Minist re de lEnseignement Sup rieur,
de la Recherche Scientique et de la Technologie
Universit de La Manouba
Ecole Nationale des Sciences de lInformatique
Sujet
R sum des cours de la premi re ann e du Mast re Image
Vision et Techniques 3D, Reconnaissance de formes,
Ateliers dimagerie 1 & 2
R alis par
Groupe Mast re Image - 1 re ann e
Supervis par
Pr. Faouzi GHORBEL
Ann e universitaire 2008 - 2009
Ce travail a t r alis par :
Abdelhakim LIMEM [email protected]
Dalel BOUSLIMI [email protected]
Ghassen BOUSSELMI [email protected]
Haithem BOUSSAID [email protected]
Hajer FRADI [email protected]
Ibtissem BEN OTHMAN [email protected]
Majdi JRIBI [email protected]
Mariem SOLTANI [email protected]
Mariem CHEIKHROUHOU [email protected]
Mohamed DEBBABI [email protected]
Mohamed Amine MEZGUICH [email protected]
Mohamed Nadhir KHEMAKHEM [email protected]
Nabila TAYARI [email protected]
Olfa BELGUITH [email protected]
Sabra MABROUK [email protected]
Saima BEN HADJ [email protected]
Sarra BEN AZZOUZ [email protected]
Sawsen BEN NASR [email protected]
Wi me GADACHA [email protected]
Wissal DRIRA [email protected]
Yosra REKIK [email protected]
Remerciements
Au terme de ce travail, nous tenons remercier tous ceux qui ont contribu la r alisation de ce travail.
Au premier rang, nous tenons exprimer notre plus grande gratitude et respect notre professeur Faouzi
GHORBEL. Nous le remercions pour nous avoir assist tout au long de l laboration de ces projets et de
nous avoir fait proter de son inestimable exp rience et de ses pr cieux conseils.
Nous voudrons aussi remercier tous les membres du p le GRIFT du laboratoire Cristal pour nous permettre
dassimiler les connaissances n cessaires pour la r alisation de ces projets.
Nous aimerons bien galement adresser nos plus vifs remerciements et transmettre lexpression de notre
reconnaissance ceux qui nont pas pargn un eort pour accomplir ce travail collectif.
Table des mati res
I Calibration dune cam ra
1 Mise en contexte
1.1 Les dioptres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Dioptre plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Dioptre sph rique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Exemple de loeil humain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Description de loeil humain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Loeil th orique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 G om trie et calibration des cam ras
2.1 Probl mes pos s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Rappel sur lalg bre lin aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Quelques notions utiles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Transformations lin aires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.1 Cas g n ral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.2 Homoth tie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.3 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.4
Sym trie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Transformations anes (Rotations anes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3.1 Coordonn es homog nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3.2 Plan projectif
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Calibrage dune cam ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
9
10
10
10
11
11
11
12
13
13
14
14
15
15
15
15
16
16
18
19
20
3 Calibrage st r oscopique
23
3.1 D nition de la st r oscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.2 Descriptif du probl me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.3 Mise en correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.3.1 Droite pipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.3.2 D nition de l pipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.3.3 Rectication pipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.3.4 Capteurs st r oscopiques actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.3.4.1 Calibrage dun capteur actif
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.3.4.2
Limites du capteur actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
II Moments g om triques
4 Reconnaissance de formes en utilisant les moments g om triques
35
36
4.1 Les moments g om triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.1.1 Principe de la m thode
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.1.2 D nition des moments g om triques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.1.3 Pr sentation de lapplication r alis e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
III Algorithme EM (Expectation - Maximization)
5 Lalgorithme EM Expectation-Maximization
40
41
5.1 Pr sentation G n rale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.1.1 Utilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.1.2 Crit res dutilisation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.1.3 Pr sentation g n rale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.1.3.1 Phases de lalgorithme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.1.3.2 Condition darr t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.1.3.3 Entr es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5
5.1.3.4
Sorties
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.2 La Classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.3 Utilit de lalgorithme EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.3.1 Explication du th or me de lhistogramme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.3.1.1 D nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.3.1.2 Th or me de lhistogramme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.3.2 Convergence de lalgorithme EM :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.3.3 Utilit de lestimation par lalgorithme EM :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.3.3.1 R gle de Bayes :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
5.4 Les formules utilis es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
5.4.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
5.4.2 Ex cution sur machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
IV La m thode de FISHER
6 R duction des dimensions avec la m thode de Fisher
47
48
6.1 Analyse Discriminante de Fisher
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.1.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.1.2 Crit re de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.3 Comparaison avec lACP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Table des gures
1.1 Diptre plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Dioptre sph rique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Coupe horizontale sch matique de loeil humain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
11
11
1.4 Loeil th orique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.1 Exemple dune sym trie par rapport un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Le mod le g om trique dune cam ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Projection de la mire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Mod lisation dun capteur st r oscopique passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Le calibrage st r oscopique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 La g om trie dun capteur st r oscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Les deux faisceaux des lignes pipolaires et les deux pipoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 La rectication pipolaire ram ne le capteur st r o dans une conguration telle que les lignes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
pipolaires sont parall les aux axes Fyet F (cid:48)
y(cid:48)
3.6 Le principe de rectication pipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Une image recti e sobtient en appliquant la cam ra correspondante une rotation spatiale.
3.8 Un capteur actif muni dune cam ra et dun plan de lumi re . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Une conguration montrant un cas typique de la limite dutilisation dun capteur actif. . . . .
3.10 Le faisceau laser tant conique, il y a des probl mes dimpr cision lorsque le faisceau rencontre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
une discontinuit de lobjet observ .
3.11 Le faisceau laser a un angle dincidence proche de 90 , mesur par rapport la normale de la
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
surface mesur e.
16
20
21
23
24
25
26
27
28
29
31
33
34
34
4.1
interface initiale de lapplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
7
Publicité
4.2 Un cas o il y a correspondnce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.3 Un exemple o il ny a pas de correspondance entre les deux images
. . . . . . . . . . . . . .
39
5.1 Histogramme dun chantillon Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.2
Interface graphique de lapplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
6.1 Variables explicatves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.2 Repr sentation des donn es en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
6.3 Repr sentation des donn es sur le plan (x,y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
6.4 Repr sentation des donn es sur le plan de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Premi re partie
Calibration dune cam ra
9
Chapitre 1
Mise en contexte
Introduction
Dans ce chapitre, nous allons rappeler les di rents types de dioptres dans un premier lieu avant de repr senter
lexemple de loeil humain et ses di rentes caract ristiques.
1.1 Les dioptres
Dans cette section, nous allons rappeler les di rents types de dioptres ainsi que leurs di rentes caract ris-
tiques.
1.1.1 Dioptre plan
La gure 1.1 repr sente un dioptre plan caract ris par les deux angles i et r et les deux indices n1
et n2 tel que : n2.sin(i) = n2.sin(r).
Figure 1.1 Diptre plan
10
1.1.2 Dioptre sph rique
La gure 1.2 repr sente un exemple de dioptres sph riques.
Figure 1.2 Dioptre sph rique
1.2 Exemple de loeil humain
1.2.1 Description de loeil humain
A titre de rappel, voici une coupe horizontale sch matique de loeil (Extrait de Optique Physiologique tome
1 Y. Le GRAND Ed. Masson).
Figure 1.3 Coupe horizontale sch matique de loeil humain
11
1.2.2 Loeil th orique
Dans environ trois cas sur quatre, avec une approximation acceptable, loeil est stigmatique. Il se comporte
dans ces cas comme un syst me centr .
Pour tudier loptique de cet oeil, les chercheurs ont t amen s d nir un mod le th orique de loeil. Nous
choisirons dans notre tude le mod le doeil th orique de Y. Le GRAND. Cest un oeil form de dioptres
sph riques centr s sur un m me axe. Le cristallin r el inhomog ne est remplac par un cristallin th orique
homog ne, de g om trie identique et dindice tel que sa vergence soit la m me. Cet oeil th orique est un oeil
normal : la proximit du conjugu de la r tine est gale 0.5 denviron (v rication que vous pourrez faire
partir des caract ristiques de loeil th orique).
Les caract ristiques g om triques de cet oeil gurent sur le sch ma suivant (c t s en mm) (Figure 1.4).
Q est le centre de rotation de loeil sur lequel nous reviendrons.
Figure 1.4 Loeil th orique
La pupille est pratiquement tangente la face ant rieure du cristallin (la distance iris - cristallin tant de
lordre de 0,04 mm).
Les indices des milieux transparents retenus sont :
pour la corn e : ............................. 1,377
pour lhumeur aqueuse :.................. 1,337
pour le cristallin th orique :............. 1,42
pour le corps vitr :........................ 1,336
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons d crit les di rents types de dioptres ainsi que les di rents composants de
loeil humain.
12
Chapitre 2
G om trie et calibration des cam ras
Introduction
Dans ce chapitre nous allons bri vement d crire le mod le g om trique associ au processus de saisie dimage
laide dune cam ra. Ce mod le est caract ris par un certain nombre de param tres que nous allons estimer
par talonnage ou calibration ou calibrage. Les param tres dune cam ra ou param tres intrins ques seront
estim s en m me temps que les param tres extrins ques soit les param tres qui lient un rep re associ la
cam ra au rep re associ lobjet talon. Nous allons tudier en d tail un mod le projectif de cam ra. Nous
allons voir par la suite quil existe un mod le simpli -ane- qui peut tre utile dans certaines congurations.
Nous allons ensuite proposer une technique de calibration dune cam ra lin aire (une barette CCD). Il est
utile de signaler que lorsquon calibre une cam ra, on sint resse la mod lisation de lensemble de la cam ra
et du convertisseur analogique digital. Si on change de convertisseur ou de cam ra, il faut alors recalibrer
lensemble.
Ensuite, nous allons d crire un capteur comportant deux cam ras (capteur st r oscopique) et nous allons
pr ciser quelques propri t s de ce capteur qui nous permettrons de faciliter la t che de mise en correspondance.
Un capteur compose de deux cam ras est un capteur tridimensionnel puisquil nous permet par triangulation
passive de calculer la distance dun objet au capteur. Nous allons tudier galement un capteur tridimensionnel
triangulation active ainsi quune technique d talonnage dun tel capteur.
2.1 Probl mes pos s
Lors de la calibration de cam ras, plusieurs probl mes sont rencontr s :
La mise en correspondance.
Savoir les positions relatives des cam ras.
Les distorsions :
g om triques
...
13
2.2 Rappel sur lalg bre lin aire
2.2.1 Quelques notions utiles
Orthogonalit soit A une matrice orthogonale.
Aorthogonal = A1 = tA
= A.tA = I
Si A =
alors :
U1
U2
U3
A.tA =
||U1||2
U3
U1.
U1.
U2
||U2||2
U2.
U1
U2.
U3
||U3||2
U2
U3.
U1
U3.
Donc, ||
U1|| = ||
U2|| = ||
U3|| et par la suite les vecteurs sont orthonorm s 2 2.
Notations M (n, m) : lespace vectoriel des matrices de n lignes et m colonnes.
(M (n, n), +, .) : lespace vectoriel sur R tel que : dim(M (n, n)) = n2.
Ensemble des matrices orthogonales : (3,R) = {A MR(3, 3)/tA.A = A.tA = I3}.
D terminant Soient A et B deux matrices telles que :
A : matrice de n lignes et m colonnes.
B : matrice de m lignes et p colonnes.
Lorsque A = B, on obtient :
det(A.B) = det(A.tA)
= (det(A))2
= 1
tel que :
det(A.tA) = 1 dans le cas dune rotation.
det(A.tA) = 1 dans le cas dune sym trie.
Lorsquon a une base directe, det(A.tA) = 1.
14
Remarques importantes
Lensemble des espaces vectoriels de dimension 1 est lensemble des droites passant par lorigine.
Limage dun connexe est un connexe.
La topologie du groupe de rotation est la topologie du cercle.
Quelle est la dimension du groupe de rotation ?
O(3,R)nest pas un espace vectoriel car les relations ne sont pas lin aires (||U1||2 = 1).
Le groupe orthogonal est de dimension 3.
detest une fonction de R9vers R.
Les fonctions multi-lin aires altern es sont continues.
La moyenne de deux matrices orthogonales nest pas orthogonale.
2.2.2 Transformations lin aires
2.2.2.1 Cas g n ral
Soit le syst me lin aire suivant :
x(cid:48) = a1.x + b1.y + c1.z
y(cid:48) = a2.x + b2.y + c2.z
z(cid:48) = a3.x + b3.y + c3.z
Ce syst me peut tre repr sent sous forme de matrice.
=
x(cid:48)
y(cid:48)
z(cid:48)
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
x
y
z
2.2.2.2 Homoth tie
Lhomoth tie ou facteur d chelle est caract ris e par le rapport .
Sous forme matricielle, lhomoth tie de rapport dans R3sera not e comme suit :
0
0
0 0
0
0
2.2.2.3 Rotation
D composition dune rotation Une autre repr sentation des rotations est celle utilisant une d compo-
sition de la matrice de rotation en trois matrices de rotation autour de chacun des trois axes.
15
Ces trois matrices sont :
La matrice ((cid:60)) sera donn e par :
(cid:60)x =
(cid:60)y =
(cid:60)y =
1
0
0
0
0
cos sin
cos
sin
cos
0
0
1
sin 0
sin
0
cos
cos sin
Publicité
cos
sin
0
0
0
0
1
((cid:60)) = (cid:60)z.(cid:60)y.(cid:60)x
et les trois angles , et sappellent les angles dEuler dapr s le math maticien Leonhard Euler (1707 -
1783) qui a tudi les lois r gissant les d placements des solides.
2.2.2.4 Sym trie
Nous allons tudier lexemple de la sym trie par rapport un plan.
Figure 2.1 Exemple dune sym trie par rapport un plan
2.2.3 Transformations anes (Rotations anes)
Soit le syst me (*) suivant :
x(cid:48) = x + a1
y(cid:48) = y + a2
z(cid:48) = z + a3
16
Soit f une fonction lin aire.
f est lin aire si et seulement si :
Soient :
Donc :
On a :
, u, v f ( u + v) = f (u) + f (v)
u =
x1
y1
z1
et v =
x2
y2
z2
u + v =
x1 + x2
y1 + y2
z1 + z2
f (u + v) =
f (u) + f (v) =
x1 + x2 + a1
y1 + y2 + a2
z1 + z2 + a3
x1 + x2 + 2 a1
y1 + y2 + 2 a2
z1 + z2 + 2 a3
f (u + v) (cid:54)= f (u) + f (v).
Donc, la fonction f nest pas lin aire. Et par la suite, elle repr sente une transformation ane qui est la
compos e dune transformation lin aire et dune translation.
Analytiquement,
x(cid:48) = a1.x + b1.y + c1.z + x0
y(cid:48) = a2.x + b2.y + c2.z + y0
z(cid:48) = a3.x + b3.y + c3.z + z0
En notation matricielle, le syst me pr c dent sera donn par :
=
x(cid:48)
y(cid:48)
z(cid:48)
a1
a2
a3
b1
b2
b3
(cid:124)
c1
c2
c3
(cid:123)(cid:122)
x
y
z
+
(cid:125)
(cid:124)
x0
y0
z0
(cid:123)(cid:122)
(cid:125)
Transformation lin aire Translation
17
Exemples de transformations lin aires
Rotation
Sym trie
Translation
Facteur non uniforme s crivant en notation matricielle sous la forme :
0
0
0 0
0
0
D nitions
D placement : Rotation + Translation.
Anti-d placement : Sym trie + Translation.
2.2.3.1 Coordonn es homog nes
Translation en coordonn es homog nes La translation se repr sente en coordonn es homog nes sous
la forme :
x(cid:48)
y(cid:48)
z(cid:48)
1
=
1
0
0 1
0
0
0 0
0 x0
y0
0
z0
1
1
0
x
y
z
1
=
x + x0
y + y0
z + z0
1
Transformation ane en coordonn es homog nes Une transformation ane sera not e en coordon-
n es homog nes sous la forme :
x(cid:48)
y(cid:48)
z(cid:48)
1
=
a1
a2
a3
0
b1
b2
b3
0
c1 x0
y0
c2
z0
c3
1
0
Publicité
x
y
z
1
D nition On appelle transformation homographique 3D vers 3D, lapplication suivante :
sx(cid:48)
sy(cid:48)
sz(cid:48)
s
=
m11 m12 m13 m14
m21 m22 m23 m24
m31 m32 m33 m34
m41 m42 m43 m44
x
y
z
1
Do ,
sx(cid:48) = m11.x + m12.y + m13.z + m14
sy(cid:48) = m21.x + m22.y + m23.z + m24
sz(cid:48) = m31.x + m32.y + m33.z + m34
s = m41.x + m42.y + m43.z + m44
18
Donc, on obtient le syst me (**) suivant :
x(cid:48) = m11.x+m12.y+m13.z+m14
m41.x+m42.y+m43.z+m44
y(cid:48) = m21.x+m22.y+m23.z+m24
m41.x+m42.y+m43.z+m44
z(cid:48) = m31.x+m32.y+m33.z+m34
m41.x+m42.y+m43.z+m44
s = m41.x + m42.y + m43.z + m44
Remarque : Homographie deux variables
tr s utile en reconstruction car utile pour les projections).
f (x) = ax+b
cx+d = y : homographie 2 variables (Elle est
Maintenant, on va liminer la troisi me composante du syst me (**) pr c dent.
On obtient, sous forme matricielle,
sx(cid:48)
sy(cid:48)
s
=
m11 m12 m13 m14
m21 m22 m23 m24
m41 m42 m43 m44
x
y
z
1
Essayons, donc, de transformer le r sultat d j obtenu sous forme lin aire.
Pour cela, il faut d terminer s.
Relation d quivalence Soit (cid:60) une relation d quivalence.
Donc,
(cid:60) est r exive : x, x(cid:60)x.
(cid:60) est sym trique : x, y, x(cid:60)y= y(cid:60)x.
(cid:60) est transitive : x, y, z, x(cid:60)y et y(cid:60)z= x(cid:60)z.
2.2.3.2 Plan projectif
Remarque
Droite projective : P 1(R) = R2 \ {0} | (cid:60) repr sente lensemble des droites passant par lorigine.
D nition On appelle espace projectif r el (respectivement complexe) de dimension n quon note par :
P n(R) = Rn+1 \ {0} | (cid:60) (respectivement P n(C) = Cn+1 \ {0} | (cid:60))
19
Plan projectif r el
P 2(R) = R3 \ {0} | (cid:60)
P 3(R) = R4 \ {0} | (cid:60) P 2(R) = R3 \ {0} | (cid:60) (plan projectif r el).
x
y
z
s
x
y
1
(cid:124)
m11 m12 m13 m14
m21 m22 m23 m24
m31 m32 m33 m34
m41 m42 m43 m44
(cid:123)(cid:122)
x
y
z
s
(cid:125)
M
Remarque Lhomographie 3D - 2D d crit les projections.
GLP (2, 3) (cid:51) M avec GLP :Group Linear Projective.
La gure 2.2 repr sente le mod le g om trique dune cam ra montrant ainsi lhomographie 3D - 2D.
Figure 2.2 Le mod le g om trique dune cam ra
Le point P = (x1, y1, d) situ dans le plan de limage virtuelle repr sente la projection du point Q =
(X, Y, Z)sur ce plan ce qui explique le passage du 3D au 2D.
2.3 Calibrage dune cam ra
Pour calibrer une cam ra, il faut d terminer tout dabord ses param tres.
Pour cela, nous allons utiliser l quation suivante en coordonn es homog nes :
=
su
sv
s
m11 m12 m13 m14
m21 m22 m23 m24
m31 m32 m33 m34
m41 m42 m43 m44
X
Y
Z
1
20
On peut crire les coordonn es image dun point de la sc ne. On obtient donc :
u = m11x+m12y+m13z+m14
m31x+m32y+m33z+m34
v = m21x+m22y+m23z+m24
m31x+m32y+m33z+m34
Notons au passage que ces deux quations d crivent la droite passant par le centre de projection et le point
image (u, v), dans le rep re mire soit la droite passant par F et b sur la gure suivante.
Figure 2.3 Projection de la mire
Le principe de calibrage dune cam ra se pr sente par le fait quun point B dont les coordonn es sont exprim s
dans le rep re mire se projette en b dont les coordonn es sont exprim s dans le rep re image.
Cette droite sappelle galement la droite de vue associ e un point image de coordonn es (u, v). Pour
valuer les coecients de la matrice M , il sut d crire ce syst me d quations pour les points de la mire
pour lesquels on mesure la projection dans limage. Chaque point (Xi, Y i, Zi) se projetant en (ui, vi) fournit
deux quations. Ces quations sont lin aires par rapport aux coecients de la matrice. Il faut donc au moins
6 points pour d terminer les 12 coecients de la matrice M qui nous int resse.
Les quations u et v peuvent se r crire comme une combinaison lin aire des mij :
Xi.m11 + Yi.m12 + Zi.m13 + m14 ui.Xi.m31 ui.Yi.m32 ui.Zi.m33 = ui.m34
Xi.m21 + Yi.m22 + Zi.m23 + m24 vi.Xi.m31 vi.Yi.m32 vi.Zi.m33 = vi.m34
On obtient donc 2n quations pour n points et on peut crire ces quations sous forme matricielle (les indices
indiquent la taille des matrices) :
K2n11.x11 = u2n
21
Soit, plus pr cis ment :
Xi Yi Zi
0
0
0
0
...
1
0
0 Xi Yi Zi
...
0
0 uiXi uiYi uiZi
1 viXi viYi viZi
Publicité
m11
m12
m13
m14
m21
m22
m23
m24
m31
m32
m33
...
uim34
vim34
...
=
Utilisation de la contrainte m34 = 1 Le syst me d ni par l quation :
est un syst me homog ne.
K2n11.x11 = u2n
An dobtenir une solution non triviale, il faut xer un des coecients mij. On choisit m34 = 1 ce qui revient
diviser tous les coecients de la matrice par m34 et d terminer les param tres de la cam ra un facteur
pr s. On peut remarquer que m34 nest autre que la composante en z du vecteur de translation entre le
r f rentiel mire et la r f rentielle cam ra et quon peut facilement sarranger pour que cette composante ne
soit pas nulle.
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons d crit les deux types de transformations (lin aire et ane) ainsi que la g om trie
dune cam ra.
22
Chapitre 3
Calibrage st r oscopique
Introduction
La vision par ordinateur pr ne comme objectif parmi dautres la reconstruction dune structure 3D partir de
la capture dimages. Partant de ce fait, la st r oscopie prend en compte pour r aliser cette nalit lutilisation
de deux cam ras. En fait, dans cette partie, on se propose partir du mod le de projection de chacune des
deux cam ras ainsi que la transformation g om trique entre ces deux cam ras de retrouver les coordonn es
spatiales dun point P ayant comme donn es ses projections sur les deux images des cam ras.
3.1 D nition de la st r oscopie
On nomme par syst me st r oscopique lutilisation de deux cam ras pour obtenir deux projections di rentes
dun m me point.
Et, le calibrage st r oscopique consiste calculer la matrice de transformation entre le rep re de la cam ra
gauche et celle de droite.
Voici une mod lisation de ce genre de syst me :
Figure 3.1 Mod lisation dun capteur st r oscopique passif
23
3.2 Descriptif du probl me
Le calibrage st r oscopique consiste calculer la matrice de transformation entre le rep re de la cam ra
gauche et celle de droite quon notera par As.
En fait comme le montre le sch ma ci-dessus, chacune des deux cam ras lui est reli e un rep re.
On consid re un point P dont on cherche les coordonn es spatiales et dont les projections sur les deux plans
sont p et p.
Ce point P se trouve en r alit lintersection de la droite passante par le centre focal (F) de la cam ra
gauche et le point p. et celle passante par le centre focal (F) et le point p.
Et le probl me en tant que tel sera de pouvoir calculer cette intersection.
Pour cela, il va falloir exprimer les deux quations de ces deux droites dans le m me rep re.
La matrice As ou encore matrice de transformation entre la cam ra gauche et la cam ra droite.
Et cette transformation est compos e de trois rotations et de trois translations.
Figure 3.2 Le calibrage st r oscopique
Dans le but de calibrer ce syst me, on doit :
calibrer chaque cam ra par rapport une mire unique, cela nous permet de d terminer les deux matrices
de projection perspective relative aux deux cam ras.
extraire les param tres intrins ques et extrins ques de chaque cam ra.
construire avec les param tres extrins ques les deux matrices Ad et Ag telles que Ad repr sente la trans-
formation du rep re mire au rep re de la cam ra droite et Ag repr sente la transformation du rep re mire
au rep re de la cam ra gauche.
calculer As : As = Ad(Ag) 1
La matrice As est de cette structure :
As =
r11
r21
r31
r12
r22
r32
r13
r23
r33
bx
by
bz
On note galement le vecteur b = (bxbybz) le vecteur de translation transformant F en F (cid:48).
24
3.3 Mise en correspondance
Nous nous proposons dans cette partie d tablir une mise en correspondance entre les points de limage de
gauche et celle de droite.
Figure 3.3 La g om trie dun capteur st r oscopique
Ce sch ma pr sente :
Un point P de la sc ne 3D.
Un point p (resp. p0) qui correspond la projection de P dans limage gauche (resp. de droite).
Le centre focal F de la cam ra gauche.
Le centre focal F0 de la cam ra de droite.
En pratique, nous avons acc s aux deux images gauche et droite et nous disposons du point p. Nous cherchons
savoir quel est le point p0de limage de droite correspondant p.
On se place dans le rep re cam ra et donc partir dun point pixel image de coordonn es u et v, on peut
reconna tre ses coordonn es cam ra tel que :
= C 1.
= C (cid:48)1.
x
y
1
x(cid:48)
y(cid:48)
1
u
v
1
u(cid:48)
v(cid:48)
1
Avec (x, y, z) les coordonn es par rapport la cam ra gauche et (x(cid:48), y(cid:48), z(cid:48)) les coordonn es par rapport la
cam ra de droite.
Tout en ayant que ces coordonn es sont reli s par la formule suivante :
X (cid:48)
Y (cid:48)
Z (cid:48)
1
X
Y
Z
1
= As.
25
On consid re les coordonn es de p dans limage gauche sont (x, y, 1) tel que : x = X
Z
coordonn es de p(cid:48) dans limage gauche sont (x(cid:48), y(cid:48), 1) avec :
et y = Y
Z
. De m me, les
x(cid:48) = X (cid:48)
Z(cid:48) = r11.X+r12.Y +r13.Z+bx
r31.X+r32.Y +r33.Z+bz
Ces formules se simplient en consid rant les relations : X = x.Z, Y = y.Z et p =t (x y 1).
x(cid:48) = Z.r1.p+bx
Z.r3.p+bz
y(cid:48) = Z.r2.p+by
Z.r3.p+bz
Par ceci, on peut exprimer la position dun point de limage de droite en fonction de son correspondant dans
limage gauche, des param tres du capteur et de la profondeur Z du point P .
En fait, cette quation d crit le lieu des points de limage de droite pouvant correspondre un point p de
limage gauche. Il y a pour chaque point de limage gauche une telle ligne pipolaire (et r ciproquement pour
chaque point de limage de droite il y a une ligne pipolaire gauche).
Passons caract riser la notion d pipole et de droites pipolaires.
3.3.1 Droite pipolaire
La droite pipolaire est d nie dans un syst me st r oscopique et par rapport un point donn de limage
gauche ou droite.
L quation de cette droite sobtient en liminant Z entre les deux derni res quations et on obtient :
(bz.r2.p by.r3.p).x(cid:48) + (bx.r3.p bz.r1.p).y(cid:48) = bx.r2.p by.r1.p
Il est facile de remarquer que toutes ces lignes pipolaires droites forment un faisceau et le point commun
de toutes ces lignes sappelle l pipole droit et il est facilement obtenu en rempla ant Z par 0. Ce qui nous
donne les coordonn es de l pipole droit dans le rep re de droite comme suit :
x
(cid:48)
e = bx
bz
(cid:48)
e = by
y
bz
Figure 3.4 Les deux faisceaux des lignes pipolaires et les deux pipoles
26
3.3.2 D nition de l pipole
Toutes les lignes pipolaires droites (respectivement gauches) forment un faisceau et elles convergent vers un
point commun appel pipole droit (respectivement gauche) comme le montre la gure 10.
Si nous consid ron...