer les vecteurs positions, les vecteurs vitesses

lin aire et angulaire et les vecteurs acc l rations lin aire et angulaire des points dun

solide quelconque par rapport un autre solide quelconque en fonction des mobilit s du

syst me m canique.

Remarque importante : lors de l tude cin matique, les mobilit s ne sont pas connues,

seule la dynamique permettra de les d terminer.

u mmm

=

+

i

1

2

3

4

D FINITION DU SOLIDE IND FORMABLE........................................................................................2

QUIVALENCE REP RE SOLIDE.......................................................................................................2

POSITIONNEMENT D'UN SOLIDE.........................................................................................................2

POINT CO NCIDANT - VECTEUR-POSITION - TRAJECTOIRE .....................................................2

4.1

POINT CO NCIDANT .....................................................................................................................................2

D finition.............................................................................................................................................................2

Notations utilis es .......................................................................................................................................3

4.1.1.1

MO i

4.2

4.2.1

4.3

4.3.1

VECTEUR-POSITION

.........................................................................................................................3

D finition .........................................................................................................................................3

TRAJECTOIRE D'UN POINT PAR RAPPORT A UN REPERE ................................................................................4

D finition de la trajectoire.....................................................................Erreur ! Signet non d fini.

5

TORSEUR CIN MATIQUE.......................................................................................................................4

5.1.1

5.1.2

5.1.2.1

5.1.2.2

L'axe central du torseur cin matique...............................................................................................5

Mouvements de solides particuliers .................................................................................................6

Mouvement dun solide Sk en rotation par rapport un solide Si................................................................6

Mouvement dun solide Sk en translation par rapport un solide Si. ..........................................................6

COMPOSITION DE MOUVEMENTS.................................................................................................................7

Utilisation de la composition des mouvements ................................................................................8

5.2.1.1

Objectif........................................................................................................................................................8

Traduction de la cin matique du m canisme ....................................................................................................................8

5.2

5.2.1

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la consultation individuelle et priv e sont interdites.

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Cin matique du solide

1 D FINITION DU SOLIDE IND FORMABLE

On appelle syst me mat riel un ensemble de points mat riels. Un solide ind formable S est un

syst me mat riel, tel que la distance entre deux points A et B appartenant ce syst me, reste

constante au cours du temps et quel que soit sa position dans lespace :

SA

et

SB

,

||

AB ||=

cte

dans le temps et dans lespace

2 QUIVALENCE REP RE SOLIDE.

k

k

)z;y;x,O(

k

Un rep re affine

est d fini par une origine et

k

trois vecteurs orthonorm s directs. Les points extr mit s des

vecteurs unitaires sont des distances constantes de leur origine

(leur norme est gale 1). Un rep re affine est donc quivalent un

solide.

k

Par bijection, on associe donc un rep re

)z;y;x(R

k

k

k

k

orthonorm

Oi

direct un solide Sk.ou

k

)z;y;x,O(

k

k

k

k

.

xi

zk

zi

Ok

xk

yi

yk

Sk

3 POSITIONNEMENT D'UN SOLIDE

La position d'un solide Sk par rapport un rep re Ri, dans un espace trois dimensions, est d finie par

trois points non align s donc par neuf param tres. Ces trois points restent des distances invariables

les unes des autres. Il convient donc d'ajouter trois quations de liaison de ces param tres.

La position d'un solide Sk par rapport un rep re Ri d pend donc de six param tres ind pendants.

Il est usuel en M canique de consid rer :

" les trois coordonn es du point origine du rep re Rk dans le rep re Ri,

" les trois angles qui d finissent la position de la base du rep re Rk par rapport celle du rep re

Ri.

Les possibilit s de variation de ces six param tres correspondent aux possibilit s de mouvement du

solide Sk par rapport au solide Si.

Une possibilit de mouvement est appel e degr de libert . Il existe donc au maximum six degr s

de libert (trois translations et trois rotations).

4 POINT CO NCIDANT - VECTEUR-POSITION - TRAJECTOIRE

4.1 Point co ncidant

4.1.1 D finition

Un point M, appartenant au solide Sk en mouvement par rapport un

rep re Ri, co ncide chaque instant avec un point M appartenant au

solide Si. Ce point M est dit co ncident du point M l'instant t.

M est appel point mobile et M, not Mi(t) est appel point co ncidant

l'instant t.

En clair, il sera n c ssaire de toujours savoir quel solide, le point M

qui nous pr occupe appartient.

zk

zi

Ok

Oi

xi

xk

yi

yk

M

MM

Sk

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4.1.2 Notations utilis es

Cin matique du solide

V

(M

/SS

k

)

i

, M appartient au solide Sk. la pr cision de notation est indiqu e dans

(MV

Rk/Ri)

par

kSM .

(MV

Rk/Ri)

se lit : Vitesse du point M appartenant au solide Sk par rapport au solide Si.

Le point Oi appartient au solide Si, Lappartenance de Oi Si est moins visible mais est d finie par la

d riv e par rapport au temps dun vecteur dans un rep re Ri :

MOd

i

dt

iR

. Dans cette notation,

lappartenance du point M nest pas indiqu e, alors attention. Cest pourquoi la notation compl te

suivant

V

(M

/SS

k

=

)

i

MOd

i

dt

R

i

est n cessaire.

4.2 Vecteur-position

MO i

4.2.1 D finition

La position du point M, appartenant au solide Sk en mouvement par rapport un rep re de r f rence

Ri, est variable avec le temps. Le vecteur

du point M relativement au rep re Ri.

(t)MO i

i

Attention, pour ne pas alourdir les notations, on note souvent

M.

, variable avec le temps, est appel vecteur-position

MO i

sans sp cifier lappartenance de

4.2.2 Le param trage d'un point

Remarque : Pour exprimer le vecteur-position dans le rep re de r f rence, il faut utiliser le syst me

de coordonn es ad quat

"

coordonn es cart siennes,

=

x.xMO

i

i

+

y.y

i

+

z.z

i

"

coordonn es cylindriques

les coordonn es cylindriques du point M dans le rep re

)z,

sont

,r(

r

rr

i

i

i

)z,y,x,O(

i

i

ou en cart siennes

.rMO

x..

cos

=

i

+

sin.r

y.

i

+

z.z

i

i

"

coordonn es sph riques.

les coordonn es sph riques du point M dans le rep re

ո

)

,

sont

,r(

r

rr

i

i

)z,y,x,O(

i

i

ou en cart siennes

i

zi

z

Oi

x

M

xi

y

yi

zi

z

Oi

M

xi

r

yi

zi

Oi

M

r

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xi

yi

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Cin matique du solide

=

sin.rMO

i

.

cos

x..

+

i

sin.r

sin.

y.

i

+

.r

cos

z.

i

4.2.3 Trajectoire d'un point par rapport un rep re

La trajectoire d'un point M d'un solide Sk en mouvement par rapport un rep re de r f rence Ri est

l'ensemble des points Mi(t) co ncidant chaque instant avec le point M au cours du d placement du

solide Sk.

Attention, la trajectoire, extr mit du vecteur position d pend du rep re ou solide de r f rence.

Exemple :

y3

D

3

C

y1

x2

z0

1