Sciences Indusrielles
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MECANISMES : ETUDE DES CHAINES FERMEES
ETUDE DES CHAINES FERMEES
(1 re partie)
Plan (Cliquer sur le titre pour acc der au paragraphe)
**
1 PRESENTATION...................................................................................................................................1
1.1 Objectifs .........................................................................................................................................1
1.2 Mod les retenus..............................................................................................................................1
1.2.1 Concernant les solides et les liaisons........................................................................................1
1.2.2 Graphe des liaisons dun m canisme ........................................................................................1
2 ETUDE DES CHAINES FERMEES .....................................................................................................5
2.1 Objectifs .........................................................................................................................................5
2.2 Analyse g om trique des cha nes ferm es .....................................................................................5
2.2.1 Objectifs ....................................................................................................................................5
2.2.2 Fermeture g om trique .............................................................................................................5
2.2.3 M thode de r solution...............................................................................................................5
2.2.4 Exemple trait : Malaxeur m langeur.......................................................................................6
2.3 Analyse cin matique des cha nes ferm es .....................................................................................8
2.3.1
Int r t de l'analyse cin matique ................................................................................................8
2.3.2 Objectifs....................................................................................................................................8
2.3.3 Fermeture cin matique..............................................................................................................8
2.3.4 M thode de r solution...............................................................................................................8
2.3.5 Mobilit du m canisme.............................................................................................................9
2.3.6 Exemple trait : Malaxeur-m langeur.....................................................................................10
**
1 PRESENTATION
1.1 Objectifs
Analyser les comportements cin matique et statique dun m canisme cest :
" D terminer les relations entr es sorties du m canisme.
" D terminer le degr de mobilit du m canisme.
" D terminer le degr dhyperstaticit du m canisme.
" Modifier le m canisme afin de le rendre isostatique si n cessaire.
1.2 Mod les retenus
1.2.1 CONCERNANT LES SOLIDES ET LES LIAISONS
" Les solides sont consid r s comme ind formables.
" Les liaisons reliant les solides sont consid r es comme parfaites cin matiquement (sans
jeu) et statiquement (sans frottement). Les contacts sont bilat raux.
" La masse de chaque solide est consid r e comme nulle. Ainsi les effets dynamiques sont
n glig s et il est possible dappliquer le principe fondamental de la statique tout
syst me mat riel issu du m canisme tudi .
1.2.2 GRAPHE DES LIAISONS DUN MECANISME
1.2.2.1 D finitions
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MECANISMES : ETUDE DES CHAINES FERMEES
Le graphe des liaisons d'un m canisme est une repr sentation plane
liaisons
permettant, partir du sch ma cin matique, d'identifier
normalis es liant les solides du m canisme.
les
On d finit ainsi :
n
l
l =
Nombre de solides (sauf le b ti) du m canisme
Nombre de liaisons du m canisme
Nombre de cycles ind pendants
1.2.2.2 Graphe simple ferm : Malaxeur-m langeur
L
10
L
32
1
L
12
2
0
L
30
3
r
L10 : Pivot daxe
)y,A(
0
r
L32 : Pivot daxe
)z,C(
0
L30 : Pivot glissant daxe
L21 : Pivot glissant daxe
r
)z,D(
0
r
)y,B(
0
nb de solides (sauf le b ti)
nb de liaisons
nb de cycles ind pendants
4l =
n =
3
1=
1z
0z
B
A
C
E
D
3y
0y
0y
Malaxeur-m langeur
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1.2.2.3 Graphe complexe ferm : El vateur t lescopique
L
10
0
1
L
30
L
20
L
21
L
32
3
L
43
L
52
L
54
2
L
4
42
5
r
L10 : Pivot daxe
)z,O(
1
r
L21 : H lico dale daxe
)z,O(
2
r
L30 : H lico dale daxe
)z,O(
3
r
L20 : Pivot glissant daxe
)z,N(
2
r
L32: Pivot daxe
)z,O(
1
L43 : Ponctuelle de normale
L54 : H lico dale daxe
L52 : Pivot glissant
L42 : Pivot daxe
)x,I( r
r
)z,O(
5
r
)z,N(
5
r
)z,O(
4
nb de solides
nb de liaisons
nb de cycles ind pendants
n =
5
9l =
4=
X
3O
3
I
O
5
Z
5N
5O
2
4O
2N
0
1
4
2O
1O
El vateur t lescopique
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L
10
0
1.2.2.4 Graphe ouvert : Robot Eric 5 axes
5
L
54
4
1
L
21
2
L
3
32
L
34
L10 : Pivot daxe
L21 : Pivot daxe
L32: Pivot daxe
L43 : Pivot daxe
L54 : Pivot daxe
r
)z,O(
1
1
r
)x,O(
1
1
r
)x,O(
1
2
r
)x,O(
3
1
r
)y,O(
3
4
nb de solides
nb de liaisons
n =
5
5l =
0z
1O
0x
0zr
4O
0z
2O
0zr
3O
0y
Robot 5 axes
Les trois exemples trait s ci-dessus montrent bien la diversit des m canismes existant. Les cha nes de
solides sont donc ferm es ou ouvertes. L' tude qui suit est consacr e particuli rement aux cha nes ferm es
simples ou complexes.
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2 ETUDE DES CHAINES FERMEES
2.1 Objectifs
L' tude des cha nes ferm es est r alis e suivant les deux points de vue suivants :
" Une analyse g om trique et cin matique qui permet d'identifier la mobilit du
m canisme ainsi que la relation cin matique d'entr e sortie.
" Une analyse statique qui permet d'identifier le degr dhyperstaticit du m canisme ainsi
que les conditions g om triques de positionnement des liaisons qui assurent un montage
correct du m canisme.
2.2 Analyse g om trique des cha nes ferm es
2.2.1 OBJECTIFS
L'analyse g om trique permet de :
" Etablir les relations liant les param tres g om triques inconnus du m canisme et les param tres
g om triques donn s.
" D terminer la relation cin matique d'entr e-sortie.
2.2.2 FERMETURE GEOMETRIQUE
La fermeture g om trique traduit, gr ce la relation de Chasles, la
position relative des liaisons dans le m canisme.
Si on appelle Ai le centre g om trique de la liaison L i i
/
i
,
1
1
,
l
, la
fermeture g om trique s crit, par exemple :
AA
i
+ =
1i
AA
1
+
1n
)1(
n
=
1i
2.2.3 METHODE DE RESOLUTION
2.2.3.1 Projection de (1) sur
Publicité
r
)z,y,x,A(
0
On obtient un syst me (E) homog ne de 3 quations scalaires N
R
r
r
0
0
param tres g om triques inconnus.
2.2.3.2 Rang g om trique r
Appelons r le nombre d quations ind pendantes du syst me (E)
On a donc :
Le syst me s crit alors :
r d
3
( )( )
XA
=
( )B
o
(X) d signe un vecteur unicolonne contenant r inconnues g om triques.
(B) d signe un vecteur unicolonne contenant
rN param tres
g om triques donn s.
(A) d signe une matrice
)r,r(
des coefficients g om triques.
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2.2.3.3 Relation entr e sortie
Il s'agit de d terminer (X) par r solution du syst me ( )( )
XA
=
( )B
.
(
X
)
=
(
A
1
)(
B
)
si det(
)A ` 0
2.2.4 EXEMPLE TRAITE : MALAXEUR MELANGEUR
2.2.4.1 Description
Le m canisme dont le sch ma cin matique est donn ci-dessous
repr sente un malaxeur m langeur. Un moto-r ducteur non repr sent entra ne
le volant 1 en rotation autour de laxe
Le d placement de la bielle 2
ainsi produit provoque la rotation et la translation de la pale 3 par rapport au
b ti 0.
r
)y,A(
0
2.2.4.2 Liaisons entre solides
r
L10 : Pivot daxe
)y,A(
0
r
L32 : Pivot daxe
)z,C(
0
L30 : Pivot glissant daxe
L21 : Pivot glissant daxe
r
)z,D(
0
r
)y,B(
0
2.2.4.3 Param trage
AB
DA
r=
1zR
r=
0yd
CB
CD
=
=
r
y
1
r
yl
3
x1
x0
x2
x1
01
z1
z0
y0=y1
y3
y2
y1=y2
y3
y0
>
0
r
zh
0
12
z2
z1
x3
x2
23
x3
x0
03
z3=z0
z3=z2
2.2.4.4 Fermeture g om trique
La relation de Chasles permet d' crire rapidement
la fermeture
g om trique.
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AB
r
zR
1
+
+
BC
r
y
0
+
+
CD
r
yl
3
+
r
zh
0
DA
r
yd
=
=
r
0
r
0
0
)1(
2.2.4.5 R solution
Par projection de (1) sur
R
d' quations suivantes :
r
r
)z,y,x,A(
0
r
0
0
, on obtient le syst me
r
x).1(
r
y).1(
r
z).1(
0
0
0
sinR
01
cosR
01
d
h
+
sinl
l
cos
Le bilan est le suivant :
03
03
=
=
=
0
0
0
param tres g om triques
param tres g om triques donn s
param tres g om triques inconnus
rang g om trique
,h,
01
01
,l,d,R
,l,d,R
,h
et
et
03
et
03
7N =
r =
3
Finalement, il vient (si
lR d )
(h
01
=
03
Arc
=
cosR)
R
l
sin
01
sin
01
(
01
=
1ld)
2
R
2
l
2
sin
01
2.2.4.6 Relation cin matique d'entr e-sortie
La relation cin matique d'entr e sortie est la relation liant le param tre
d'entr e
&
01
aux param tres de sortie
&
03
&
.het
Apr s calculs, on obtient :
=
&
03
R
l
1
&
01
cos
01
2
R
2
l
sin
2
01
&
(h
Publicité
01
=
R
&
)
01
sin
01
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2.3 Analyse cin matique des cha nes ferm es
2.3.1
INTERET DE L'ANALYSE CINEMATIQUE
L'analyse cin matique des m canismes permet principalement de
d terminer la relation cin matique d'entr e sortie du m canisme tudi .
Deux situations se pr sentent couramment :
"
"
soit l'analyse est effectu e en vue de concevoir un m canisme et le concepteur d termine alors les
conditions cin matiques correctes de fonctionnement,
soit l'analyse est effectu e en vue de v rifier les performances d'un m canisme d j existant et le
concepteur d termine alors les relations cin matiques d'entr e sortie.
2.3.2 OBJECTIFS
" Etablir les relations liant les param tres cin matiques inconnus du m canisme et les param tres
cin matiques donn s.
" D terminer la mobilit du m canisme.
2.3.3 FERMETURE CINEMATIQUE
Soit {
}
)S/S(V
Aj
i
son mouvement par rapport au solide Sj.
le torseur cin matique, au point A, du solide Si dans
La fermeture cin matique s crit alors :
n
{
V
=
1i
}
)S/S(
1i
i
{
V
=
A
}
)S/S(
A0
n
n
r
&
)S/S(
1i
i
r
&=
)S/S(
0
n
=
1i
r
=
)S/S,A(V)S/S,A(V
0
1i
r
n
i
n
=
1i
2
( )
3
( )
2.3.4 METHODE DE RESOLUTION
2.3.4.1 Projection de (2) et (3) sur
R
0
Pour chaque cha ne ferm e, on obtient un syst me homog ne de 6
cN
6 quations
quations scalaires. Le syst me total (E) contient
param tres cin matiques inconnus avec :
r
r
)z,y,x,A(
0
r
0
=
N
c
n
+
=
1i
n
ci
cin d signe le nombre de param tres cin matiques ind pendants de
o
chaque liaison
ijL .
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2.3.4.2 Rang cin matique
Le rang cin matique
syst me (E). On a bien s r
cr est le nombre d quations ind pendantes du
rc
d 6
.
Le syst me d quations s crit alors : (
)(
A X
)
(
)
B=
o
(X) d signe un vecteur unicolonne contenant cr inconnues cin matiques.
N param tres
(B) d signe un vecteur unicolonne contenant
r
c
c
cin matiques fixer.
(A) d signe une matrice
)r,r(
c
c
des coefficients g om triques du
m canisme.
2.3.5 MOBILITE DU MECANISME
2.3.5.1 D finition
On appelle mobilit dun m canisme, not e m, le nombre de param tres
cin matiques fixer pour d terminer les cr inconnues cin matiques restantes.
On peut crire :
=
m N r
c
c
2.3.5.2 Signification de m
Les m canismes tudi s sont classables en 3 cat gories :
Mobilit m
0m =
1m =
1m >
Mobilit m
0m =
1m =
=
mm
+
u m
i
2e membre (B)
=
=
)B(
)B(
)0(
)K(
Solution (X)
=
(X)= (A-1)(K)
)X(
)0(
)B(
=
m
=
1i
)K(
i
i
)X(
=
m
=
1i
i
)A(
1
)K(
i
Conclusions
le m canisme est bloqu
le m canisme est transformation de mouvement
(mobilit utile)
le m canisme est composition de mouvement et/ou
mobilit s internes.
2.3.5.3 Mobilit s interne et utile
On appelle mobilit utile, not e
le nombre dinconnues
cin matiques ind pendantes fixer pour d terminer les relations entr es-
sorties du m canisme.
um ,
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On appelle mobilit interne, not e
im , le nombre dinconnues
cin matiques ind pendantes du m canisme quand on immobilise les liaisons
dentr e et les liaisons de sortie du m canisme.
2.3.6 EXEMPLE TRAITE : MALAXEUR-MELANGEUR
2.3.6.1 Liaisons entre solides
r
L10 : Pivot daxe
)y,A(
0
r
L32 : Pivot daxe
)z,C(
0
L30 : Pivot glissant daxe
L21 : Pivot glissant daxe
(entr e)
(sortie)
r
)z,D(
0
r
)y,B(
0
2.3.6.2 Param trage
AB
DA
r=
1zR
r=
0yd
CB
CD
r =
1y
r
yl
3
=
r
zh
0
x1
x0
x2
x1
01
z1
z0
y0=y1
y3
y2
y1=y2
y3
y0
12
z2
z1
x3
x2
23
x3
x0
03
z3=z0
z3=z2
2.3.6.3 Torseurs cin matiques associ s aux liaisons
0
v
}
D)S/S(
}
C)S/S(
0
=
0
=
Publicité
21
0
21
0
{
V
10
0
0
0
0
1
2
1
0
{
V
R
0
{
V
}
C)S/S(
2
3
=
0
0
32
0
0
0
{
V
R
0
}
D)S/S(
3
0
=
0
0
30
0
0
w
30
0
R
R
0
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{
V
2.3.6.4 Fermeture cin matique
1
}
)S/S(
r
&
)S/S(
0
1
D0
{
+
V
r
&+
}
)S/S(
D1
r
&+
2
)S/S(
1
2
{
V
+
}
)S/S(
D2
{
V
}
)S/S(
r
0)S/S(
0
=
3
3
D0
3
r
&
)S/S(
2
3
r
r
r
0)S/S,D(V)S/S,D(V)S/S,D(V)S/S,D(V
+
+
=
r
r
2
1
3
2
3
0
1
0
=
{ }0
)3(
)4(
Calcul de
Calcul de
soit
soit
r
r
=
)S/S,C(V)S/S,D(V
1
r
yv
21
2
r
)S/S,D(V
1
2
=
2
0
1
+
DC
[
r
yl
3
r
&'
)S/S(
1
2
]
r
r
'
zh
y
0
21
1
r
r
yv)S/S,D(V
=
2
1
21
+
l
21
sin
r
z
0
03
h
r
x
0
21
0
r
=
)S/S,C(V)S/S,D(V
2
r
3
3
2
+
DC
r
&'
)S/S(
2
3
r
)S/S,D(V
3
2
=
r
z
0
32
'
[
r
yl
3
r
zd
0
]
=
l
r
x
3
32
Projections de (3) et (4) sur R0
)1(
)2(
)3(
)4(
)5(
)6(
10
+
21
21
h
v
21
sin
l
21
03
32
cos
sin
03
03
l
l
32
32
0
30
w
30
=
=
=
=
=
=
0
Publicité
0
0
0
0
0
Le bilan est le suivant :
Inconnues cin matiques
Rang cin matique suppos
Mobilit du m canisme
Param tre d'entr e donn
Param tres cin matiques inconnus
10
,
21
,
32
,
v,
21
30
wet
30
r
c
c
=
Nm
10
,
21
,
v,
21
30
wet
30
32
=
N c
6
=
rc
5
1m =
2.3.6.5 R solution du syst me d' quations
1
0
h
0
sinl
03
0
1
cos
l
sinl
0
03
03
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
v
21
32
21
30
w
30
=
0
0
0
0
10
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do
21
32
30
v
w
21
30
=
=
=
=
h
cos
10
10
l
03
h
=
l
10
10
32
tg
sin
03
03
si
Adet
=
l
cos
`
03
0
2.3.6.6 Relations entr e-sortie
30
w
30
=
l
=
l
h
cos
10
10
03
sin
avec
sin
=
03
R
l
sin
01
03
V rifions que l' tude cin matique est conforme l' tude g om trique.
Pour cela calculons
r
r
z).0/3,D(V
=
0
30
w
r
r
z).0/D(V
0
r=
r
z).0/3,D(V
0
r
r
z).3/D(V
0
=
CDd
dt
r
z.
0
3B
r
r
z).3/D(V
r
zhd
dt
0
=
3B
=
r
r
z).3/D(V
0
0
r
z.
0
=
&
h
donc
w
30
==
&
R
&
h
sin
01
01
C.Q.F.D.
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