Processus Stochastiques & Applications Financières

Chapitre 7

Le Processus de Wiener ou Mouvement Brownien

OUESLATI Amor

9 mai 2014

Table des matières

1 Marche aléatoire et processus de Wiener Standard

2 Processus de Wiener général

– En 1827, Robert Brown a observé que de petites particules immergées dans un liquide sont perpétuellement en mouve-

ments irréguliers. Historiquement, le mouvement brownien se voulait une tentative pour modéliser ce phénomène.

– Aujourd’hui, le mouvement brownien est utilisé dans divers domaines tels que l’économie, la théorie de la communica-

tion, la biologie, les sciences administratives et les mathématiques.

– L’analyse mathématique rigoureuse du mouvement brownien est attribuée au mathématicien Norbert Wiener et c’est

pourquoi ce processus est aussi connu sous le nom du processus de Wiener.

– On a déjà déﬁni le processus de Wiener lorsqu’on a présenté des exemples de processus stochastiques.

– Compte tenu de son importance dans toute la théorie ﬁnancière moderne, on va approfondir dans ce chapitre l’étude des

– On va abordé dans un premier temps l’analyse de sa construction comme limite de processus à temps discret appelés

– On peut ainsi justiﬁer aisément l’utilisation du processus de Wiener dans la description de l’évolution dans le temps des

propriétés de ce processus particulier.

marches aléatoires.

rendements d’un titre ﬁnancier.

DRAFT

Version

Xn+1 = Xn + Yn+1

1 Marche aléatoire et processus de Wiener Standard

Déﬁnition 1.1. On appelle marche aléatoire, un processus (Xn, n ∈ N) tel que X0 est une constante et,

Proposition 1.1. On suppose que les variables Yn sont de même loi et prennent les valeurs c ou −c(c > 0) avec des probabi-

lités p et 1 − p. On a alors ;

1. La suite (Xn, n ∈ N) est une chaîne de Markov.

2. Si {Fn} est la ﬁltration naturelle du processus {Xn, n ∈ N}, la suite {(Xn, Fn) , n ∈ N} est une martingale (sous-

où les variables Yn, n ∈ N sont indépendantes.

Preliminary

p >

(cid:16)

, p <

(cid:17)

martinagle, sur-martingale) si p =

Remarque 1.1.

1. (Xn, n ∈ N) est une chaîne de Markov puisque la valeur de Xn+1 ne dépend que de Xn et de Yn+1,

mais non de la trajectoire suivie pour arriver à Xn.

2. – Si p =

– En effet,

, la suite (Xn, Fn) est une martingale car les variables Yi sont centrées indépendantes

Xn =

i=0

– Ce qui permet d’écrire

E (Xn+1|Fn) = E (Yn+1|Fn) + E (Xn|Fn)

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– La tribu Fn est engendrée par les {Yi, i ≤ n} et ce par construction de Xn. Par conséquent, l’indépendance des Yi

permet d’écrire,

– si p =

. Par ailleurs,

– d’où

E (Yn+1|Fn) = E (Yn+1) = 0

E (Xn|Fn) = Xn

E (Xn+1|Fn) = Xn

Exemple 1.1. Dans le marché des changes, le cours du Dinar suit une marche aléatoire : les Yn prennent les valeurs −1, 0, ou

+1 et sont indépendantes.

Exemple 1.2 (Le modèle binomial d’évolution des cours de Cox, Ross, & Rubinstein 1). Le logarithme du cours du titre

considéré est une marche aléatoire.

– En effet, à l’instant 0 le cours est égal à S.

– A l’instant 1, il vaut u.S ou d.S avec des probabilités q et 1 − q.

– Dans ces conditions, on a :

X0 = log (S)

Xn = Xn−1 + Yn

avec Yn = log(u) ou log(d) avec des probabilités q et 1 − q.

– Cet exemple montre la formalisation de l’évolution des cours où des rendements en temps discrèt est généralement

réalisé à partir d’une hypothèse de marche aléatoire (un tel processus de cours caractérise un marché effecient au sens

de Fama 2).

– L’intervalle de temps [0, t] devisé en N sous-périodes de longueur h =

où h représente le délai séparant deux

cotations.

– 0 désigne l’instant présent.

– Et le processus d’évolution des rendements est décrit par :

DRAFT

Version

Xnh = X(n−1)h + Yn pour n = 1, ..., N

(cid:20) Sn

Sn−1

X0 = log (S)

Yn = log

(cid:21)

– S0 est le cours actuel.

– On note Xn pour Xnh. Xn est le logarithme du cours à l’instant nh

– et les Yn sont des rendements entre les instants (n − 1)h et nh.

– En effet, si Sn est le cours à l’instant nh ona,

– Les variables Yn seront pour l’instant supposées discrètes indépendantes.

– On peut, sans perte de généralité pour les résultats présentés dans la suite supposer que S0 = 1.

– Dans ce cas, on remarque que Xn est le rendement du titre dans l’intervalle [0, nh] .

Preliminary

– Dans une première approche, nous supposerons que les Yn

– sont de même loi

– et peuvent prendre deux valeurs σ et −σ avec des probabilités identiques.

– Cette hypothèse correspond à une espérance de rendement nulle pour le titre puisque

E (Xn − Xn−1) = E (Yn) = 0

– Compte tenu de ces hypothèses, la suite des cours est une marche aléatoire et si l’on note Fn la tribu engendrée par

{Xk, k ≤ n} (où de manière équivalente engendrée par {Yk, k ≤ n}), la suite (Xn, Fn) est une martingale.

1. Cox, J., Ross, S., Rubinstein, M. : Option pricing : a simpliﬁed approach. Journal of Financial Economics, 7, 229–263 (1979)

2. Fama, E. F. (1970), ‘Efﬁcient capital markets : a review of theory and empirical work’, Journal of Finance, 25(2), pp. 383–417.

(1991), ‘Efﬁcient capital markets II’, Journal of Finance, 46(5), pp. 1575–1617.

(1998), ‘Market efﬁciency, long-term returns and behavioral ﬁnance’, Journal of Financial Economics, 49(3), pp. 283–306.

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On peut donc résumer les propriétés du processus des rendements par la proposition suivante :

Proposition 1.2.

1. (Xn, n ∈ N) est un processus de Markov dont les accroissements sont indépendants et stationnaires.

2. La suite (Xn, Fn) est une martingale.

3. Cov (Xn, Xn0 ) = min {V (Xn) , V (Xn0 )} = V (cid:8)Xmin(n,n0)

(cid:9)

Remarque 1.2. La stationnarité des variations des cours provient de la déﬁnition des variables Yn, la constante σ ne dépend

pas de l’instant n considéré.

Considérons maintenant le cas d’un marché continu

Comment réaliser la transition entre l’hypothèse de marche aléatoire des rendements en temps "discret" et le processus

correspondant en temps continu ?

– La démarche la plus naturelle consiste à faire tendre N (nombre de sous-périodes de l’intervalle [0, t)) vers l’inﬁni et à

déﬁnir un processus de rendement Zt par :

Zt = lim

N→+∞

XN = lim

N→+∞

n=1

– Le problème posé ici consiste à donner un sens aux égalités ci-dessus et alors à caractériser le processus {Zt, t ≥ 0}.

– La construction du processus Xn, n = 1, ..., N ci-dessus est réalisée pour une subdivision donnée de l’intervalle [0, t).

– Si l’on modiﬁe cette subdivision et par conséquent l’intervalle entre deux cotations, il semble naturel de faire dépendre

les valeurs des rendements (les variables Yn) de la durée h sur laquelle sont calculés.

– On note donc ces valeurs par σ (h) et −σ (h).

– Aﬁn de préciser ce point on introduit trois hypothèses économiques sur le comportement des cours boursiers.

Hypothèse : H1

Il existe une constante A1 indépendante de N telle que pour tout n :

V (Xn) ≥ A1

DRAFT

Version

V (XN ) ≤ A2

≥ A3, où

V =

max

k=1

V (Yk)

Cette hypothèse traduit le fait que la réduction du délai séparant deux cotations ne conduit pas à une variance inﬁnie pour le

cours du titre à l’instant t.

Hypothèse : H3

Il existe une constante A3 indépendante de N telle que pour tout n :

V (Yn)

Preliminary

H3 permet d’assurer que l’incertitude n’est pas concentrée sur certaines sous-périodes de l’intervalle [0, t), elle complète

donc l’hypothèse H1.

– Par exemple une grille de Loto National n’entre pas dans le cadre de cette modélisation car toute l’incertitude est

concentrée sur un seul instant, celui du tirage.

– Il est d’ailleurs intuitivement évident que la valeur d’un tel actif ﬁnancier reste constante sur la période précédant le

tirage.

– On peut remarquer par contre que l’hypothèse H3 est trivialement vériﬁée pour le processus Xn puisque V (Yk) = σ2

pour tout k.

– Cette hypothèse prendra toute sa signiﬁcation lorsque nous envisagerons un processus de cours plus général pour lequel

les variations de cours auront des amplitudes différentes selon les périodes de cotation.

– Ces trois hypothèses permettent de préciser l’ordre de grandeur des mouvements de cours et donc des rendements.

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H1 indique qu’il est impossible d’éliminer complètement l’incertitude quelle que soit la durée séparant deux cotations.

Hypothèse : H2

Il existe une constante A2 indépendante de N telle que :

Déﬁnition 1.2. Considérons deux fonctions α et β dépendant d’une variable réelle h.

(cid:12)

On dira que β (h) = O (α (h)) si lim

h→0

β (h)

α (h)

< +∞

et de la même façon β (h) = o (α (h)) si lim

h→0

(cid:12)

β (h)

α (h)

(cid:12)

= 0

Exemple 1.3. Soit α (h) = h

2 et β (h) = h, on alors β (h) = o (α (h))

Proposition 1.3. σ2

h = O (h) et σ2

h 6= o (h) où O (h) et o (h) sont les notations de Landau

Démonstration.

V (XN ) =

V (Yk)

k=1

= N σ2

car les variables Yk sont indépendantes de variances σ2

h. L’hypothèse H2 implique que N σ2

h ≤ A2.

Par ailleurs N =

ce qui permet d’écrire,

L’hypothèse H1 entraine que N σ2

et σ2

σ2

h ≤ A2

h = O (h)

h 6= o (h)

σ2

h ≥ A1

et de ce fait σ2

h ≥ A1, c’est à dire,

DRAFT

Version

Xn = Xn−1 + Unh

2 ou −c.h

X0 = 0

– En conséquence, les variables Yn peuvent prendre des valeurs du type c.h

2 où c est une constante quelconque

positive.

– En effet, la variance de Yn est de l’ordre de grandeur de h et Yn est une variable de Bernoulli.

– Cette proposition indique que le rendement sur une période de longueur h > 0, est de l’ordre de grandeur de h

2 .

On suppose dans cette première approche que c = 1, de façon à d’écrire un processus ayant des caractéristiques standardisées

et ensuite on généralise cette hypothèse.

Le processus Xn peut alors se déﬁnir par :

où les variables aléatoires Un prennent les valeurs 1 et −1 avec des probabilités égales à

– Comme on vient de le remarquer, les rendements sont de l’ordre de h

2 dans un intervalle de temps de longueur h.

– Lorsque h tend vers 0 on a h = o

et de ce fait les trajectoires du processus Xn sont très irrégulières, d’autant

plus que les périodes entre deux cotations sont courtes.

En effet, considérons la pente du segment joignant deux points successifs (nh, Xn) et ((n + 1) h, Xn+1), elle est égale à :

(cid:16)

Preliminary

(cid:17)

Xn+1 − Xn

Yn+1

= Un+1.h− 1

qui tend vers +∞ ou −∞ quand h tend vers 0.

Le processus {Zt, t ≥ 0} déﬁni en temps continu comme la limite de XN quand N tend vers l’inﬁni aura des trajectoires non

dérivables (comme fonctions de t). Avant de préciser ce point, il convient de déﬁnir plus précisément Zt.

Proposition 1.4. La suite de v.a. XN converge en loi vers une varaible Zt qui suit une loi normale centrée de variance t.

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Démonstration.

XN = h

= t

k=1

k=1 Uk

Le théorème central limite implique que la suite

l’inﬁni.

tend vers une variable normale centrée réduite lorsque N tend vers

– Le processus {Zt, t ≥ 0} résultant de la construction précédente à partir de marches aléatoires est appelé processus de

Wiener standard.

– Le qualitatif "standard" étant justiﬁé par le fait que les variables Zt sont centrées (c’est la conséquence de l’égalité des

probabilités pour les deux valeurs possibles de Un) et de variance t (il s’agit d’une conséquence de l’hypothèse c = 1

dans la déﬁnition des variables Yn).

– La proposition suivante décrit les propriétés importantes des trajectoires de (Zt, t ≥ 0).

Proposition 1.5. Les trajectoires de (Zt, t ≥ 0) sont continues mais ne sont dérivables en aucun point.

Remarque 1.3.

– Cette propriété des trajectoires est "surprenante" car elle va à l’encontre de l’intuition.

– Ainsi, il est aisé de représenter graphiquement une fonction continue non dérivable en un nombre ﬁni de points, mais il

Proposition 1.6. Le processus de Wiener standard (Zt, t ≥ 0) possède les propriétés suivantes :

1. Z0 = 0

2. {Zt, t ≥ 0} est à accroissements indépendants et stationnaires.

3. Pour 0 ≤ s ≤ t, la variable Zt − Zs suit une loi normale centrée, de variance t − s.

4. Pour tout ω ∈ Ω, l’application t → Zt (w) est continue (t ≥ 0).

DRAFT

Version

Remarque 1.4.

– Le processus de Wiener est le processus stochastique le plus utilisé dans toutes les sciences tel est

le cas de la loi normale qui est la loi de probabilité la plus usitée. Les raisons de l’engouement pour ces deux outils

identiques et il s reposent sur le théorème central limite utilisé dans la démonstration précédente. En effet, lorsqu’un

phénomène aléatoire quelconque est la résultante d’un grand nombre de composantes indépendantes, l’hypothèse de

normalité apparait par l’intermédiaire du théorème central limite.

– Le processus de Wiener est parfois appelé processus du mouvement brownien ou plus simplement mouvement brownien.

Cette appellation a pour origine l’observation faite par le biologiste Brown, au siècle dernier, du mouvement de graines

de pollen dans un liquide. Ces particules prennent des trajectoires très irrégulières du fait des multiples chocs avec le

milieu abiment.

est difﬁcile d’imaginer une fonction continue n’est dérivable en aucun point.

– Il est en effet impossible de tracer un tel trajectoire.

La proposition suivante caractérise le processus de Wiener standard, elle est parfois donnée comme déﬁnition de ce pro-

– De la même façon sur un marché continu, les cours des titres présentent des trajectoires analogues car le ﬂot continu

d’informations arrive sur le marché et modiﬁe constamment ces cours.

– Le marché n’est jamais parfaitement continu mais la construction ci-dessus montre que le processus de Wiener constitue

une bonne approximation de la réalité comme loi limite des rendements lorsque l’intervalle de temps entre deux cotations

tend vers 0.

– La proposition suivante résume les principales propriétés de ce processus

cessus.

Preliminary

Lemme 1.1. Soit {Zt : t ≥ 0}, un mouvement brownien standard. Alors

1. Pour tout s > 0, {Zt+s − Zs : t ≥ 0} (homogénéité dans le temps)

2. {−Zt : t ≥ 0} (symétrie)

cZ t

(cid:26)

Z ∗

t =

: t ≥ 0

(cid:26) 0

tZ 1

(ré-échelonnement du temps)

si t = 0

si t > 0 : t ≥ 0

(cid:27)

(inversion du temps)

sont aussi des mouvements browniens standard.

Proposition 1.7.

1. Le processus de Wiener est markovien

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2. Si l’on note (Ft, t ≥ 0) la ﬁltration naturelle du processus {Zt, t ≥ 0}, {Zt, t ≥ 0} est une martingale par rapport à

cette ﬁltration.

3. Cov(Zt, Zs) = min (t, s)

Démonstration.

Propriété de Markov

– Le processus de Wiener est markovien par le (2) de la proposition précédente qui traduit en même temps l’indépendance

des accroissements.

– Pour tout u ∈ [0, s], les variables aléatoires Zt − Zs et Zu sont indépendantes car

Cov[Zt − Zs, Zu]

= Cov[Zt − Zu + Zu − Zs, Zu]

= Cov[Zt − Zu, Zu] − Cov[Zs − Zu, Zu]

= 0 + 0 par(M B2)

– Par conséquent Zt = (Zt − Zs) + Zs peut s’écrire comme la somme de deux variables aléatoires :

– Zs qui ne dépend de l’information disponible au temps s, Fs, qu’à travers σ(Zs)

– Et, Zt − Zs qui est indépendante de Fs = σ{Zu : 0 ≤ u ≤ s}.

Propriété de Martingale

– La propriété de martingale est immédiate, en effet,

– Le premier terme du membre de droite est nul car les Zt sont centrées et l’indépendance des accroissements implique

que :

car Zt+h − Zt est indépendant des variables Zs pour s ≤ t.

– D’autre part, E (Zt|Ft) = Zt puisque Ft est engendrée par Zs, s ≤ t.

– Par la déﬁnition même de la ﬁltration, il est évident que Z est un processus stochastique adapté. Pour tout instant t, la

variable aléatoire Zt est intégrable puisque,

E (Zt+h − Zt|Ft) = E (Zt+h − Zt) = 0

E (Zt+h|Ft) = E (Zt+h − Zt|Ft) + E (Zt|Ft)

DRAFT

Version

(cid:27)(cid:12)

(cid:12)

(2πt)

(cid:17) 1

(cid:16) 2t

E[|Zt|] =

−∞

Z ∞

= −

= 2

(2πt)

Z ∞

exp

(cid:17) 1

|z|

(cid:26)

(cid:27)

(cid:26)

−

∞

(cid:16) 2t

< ∞

Preliminary

E[Zt|Fs] = E[Zt − Zs + Zs|Fs]

= E[Zt − Zs|Fs] + E[Zs|Fs]

= E[Zt − Zs] + Zs

= Zs

– Il ne reste qu’à vériﬁer que ∀s, t ≥ 0 tels que s < t, E[Zt|Fs] = Zs.

Cov (Zt, Zs) = min(t, s)

– Les variables Zt sont centrées d’où :

Cov (Zt, Zs) = E (ZtZs) = E (cid:8)(Zt − Zs) Zs + E (cid:0)Z 2

(cid:1)(cid:9)

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– Supposons que s < t ; l’indépendance des accroissements implique,

Cov (Zt, Zs) = E (Zt − Zs) .E (Zs) + E (cid:0)Z 2

(cid:1)

= E (cid:0)Z 2

= s

= min(t, s)

– Par ailleurs cette propriété implique que le processus de Wiener standard est un processus d’Itô dont les paramètres sont

égaux à :

µ (x, t) = 0

σ2 (x, t) = 1

Remarque 1.5.

– En conclusion, on peut dire que le mouvement brownien standard est à la théorie des processus sto-

chastiques ce que la loi normale centrée réduite est à la théorie des probabilités.

– La propriété de martingale du mouvement brownien standard s’étend à certaines fonctions de Zt comme le montre la

propriété suivante.

Proposition 1.8. Soit {Zt, t ≥ 0} un mouvement brownien standard.

Les deux processus {Xt, t ≥ 0} et {Yt, t ≥ 0} déﬁnies ci-dessous sont des martingales par rapport à la ﬁltration naturelle

de {Zt, t ≥ 0} :

où α est un réel quelconque.

Démonstration.

– Notons (Ft, t ≥ 0) la ﬁltration considérée. Il s’agit de montrer dans un premier temps que :

(Xt) est évidemment adapté et intégrable du fait des propriétés du processus de Wiener standard.

– Par déﬁnition de Xt, on a

(cid:27)

αZt −

α2t

t − t

(cid:26)

Yt = exp

Xt = Z 2

DRAFT

= E (cid:0)Z 2

(cid:1) − (t + s)

= E (cid:2)(cid:0){Zt+s − Zt}2 + 2Zt+sZt − Z 2

= E (cid:0){Zt+s − Zt}2 |Ft

(cid:1) − (t + s)

t |Ft

Version

(cid:1) |Ft

(cid:1) + 2E (Zt+sZt|Ft)

E (Xt+s|Ft)

t+s|Ft

E (Xt+s|Ft) = Xt

(cid:3) − (t + s)

−E (cid:0)Z 2

Preliminary

E (cid:0){Zt+s − Zt}2 |Ft

(cid:1) = E (cid:0){Zt+s − Zt}2(cid:1)

= t + s − t

= s

– Les propriétés des espérances conditionnelles conduisent à :

E (Zt+sZt|Ft) = Zt.E (Zt+s|Ft)

– Zt est une martingale par rapport à Ft d’où :

E (Zt+sZt|Ft) = Z 2

– L’indépendance des accroissements du processus de Wiener implique que Zt+s − Zt est indépendant de Ft, ce qui

permet d’écrire :

– De plus Z 2

t est Ft−mesurable, alors :

E (cid:0)Z 2

t |Ft

(cid:1) = Z 2

– On a donc,

E (Xt+s|Ft) = s + 2Z 2

t − t

= Z 2

= Xt

t − Z 2

t − (t + s)

ce qui montre que (Xt, t ≥ 0) est une martingale.

– De la même façon, il est clair que Yt est adapté à Ft et intégrable du fait des propriétés de Zt. Par conséquent, il sufﬁt

de montrer que

E (Yt+s|Ft) = Yt

E (Yt+s|Ft) = E

exp

αZt+s −

(cid:20)

(cid:18)

α2 (t + s)

(cid:19)

(cid:21)

|Ft

(cid:20)

(cid:18)

= E

Yt. exp

α (Zt+s − Zt) −

(cid:19)

(cid:21)

|Ft

α2s

– L’indépendance des accroissements permet d’écrire :

(cid:21)

(cid:20)

−

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

(cid:19)

|Ft

exp

α2s

= Yt. exp

(cid:18) α2s

α (Zt+s − Zt) −

. On en déduit que,

E (Yt+s|Ft) = Yt.E

.E [exp (α (Zt+s − Zt))]

DRAFT

Version

2 avec des probabilités identiques.

Xn = Xn−1 + Yn

E (Yt+s|Ft) = Yt

2 et h

α (Zt+s − Zt) suit une loi normale centrée de variance α2s ; par conséquent exp [α (Zt+s − Zt)] suit une loi log-

normale d’espérance exp

2 Processus de Wiener général

Dans la construction du processus de Wiener standard, nous avons fait des hypothèses particulières sur la marche aléatoire Xn,

plus précisément nous avons posé,

avec Yn prenant les valeurs −h

Une généralisation naturelle consiste à poser,

où Un est déﬁnie comme précédemment, µ et σ sont des réels (σ > 0).

On remarque alors que,

Preliminary

Yn = µh + σ.h

2 .Un

E (Yn) = µh

V (Yn) = σ2h

– Yn est le rendement de l’actif considéré dans l’intervalle [(n − 1) h; nh] de durée h.

– La constante µ peut alors s’interpréter comme un terme de tendance : c’est le rendement espéré de l’actif ﬁnancier

considéré par unité de temps.

– De la même façon, σ2 est la variance du rendement par unité de temps.

En particulier sur l’intervalle [0, t] le rendement est égal à :

d’où

XN =

n=1

= µ.N.h + σ.h

n=1

V (XN ) = σ2.N.h = σ2t

E (XN ) = µt

La démarche utilisée dans le paragraphe précédent (passage à la limite) conduit à la remarque suivante :

lim

N→+∞

XN = µt + σ.

lim

N→+∞

n=1

= µt + σ.Zt

où Zt est le processus de Wiener standard.

On déﬁnira donc le processus de Wiener général comme suit :

Déﬁnition 2.1. On appelle processus de Wiener général, un processus (Wt, t ≥ 0) déﬁni par :

où Zt est le processus de Wiener standard.

en aucun point.

Proposition 2.1.

1. {Wt, t ≥ 0} est un processus de Markov à trajectoires continues, ces trajectoires ne sont dérivables

2. Les accroissements de Wt sont indépendants et stationnaires.

3. Pour x < t, la variable Wt − Ws suit une loi normale d’espérance µ (t − s) et de variance σ2 (t − s)

4. Cov(Wt, Ws) = σ2. min (t, s)

5. Si {Ft, t ≥ 0} est la ﬁltration naturelle du processus {Wt, t ≥ 0}, celui-ci est une sous (sur) - martingale par rapport à

cette ﬁltration si µ > 0 (< 0).

Wt = µt + σ.Zt

DRAFT

Version

Wt+h − Wt = µh + σ (Zt+h − Zt)

Remarque 2.1.

– La propriété précédente se déduit des propriétés du processus de Wiener standard.

– Concernant l’interprétation économique, on peut remarquer que :

– Lorsque µ est strictement positif le processus Wt traduit une augmentation des cours sur le long terme.

– Il n’est cependant pas possible de "prévoir" l’évolution des cours à court terme.

– En effet, dans un intervalle de temps court de type [t, t + h], le rendement de l’actif s’écrit :

Preliminary

– Il peut donc prendre des valeurs négatives (la composante aléatoire est alors plus importante en valeur absolue que le

terme de tendance).

– Le principal inconvénient de ce processus, ou l’hypothèse la plus contraignante dans sa construction, est que dans un

intervalle de longueur h, le terme de tendance µ est indépendant à la fois de l’instant considéré et du niveau atteint par

le processus.

– En particulier, le rendement espéré augmente linéairement avec la durée de détention (si µ > 0).

– La même remarque peut être faite pour σ2.

– La généralisation de l’approche précédente consiste à considérer une marche aléatoire dans laquelle les paramètres µ et

σ à l’instant n sont des fonctions de n − 1 et de Xn−1 nous écrirons alors,

Yn+1 = µ (Xn, n) h + σ (Xn, n) .h

2 .Un+1

– La déﬁnition de la limite de XN lorsque N tend vers l’inﬁni nécessite alors l’introduction d’un concept plus général qui

est celui d’intégrale stochastique.