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MECANISMES : ETUDE DES CHAINES FERMEES
ETUDE DES CHAINES FERMEES (1ère partie)
Plan (Cliquer sur le titre pour accéder au paragraphe) **********************
1 PRESENTATION...................................................................................................................................1 1.1 Objectifs .........................................................................................................................................1 1.2 Modèles retenus..............................................................................................................................1 1.2.1 Concernant les solides et les liaisons........................................................................................1 1.2.2 Graphe des liaisons d’un mécanisme ........................................................................................1 2 ETUDE DES CHAINES FERMEES .....................................................................................................5 2.1 Objectifs .........................................................................................................................................5 2.2 Analyse géométrique des chaînes fermées .....................................................................................5 2.2.1 Objectifs ....................................................................................................................................5 2.2.2 Fermeture géométrique .............................................................................................................5 2.2.3 Méthode de résolution...............................................................................................................5 2.2.4 Exemple traité : Malaxeur mélangeur.......................................................................................6 2.3 Analyse cinématique des chaînes fermées .....................................................................................8 2.3.1 Intérêt de l'analyse cinématique ................................................................................................8 2.3.2 Objectifs....................................................................................................................................8 2.3.3 Fermeture cinématique..............................................................................................................8 2.3.4 Méthode de résolution...............................................................................................................8 2.3.5 Mobilité du mécanisme.............................................................................................................9 2.3.6 Exemple traité : Malaxeur-mélangeur.....................................................................................10
**********************
1 PRESENTATION
1.1 Objectifs
Analyser les comportements cinématique et statique d’un mécanisme c’est :
• Déterminer les relations entrées sorties du mécanisme. • Déterminer le degré de mobilité du mécanisme. • Déterminer le degré d’hyperstaticité du mécanisme. • Modifier le mécanisme afin de le rendre isostatique si nécessaire.
1.2 Modèles retenus
1.2.1 CONCERNANT LES SOLIDES ET LES LIAISONS
• Les solides sont considérés comme indéformables. • Les liaisons reliant les solides sont considérées comme parfaites cinématiquement (sans
jeu) et statiquement (sans frottement). Les contacts sont bilatéraux.
• La masse de chaque solide est considérée comme nulle. Ainsi les effets dynamiques sont négligés et il est possible d’appliquer le principe fondamental de la statique à tout système matériel issu du mécanisme étudié.
1.2.2 GRAPHE DES LIAISONS D’UN MECANISME
1.2.2.1 Définitions
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Le graphe des liaisons d'un mécanisme est une représentation plane liaisons
permettant, à partir du schéma cinématique, d'identifier normalisées liant les solides du mécanisme.
les
On définit ainsi :
n l l −=γ
Nombre de solides (sauf le bâti) du mécanisme Nombre de liaisons du mécanisme Nombre de cycles indépendants
1.2.2.2 Graphe simple fermé : Malaxeur-mélangeur
L
10
L
32
1
L
12
2
0
L
30
3
r L10 : Pivot d’axe )y,A( 0 r L32 : Pivot d’axe )z,C( 0 L30 : Pivot glissant d’axe L21 : Pivot glissant d’axe
r )z,D( 0 r )y,B( 0
nb de solides (sauf le bâti) nb de liaisons nb de cycles indépendants
4l =
n = 3
1=γ
1z
0z
B
A
C
E
D
3y
0y
0y
Malaxeur-mélangeur
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1.2.2.3 Graphe complexe fermé : Elévateur télescopique
L
10
0
1
L
30
L
20
L
21
L
32
3
L
43
L
52
L
54
2 L
4
42
5
r L10 : Pivot d’axe )z,O( 1 r L21 : Hélicoïdale d’axe )z,O( 2 r L30 : Hélicoïdale d’axe )z,O( 3 r L20 : Pivot glissant d’axe )z,N( 2 r L32: Pivot d’axe )z,O( 1 L43 : Ponctuelle de normale L54 : Hélicoïdale d’axe L52 : Pivot glissant L42 : Pivot d’axe
)x,I( r r )z,O( 5 r )z,N( 5 r )z,O( 4
nb de solides nb de liaisons nb de cycles indépendants
n = 5 9l =
4=γ
X
3O
3
I O
5
Z
5N
5O
2
4O
2N
0
1
4
2O
1O
Elévateur télescopique
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L
10
0
1.2.2.4 Graphe ouvert : Robot Eric 5 axes
5
L
54
4
1
L
21
2 L
3
32
L
34
L10 : Pivot d’axe L21 : Pivot d’axe L32: Pivot d’axe L43 : Pivot d’axe L54 : Pivot d’axe
r )z,O( 1 1 r )x,O( 1 1 r )x,O( 1 2 r )x,O( 3 1 r )y,O( 3 4
nb de solides nb de liaisons
n = 5 5l =
0z
1O
0x
0zr
4O
0z
2O
0zr
3O
0y
Robot 5 axes
Les trois exemples traités ci-dessus montrent bien la diversité des mécanismes existant. Les chaînes de solides sont donc fermées ou ouvertes. L'étude qui suit est consacrée particulièrement aux chaînes fermées simples ou complexes.
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2 ETUDE DES CHAINES FERMEES
2.1 Objectifs
L'étude des chaînes fermées est réalisée suivant les deux points de vue suivants :
• Une analyse géométrique et cinématique qui permet d'identifier la mobilité du
mécanisme ainsi que la relation cinématique d'entrée sortie.
• Une analyse statique qui permet d'identifier le degré d’hyperstaticité du mécanisme ainsi que les conditions géométriques de positionnement des liaisons qui assurent un montage correct du mécanisme.
2.2 Analyse géométrique des chaînes fermées
2.2.1 OBJECTIFS
L'analyse géométrique permet de :
• Etablir les relations liant les paramètres géométriques inconnus du mécanisme et les paramètres
géométriques donnés.
• Déterminer la relation cinématique d'entrée-sortie.
2.2.2 FERMETURE GEOMETRIQUE
La fermeture géométrique traduit, grâce à la relation de Chasles, la
position relative des liaisons dans le mécanisme.
Si on appelle Ai le centre géométrique de la liaison L i i
/
− ∈ i ,
1
1 ,
l
, la
fermeture géométrique s’écrit, par exemple :
→ AA i
+ = 1i
→ AA 1
+ 1n
)1(
n
∑
= 1i
2.2.3 METHODE DE RESOLUTION
2.2.3.1 Projection de (1) sur
r )z,y,x,A( 0 On obtient un système (E) homogène de 3 équations scalaires à N
R
r
r
0
0
paramètres géométriques inconnus.
2.2.3.2 Rang géométrique r
Appelons r le nombre d’équations indépendantes du système (E) On a donc : Le système s’écrit alors :
r ≤ 3
( )( ) XA
=
( )B
où
(X) désigne un vecteur unicolonne contenant r inconnues géométriques. (B) désigne un vecteur unicolonne contenant
rN − paramètres
géométriques donnés.
(A) désigne une matrice
)r,r(
des coefficients géométriques.
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2.2.3.3 Relation entrée sortie
Il s'agit de déterminer (X) par résolution du système ( )( ) XA
=
( )B
.
(
X
)
=
(
A
−1
)(
B )
si det(
)A ≠ 0
2.2.4 EXEMPLE TRAITE : MALAXEUR MELANGEUR
2.2.4.1 Description
Le mécanisme dont le schéma cinématique est donné ci-dessous représente un malaxeur mélangeur. Un moto-réducteur non représenté entraîne le volant 1 en rotation autour de l’axe Le déplacement de la bielle 2 ainsi produit provoque la rotation et la translation de la pale 3 par rapport au bâti 0.
r )y,A( 0
2.2.4.2 Liaisons entre solides
r L10 : Pivot d’axe )y,A( 0 r L32 : Pivot d’axe )z,C( 0 L30 : Pivot glissant d’axe L21 : Pivot glissant d’axe
r )z,D( 0 r )y,B( 0
2.2.4.3 Paramétrage
AB
DA
r= 1zR r−= 0yd
CB
CD
=
λ−=
Publicité
r y 1 r − yl 3
x1
x0
x2
x1
θ01
z1
z0
y0=y1
y3
y2
y1=y2
y3
y0
>λ
0
r zh
0
θ12
z2
z1
x3
x2
θ23
x3
x0
θ03
z3=z0
z3=z2
2.2.4.4 Fermeture géométrique
La relation de Chasles permet d'écrire rapidement
la fermeture
géométrique.
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→ AB r zR
1
+ λ+
→ BC r y
0
+ +
→ CD r yl
3
+ −
r zh
0
→ DA −
r yd
= =
r 0 r 0
0
)1(
2.2.4.5 Résolution
Par projection de (1) sur
R
d'équations suivantes :
r
r )z,y,x,A( 0
r
0
0
, on obtient le système
r x).1( r y).1( r z).1(
0
0
0
sinR
θ
01
cosR
θ
01
−λ
−
d h
− +
sinl
l
cos
Le bilan est le suivant :
θ θ
03
03
= =
=
0
0 0
paramètres géométriques paramètres géométriques donnés paramètres géométriques inconnus rang géométrique
,h, 01 θ 01
,l,d,R
θ
,l,d,R λ
,h
et
et θ
03
λ
et
θ
03
7N =
r = 3
Finalement, il vient (si
lR ≤ )
θ
(h
01
=θ 03
Arc
=
cosR)
R l
sin
θ
01
sin
θ
01
θλ (
01
−=
1ld)
−
2
R 2 l
2
θ
sin
01
2.2.4.6 Relation cinématique d'entrée-sortie
La relation cinématique d'entrée sortie est la relation liant le paramètre
d'entrée
θ&
01
aux paramètres de sortie
&θ
03
& .het
Après calculs, on obtient :
=θ & 03
R l
−
1
θ &
01
cos
θ
01
2
R 2 l
sin
2
θ
01
θ
& (h
01
θ−= R &
)
01
sin
θ
01
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2.3 Analyse cinématique des chaînes fermées
2.3.1
INTERET DE L'ANALYSE CINEMATIQUE
L'analyse cinématique des mécanismes permet principalement de
déterminer la relation cinématique d'entrée sortie du mécanisme étudié.
Deux situations se présentent couramment :
•
•
soit l'analyse est effectuée en vue de concevoir un mécanisme et le concepteur détermine alors les conditions cinématiques correctes de fonctionnement,
soit l'analyse est effectuée en vue de vérifier les performances d'un mécanisme déjà existant et le concepteur détermine alors les relations cinématiques d'entrée sortie.
2.3.2 OBJECTIFS
• Etablir les relations liant les paramètres cinématiques inconnus du mécanisme et les paramètres
cinématiques donnés.
• Déterminer la mobilité du mécanisme.
2.3.3 FERMETURE CINEMATIQUE Soit {
} )S/S(V Aj i son mouvement par rapport au solide Sj.
le torseur cinématique, au point A, du solide Si dans
La fermeture cinématique s’écrit alors :
n
∑
{ V
= 1i
} )S/S( − 1i
i
{ V
=
A
} )S/S(
A0
n
n
∑
r Ω
)S/S( − 1i
i
r Ω=
)S/S( 0
n
= 1i r = )S/S,A(V)S/S,A(V 0
− 1i
r
n
i
n
∑
= 1i
2 ( )
3 ( )
2.3.4 METHODE DE RESOLUTION
2.3.4.1 Projection de (2) et (3) sur
R
0 Pour chaque chaîne fermée, on obtient un système homogène de 6 cN
γ6 équations à
équations scalaires. Le système total (E) contient paramètres cinématiques inconnus avec :
r
r )z,y,x,A( 0
r
0
=
N
c
n
γ+
∑
= 1i
n
ci
cin désigne le nombre de paramètres cinématiques indépendants de
où chaque liaison
ijL .
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2.3.4.2 Rang cinématique
Le rang cinématique système (E). On a bien sûr
cr est le nombre d’équations indépendantes du rc
γ≤ 6
.
Le système d’équations s’écrit alors : (
)( A X
)
( ) B=
où (X) désigne un vecteur unicolonne contenant cr inconnues cinématiques. N − paramètres (B) désigne un vecteur unicolonne contenant
r c
c
cinématiques à fixer.
(A) désigne une matrice
)r,r( c
c
des coefficients géométriques du
mécanisme.
2.3.5 MOBILITE DU MECANISME
2.3.5.1 Définition
On appelle mobilité d’un mécanisme, notée m, le nombre de paramètres cinématiques à fixer pour déterminer les cr inconnues cinématiques restantes. On peut écrire :
=
m N r c
−
c
2.3.5.2 Signification de m
Les mécanismes étudiés sont classables en 3 catégories :
Mobilité m 0m = 1m = 1m >
Mobilité m 0m = 1m =
= mm
+ u m
i
2e membre (B) = λ=
)B( )B(
)0( )K(
Solution (X) = (X)=λ(A-1)(K)
)X(
)0(
)B(
=
m
∑
= 1i
λ
)K( i
i
)X(
=
m
∑
= 1i
λ
i
)A(
− 1
)K( i
Conclusions
le mécanisme est bloqué le mécanisme est à transformation de mouvement (mobilité utile) le mécanisme est à composition de mouvement et/ou à mobilités internes.
2.3.5.3 Mobilités interne et utile
On appelle mobilité utile, notée
le nombre d’inconnues cinématiques indépendantes à fixer pour déterminer les relations entrées- sorties du mécanisme.
um ,
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On appelle mobilité interne, notée
im , le nombre d’inconnues cinématiques indépendantes du mécanisme quand on immobilise les liaisons d’entrée et les liaisons de sortie du mécanisme.
2.3.6 EXEMPLE TRAITE : MALAXEUR-MELANGEUR
2.3.6.1 Liaisons entre solides r L10 : Pivot d’axe )y,A( 0 r L32 : Pivot d’axe )z,C( 0 L30 : Pivot glissant d’axe L21 : Pivot glissant d’axe
(entrée)
(sortie)
r )z,D( 0 r )y,B( 0
2.3.6.2 Paramétrage
AB
DA
r= 1zR r−= 0yd
CB
CD
rλ−= 1y r − yl 3
=
r zh
0
x1
x0
x2
x1
θ01
z1
z0
y0=y1
y3
y2
y1=y2
y3
y0
θ12
z2
z1
x3
x2
θ23
x3
x0
θ03
z3=z0
z3=z2
2.3.6.3 Torseurs cinématiques associés aux liaisons 0 v
} D)S/S(
} C)S/S(
0 β=
0 β=
21 0
21 0
{ V
10 0
0 0
0
1
2
1
0
{ V
R
0
{ V
} C)S/S(
2
3
=
0 0 γ
32
0 0
0
{ V
R
0
} D)S/S(
3
0
=
0 0 γ
30
0 0
w
30
0
R
R
0
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{ V
2.3.6.4 Fermeture cinématique
1
} )S/S( r Ω
)S/S( 0
1
D0
{ + V r Ω+
} )S/S( D1 r Ω+
2
)S/S( 1
2
{ V
+
} )S/S(
−
D2
{ V
} )S/S( r 0)S/S( 0
=
3
3
D0
3 r Ω−
)S/S( 2
3
r r r 0)S/S,D(V)S/S,D(V)S/S,D(V)S/S,D(V
+
+
=
−
r
r
2
1
3
2
3
0
1
0
=
{ }0
)3(
)4(
Calcul de
Calcul de
soit
soit
r
r = )S/S,C(V)S/S,D(V 1 r yv 21
2 r )S/S,D(V 1 2
=
2
0
1
+
−
DC [ r yl
3
r Ω∧
)S/S( 1 2 ] r r β∧ zh y
0
21
1
−
r r yv)S/S,D(V
=
2
1
21
β+ l
21
sin
θ
r z
0
03
β− h
r x
0
21
0
Publicité
r = )S/S,C(V)S/S,D(V 2
r
3
3
2
+
DC
r Ω∧
)S/S( 2
3
r )S/S,D(V 3 2
γ=
r z
0
32
∧
[ r yl
3
−
r zd
0
]
γ−= l
r x
3
32
Projections de (3) et (4) sur R0
)1(
)2( )3( )4(
)5( )6(
β
10
+
β
21
21
β− h v
21 sin
β l
21
θ
03
γ
32 cos sin
θ
θ
03
03
γ l γ l
32
32
−
−
0
−
γ
30
−
w
30
= =
= =
= =
0
0
0
0 0
0
Le bilan est le suivant :
Inconnues cinématiques Rang cinématique supposé Mobilité du mécanisme Paramètre d'entrée donné Paramètres cinématiques inconnus
β
10
β
,
21
γ
,
32
γ
,
v,
21
30
wet
30
−
r c
c
= Nm β 10 β ,
γ
21
γ
,
v,
21
30
wet
30
32
= N c 6 = rc 5 1m =
2.3.6.5 Résolution du système d'équations
1
0 − h
0 θ sinl
03
0
1 cos
−
l
−
sinl 0
θ
03
θ
03
0
0 0
1 0
0 −
1 0
0 0
0
0 0
0 − 1
β
γ
v γ
21
32
21
30
w
30
=
0
β−
0 0
0
10
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d’où
β
21
γ
γ
32
30
v w
21
30
=
=
= =
β− β h cos γ
10
10 θ
l
03
β
h β−= l
10
10
θ
32 tg sin
03 θ
03
si
Adet
−=
l
cos
≠θ 03
0
2.3.6.6 Relations entrée-sortie
γ
30
w
30
=
l β−= l
β h cos
10
10 θ 03 θ sin
avec
sin
=θ 03
R l
sin
θ
01
03
Vérifions que l'étude cinématique est conforme à l'étude géométrique.
Pour cela calculons
r r z).0/3,D(V
=
0
30
w r r z).0/D(V
−
0
r=
r z).0/3,D(V
0
r r z).3/D(V
0
−=
CDd dt
r z.
0
3B
r r z).3/D(V
r zhd dt
0
=
3B
−=
r r z).3/D(V
0
0
r z.
0
=
& h
donc
w
30
θ−== &
R
& h
sin
θ
01
01
C.Q.F.D.
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