Résolution numérique de systèmes d’équations linéaires
Méthode de pivot de Gauss
AN
-
4ème année
-
A.U. 2020/2021
• Permutation de deux lignes : Li ↔ Lj.
• Multiplication d’une ligne Li par un scalaire λ non nul : Li ←− λLi.
• Addition d’un multiple d’une ligne à une autre ligne.: Li ←− Li + λLj.
La Méthode de Pivot de Gauss
2
2
La méthode du pivot de Gauss est une méthode pour transformer un système en un
autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est triangulaire et est donc
facile à résoudre.
Les opérations autorisées pour transformer ce système sont :
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• Multiplication d’une ligne Li par un scalaire λ non nul : Li ←− λLi.
• Addition d’un multiple d’une ligne à une autre ligne.: Li ←− Li + λLj.
La Méthode de Pivot de Gauss
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La méthode du pivot de Gauss est une méthode pour transformer un système en un
autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est triangulaire et est donc
facile à résoudre.
Les opérations autorisées pour transformer ce système sont :
• Permutation de deux lignes : Li ↔ Lj.
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• Addition d’un multiple d’une ligne à une autre ligne.: Li ←− Li + λLj.
La Méthode de Pivot de Gauss
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La méthode du pivot de Gauss est une méthode pour transformer un système en un
autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est triangulaire et est donc
facile à résoudre.
Les opérations autorisées pour transformer ce système sont :
• Permutation de deux lignes : Li ↔ Lj.
• Multiplication d’une ligne Li par un scalaire λ non nul : Li ←− λLi.
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La Méthode de Pivot de Gauss
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La méthode du pivot de Gauss est une méthode pour transformer un système en un
autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est triangulaire et est donc
facile à résoudre.
Les opérations autorisées pour transformer ce système sont :
• Permutation de deux lignes : Li ↔ Lj.
• Multiplication d’une ligne Li par un scalaire λ non nul : Li ←− λLi.
• Addition d’un multiple d’une ligne à une autre ligne.: Li ←− Li + λLj.
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Étude d’un exemple
3
3
Résoudre avec la méthode du pivot de Gauss le système (S) suivant :
(S)
3x1 + x2 + x3 = 1
x1 − 3x2 + x3 = −3
x1 + x2 − 3x3 = 1
Le système (S) peut s’écrire sous la forme matricielle : AX = b où
3
1
1
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1
A =
1 −3
1
1
1 −3
, X =
b =
,
−3
1
x1
x2
x3
A représente la matrice des coefficients de (S), X représente la solution de (S) et b
représenter le second membre du système.
Dans notre exemple, la matrice A est inversible ( car det(A) = 32 (cid:54)= 0 ), ainsi le
système (S) admet une unique solution.
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• Opération 1 : Écrire la matrice élargie relative à (S), notée par (A|b), et
déterminer un premier pivot non nul.
(A|b) =
1 −3
1 −3
3
1
1
1
1 −3
1
1
Remarque
que ai1 (cid:54)= 0,
i = 1, · · · , 3.
Si le coefficient a11 = 0, il faut permuter la premier ligne L1 avec une ligne Li telle
• Opération 2 : Annuler tous les coefficients situant en dessous du premier pivot.
L2 ←− L2 −
L3 ←− L3 −
(cid:18)1
(cid:19)
(cid:18)1
(cid:19)
3
3
L1
L1
Nous décrivons le principe de cette méthode par les opérations suivantes :
4
4
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• Opération 2 : Annuler tous les coefficients situant en dessous du premier pivot.
L2 ←− L2 −
L3 ←− L3 −
(cid:18)1
(cid:19)
(cid:18)1
(cid:19)
3
3
L1
L1
Nous décrivons le principe de cette méthode par les opérations suivantes :
• Opération 1 : Écrire la matrice élargie relative à (S), notée par (A|b), et
déterminer un premier pivot non nul.
4
4
(A|b) =
3
1
1
1
1 −3
1 −3
1
1 −3
1
Remarque
Si le coefficient a11 = 0, il faut permuter la premier ligne L1 avec une ligne Li telle
que ai1 (cid:54)= 0,
i = 1, · · · , 3.
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Nous décrivons le principe de cette méthode par les opérations suivantes :
• Opération 1 : Écrire la matrice élargie relative à (S), notée par (A|b), et
déterminer un premier pivot non nul.
4
4
(A|b) =
3
1
1
1
1 −3
1 −3
1
1 −3
1
Remarque
Si le coefficient a11 = 0, il faut permuter la premier ligne L1 avec une ligne Li telle
que ai1 (cid:54)= 0,
i = 1, · · · , 3.
• Opération 2 : Annuler tous les coefficients situant en dessous du premier pivot.
L2 ←− L2 −
L3 ←− L3 −
(cid:19)
(cid:19)
(cid:18)1
3
(cid:18)1
3
L1
L1
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Opération 3: Passer au pivot suivant, vérifier qu’il est non nul et annuler tous les
coefficients situant en dessous du deuxième pivot.
L3 ←− L3 +
L1
(cid:18)1
(cid:19)
5
1
∼
∼
(
A|
b) =
3
0
0
1
0
-10/3
2/3
(−10)/3
(−48)/15
1
0
5
5
∼
A|
(
∼
b) =
3
1
1
1
0 −10/3
2/3
(−10)/3
0
2/3 −10/3
2/3
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5
5
∼
A|
(
∼
b) =
3
1
1
1
0 −10/3
2/3
(−10)/3
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0
2/3 −10/3
2/3
Opération 3: Passer au pivot suivant, vérifier qu’il est non nul et annuler tous les
coefficients situant en dessous du deuxième pivot.
L3 ←− L3 +
(cid:19)
(cid:18)1
5
L1
∼
A|
(
∼
b) =
3
0
0
1
-10/3
1
2/3
1
(−10)/3
0
(−48)/15
0
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Ainsi on obtient un système triangulaire supérieur équivalent au système (S) :
6
6
3x1 + x2 + x3
3 x2 + 2
− 48
− 10
= 1
3x3 = − 10
3
15x3 = 0
Le nouveau système triangulaire supérieur est très simple à résoudre :
(L3) donne : x3 = 0.
Puis dans (L2) : − 10
3 x2 + 2
3 donc x2 = 1.
Enfin dans (L1) : 3x1 + x2 + x3 = 1 donc x1 = 0 .
Conclusion : La solution du système (S) est (x1, x2, x3) = (0, 1, 0).
3x3 = − 10
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2. Résolution d’un système triangulaire
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