Quelques méthodes mathématiques pour le traitement d'image

Histogramme égalisé

2.1.3 Binarisation

Le but de la binarisation d’une image est d’affecter un niveau uniforme au pixels pertinents

et d’éliminer les autres.

Seuillage

Le seuillage consiste a affecter le niveau 255 aux pixels dont la valeur est supérieure a un

seuil S et 0 le niveau aux autres. Le graphe de la transformation correspondante est le suivant

Fonction « seuillage »

20

CHAPITRE 2. TRAITEMENT PONCTUEL DES IMAGES NUM ÉRIQUES

Seuillage à 70

Extraction d’une fenêtre d’intensité

Avec la transformation décrite ci-dessous, la nouvelle image ne visualise que les pixels dont

le e niveau d’intensité appartient à l’intervalle [a, b]. Sous réserve d’une connaissance a priori

de la distribution des niveaux de gris des objets de l’image originale, cette technique permet

une segmentation d’objets particuliers de l’image.

Fonction « fenêtre d’intensité »

Original

Histogramme

2.2. ANAYSE DE LA NETTET É D’UNE IMAGE NUM ÉRIQUE

21

Seuillage avec fenêtre d’intensité entre 30 et 100

2.2 Anayse de la netteté d’une image numérique

La focalisation automatique, ou mise au point, des systèmes de prise de vue traditionnels

(appareils photo,, graphiques caméras analogiques ... ) exploite généralement un télémètre qui

mesure avec précision la distance appareil-plan objet. Les systèmes de vision numériques ac-

tuels (appareils et caméras numériques ... ) réalisent automatiquement leur mise au point à par-

tir d’une analyse de l’image restituée. Pour cela un critère de netteté de l’image est déterminé

à partir des valeurs f (i, .j) := fij de l’intensité (luminance) des pixels.

Un grand nombre de criteres a été proposé. Parmi les plus utilisés figurent les criteres basés

sur l’analyse de la distribution des niveaux d’intensité pixel et ceux mesurant le contenu spec-

tral de l’image.

La première catégorie repose sur le fait que la défocalisation engendre l’uniformisation des

niveaux de gris, ou ce qui revient au même, que l’image nette présente l’histogramme le plus

large.

La seconde catégorie repose sur le principe similaire qu’une image focalisée contient plus

de fréquences spatiales élevées qu’une image floue.

Dans toutes ces méthodes, on recherche la distance de mise au point qui assure la majora-

tion du critère

2.2.1 Exemples de critères de netteté

Critères de netteté basés sur l’analyse de l’histogramme de l’image

On note hk la distribution statistique (histogramme) des niveaux k d’intensité des pixels.

22

CHAPITRE 2. TRAITEMENT PONCTUEL DES IMAGES NUM ÉRIQUES

Critère mathématique

Méthode de

Mendelsohn

et Mayall

F =

k hk

!k>T

T est un paramètre choisi

proche du niveau de gris moyen de l’image

Méthode de

F =

Mason et Green ∆ij = 2

i

(k

T ) hk et T =

−

!k>T

(fi,j+1 −

1 −

fi,j

−

fi+1,j+1)2 + (fi

−

’

’

i

1)2 + (fi+1,j −

’

’

1,j+1 −

(

−

j fij∆ij

j ∆ij

fi

−

fi+1,j

1,j)2

1)2

)

−

+ (fi

−

1,j

Variance des

niveaux de gris

F =

j f 2

ij

i

N 2

’

’

2

j fij

N 4

’

)

i

− (’

Critères de netteté basés sur l’analyse spectrale de l’image

Critère mathématique

Norme "1 du gradient1

F =

fi,j −

(

|

fi,j

1|

−

+

fi,j+1 −

|

)

fi,j|

!i,j

Norme "2 du gradient

F =

(fi+1,j −

fi,j)2 + (fi,j+1 −

fi,j)2

!i,j

Remarques générales

– Les tests des critères de netteté réalisés sur un grand nombre d’images différentes montrent

que leurs performances dépendent du type et du contenu de l’image analysée ;

– En regle générale, l’extremum des criteres est peu prononcé lorsque l’image contient peu

de détails

2.3. CORR ÉLATION D’IMAGES NUM ÉRIQUES

23

– L’algorithme de Brenner est souvent utilisé car il présente généralement une bonne sen-

sibilité et la charge de calculs qu’il nécessite est raisonnable.

2.3 Corrélation d’images numériques

Nous considérons deux fonctions bidimensionnelles discrètes f (i, j) et g(i, j) avec 1

i, j

≤

≤

N.

Ces fonctions sont représentatives de deux images numériques monochromes comportant

N 2 pixels. Leurs versions centrées et réduites sont définies respectivement par

fc(i, j) =

µf

f (i, j)

σf

−

et gc(i, j) =

µg

g(i, j)

σg

−

o ù µ et σ sont respectivement la moyenne et l’écart type de chaque fonction.

La fonction d’intercorrélation entre fc et gc est définie par la relation :

ϕf g(k, l) =

1

N 2

!i,j

fc(i, j)gc(i

k, j

l) .

−

−

(2.3.1)

Il est souvent plus pratique de travailler sur des images dont les valeurs sont centrées et

réduites. Ceci permet d’une part d’éliminer de ϕf g(k, l) le carré des moyennes des images,

d’autre part de normaliser les fonctions de corrélation.

Pour éviter les effets de bord qui introduisent un biais dans le calcul de ϕf g(k, l) il convient :

– soit de s’assurer que la double sommation est réalisée sur des valeurs dont les coor-

données ne sortentjainais de l’image. Cela revient à définir un cadre d’intégration dont

le format, inférieur à celui de l’image, est choisi en fonction du domaine de calcul de

ϕf g(k, l) ;

– soit de remplacer dans l’expression (2.3.1) le diviseur N 2 par la valeur variable M qui

dépend de k et l selon la relation : M = (N

k

)(N

|

−|

l

).

|

−|

2.3.1 Application à la reconnaissance d’empreintes digitales

Les fonctions d’intercorrélation bidimensionnelles peuvent être utilisées en reconnaissance

d’images. La comparaison de l’empreinte digitale d’un suspect avec celles contenues dans un

fichier en est un exemple. les deux images représentées ci-dessous représentent les empreintes

digitales de deux individus que nous appellerons F et G.

24

CHAPITRE 2. TRAITEMENT PONCTUEL DES IMAGES NUM ÉRIQUES

Les caractéristiques générales de ces deux images sont données dans le tableau suivant :

Format

Codage en niveaux de gris

Moyenne µ

Écart type σ

Individu F

256 x 256

0 à 255

132,8

33,8

Individu G

256 x 256

0 à 255

127

36,4

Les valeurs des deux images sont centrées et réduites. Pour éviter les effets de bords, l’in-

tercorrélation est réalisée entre deux zones carrées de 151 x 151 pixels (voir figure ci-dessous)

La fonction est estimée dans la gamme

20

−

≤

k, l

≤

20 grâce à la formule suivante

ϕf g(k, l) =

1

1512

200

!i,j=50

fc(i, j)gc(i

k, j

l) .

−

−

(2.3.2)

La représentation 3D à gauche dans la figure ci-dessous est celle de la fonction d’autocorrélation

ϕf g(k, l) effectuée sur l’empreinte F . Son maximum estégal à 1 au centre du graphique qui cor-

respond ici à la position k = l = 0. La représentation de droite est la fonction d’intercorrélation

entre les empreintes F et G.

2.3. CORR ÉLATION D’IMAGES NUM ÉRIQUES

25

Ses valeurs ne dépassent pas 0.15 ce qui prouve que les deux empreintes ne sont pas iden-

tiques.

Dans la réalité, les empreintes ne sont pas toutes obtenues dans les mêmes conditions de

positionnement. Il est nécessaire d’ajouter un parametre de rotation d’image a la fonction d’in-

tercorrélation ce qui peut alourdir considérablement les calculs.

2.3.2 Application à l’analyse de la texture d’une image

Par définition la texture d’une image est la structure spatiale sur laquelle sont organisés les

pixels. Les relations structurelles peuvent être :

– déterministes : c’est le cas de la répétition quasi périodique d’un motif de base (brique,

carrelage, mailles de tissu ... ) ;

– aléatoires : il n’y a pas de motif de base (sable, mur crépi...)

La fonction d’autocorrélation bidimensionnelle est bien adaptée pour mettre en évidence les

propriétés de la texture d’une image. La figure suivante représente deux exemples de texture.

Nous donnons ci-dessous la fonction d’auto-corrélation des textures « sable » et « tissu ».

26

CHAPITRE 2. TRAITEMENT PONCTUEL DES IMAGES NUM ÉRIQUES

2.4 Transformation de Hough

[,a transformation de Hough est utilisée pour détecter de manière systématique la présence

de relations structurelles spécifiques entre des pixels dans une image Par exemple une image

représentant un site urbain est composée de nombreuses lignes droites (immeubles, fenêtres)

en revanche, une vue de campagne en est quasiment dépourvue .

Hough propose une méthode de détection basée sur une transformation d’image permet-

tant la reconnaissance de structures simples (droite, cercle, ... ) liant des pixels entre eux. Pour

limiter la charge de calcul, l’image originale est préalablement limitée aux contours des objets

puis binarisée (2 niveaux possibles pour coder l’intensité pixel).

2.4.1 Principe de la méthode pour la recherche de ligne droite

Supposons que l’on suspecte la présence d’une droite ∆ reliant un certain nombre de pixesl

Pi. Soit le pixel P1 de coordonnées (x1, y1). Une infinité de droites d’équation : y1 = ax1 + b

peuvent passer par P1. Cependant, dans le plan des paramètres ab l’équation qui s’écrit b =

ax1 + y1 devient une droite unique D1 (voir figures ci-dessous).

−

Un second pixel P2 = (x2, y2) permet de définir une seconde droite D2 du type b =

ax2+y2

dans le plan ab.L’intersection de D2 avec D1 fournit le couple "a", b") qui sont les paramètres

−

2.4. TRANSFORMATION DE HOUGH

27

de la droite recherchée ∆ dans le plan image. Ainsi, tous les pixels Pi qui sont alignés sur ∆

possède une droite Di dnas le plan ab qui coupe les autres au point particulier (a", b").

2.4.2 Problème pour la recherche de ligne verticale Représentation normale d’une

droite

Dans le plan image, une droite verticale possede des parametres a etb infinis, ce qui ne

permet pas d’exploiter la méthode précédente. Pour contourner ce problème, on utilise la

représentation normale des droites. Cette représentation, de parametres ρ et θ, obéit a l’équation

Cette équation représente le produit scalaire (projection) entre les vecteurs &V =

x cos θ + y sin θ = ρ.

(2.4.3)

cos θ

sin θ

et

+

*

x

y

*

+

−−→OM =

. Ainsi l’ensemble des points M d’une droite se projettent sur un même vecteur

particulier de coordonnées polaires (ρ, θ) . Les cas de droites horizontales et verticales sont

illustrés ci-dessous :

2.4.3 Transformation de Hough pour la détection de droites dans une image binaire

Domaine de variation des paramètres θ et ρ

Il est a noter que si (ρ, θ) sont les parametres d’une droite (

ρ, θ + π) le sont également. Par

conséquent l’intervalle [0,π [correspond au domaine de variation complet du paramètre θ. Les

coordonnées cartésiennes x et y des pixels d’une image numérique sont généralement positives,

l’origine étant placée à un sommet de l’image. En considérant une image carrée comportant

N pixels, les valeurs de ρ calculées par l’équation (2.4.3) peuvent être majorées par √2N .

N

−

×

Quadrillage du plan θρ

On suspecte dans l’image la présence d’une ou plusieurs structures caractérisées par l’ali-

gnement d’un certain nombre de pixels. Soit les deux intervalles [θmin,θ max] dans lesquels on

cherche a calculer les parametres de la représentation normale d’une ou plusieurs droites.

28

CHAPITRE 2. TRAITEMENT PONCTUEL DES IMAGES NUM ÉRIQUES

Le plan θρ limité aux intervalles de recherche, est subdivisé en cellules par quantification

des paramètres θ et ρ avec les pas respectifs ∆θ et ∆ρ (indexation par les indices p et q). La

figure ci-dessous donne un exemple de quadrillage du plan θρ. Un tableau A(p, q) dont les

valeurs sont initialement mises a zéro, est associé a ce quadrillage

Procédure de transformation

– Pour chaque pixel non nul Pi(xi, yi) de l’image, on balaye l’axe des θ de θmin à θmax

suivant la trame du tableau et pour chaque θp on résout l’équation (2.4.3) ;

– le résultat ρ obtenu est arrondi à la valeur ρq du tableau la plus proche ;

– si à la valeur θp correspond la solution ρq la valeur A(p, q) est incrémentée d’une unité.

À la fin de cette procédure, A(p, q) = M signifie que M points de l’image sont alignés sur

la droite de parametres approximatifs (θp,ρ q). Apres transformation complète, le tableau peut

être représenté sous la forme d’une image en niveaux de gris (exemple plus loin) ou celle d’un

graphique 3D. La décision sur la détection de droites peut être prise après recherche des coor-

données des valeurs significatives du tableau.

La charge de calcul nécessaire pour réaliser la transformation de Hough est importante. Elle

dépend du nombre de paramètres recherchés :

• recherche de droites : 2 paramètres ;
• recherche de cercles : 3 paramètres.

Exemple pour la recherche de droite : pour N pixels non nuls de l’image binaire et K sub-

divisions de l’axe θ. il y a N K déterminations de l’équation (2.4.3). Une réduction du temps

de calcul peut être obtenue par l’utilisation de tables préenregistrées des conversions sin θp et

cos θp

Exemple

Nous considérons dans cet exemple une image binaire comportant 6 x 6 pixels dont les

valeurs sont données dans le tableau suivant

2.4. TRANSFORMATION DE HOUGH

29

Deux droites ∆1 et ∆2 comportant chacune 6 pixels alignés apparaissent clans cette image.

La procédure de calcul décrite au paragraphe précédent est utilisée avec les paramètres sui-

vants : θp varie de 0 à 180o par pas de 1o.

Plus généralement si on considère une image de taille N1×

1)2 + (N2 −

1)2. Si on discrétise l’espace de Hough avec une résolution de

et ρmax =

hθ (par exemple 1o) pour θ et une résolution de hρ pour ρ le tableau de référence est donné par

1)2 + (N2 −

N2, ρmin =

(N1 −

(N1 −

,

−

,

1)2

θp =

90 + phθ avec p

−

0, Nθ}

et

∈{

−

90 + Nθhθ = 90 ,

ρq = ρmin + qhρ avec q

0, Nρ}

∈{

et ρmin + Nρhρ = ρmax.

Le programme itératif suivant permet le calcul de la transformation de Hough :

Mi,j sont les valeurs binaires de l’image originale : Mi,j ∈{

Pour p de 1 à Nθ

0, 1

}

Pour q de 1 à Nρ

Ap,q = 0

Pour i de 1 à N1

Pour j de 1 à N2

Pour p de 1 à Nθ

p

q = Arrondi

i cos

180

= 0

Ap,q = Ap,q + 1 si Mi,j ’

.

-

1

hρ

(

π

+ j sin

/

.

p

180

π

−

/)

ρmin

0

30

CHAPITRE 2. TRAITEMENT PONCTUEL DES IMAGES NUM ÉRIQUES

Le même type de programme appliqué à l’image binaire (64

64) donne le résultat ci-dessous :

×

Chapitre 3

Filtrage

3.1 Filtrage linéaire des signaux 1D

L’exemple le plus courant de signal 1D est le signal sonore.

Définition 3.1.1 (Filtre) Un filtre est un système linéaire continu et invariant. En d’autres termes,

ainsi qu’un opérateur linéaire continu, invariant par translation

on se donne deux espaces normés

et

:

A

.

X → Y

X

Y

Supposons qu’ on puisse définir la transformée de Fourier des signaux d’entrée f et de

sortie g (par exemple si ces fonctions sont dans L1(R) ou dans L2(R) et que le signal de sortie

le filtrage de f par un filtre linéaire est tel que

ˆg = H ˆf

o ù ˆg désigne la transformée de Fourier de g. La fonction H est appelée fonction de transfert

du filtre. Si la fonction de transfert H est dans L2(R)

L∞(R), elle admet une transformée de

1H, bornée et a décroissance rapide, continue (sauf peut-être a l’origine)

Fourier inverse h =

et la relation

F −

∩

entraˆıne

ˆg = ˆh ˆf

g = h

f .

∗

La réponse à l’entrée f est donc un produit de convolution de l’entrée avec une fonction fixe

h que l’on appelle réponse impulsionnelle.

Définition 3.1.2 On appelle réponse indicielle d’un filtre sa réponse à l’échelon unité (fonction de

Heaviside) :

t

h1(t) =

h(s) ds .

&

−∞

31

32

CHAPITRE 3. FILTRAGE

Notons que la plupart des filtres courants sont des filtres de convolution. Il est courant de

définir un filtre par la fac¸on dont il modifie les fréquences du signal d’entrée, c’est-à-dire par

sa fonction de transfert H(λ) puisque les fréquences de l’entrée f et de la sortie g sont liées par

ˆg(λ) = H(λ) ˆf (λ) .

Un filtre idéal est un filtre qui élimine totalement les bandes de fréquence indésirables sans

transition et sans déphasage dans les bandes conservées.

Selon la bande rejetée, on rencontre 4 grandes catégories de filtres.

La région o ù les fréquences sont coupées est en gris ci-dessus. Par exemple le passe-bas idéal

est le filtre qui ne modifie par les fréquences λ telles que λ

λc (fréquence de coupure) et

supprime les autres. D’o ù

≤

H(λ) =

1 si

|≤

0 sinon

λ

|

λc

1

L2(R) telle que ˆh = H. C’est

On reconnaˆıt h

∈

h(t) =

sin 2πλct

πt

.

Si on se limite à des signaux d’entrée d’énergie finie, f, h et H sont dans L2(R) et g = h

sait que g est continue, bornée et nulle à l’infini. h

f est dans L2(R) comme ˆf .

f . On

∗

Toutefois un tel filtre n’est pas réalisable. On se contente de filtres passe-bas approchés

(voir ci-dessous un dispositif physique de réalisation d’un tel filtre) qui atténuent les hautes

fréquences au lieu de les supprimer (voir exercices) et qui entraˆınent un déphasage :

∗

3.2. FILTRAGE 2D : CONVOLUTION /M ÉDIAN

33

3.2 Filtrage 2D : convolution /médian

Le célèbre format bitmap, qui tire son nom de l’anglais « bitmap » pour « carte de bits »

montre qu’une image est avant tout un domaine spatial sur lequel on peut se promener avec

la souris de l’ordinateur : les distances en pixels dans l’image I sont dès lors liées aux distances

réelles en metres dans la scene réelle S.

La fréquence spatiale est un concept délicat qui découle du fait que les images appar-

tiennent au domaine spatial. Pour commencer on peut rappeler que la fréquence est une gran-

deur qui caractérise le nombre de phénomènes qui se déroulent au cours d’un temps donné :

en voiture le long d’une route vous voyez 2 bandes blanches PAR seconde : c’est une fréquence

temporelle. Il est ensuite facile de comprendre que ce concept de fréquence « temporelle » peut

aussi se traduire en disant qu’il y a 200 bandes blanches PAR kilomètre : c’est une fréquence

spatiale.

Dans une image, les détails se répètent fréquemment sur un petit nombre de pixels, on dit

qu’ils ont une fréquence élevée : c’est le cas pour les bords et les contours dans une image.

Au contraire, les fréquences basses correspondent a des variations qui se répetent peu car,

diluées sur de grandes parties de l’image, par exemple des variations de fond de ciel.

Nous verrons dans la suite que la plupart des filtres agissent sélectivement sur ces fréquences

pour les sélectionner, en vue de les amplifier ou de les réduire.

34

CHAPITRE 3. FILTRAGE

3.2.1 Filtrage spatial

Filtres de convolution

Le filtrage spatial est essentiellement une opération de convolution (2D). Si f est l’image à

filtrer (ou à rehausser) et g le filtre spatial (ou PSF ou masque) on a :

f (x, y)

∗

g(x, y) =

1

−

F

F





(f (x, y))

· F

(g(x, y))



}



G(u,v)

.

G est la fonction de transfert du filtre. On peut distinguer trois types de filtrage :

2

34

5





Une image numérique étant essentiellement discrète (pixels et niveaux de gris) nous allons

présenter les filtres dans le cas discret. Dans tout ce qui suit x et y sont des entiers (coordonnées

des pixels) et f est a valeurs entieres (dans

, 255

).

0,

{

· · ·

}

3.2. FILTRAGE 2D : CONVOLUTION /M ÉDIAN

35

On ne fait pas en général une convolution globale mais une transformation basée sur le

voisinage d’un point (x, y) :

Le noyau de convolution du filtre κ est à support compact inclus dans [x1, x2]

[y1, y2] :

×

g(x, y) = (f

κ)(x, y) =

∗

x2

y2

!i=x1

!j=y1

f (x

i, y

−

−

j)κ(i, j) .

Généralement le filtre est de dimension d impaire et est symétrique. Dans ce cas

[x1, x2] = [y1, y2] = [

d/2, d/2] ,

−

κ)(x, y) =

(f

∗

1)/2

(d

−

1)/2

(d

−

(d

!i=

−

−

1)/2

(d

!j=

−

−

1)/2

f (x + i, y + j)κ(i, j) .

(3.2.1)

Filtre(i,j)

w2

w5

w8

↑

x

w3 ←

w6 ←

w9 ←

↑

x + 1

w1

w4

w7

x

↑

−

1

1

−

y

y

y + 1

Ici d = 3. On ne filtre pas les bords pour éviter des distorsions ; donc κ(0, 0) = w5.

Sur cet exemple on a précisément

g(x, y) = w1f (x

1, y

1) + w2f (x, y

1) + w3f (x + 1, y

1)

−

−

+w4f (x

+w7f (x

−

−

1, y) + w5f (x, y) + w6f (x + 1, y)

1, y + 1) + w8f (x, y + 1) + w9f (x + 1, y + 1) .

−

−

Afin de conserver la moyenne de l’image f , la somme des éléments du filtre est normalisée à

1 :

wi = 1.

!i

36

CHAPITRE 3. FILTRAGE

Un filtre 2D est dit séparable s’il est possible de décomposer le noyau de convolution h2D en

deux filtres 1D appliqués successivement en horizontal puis en vertical (ou inversement) :

h2D = hV

1D ⊗

hH

1D ,

⊗

désigne le produit de convolution. On peut alors traiter séparément les lignes

o ù le symbole

et les colonnes de l’image.

Pour qu’un filtre 2D soit séparable il faut et il suffit que les coefficients de ses lignes et de ses

colonnes soient proportionnels.

Exemple 3.2.1 (Filtres séparables )

a b

c

⊗

α

β

γ

=

aα bα cα

aβ bβ cβ

cγ

bγ

aγ

Exemple 3.2.2 (Filtre de moyenne passe -bas )

1

9 ·

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

25 ·

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

Filtre 3 x 3

Filtre 5 x 5

Ce sont des filtres séparables.

3.2. FILTRAGE 2D : CONVOLUTION /M ÉDIAN

37

Exemple 3.2.3 (Filtre gaussien)

1

16 ·

1 2 1

2 4 2

1 2 1

(6σ +1). En général un filtre gaussien

Idéalement, on devrait prévoir un filtre de taille (6σ +1)

avec σ< 1 est utilisé pour réduire le bruit, et si σ> 1 c’est dans le but de fabriquer une image

qu’on va utiliser pour faire un « masque flou » personnalisé. Il faut noter que plus σ est grand,

plus le flou appliqué à l’image sera marqué.

×

Exemple 3.2.4 (Filtre bin ômial)

Les coefficients de ce filtre sont obtenus par le binôme de Newton. Un filtre 1D binômial d’ordre 4

(1 4 6 4 1). Un filtre 2D binômial d’ordre 4 est donné

est un filtre séparable donné par le vecteur v =

par v"v :

1

16

1

256 ·

4

4

1

1

6

4 16 24 16 4

6 24 36 24 6

4 16 24 16 4

1

6

1

4

4

Filtres médians

Ce ne sont pas des filtres de convolution, ni des filtres linéaires.

g(x, y) = médian

{

f (n, m)

|

(n, m)

∈

S(x, y)

,

}

o ù S(x, y) est un voisinage de (x, y).

38

Exemple :

CHAPITRE 3. FILTRAGE

20

10

30

10 250 25

30

25

20

→

10 10 20 20

25

25 30 30

↑

médiane

bruit

↓

250

On remplace la valeur du pixel par la valeur médiane ou la valeur moyenne. Ce filtre est utile

pour contrer l’effet « Poivre et Sel » (P& S) c’est-à-dire des faux « 0 » et « 255 » dans l’image.

Image bruitée « Poivre et Sel »

3.2. FILTRAGE 2D : CONVOLUTION /M ÉDIAN

39

Filtre de moyenne : rayon 3

Filtre de moyenne : rayon 5

Filtre de moyenne : rayon 7

Filtre médian : rayon 3

Filtre médian : rayon 5

40

CHAPITRE 3. FILTRAGE

Si le bruit P& S est supérieur à la moitié de la dimension du filtre, le filtrage est inefficace.

Filtre médian : rayon 7

Filtres passe-haut

L’image obtenue par un filtre passe-haut correspond en général a ce qui « reste » apres un

filtrage passe-bas.

3.2. FILTRAGE 2D : CONVOLUTION /M ÉDIAN

41

3.2.2 Filtrage fréquentiel

Transformation de Fourier 2D

Avant d’envisager le...