Résumé de cours : Équations différentielles linéaires
I) Rappel : Équations différentielle linéaire d’ordre 1
Définition :
On appelle équation différentielle linéaire d’ordre 1 toute équation de la forme (E) : a(x) y
(cid:48) + b(x) y = c(x)
Définition :
On appelle équation homogène associée à (E) : a(x) y
0
(cid:48)+ b(x) y = c(x) l’ équation notée (H) : a(x) y
(cid:48)+ b(x) y =
Théorème :
Soit a et b deux fonctions continues sur un intervalle I avec a ne s’annule jamais sur I.
Alors la solution générale de l’équation sans second membre
(cid:48) + b(x) y = 0 est yH
a(t) dt , ou plus simplement yH
(x) = λ e
où a un point de I λ une constante parcourant (cid:82).
(H) : a(x) y
− (cid:82) x
a
b(t)
(x) = λ e
− (cid:82) b(t)
a(t) dt
Proposition: Méthode de résolution de l’équation (E)
Soit a et b sont deux fonctions continues sur I.
Soient (E) : y
y = k(x) e
(cid:48) + a(x) y = b(x) et (H) : y
est une solution de (E) ssi k
−A(x) = b(x) ssi k
(cid:48)(x) e
−A(x)
(cid:48) + a(x) y = 0. On a l’équivalence suivante :
(cid:48)(x) = b(x) eA(x)
Remarque :
Soit a et b sont deux fonctions continues sur I et (E) : y
(x) = e
−A(x)
yp
b(t)eA(t)
(cid:90) x
x0
(cid:48) + a(x) y = b(x), x0
dt est une solution particulière de (E) sur I.
∈ I alors
Démarche de la résolution Pour résoudre une équation différentielle (E) : y
• on résout l’équation homogène associée : y
• on détermine une solution particulière yp de l’équation : y
• on exprime la solution générale : y(x) = yp
II) Rappel : Équations différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants
1. Définitions
(cid:48) + a(x) y = b(x) ;
(cid:48)(x) + a(x) y = 0 ;
(x) = yp
(x) + yH
(x) + λe
−A(x)
(cid:48) + a(x) y = b(x) :
avec λ parcourant (cid:82).
Définition :
On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants toute équation de la forme
(E) a y
(cid:48) + c y = d(x) avec a, b et c sont des scalaires et d une fonction et a (cid:54)= 0
(cid:48)(cid:48) + b y
Définition :
On appelle équation homogène associée à (E) a y
(cid:48)(cid:48) + b y
(cid:48) + c y = d(x) l’équation notée (H) : a y
(cid:48)(cid:48) + b y
(cid:48) + c y = 0
2. Résolution de l’équation (H) : a y
(cid:48)(cid:48) + b y
(cid:48) + c y = 0, où a (cid:54)= 0, b et c des scalaires
Définition :
On appelle équation caractéristique associée à (H) l’équation
ar 2 + br + c = 0 d’inconnue r ∈ (cid:67).
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Proposition:
Soit l’équation (H) : a y
• On résout l’équation caractéristique ar 2 + br + c = 0. Si on a :
• Deux racines réelle distinctes r1 et r2(∆ > 0), la solution générale est :
(cid:48) + c y = 0, où a, b et c des scalaires
(cid:48)(cid:48) + b y
y(t) = λer1 t + µer2 t avec λ, µ parcourant (cid:82)2.
• Une racine double réelle r (∆ = 0), la solution générale
y(t) = (λt + µ) er t avec λ, µ parcourant (cid:82)2.
• Deux racines complexes non réelles : r = α ± iβ (∆ < 0) et dans le cas où on cherche les solutions sur (cid:82) :
y(t) = (λ cos β t + µ sin β t) e
αt , avec λ, µ parcourant (cid:82)2.
3. Résolution de l’équation (E) : a y
une fonction continue.
(cid:48)(cid:48) + b y
(cid:48) + c y = d(x) a, b, c ∈ (cid:75) des constantes avec a (cid:54)= 0 et d : I (cid:55)−→ (cid:75)
Proposition:
Si yp désigne une solution particulière de l’équation (E) alors les solutions de (E) sont toutes les fonctions de
la forme
x (cid:55)−→ yp
(x) + yH
(x) où yH est la solution de l’équation homogène associée à H.
3.Cas particulier :Si (E) est la forme a y
(cid:48)(cid:48) + b y
(cid:48) + c y = P(x)ekx
(cid:48) + c y = P(t)ekt , où a (cid:54)= 0, b et c des scalaires, P est un polynôme.
(cid:48)(cid:48) + b y
Proposition:
a y
• On résout l’équation caractéristique ar 2 + br + c = 0.
On cherche une solution particulière de la forme :
• Q(t)ekt si k n’est pas racine de l’équation caractéristique
• tQ(t)ekt si k racine simple de l’équation caractéristique
• t 2Q(t)ekt si k racine double de l’équation caractéristique.
Avec Q un polynôme arbitraire de même degré que P.
(cid:48) + c y = P(t) cos(β t)ekt , où a, b et c des scalaires, P est un polynôme.
(cid:48)(cid:48) + b y
Proposition:
a y
• On résout l’équation caractéristique ar 2 + br + c = 0.
On cherche une solution particulière de la forme :
• Q(t) (a cos(β t) + b sin(β t)) e
• tQ(t) (a cos(β t) + b sin(β t)) e
αt si α + iβ n’est pas racine de l’équation caractéristique
αt si α + iβ racine simple de l’équation caractéristique
III) Équations différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients non constants
1. Définitions
Définition :
On appelle équation différentielle linéaire (scalaire) d’ordre 2 définie sur I toute équation de la forme (E) :
(cid:48) + c(x) y = d(x), où a, b, c et d sont des fonctions continues sur I où, de plus, a ne s’annule
a(x) y
jamais sur I.
(cid:48)(cid:48) + b(x) y
Définition :
On appelle équation homogène associée à (E) l’équation (H) définie par :
a(x) y
(cid:48) + c(x) y = 0.
(cid:48)(cid:48) + b(x) y
Définition :
Soient x0
a(x) y
(cid:48)(cid:48) + b(x) y
∈ I et ( y0, y1
) ∈ (cid:75)2. Le problème de Cauchy consiste à déterminer les solutions de l’équation (E) :
(cid:48) + c(x) y = d(x) satisfaisant aux conditions initiales : y(x0
) = y0 et y
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(cid:48)(x0
) = y1.
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Théorème : Théorème de Cauchy
Soit a, b, c et d ∈ (cid:67) (I, (cid:75)) de plus, a ne s’annule pas sur I ; x0
L’équation (E) : a(x) y
) = y0
) = y1
(cid:110) y(x0
(cid:48)(t0
y
De plus cette solution de de classe (cid:67) 2 sur I.
(cid:48)(cid:48) + b(x) y
initiales :
∈ I et ( y0, y1
) ∈ (cid:75)2.
(cid:48) + c(x) y = d(x) possède une unique solution sur I vérifiant les conditions
2. Structure de l’ensemble des solutions
a) Équation homogène
Théorème :
Soit l’équation (H) : a(x) y
plus, a ne s’annule pas sur I. Alors l’ensemble (SH
(cid:67) 2 (I, (cid:75)) dimension 2.
(cid:48)(cid:48) + b(x) y
(cid:48) + c(x) y = 0 où a, b et c sont des fonctions continues de I −→ (cid:75) , de
) des solutions de (H) sur I est un sous-espace vectoriel de
Remarque On notera l’intérêt d’avoir (SH
de (H) non liées y1 et y2 donnent alors immédiatement l’ensemble des solutions qui sont
(x) + α
) parcourant (cid:82)2.
(x) avec (α
(x) = α
) un espace vectoriel de dimension 2 car, la connaissance de 2 solutions
1 y1
2 y2
1, α
2
yH
Définition :
On appelle système fondamental de solutions de l’équation homogène (H) : a(x) y
toute base ( y1, y2
) de l’espace (SH
) = Vect{ y1, y2
) c-à-d (SH
}
(cid:48)(cid:48) + b(x) y
(cid:48) + c(x) y = 0
b) Équation complète
Théorème :
(cid:48)(cid:48) + b(x) y
Soit (E) l’équation a(x) y
plus, a ne s’annule pas sur I. alors
La solution générale de (E) est la somme d’une solution particulière de (E) et de la solution générale de (H).
(cid:48) + c(x) y = d(x) où a, b et c sont des fonctions continues de I −→ (cid:75) , de
(cid:48)(cid:48) + B(x)z
(x) = z(x) y1
(cid:48) = 0 on pose z
3. Résolution pratique de (H) par la méthode de Lagrange
Si on connait une solution y1 qui ne s’annule jamais sur I alors la méthode de Lagrange consite à chercher
une autre solution de (H) sous la forme y2
(x), on obtient une équation vérifier par z de la forme
(cid:48) = ϕ et donc ϕ vérifie une équation d’ordre 1 qui est A(x)ϕ(cid:48) + B(x)ϕ = 0 on
A(x)z
cherche alors ϕ puis par primitivation on récupère z puis y2 qui va être libre avec y1 et donc on obtient deux
solutions libre de (H).
Remarques
• Il n’y a pas de méthode pour trouver dans tous les cas une solution de (E) ou de (H).
• Si on recherche une solution sous forme polynomiale, on cherchera d’abord son degré.
• On peut aussi faire faire un changement de variable (attention alors à la notation « prime » ambigüe) ou un
changement de fonction inconnue.
• Enfin, on peut vous demander de rechercher une solution développable en série entière. On n’emploie ce pro-
cédé qu’à la demande de l’énoncé.
III) Équation différentielle matricielle
1. Définitions
Définition :
On appelle équation différentielle vectorielle linéaire d’ordre 1 avec second membre, définie sur I et à valeurs
dans (cid:77)
((cid:75)), toute équation différentielle d’inconnue X du type
n,1
(cid:140)
où X : t (cid:55)→ X (t) =
(cid:130) x1
(t)
...
(t)
xn
B : t (cid:55)→ B(t) ∈ (cid:67) (cid:0)I, (cid:77)
n,1
est une fonction de (cid:67) (cid:0)I, (cid:77)
(K)(cid:1) dérivable,
n,1
(K)(cid:1) . Le système est noté X
(cid:48) = AX + B(t).
∀t ∈ I, X
(cid:48)(t) = AX + B(t)
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Définition :
On appelle équation homogène associée à l’équation X
(cid:48) = AX + B(t) l’équation (H) : X
(cid:48) = AX .
Théorème :
L’ensemble des solution de l’équation homogène (H) est un sous-espace vectoriel de (cid:67) 1((cid:82), (cid:77)
mension n.
((cid:75))) de di-
n,1
Définition :
On appelle système fondamental de solutions de l’équation (H) : X
vectoriel des solutions de l’équation homogène (H).
(cid:48) = AX toute base (X 1, . . . , X n
) de l’espace
Proposition:
Soit (X 1, . . . , X n
Les solutions de (H) sont X (t) =
n
(cid:88)
ci X i
(t).
) un système fondamental de solutions de (H), et (c1, . . . , cn
) une famille de n scalaires.
2.Résolution de l’équation homogène (H) : X
(cid:48) = AX avec A diagonalisable sur (cid:75)
i=1
Théorème :
Soit A est une matrice carrée d’ordre n à coefficients dans (cid:75) diagonalisable. On note (λ
1, λ
propres et (V1, V2, . . . , Vn
Alors, l’ensemble des solutions de (H) : X
) une base de vecteurs propres associés respectivement à λ
(cid:48) = AX , sur (cid:82) est : X (t) =
n
(cid:88)
α
λ
ie
i t Vi
1, . . . , λ
2, . . . , λ
n
) les valeurs
n
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i=1
Remarque si A est diagonalisable sur (cid:67) mains non sur (cid:82). Comment chercher les solutions réelles en fonctions
des solutions complexes Notons
Sp(cid:67)(A) = (cid:166)λ
Sp(cid:82)(A) = (cid:8)λ
2p+1, λ
p, λ
1, λ
1, λ
2p+1, λ
2p+2, . . . , λ
2, λ
2, . . . , λ
2p+2, . . . , λ
p, λ
2p+2, . . . , λ
2p+1, λ
p, λ
(cid:9) avec 2p + r = n
2p+r
(cid:169)
et
2p+r
p, λ
1, λ
2, λ
2, . . . , λ
• λ
1, λ
tiplicité
• V1, V1, V2, V2, . . ., Vp, Vp les vecteurs propres complexes de A associés respectivement à λ
λ
p.
• Si V2p+1, V2p+2, . . ., V2p+r les vecteurs propres réelles de A associées respectivement à λ
Les solutions complexes sont :
λ
λ
λ
λ
λ
λ
1, λ
1, λ
2, λ
2, . . ., λ
p,
2p+1, λ
2p+2, . . . , λ
2p+r
2p+r sont les valeurs propres de A comptées avec leur ordre de mul-
1 V1, e
1 V2, eλ
1 V1, eλ
1 V2, . . . , e
Vect{e
Les solutions réelles sont :
λ
Vect{Re(e
1 V1
1 V2
3. Résolution de l’équation complète (E) X
• Si on connait une solution particulière X p de (E) on ajoute à la solution générale du l’équation (H) et donc la
solution générale de (E) ; X
λ
λ
), . . . , Re(e
), Im(e
(cid:48) = AX + B(t) avec A diagonalisable
λ
2p+2 V2p+2, . . . , e
(cid:48) = AX + B(t) est
λ
2p+1 V2p+1, e
2p+2 V2p+2, . . . , e
2p+1 V2p+1, e
λ
), Im(e
λ
), Im(e
λ
), Re(e
2p+r V2p+r
2p+r V2p+r
1 Vp, eλ
1 Vp, e
), e
1 Vp
1 Vp
1 V2
1 V1
}
λ
}
X (t) =
α
λ
i e
i t Vi
+ X p
(t) avec (V1, V2, . . . , Vn
) une base de vecteurs propres associés respectivement à λ
1, λ
2, . . . , λ
n.
n
(cid:88)
i=1
• Si on ne peut trouver une solution particulière de (E) : X
On sait qu’il existe une matrice inversible P tel que P
On fait le changement d’inconnu X = PY . Ce qui donne :
(cid:48) = AX + B(t),
−1AP soit diagonale c-à-d P
−1AP = D = diag(λ
1, . . . , λ
n
)
(cid:48) = APY + B(t) ⇐⇒ Y
(cid:48) = P
−1APY + P
−1B(t) ⇐⇒ Y
(cid:48) = DY + P
−1B(t),
X
on note
(cid:48) = AX + B(t) ⇐⇒ PY
−1B(t) =
P
. Le système devient :
(t)
(t)
...
(t)
c1
c2
cn
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(cid:48)
1
(cid:48)
2
= λ
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= λ
1 y1
2 y2
+ c1
+ c2
(t)
(t)
(E
(cid:48)) :
y
y
...
y
y
. On obtient ainsi n équations différentielles linéaires d’ordre 1 avec second
(cid:48)
n−1
(cid:48)
n
= λ
n yn
+ cn−1
(t)
n−1 yn−1
(t)
+ cn
= λ
membre qui est résoluble.
On résout l’équation (E
Résolution de l’équation homogène (H) : X
Soit A une matrice d’ordre 3 telle que le polynôme caractéristique de A scindé sur K notons χ
A
λ
• On cherche la matrice triangulaire la plus simple et qui est semblable A, par exemple on cherche une matrice
P inversible telle que P
(cid:48)). on récupère Y par suite X par la relation X = PY .
(cid:48) = AX avec A trigonalisable avec n = 3
3 sont comptées avec leur ordre de multiplicité.
−1AP soit de la forme
(X ) = (X − λ
) avec λ
)(X − λ
2 et λ
)(X −
1, λ
3
1
2
−1AP = T =
P
(cid:18)λ
(cid:19)
(cid:34)
0
1
1
0 λ
(cid:34)
2
2
0 λ
0
3
(cid:48) = APY ⇐⇒ Y
(cid:48) = P
−1APY ⇐⇒ Y
(cid:48) = T Y,
On fait le changement d’inconnu X = PY .
Ce qui donne :
X
= λ
= λ
= λ
(cid:48) = AX ⇐⇒ PY
+ (cid:34)
1 y1
+ (cid:34)
2 y2
3 y3
1 y2
2 y3
(cid:40) y
y
y
(cid:48)
1
(cid:48)
2
(cid:48)
3
Le système devient :
. On résout le système en commençant par la dernière ligne et en mon-
tant de bas en haut on récupère Y par suit X par la relation X = PY .
Résolution de l’équation homogène (E) : X
telle que
(cid:48) = AX + B(t) avec A trigonalisable Soit P la matrice inversible
−1AP = T =
P
(cid:18)λ
(cid:19)
(cid:34)
0
1
1
0 λ
(cid:34)
2
2
0 λ
0
3
On fait le changement d’inconnu X = PY . Ce qui donne :
(cid:48) = APY + B(t) ⇐⇒ Y
on note P
. Le système devient :(E
(cid:48)) :
X
(cid:48) = AX + B(t) ⇐⇒ PY
(cid:129) c1
c2
c3
−1B(t) =
(t)
(t)
(t)
(cid:139)
(cid:48) = P
(cid:48)
(cid:40) y
1
(cid:48)
y
2
(cid:48)
y
3
−1APY + P
+ (cid:34)
= λ
1 y1
+ (cid:34)
= λ
2 y2
+ c3
= λ
Publicité
3 y3
−1B(t) ⇐⇒ Y
(t)
(t) + c1
1 y2
(t)
(t) + c2
2 y3
(t)
.
(cid:48) = T Y + P
−1B(t),
On obtient ainsi n équations différentielles linéaires d’ordre 1 avec second membre qui est résoluble.
(cid:48)). on récupère Y par suit X par la relation X = PY .
On résout l’équation (E
III Equations différentielles linéaires dans (cid:76) (E, F )
1. Définitions
Définition :
On appelle équation différentielle à valeurs dans F linéaire d’ordre 1 à coefficient constant définie sur I toute
(cid:48) = ax + b(t) avec a ∈ (cid:76) (F ), b ∈ (cid:67) (I, F ) et d’inconnue t (cid:55)−→ x(t).
équation différentielle de la forme (E) : x
dérivable de I vers F .
Remarque :
Via l’introduction d’une base de F , une telle équation différentielle correspond :
(cid:48) = AX + B(t), avec A ∈ (cid:77)
• à une équation matricielle X
((cid:75)), ou encore.
+ b1
+ b2
= a11 x1
= a21 x1
+ a12
+ a22
(t)
(t)
x
x
(cid:48)
1
(cid:48)
2
• à un système différentiel :
.
n
+ . . . + a1n xn
+ . . . + a2n xn
...
x
(cid:48)
n
= an1 x1
+ an2
(t) + . . . + ann xn
+ bn
(t)
Proposition:
Soit A ∈ (cid:77)
n
(K) alors l’application : etA : (cid:82) −→ (cid:77)
(K)
n
t (cid:55)−→ etA,
est dérivable sur (cid:82) et on a :
d
dt
etA = AetA = AetA.
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Théorème :
Pour a ∈ (cid:76) (F ) et x0
x : t (cid:55)−→ exp(t a)x0.
∈ F , l’unique solution à l’équation (H) : x
(cid:48) = ax vérifiant x(0) = x0 est la fonction
Corollaire :
L’espace (SH
(SH
) = {t (cid:55)−→ ex p(t a)x0
/x0
∈ F }.
) des solutions sur (cid:82) de l’équation homogène (H) : x
(cid:48) = ax est
Proposition:
Si B = (e1, . . . , en
un système fondamental de solutions i.e l’ensemble (SH
I −→ F , x : t (cid:55)−→
n
(cid:88)
α
i eat ei.
) est une base de F alors les application x1, x2, . . . , xn définie par xi : t (cid:55)−→ exp(t a)ei forment
) des solutions de (H) sont de la forme :
i=1
Théorème :
Soit a un endomorphisme de F diagonalisable. On note (λ
1, λ
2, . . . , λ
n
) les valeurs propres et (v1, v2, . . . , vn
(cid:48) = ax, sur (cid:75) est : x(t) =
i t vi
λ
i e
n
(cid:88)
α
)
une base de vecteurs propres associés. Alors, l’ensemble des solutions de x
Théorème :
Soient a ∈ (cid:76) (F ), b ∈ (cid:67) (I, (cid:75)). Alors pour tout t0
∈ I fixé, l’application t (cid:55)−→ et a
solutions de (E).
i=1
(cid:140)
−ua b(u)du
e
est une
(cid:130)(cid:90) t
t0
Proposition:
Soient B = (e1, . . . , en
solutions de l’équation (E) : x
) est une base de F , a ∈ (cid:76) (F ), b ∈ (cid:67) (I, (cid:75)) et t0
∈ I fixé. Alors l’ensemble des S des
(cid:48) = ax + b(t) sont de la forme
x : I −→ F , x (cid:55)−→
n
(cid:88)
i=1
α
i et aei
+ et a
(cid:130)(cid:90) t
t0
(cid:140)
−ua b(u)du
e
.
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