Quelques méthodes mathématiques pour le traitement d'image

≤

≤

≤

a

255

b) f + 255(b

255

a

−

Original

Histogramme

Dilatation de la dynamique des zones claires

Dilatation de la dynamique des zones sombres

18

CHAPITRE 2. TRAITEMENT PONCTUEL DES IMAGES NUM ´ERIQUES

2.1.2

´Egalisation de l’histogramme

L’histogramme d’une image est rarement plat ce qui traduit une entropie non maximale. La

transformation d’´egalisation est construite de telle fac¸on que l’histogramme de l’image trans-

form´ee soit le plus plat possible. Cette technique am´eliore le contraste et permet d’augmenter

artificiellement la clart´e d’une image grˆace `a une meilleure r´epartition des intensit´es relatives.

Fonction d’aplatissement continue

Consid´erons l’histogramme continu h(f ) donn´e ci-dessous. En notant f " = t(f ), l’histo-

gramme ´egalis´e h(f ") doit s’approcher de la forme id´eale d´ecrite ci-dessous.

Deux surfaces ´el´ementaires en correspondance dans les histogrammes initiaux et ´egalis´es,

pr´esentent le mˆeme nombre de points ce qui permet d’´ecrire :

f " = t(f ) =

256

N 2

f

0

&

h(s) ds .

Histogramme d’origine

Histogramme plat id´eal

Fonction id´eale d’´egalisation d’un histogramme

Fonction d’aplatissement discr`ete

En remplac¸ant l’int´egration continue par une somme, on obtient la transformation d’´egalisation

discr`ete suivante :

f " = t(f ) =

256

N 2

f

!i=0

h(i) .

2.1. CORRECTION PONCTUELLE D’UNE IMAGE -RECADRAGE DE DYNAMIQUE

19

Original

Histogramme

Image ´egalis´ee

Histogramme ´egalis´e

2.1.3 Binarisation

Le but de la binarisation d’une image est d’affecter un niveau uniforme au pixels pertinents

et d’´eliminer les autres.

Seuillage

Le seuillage consiste a affecter le niveau 255 aux pixels dont la valeur est sup´erieure a un

seuil S et 0 le niveau aux autres. Le graphe de la transformation correspondante est le suivant

Fonction « seuillage »

20

CHAPITRE 2. TRAITEMENT PONCTUEL DES IMAGES NUM ´ERIQUES

Seuillage `a 70

Extraction d’une fenˆetre d’intensit´e

Avec la transformation d´ecrite ci-dessous, la nouvelle image ne visualise que les pixels dont

le e niveau d’intensit´e appartient `a l’intervalle [a, b]. Sous r´eserve d’une connaissance a priori

de la distribution des niveaux de gris des objets de l’image originale, cette technique permet

une segmentation d’objets particuliers de l’image.

Fonction « fenˆetre d’intensit´e »

Original

Histogramme

2.2. ANAYSE DE LA NETTET ´E D’UNE IMAGE NUM ´ERIQUE

21

Seuillage avec fenˆetre d’intensit´e entre 30 et 100

2.2 Anayse de la nettet´e d’une image num´erique

La focalisation automatique, ou mise au point, des syst`emes de prise de vue traditionnels

(appareils photo,, graphiques cam´eras analogiques ... ) exploite g´en´eralement un t´el´em`etre qui

mesure avec pr´ecision la distance appareil-plan objet. Les syst`emes de vision num´eriques ac-

tuels (appareils et cam´eras num´eriques ... ) r´ealisent automatiquement leur mise au point `a par-

tir d’une analyse de l’image restitu´ee. Pour cela un crit`ere de nettet´e de l’image est d´etermin´e

`a partir des valeurs f (i, .j) := fij de l’intensit´e (luminance) des pixels.

Un grand nombre de criteres a ´et´e propos´e. Parmi les plus utilis´es figurent les criteres bas´es

sur l’analyse de la distribution des niveaux d’intensit´e pixel et ceux mesurant le contenu spec-

tral de l’image.

La premi`ere cat´egorie repose sur le fait que la d´efocalisation engendre l’uniformisation des

niveaux de gris, ou ce qui revient au mˆeme, que l’image nette pr´esente l’histogramme le plus

large.

La seconde cat´egorie repose sur le principe similaire qu’une image focalis´ee contient plus

de fr´equences spatiales ´elev´ees qu’une image floue.

Dans toutes ces m´ethodes, on recherche la distance de mise au point qui assure la majora-

tion du crit`ere

2.2.1 Exemples de crit`eres de nettet´e

Crit`eres de nettet´e bas´es sur l’analyse de l’histogramme de l’image

On note hk la distribution statistique (histogramme) des niveaux k d’intensit´e des pixels.

22

CHAPITRE 2. TRAITEMENT PONCTUEL DES IMAGES NUM ´ERIQUES

Crit`ere math´ematique

M´ethode de

Mendelsohn

et Mayall

F =

k hk

!k>T

T est un param`etre choisi

proche du niveau de gris moyen de l’image

M´ethode de

F =

Mason et Green ∆ij = 2

i

(k

T ) hk et T =

−

!k>T

(fi,j+1 −

1 −

fi,j

−

fi+1,j+1)2 + (fi

−

’

’

i

1)2 + (fi+1,j −

’

’

1,j+1 −

(

−

j fij∆ij

j ∆ij

fi

−

fi+1,j

1,j)2

1)2

)

−

+ (fi

−

1,j

Variance des

niveaux de gris

F =

j f 2

ij

i

N 2

’

’

2

j fij

N 4

’

)

i

− (’

Crit`eres de nettet´e bas´es sur l’analyse spectrale de l’image

Crit`ere math´ematique

Norme "1 du gradient1

F =

fi,j −

(

|

fi,j

1|

−

+

fi,j+1 −

|

)

fi,j|

!i,j

Norme "2 du gradient

F =

(fi+1,j −

fi,j)2 + (fi,j+1 −

fi,j)2

!i,j

Remarques g´en´erales

– Les tests des crit`eres de nettet´e r´ealis´es sur un grand nombre d’images diff´erentes montrent

que leurs performances d´ependent du type et du contenu de l’image analys´ee ;

– En regle g´en´erale, l’extremum des criteres est peu prononc´e lorsque l’image contient peu

de d´etails

2.3. CORR ´ELATION D’IMAGES NUM ´ERIQUES

23

– L’algorithme de Brenner est souvent utilis´e car il pr´esente g´en´eralement une bonne sen-

sibilit´e et la charge de calculs qu’il n´ecessite est raisonnable.

2.3 Corr´elation d’images num´eriques

Nous consid´erons deux fonctions bidimensionnelles discr`etes f (i, j) et g(i, j) avec 1

i, j

≤

≤

N.

Ces fonctions sont repr´esentatives de deux images num´eriques monochromes comportant

N 2 pixels. Leurs versions centr´ees et r´eduites sont d´efinies respectivement par

fc(i, j) =

µf

f (i, j)

σf

−

et gc(i, j) =

µg

g(i, j)

σg

−

o `u µ et σ sont respectivement la moyenne et l’´ecart type de chaque fonction.

La fonction d’intercorr´elation entre fc et gc est d´efinie par la relation :

ϕf g(k, l) =

1

N 2

!i,j

fc(i, j)gc(i

k, j

l) .

−

−

(2.3.1)

Il est souvent plus pratique de travailler sur des images dont les valeurs sont centr´ees et

r´eduites. Ceci permet d’une part d’´eliminer de ϕf g(k, l) le carr´e des moyennes des images,

d’autre part de normaliser les fonctions de corr´elation.

Pour ´eviter les effets de bord qui introduisent un biais dans le calcul de ϕf g(k, l) il convient :

– soit de s’assurer que la double sommation est r´ealis´ee sur des valeurs dont les coor-

donn´ees ne sortentjainais de l’image. Cela revient `a d´efinir un cadre d’int´egration dont

le format, inf´erieur `a celui de l’image, est choisi en fonction du domaine de calcul de

ϕf g(k, l) ;

– soit de remplacer dans l’expression (2.3.1) le diviseur N 2 par la valeur variable M qui

d´epend de k et l selon la relation : M = (N

k

)(N

|

−|

l

).

|

−|

2.3.1 Application `a la reconnaissance d’empreintes digitales

Les fonctions d’intercorr´elation bidimensionnelles peuvent ˆetre utilis´ees en reconnaissance

d’images. La comparaison de l’empreinte digitale d’un suspect avec celles contenues dans un

fichier en est un exemple. les deux images repr´esent´ees ci-dessous repr´esentent les empreintes

digitales de deux individus que nous appellerons F et G.

24

CHAPITRE 2. TRAITEMENT PONCTUEL DES IMAGES NUM ´ERIQUES

Les caract´eristiques g´en´erales de ces deux images sont donn´ees dans le tableau suivant :

Format

Codage en niveaux de gris

Moyenne µ

´Ecart type σ

Individu F

256 x 256

0 `a 255

132,8

33,8

Individu G

256 x 256

0 `a 255

127

36,4

Les valeurs des deux images sont centr´ees et r´eduites. Pour ´eviter les effets de bords, l’in-

tercorr´elation est r´ealis´ee entre deux zones carr´ees de 151 x 151 pixels (voir figure ci-dessous)

La fonction est estim´ee dans la gamme

20

−

≤

k, l

≤

20 grˆace `a la formule suivante

ϕf g(k, l) =

1

1512

200

!i,j=50

fc(i, j)gc(i

k, j

l) .

−

−

(2.3.2)

La repr´esentation 3D `a gauche dans la figure ci-dessous est celle de la fonction d’autocorr´elation

ϕf g(k, l) effectu´ee sur l’empreinte F . Son maximum est´egal `a 1 au centre du graphique qui cor-

respond ici `a la position k = l = 0. La repr´esentation de droite est la fonction d’intercorr´elation

entre les empreintes F et G.

2.3. CORR ´ELATION D’IMAGES NUM ´ERIQUES

25

Ses valeurs ne d´epassent pas 0.15 ce qui prouve que les deux empreintes ne sont pas iden-

tiques.

Dans la r´ealit´e, les empreintes ne sont pas toutes obtenues dans les mˆemes conditions de

positionnement. Il est n´ecessaire d’ajouter un parametre de rotation d’image a la fonction d’in-

tercorr´elation ce qui peut alourdir consid´erablement les calculs.

2.3.2 Application `a l’analyse de la texture d’une image

Par d´efinition la texture d’une image est la structure spatiale sur laquelle sont organis´es les

pixels. Les relations structurelles peuvent ˆetre :

– d´eterministes : c’est le cas de la r´ep´etition quasi p´eriodique d’un motif de base (brique,

carrelage, mailles de tissu ... ) ;

– al´eatoires : il n’y a pas de motif de base (sable, mur cr´epi...)

La fonction d’autocorr´elation bidimensionnelle est bien adapt´ee pour mettre en ´evidence les

propri´et´es de la texture d’une image. La figure suivante repr´esente deux exemples de texture.

Nous donnons ci-dessous la fonction d’auto-corr´elation des textures « sable » et « tissu ».

26

CHAPITRE 2. TRAITEMENT PONCTUEL DES IMAGES NUM ´ERIQUES

2.4 Transformation de Hough

[,a transformation de Hough est utilis´ee pour d´etecter de mani`ere syst´ematique la pr´esence

de relations structurelles sp´ecifiques entre des pixels dans une image Par exemple une image

repr´esentant un site urbain est compos´ee de nombreuses lignes droites (immeubles, fenˆetres)

en revanche, une vue de campagne en est quasiment d´epourvue .

Hough propose une m´ethode de d´etection bas´ee sur une transformation d’image permet-

tant la reconnaissance de structures simples (droite, cercle, ... ) liant des pixels entre eux. Pour

limiter la charge de calcul, l’image originale est pr´ealablement limit´ee aux contours des objets

puis binaris´ee (2 niveaux possibles pour coder l’intensit´e pixel).

2.4.1 Principe de la m´ethode pour la recherche de ligne droite

Supposons que l’on suspecte la pr´esence d’une droite ∆ reliant un certain nombre de pixesl

Pi. Soit le pixel P1 de coordonn´ees (x1, y1). Une infinit´e de droites d’´equation : y1 = ax1 + b

peuvent passer par P1. Cependant, dans le plan des param`etres ab l’´equation qui s’´ecrit b =

ax1 + y1 devient une droite unique D1 (voir figures ci-dessous).

−

Un second pixel P2 = (x2, y2) permet de d´efinir une seconde droite D2 du type b =

ax2+y2

dans le plan ab.L’intersection de D2 avec D1 fournit le couple "a", b") qui sont les param`etres

−

2.4. TRANSFORMATION DE HOUGH

27

de la droite recherch´ee ∆ dans le plan image. Ainsi, tous les pixels Pi qui sont align´es sur ∆

poss`ede une droite Di dnas le plan ab qui coupe les autres au point particulier (a", b").

2.4.2 Probl`eme pour la recherche de ligne verticale Repr´esentation normale d’une

droite

Dans le plan image, une droite verticale possede des parametres a etb infinis, ce qui ne

permet pas d’exploiter la m´ethode pr´ec´edente. Pour contourner ce probl`eme, on utilise la

repr´esentation normale des droites. Cette repr´esentation, de parametres ρ et θ, ob´eit a l’´equation

Cette ´equation repr´esente le produit scalaire (projection) entre les vecteurs &V =

x cos θ + y sin θ = ρ.

(2.4.3)

cos θ

sin θ

et

+

*

x

y

*

+

−−→OM =

. Ainsi l’ensemble des points M d’une droite se projettent sur un mˆeme vecteur

particulier de coordonn´ees polaires (ρ, θ) . Les cas de droites horizontales et verticales sont

illustr´es ci-dessous :

2.4.3 Transformation de Hough pour la d´etection de droites dans une image binaire

Domaine de variation des param`etres θ et ρ

Il est a noter que si (ρ, θ) sont les parametres d’une droite (

ρ, θ + π) le sont ´egalement. Par

cons´equent l’intervalle [0,π [correspond au domaine de variation complet du param`etre θ. Les

coordonn´ees cart´esiennes x et y des pixels d’une image num´erique sont g´en´eralement positives,

l’origine ´etant plac´ee `a un sommet de l’image. En consid´erant une image carr´ee comportant

N pixels, les valeurs de ρ calcul´ees par l’´equation (2.4.3) peuvent ˆetre major´ees par √2N .

N

−

×

Quadrillage du plan θρ

On suspecte dans l’image la pr´esence d’une ou plusieurs structures caract´eris´ees par l’ali-

gnement d’un certain nombre de pixels. Soit les deux intervalles [θmin,θ max] dans lesquels on

cherche a calculer les parametres de la repr´esentation normale d’une ou plusieurs droites.

28

CHAPITRE 2. TRAITEMENT PONCTUEL DES IMAGES NUM ´ERIQUES

Le plan θρ limit´e aux intervalles de recherche, est subdivis´e en cellules par quantification

des param`etres θ et ρ avec les pas respectifs ∆θ et ∆ρ (indexation par les indices p et q). La

figure ci-dessous donne un exemple de quadrillage du plan θρ. Un tableau A(p, q) dont les

valeurs sont initialement mises a z´ero, est associ´e a ce quadrillage

Proc´edure de transformation

– Pour chaque pixel non nul Pi(xi, yi) de l’image, on balaye l’axe des θ de θmin `a θmax

suivant la trame du tableau et pour chaque θp on r´esout l’´equation (2.4.3) ;

– le r´esultat ρ obtenu est arrondi `a la valeur ρq du tableau la plus proche ;

– si `a la valeur θp correspond la solution ρq la valeur A(p, q) est incr´ement´ee d’une unit´e.

`A la fin de cette proc´edure, A(p, q) = M signifie que M points de l’image sont align´es sur

la droite de parametres approximatifs (θp,ρ q). Apres transformation compl`ete, le tableau peut

ˆetre repr´esent´e sous la forme d’une image en niveaux de gris (exemple plus loin) ou celle d’un

graphique 3D. La d´ecision sur la d´etection de droites peut ˆetre prise apr`es recherche des coor-

donn´ees des valeurs significatives du tableau.

La charge de calcul n´ecessaire pour r´ealiser la transformation de Hough est importante. Elle

d´epend du nombre de param`etres recherch´es :

• recherche de droites : 2 param`etres ;
• recherche de cercles : 3 param`etres.

Exemple pour la recherche de droite : pour N pixels non nuls de l’image binaire et K sub-

divisions de l’axe θ. il y a N K d´eterminations de l’´equation (2.4.3). Une r´eduction du temps

de calcul peut ˆetre obtenue par l’utilisation de tables pr´eenregistr´ees des conversions sin θp et

cos θp

Exemple

Nous consid´erons dans cet exemple une image binaire comportant 6 x 6 pixels dont les

valeurs sont donn´ees dans le tableau suivant

2.4. TRANSFORMATION DE HOUGH

29

Deux droites ∆1 et ∆2 comportant chacune 6 pixels align´es apparaissent clans cette image.

La proc´edure de calcul d´ecrite au paragraphe pr´ec´edent est utilis´ee avec les param`etres sui-

vants : θp varie de 0 `a 180o par pas de 1o.

Plus g´en´eralement si on consid`ere une image de taille N1×

1)2 + (N2 −

1)2. Si on discr´etise l’espace de Hough avec une r´esolution de

et ρmax =

hθ (par exemple 1o) pour θ et une r´esolution de hρ pour ρ le tableau de r´ef´erence est donn´e par

1)2 + (N2 −

N2, ρmin =

(N1 −

(N1 −

,

−

,

1)2

θp =

90 + phθ avec p

−

0, Nθ}

et

∈{

−

90 + Nθhθ = 90 ,

ρq = ρmin + qhρ avec q

0, Nρ}

∈{

et ρmin + Nρhρ = ρmax.

Le programme it´eratif suivant permet le calcul de la transformation de Hough :

Mi,j sont les valeurs binaires de l’image originale : Mi,j ∈{

Pour p de 1 `a Nθ

0, 1

}

Pour q de 1 `a Nρ

Ap,q = 0

Pour i de 1 `a N1

Pour j de 1 `a N2

Pour p de 1 `a Nθ

p

q = Arrondi

i cos

180

= 0

Ap,q = Ap,q + 1 si Mi,j ’

.

-

1

hρ

(

π

+ j sin

/

.

p

180

π

−

/)

ρmin

0

30

CHAPITRE 2. TRAITEMENT PONCTUEL DES IMAGES NUM ´ERIQUES

Le mˆeme type de programme appliqu´e `a l’image binaire (64

64) donne le r´esultat ci-dessous :

×

Chapitre 3

Filtrage

3.1 Filtrage lin´eaire des signaux 1D

L’exemple le plus courant de signal 1D est le signal sonore.

D´efinition 3.1.1 (Filtre) Un filtre est un syst`eme lin´eaire continu et invariant. En d’autres termes,

ainsi qu’un op´erateur lin´eaire continu, invariant par translation

on se donne deux espaces norm´es

et

:

A

.

X → Y

X

Y

Supposons qu’ on puisse d´efinir la transform´ee de Fourier des signaux d’entr´ee f et de

sortie g (par exemple si ces fonctions sont dans L1(R) ou dans L2(R) et que le signal de sortie

le filtrage de f par un filtre lin´eaire est tel que

ˆg = H ˆf

o `u ˆg d´esigne la transform´ee de Fourier de g. La fonction H est appel´ee fonction de transfert

du filtre. Si la fonction de transfert H est dans L2(R)

L∞(R), elle admet une transform´ee de

1H, born´ee et a d´ecroissance rapide, continue (sauf peut-ˆetre a l’origine)

Fourier inverse h =

et la relation

F −

∩

entraˆıne

ˆg = ˆh ˆf

g = h

f .

∗

La r´eponse `a l’entr´ee f est donc un produit de convolution de l’entr´ee avec une fonction fixe

h que l’on appelle r´eponse impulsionnelle.

D´efinition 3.1.2 On appelle r´eponse indicielle d’un filtre sa r´eponse `a l’´echelon unit´e (fonction de

Heaviside) :

t

h1(t) =

h(s) ds .

&

−∞

31

32

CHAPITRE 3. FILTRAGE

Notons que la plupart des filtres courants sont des filtres de convolution. Il est courant de

d´efinir un filtre par la fac¸on dont il modifie les fr´equences du signal d’entr´ee, c’est-`a-dire par

sa fonction de transfert H(λ) puisque les fr´equences de l’entr´ee f et de la sortie g sont li´ees par

ˆg(λ) = H(λ) ˆf (λ) .

Un filtre id´eal est un filtre qui ´elimine totalement les bandes de fr´equence ind´esirables sans

transition et sans d´ephasage dans les bandes conserv´ees.

Selon la bande rejet´ee, on rencontre 4 grandes cat´egories de filtres.

La r´egion o `u les fr´equences sont coup´ees est en gris ci-dessus. Par exemple le passe-bas id´eal

est le filtre qui ne modifie par les fr´equences λ telles que λ

λc (fr´equence de coupure) et

supprime les autres. D’o `u

≤

H(λ) =

1 si

|≤

0 sinon

λ

|

λc

1

L2(R) telle que ˆh = H. C’est

On reconnaˆıt h

∈

h(t) =

sin 2πλct

πt

.

Si on se limite `a des signaux d’entr´ee d’´energie finie, f, h et H sont dans L2(R) et g = h

sait que g est continue, born´ee et nulle `a l’infini. h

f est dans L2(R) comme ˆf .

f . On

∗

Toutefois un tel filtre n’est pas r´ealisable. On se contente de filtres passe-bas approch´es

(voir ci-dessous un dispositif physique de r´ealisation d’un tel filtre) qui att´enuent les hautes

fr´equences au lieu de les supprimer (voir exercices) et qui entraˆınent un d´ephasage :

∗

3.2. FILTRAGE 2D : CONVOLUTION /M ´EDIAN

33

3.2 Filtrage 2D : convolution /m´edian

Le c´el`ebre format bitmap, qui tire son nom de l’anglais « bitmap » pour « carte de bits »

montre qu’une image est avant tout un domaine spatial sur lequel on peut se promener avec

la souris de l’ordinateur : les distances en pixels dans l’image I sont d`es lors li´ees aux distances

r´eelles en metres dans la scene r´eelle S.

La fr´equence spatiale est un concept d´elicat qui d´ecoule du fait que les images appar-

tiennent au domaine spatial. Pour commencer on peut rappeler que la fr´equence est une gran-

deur qui caract´erise le nombre de ph´enom`enes qui se d´eroulent au cours d’un temps donn´e :

en voiture le long d’une route vous voyez 2 bandes blanches PAR seconde : c’est une fr´equence

temporelle. Il est ensuite facile de comprendre que ce concept de fr´equence « temporelle » peut

aussi se traduire en disant qu’il y a 200 bandes blanches PAR kilom`etre : c’est une fr´equence

spatiale.

Dans une image, les d´etails se r´ep`etent fr´equemment sur un petit nombre de pixels, on dit

qu’ils ont une fr´equence ´elev´ee : c’est le cas pour les bords et les contours dans une image.

Au contraire, les fr´equences basses correspondent a des variations qui se r´epetent peu car,

dilu´ees sur de grandes parties de l’image, par exemple des variations de fond de ciel.

Nous verrons dans la suite que la plupart des filtres agissent s´electivement sur ces fr´equences

pour les s´electionner, en vue de les amplifier ou de les r´eduire.

34

CHAPITRE 3. FILTRAGE

3.2.1 Filtrage spatial

Filtres de convolution

Le filtrage spatial est essentiellement une op´eration de convolution (2D). Si f est l’image `a

filtrer (ou `a rehausser) et g le filtre spatial (ou PSF ou masque) on a :

f (x, y)

∗

g(x, y) =

1

−

F

F





(f (x, y))

· F

(g(x, y))



}



G(u,v)

.

G est la fonction de transfert du filtre. On peut distinguer trois types de filtrage :

2

34

5





Une image num´erique ´etant essentiellement discr`ete (pixels et niveaux de gris) nous allons

pr´esenter les filtres dans le cas discret. Dans tout ce qui suit x et y sont des entiers (coordonn´ees

des pixels) et f est a valeurs entieres (dans

, 255

).

0,

{

· · ·

}

3.2. FILTRAGE 2D : CONVOLUTION /M ´EDIAN

35

On ne fait pas en g´en´eral une convolution globale mais une transformation bas´ee sur le

voisinage d’un point (x, y) :

Le noyau de convolution du filtre κ est `a support compact inclus dans [x1, x2]

[y1, y2] :

×

g(x, y) = (f

κ)(x, y) =

∗

x2

y2

!i=x1

!j=y1

f (x

i, y

−

−

j)κ(i, j) .

G´en´eralement le filtre est de dimension d impaire et est sym´etrique. Dans ce cas

[x1, x2] = [y1, y2] = [

d/2, d/2] ,

−

κ)(x, y) =

(f

∗

1)/2

(d

−

1)/2

(d

−

(d

!i=

−

−

1)/2

(d

!j=

−

−

1)/2

f (x + i, y + j)κ(i, j) .

(3.2.1)

Filtre(i,j)

w2

w5

w8

↑

x

w3 ←

w6 ←

w9 ←

↑

x + 1

w1

w4

w7

x

↑

−

1

1

−

y

y

y + 1

Ici d = 3. On ne filtre pas les bords pour ´eviter des distorsions ; donc κ(0, 0) = w5.

Sur cet exemple on a pr´ecis´ement

g(x, y) = w1f (x

1, y

1) + w2f (x, y

1) + w3f (x + 1, y

1)

−

−

+w4f (x

+w7f (x

−

−

1, y) + w5f (x, y) + w6f (x + 1, y)

1, y + 1) + w8f (x, y + 1) + w9f (x + 1, y + 1) .

−

−

Afin de conserver la moyenne de l’image f , la somme des ´el´ements du filtre est normalis´ee `a

1 :

wi = 1.

!i

36

CHAPITRE 3. FILTRAGE

Un filtre 2D est dit s´eparable s’il est possible de d´ecomposer le noyau de convolution h2D en

deux filtres 1D appliqu´es successivement en horizontal puis en vertical (ou inversement) :

h2D = hV

1D ⊗

hH

1D ,

⊗

d´esigne le produit de convolution. On peut alors traiter s´epar´ement les lignes

o `u le symbole

et les colonnes de l’image.

Pour qu’un filtre 2D soit s´eparable il faut et il suffit que les coefficients de ses lignes et de ses

colonnes soient proportionnels.

Exemple 3.2.1 (Filtres s´eparables )

a b

c

⊗

α

β

γ

=

aα bα cα

aβ bβ cβ

cγ

bγ

aγ

Exemple 3.2.2 (Filtre de moyenne passe -bas )

1

9 ·

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

25 ·

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

Filtre 3 x 3

Filtre 5 x 5

Ce sont des filtres s´eparables.

3.2. FILTRAGE 2D : CONVOLUTION /M ´EDIAN

37

Exemple 3.2.3 (Filtre gaussien)

1

16 ·

1 2 1

2 4 2

1 2 1

(6σ +1). En g´en´eral un filtre gaussien

Id´ealement, on devrait pr´evoir un filtre de taille (6σ +1)

avec σ< 1 est utilis´e pour r´eduire le bruit, et si σ> 1 c’est dans le but de fabriquer une image

qu’on va utiliser pour faire un « masque flou » personnalis´e. Il faut noter que plus σ est grand,

plus le flou appliqu´e `a l’image sera marqu´e.

×

Exemple 3.2.4 (Filtre bin ˆomial)

Les coefficients de ce filtre sont obtenus par le binˆome de Newton. Un filtre 1D binˆomial d’ordre 4

(1 4 6 4 1). Un filtre 2D binˆomial d’ordre 4 est donn´e

est un filtre s´eparable donn´e par le vecteur v =

par v"v :

1

16

1

256 ·

4

4

1

1

6

4 16 24 16 4

6 24 36 24 6

4 16 24 16 4

1

6

1

4

4

Filtres m´edians

Ce ne sont pas des filtres de convolution, ni des filtres lin´eaires.

g(x, y) = m´edian

{

f (n, m)

|

(n, m)

∈

S(x, y)

,

}

o `u S(x, y) est un voisinage de (x, y).

38

Exemple :

CHAPITRE 3. FILTRAGE

20

10

30

10 250 25

30

25

20

→

10 10 20 20

25

25 30 30

↑

m´ediane

bruit

↓

250

On remplace la valeur du pixel par la valeur m´ediane ou la valeur moyenne. Ce filtre est utile

pour contrer l’effet « Poivre et Sel » (P& S) c’est-`a-dire des faux « 0 » et « 255 » dans l’image.

Image bruit´ee « Poivre et Sel »

3.2. FILTRAGE 2D : CONVOLUTION /M ´EDIAN

39

Filtre de moyenne : rayon 3

Filtre de moyenne : rayon 5

Filtre de moyenne : rayon 7

Filtre m´edian : rayon 3

Filtre m´edian : rayon 5

40

CHAPITRE 3. FILTRAGE

Si le bruit P& S est sup´erieur `a la moiti´e de la dimension du filtre, le filtrage est inefficace.

Filtre m´edian : rayon 7

Filtres passe-haut

L’image obtenue par un filtre passe-haut correspond en g´en´eral a ce qui « reste » apres un

filtrage passe-bas.

3.2. FILTRAGE 2D : CONVOLUTION /M ´EDIAN

41

3.2.2 Filtrage fr´equentiel

Transformation de Fourier 2D

Avant d’envisager le...