Processus Stochastiques & Applications Financières

Chapitre 8

Calculs Stochastiques

OUESLATI Amor

25 mai 2014

Table des matières

Intégrale Stochastique

1.1 Construction .

1.2 Propriétés de l’intégrale stochastique .

2 Les équations différentielles stochastiques

2.1 Les équations différentielles ordinaires .

2.2 Processus de Wiener et Équations différentielles stochastiques .

3 Fonctions du processus de Wiener et Lemme d’Itô

3.1 Exemple Introductif .

3.2 Le théorème fondamental du calcul

3.3 Le lemme d’Itô .

3.4 Le lemme d’Itô : Généralisation .

3.4.1 Les processus d’Itô : Rappel

3.4.2 Le lemme d’Itô : une généralisation .

3.4.3 Le lemme d’Itô : une autre généralisation .

3.5 Le lemme d’Itô et le développement en série de Taylor .

DRAFT

4.1 Le processus de covariance quadratique .

4.2 La règle de multiplication .

4.3 L’existence d’une solution à une équation différentielle stochastique .

4.4.1 Le mouvement brownien généralisé : Merton (1973) .

4.4.2 Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck : Vasicek (1977), généralisé par Hull-White (1990) .

4 La solution d’une équation différentielle stochastique

4.3.1 Qu’est-ce qu’une solution ? .

4.3.2 Existence, unicité et propriétés des solutions .

Version

4.4 La classe des modèles gaussiens .

4.5 La classe des modèles afﬁnes .

– Le chapitre précédent a mis en évidence le comportement particulier du processus de Wiener et plus précisément de ses

trajectoires, dérivables en aucun point.

– Par conséquent, il n’est pas possible de donner à l’expression

– Symétriquement, intégrer une fonction (ou un processus stochastique) par rapport à Zt implique de déﬁnir une notion

son sens courant de dérivée par rapport à t.

dZt

d’intégrale particulière, compte tenu de la remarque précédente.

Preliminary

Intégrale Stochastique

1.1 Construction

– La construction de l’intégrale stochastique que nous proposons ci-dessous manque singulièrement de rigueur mathé-

matique.

– Elle est destinée à donner au lecteur l’intuition des problèmes posés lorsque l’on cherche à intégrer un processus par

rapport à un processus de Wiener.

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Nous reprenons dans un premier temps le modèle de marche aléatoire développé dans le chapitre précédent pour la construction

du processus de Wiener :

X0 = 0

Xn+1 = Xn + Yn+1

où

– Yn+1 = µ (Xn, n) h + σ (Xn, n) h

– Un+1 prenant toujours les valeurs 1 et −1 avec des probabilités identiques.

– L’expression Yn+1 suppose implicitement que les hypothèses H1 à H3 du chapitre précédent sont toujours vériﬁées.

2 .Un+1.

– Xn désigne en fait Xnh, n = 1, ..., N .

– µ et σ sont des fonctions de deux variables, σ prenant uniquement des valeurs positives.

– Il s’agit comme précédemment de déﬁnir la limite de XN lorsque N tend vers l’inﬁni (N désignant ici encore le nombre

d’instants de cotation dans l’intervalle [0; t).

XN =

n=1

– Les coefﬁcients µ (Xn−1, n − 1) et σ (Xn−1, n − 1) dépendent de h, délai séparant deux cotations et du prix atteint à

l’instant n − 1.

– Sous ces hypothèses on a :

– σ2 (Xn−1, n − 1) s’interprète comme la variance des rendements par unité de temps dans l’intervalle [(n − 1) h; nh].

– Notons AN et BN les deux termes du membre de droite de l’équation ci-dessus.

– Pour pouvoir procéder comme précédemment par passage à la limite, il faut pouvoir déﬁnir les quantités :

n=1

(cid:17) 1

= h

(cid:16) t

µ (Xn−1, n − 1) +

σ (Xn−1, n − 1) Un

µ (Xn−1, n − 1) + h

DRAFT

Version

E (YN ) = µ (Xn−1, n − 1) h

V (YN ) = σ2 (Xn−1, n − 1) h

lim

N −→+∞

lim

N −→+∞

B =

A =

– Pour alléger les notations posons µn−1 = µ (Xn−1, n − 1) et σn−1 = σ (Xn−1, n − 1),

– Alors,

Preliminary

AN = t.

n=1

µn−1

fN (s) = µn−1 si s ∈ [(n − 1) h; nh[

– Considérons une fonction fN déﬁnie sur [0, t) par :

– AN est alors simplement l’intégrale de fN sur l’intervalle [0, t),

Z t

AN =

fN (s) ds

– Cette intégrale est une intégrale de Riemann classique.

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– Par conséquent, lorsque N tend vers l’inﬁni, la suite des fonctions fN tend vers une limite que nous noterons µ (en

référence au terme de tendance dans la déﬁnition de XN ). Nous noterons donc,

Z t

A = lim

N −→+∞

AN =

µ (Xs, s) ds

Remarque 1.1.

– Le raisonnement ci-dessus n’est pas rigoureux dans le sens où µ (Xs, s) est une variable aléatoire.

– Cependant, il faut déﬁnir l’intégrale ci-dessus pour chaque réalisation de Xs, c’est à dire pour chaque état de la nature

ω ∈ Ω.

– La même approche ne peut être utilisée pour déﬁnir la limite de BN pour trois raisons :

– L’existence du terme h

– Le fait que les Un et les σn sont des variables aléatoires.

2 (inﬁniment grand devant h lorsque h tend vers 0)

– Il est nécessaire à ce stade de recourir à la notion d’intégrale stochastique d’Itô.

– Il s’agit de déﬁnir l’expression,

B = lim

BN = lim

N −→+∞

h t

i 1

n=1

σn−1Un

– Notons maintenant X 0

– Elle est déﬁnie par

n la marche aléatoire qui a permis de construire le processus de Wiener standard.

– Notons Fn la tribu engendrée par les variables Xm, m ≤ n.

– Remarquons tout d’abord que pour toute valeur de N , σn−1 est Fn−1 mesurable et que X 0

n − X 0

n−1 est indépendant

– Lorsque N tend vers l’inﬁni le processus X 0 tend vers Z processus de Wiener standard.

– De ce fait si σ et Z étaient des fonctions au sens classique du terme BN convergerait vers l’intégrale de Stieltjes de σ

(cid:1)

n=1

σn−1

(cid:0)X 0

2 Un

BN =

X 0

n−1 + h

n − X 0

0 = 0

n = X 0

DRAFT

Version

B = lim

BN =

σsdZs

N −→+∞

Z t

n−1

E (σn−1) E (cid:0)(cid:0)X 0

n − X 0

n−1

(cid:1)(cid:1)

– Cette notation permet d’écrire :

par rapport à Z.

– On noterait alors,

de Fn−1 donc de σn−1.

– On en déduit alors que,

n=1

= 0

E (BN ) =

Preliminary

E (cid:0)B2

(cid:1) =

n=1

– Par ailleurs,

E (cid:0)σ2

n−1

(cid:1) E

(cid:16)(cid:0)X 0

n − X 0

n−1

(cid:1)2(cid:17)

– Cette égalité est due à la linéarité de l’opérateur d’espérance ainsi qu’à l’indépendance des accroissements de X 0.

(cid:16)(cid:0)X 0

n − X 0

n−1

(cid:1)2(cid:17)

= h

– d’où

E (cid:0)B2

(cid:1) =

n=1

E (cid:2)h.σ2

n−1

(cid:3)

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– Considérons un processus stochastique YN déﬁni sur [0, t] par :

YN (s) = σn−1

Si s ∈ [(n − 1) h, nh] pour tout ω ∈ Ω

– On a alors,

E (cid:0)B2

(cid:1) = E

(cid:19)

YN (s)2 ds

(cid:18)Z t

– Lorsque N tend vers l’inﬁni, YN tend vers σ(cf. construction de YN ci-dessus).

– Par conséquent déﬁnir la limite de BN quand N tend vers l’inﬁni (c’est à dire l’intégrale de σ par rapport à Z) de façon

à ce que cette limite soit de carré intégrable revient à supposer que

(cid:18)Z t

(cid:19)

σ2 (Xs, s) ds

< +∞

– Ces remarques conduisent à la déﬁnition suivante pour l’intégrale stochastique d’Itô.

Déﬁnition 1.1.

– Soit (cid:0)Zt, t ∈ R+(cid:1), le processus de Wiener standard et {Ft, t ≥ 0} la ﬁltration naturelle de Z.

– Soit (Yt, t ≥ 0) un processus vériﬁant :

1. (Yt, t ≥ 0) est adapté par rapport à {Ft, t ≥ 0}

2. E

(cid:18)Z t

(cid:19)

Y 2 (s) ds

– On appelle intégrale stochastique de Y par rapport à Z la variable aléatoire I (Y ) déﬁnie par :

où 0 = t0 < t1 < ... < tN = t et max (ti − ti−1) tend vers 0 lorsque N tend vers l’inﬁni.

Remarque 1.2.

ci-dessus.

– L’intégrale d’Itô (Itô, 1944) est caractérisée par le choix opéré dans le membre de droite de l’équation

– Par exemple, si l’on utilise Y

au lieu de Y (ti−1), on obtient une autre intégrale stochastique connue

sous le nom d’intégrale de Stratanovitch.

Exemple 1.1.

– L’intégrale d’Itô est particulièrement bien adaptée (au sens courant du terme) aux modèles ﬁnanciers en

– (Xt, t ∈ N ) désigne une martingale adaptée à une ﬁltration (Ft, t ∈ N ) et représente la suite des prix d’un actif ﬁnan-

Y (ti−1) {Z (ti) − Z (ti−1)}

I (0, t, Y ) =

i=1

Z t

N −→+∞

< +∞

Y (s) dZ (s) = lim

DRAFT

Version

Qs [Xs − Xs−1]

(ti + ti−1)

Yt = Y0 +

(cid:16) 1

(cid:17)

s=1

– Qt est la quantité des titres détenue entre t − 1 et t, il s’agit donc d’un processus prévisible.

temps continu.

cier.

– La richesse de l’investisseur Yt s’écrit :

– Par référence à la déﬁnition, il semble naturel de noter

Preliminary

Yt = Y0 +

Z t

QsdXs

où l’intégrale stochastique est le gain (ou la perte) de l’individu dans l’intervalle [0, t].

Il faut remarquer que dans cet exemple

– Supposer que Qt est un processus prévisible implique que l’individu donne des ordres d’achat ou de vente "au mieux".

– En effet, la quantité achetée ou vendue en t au prix Xt, est égale Qt+1 − Qt.

– Si l’investisseur passe un ordre "limite", la transaction dépend alors de Xt+1, et le processus Qt est adapté mais non-

prévisible.

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1.2 Propriétés de l’intégrale stochastique

La proposition ci-dessous montre simplement que l’intégrale stochastique possède des propriétés analogues à celles de

l’intégrale de Stieltjes, en particulier en ce qui concerne la linéarité.

Proposition 1.1.

– Soit X et Y deux processus vériﬁant les hypothèses [1.]et [2.] de la déﬁnition.

– (s, t, u) trois réels positifs vériﬁant s < t < u et a un réel quelconque.

– On a alors,

1. I (s, u, Y ) = I (s, t, Y ) + I (t, u, Y )

2. I (s, u, aX + Y ) = a.I (s, u, X) + I (s, u, Y )

3. E [I (s, u, Y )] = 0

Remarque 1.3. I (s, t, X) est une variable aléatoire déﬁnie à une équivalence prés au sens de l’égalité presque sûre.

Proposition 1.2. Soit X un processus vériﬁant [1.]et [2.] de la déﬁnition :

I (0, t, X) est une martingale.

Remarque 1.4.

– Ici encore la propriété est un prolongement du cas discret.

– En particulier, si l’on note (Fn, n ∈ N ), la ﬁltration naturelle du processus (Znh, n = 1, ..., N ) et Y (t, N ) le proces-

sus,

– On a pour m ≤ N :

(cid:0)Znh − Z(n−1)h

(cid:1)

n=1

= E

(cid:1) |Fm

X(n−1)h

" N

Y (t, N ) =

n=1

" m

(cid:0)Znh − Z(n−1)h

E [Y (t, N ) |Fm] = E

DRAFT

Version

n=1

= Y (t, m)

(cid:0)Znh − Z(n−1)h

n=1

" N

E (cid:2)X(n−1)h

X(n−1)h

(cid:1) |Fm

A =

n=m+1

(cid:3)

(cid:1) |Fm

– Notons A + B la somme précédente.

–

car X(n−1)h est Fn−mesurable de même que Znh − Z(n−1)h

– Donc, A est a fortiori Fm− mesurable pour m ≥ n.

–

Preliminary

B = E

" N

n=m+1

– Il s’agit de montrer que B = 0.

– On peut procéder par récurrence en remarquant tout d’abord que :

(cid:1) |Fm

– E (cid:2)Xmh

– Et Z(m+1)h − Zmh est indépendant de Fm et centré.

– La sommation déﬁnissant B débute en fait à n = m + 2.

(cid:0)Z(m+1)h − Zmh

(cid:3) = 0 car Xmh est Fm− mesurable.

X(n−1)h

(cid:0)Znh − Z(n−1)h

(cid:1) |Fm

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2 Les équations différentielles stochastiques

2.1 Les équations différentielles ordinaires

Lorsque on modélise certaines situations, on ne savait pas à priori quelle fonction on doit utiliser, car on n’a qu’une connais-

sance locale du comportement de notre système.

Par exemple,

– Supposons que f (t) représente le prix d’une denrée à l’instant t.

– On écrit,

– La variation f (t + ∆t) − f (t) du prix de la denrée au cours d’une période de temps est proportionnelle :

f (t + ∆t) − f (t) = µ∆t.f (t)

avec µ ≥ 0

– A la longueur ∆t de la période de temps considérée.

– Ainsi qu’au prix f (t) de la denrée au début de la période.

– C’est-‘a-dire µ∆t.f (t) , µ étant une constante.

– En divisant de part et d’autre de l’égalité par ∆t, on obtient :

– Prenons maintenant la limite lorsque ∆t tend vers zéro :

– La notation souvent employée pour les équations différentielles permet de réécrire l’équation précédente sous la forme

(1)

– On note que, techniquement parlant, l’objet df (t) n’est pas bien déﬁni.

– Cette dernière équation n’est qu’une notation pour exprimer "la dérivée de la fonction est proportionnelle à la fonction

elle-même", c’est-‘a-dire,

– L’inconnue, dans cette équation, est la fonction f . Nous cherchons les fonctions qui satisfont cette égalité.

– Il est possible de montrer que la fonction déﬁnie pour tout t ∈ R par

f (t + ∆t) − f (t)

∆t

= µf (t)

= lim

∆t→0

µf (t) = µf (t)

df (t) = µf (t)dt

f (t) = lim

∆t→0

f (t + ∆t) − f (t)

∆t

DRAFT

Version

f (t) = ceµt, avec c est une constante quelconque

ceµt = cµeµt = µf (t)

f (t) = µf (t)

f (t) =

satisfait l’équation.

– En effet, dans ce cas,

– On détermine la constante c à l’aide de la condition initiale.

– On connait le prix f0 de la denrée aujourd’hui.

– Par conséquent,

– Ce qui entraine que le prix de la denrée au temps t est

Preliminary

f0 = f (0) = ceµ×0 = c

f (t) = f0eµt

– Dans cet exemple, la connaissance du comportement inﬁnitésimal du prix de la denrée (df (t) = µf (t)dt) et du prix

initial f0 sufﬁt à déterminer de façon exacte le prix à tout instant.

– L’équation [1] est un exemple d’une équation différentielle ordinaire et ce dernier se comporte de façon tout à fait

charmante puisqu’il existe au moins une fonction f qui satisfait l’équation [1] et, de plus, il est possible de montrer que

cette fonction est nécessairement de la forme :

f (t) = f0eµt

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– Il existe des équations différentielles ordinaires beaucoup moins sympatiques. Par exemple,

df (t) =

f (t)

t2 dt

(2)

– La solution de cette équation a la forme

f (t) = ce

−1

t où c est une constante

– Il faut maintenant spéciﬁer c à l’aide de la condition initiale. Or f (0) = 0 quel que soit c, ce qui implique que [2]

possède une inﬁnité de solutions lorsque f (0) = 0 et n’en possède aucune lorsque f (0) 6= 0.

2.2 Processus de Wiener et Équations différentielles stochastiques

– On suppose maintenant que le processus stochastique S = {St : t ≥ 0} représente l’évolution du prix d’un actif risqué.

– On ne connait pas, en général, la loi qui gouverne un tel processus, mais on a peut-être une idée de son comportement

local.

– Par exemple, sur un court intervalle de temps de longueur ∆t, il est possible que ce prix ait tendance à varier propor-

tionnellement à la longueur de la période et au prix de l’actif au début de la période.

– Pour débuter, on écrit,

St+∆t − St = µSt.∆t

– Si, en général, les prix augmentent, alors µ est une constante positive et si les prix tendent à diminuer, alors µ est

négative.

– Il y a cependant un problème avec cette dernière équation :

– On n’est pas certain que le prix varie proportionnellement à la longueur de la période et au prix de l’actif.

– On prétends seulement qu’il a tendance à le faire.

DRAFT

Version

Il faut donc incorporer à notre équation une erreur non prévisible.

– Toutefois, on peut contrôler l’ampleur de cette erreur aléatoire.

– Par exemple, on peut supposer qu’elle dépend du prix de l’actif en début de période.

– En effet, on constate que plus le prix est élevé, plus le prix de l’actif risqué peut s’écarter de la tendance.

– De plus, l’erreur aléatoire doit aussi dépendre de la longueur de l’intervalle de temps considéré : plus l’intervalle est

grand, plus le prix risque de s’écarter de la tendance.

– C’est pourquoi, on ajoute un terme stochastique à notre équation de départ.

– Le terme stochastique à ajouter à notre équation initiale nous mène à l’équation

St+∆t − St = µSt∆t + σSt(∆t)1/2ξt

(3)

où σ est une constante positive et ξt est une variable aléatoire de loi N (0, 1) indépendante de {Su : 0 ≤ u ≤ t}.

– Cette dernière condition est importante, car on n’est pas capable de prédire l’erreur ξt en observant le comportement du

prix de l’actif risqué antérieurement à la date t.

– Cette équation est aléatoire et doit être satisfaite par "presque" tous les ω, c’est-‘a-dire que :

P r (cid:8)ω ∈ Ω : St+∆t (ω) − St (ω) = µSt (ω) ∆t + σSt (ω) (∆t)1/2ξt (ω)(cid:9)

Concernant l’amplitude de l’erreur aléatoire, remarquons que (∆t)1/2ξt est de loi N (0, ∆t) . De plus,

Preliminary

E (cid:8)σSt(∆t)1/2ξt|σ{Su : u ∈ {0, ∆t, 2∆t..., t}}(cid:9)

= σSt(∆t)1/2 × E {ξt}

= 0

n(cid:0)σSt(∆t)1/2ξt

t ∆t × E (cid:8)ξ2

= σ2S2

t ∆t

|σ{Su : u ∈ {0, ∆t, 2∆t..., t}}

(cid:9)

(cid:1)2

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– Ce qui implique que l’écart-type conditionnel de notre terme d’erreur est σSt(∆t)1/2.

– Ainsi, plus la longueur de l’intervalle de temps ∆t est grande ou plus le prix St du titre est élevé, plus l’écart-type de

l’erreur aléatoire est grand.

– Cela implique que les valeurs pouvant être prises par l’erreur aléatoire sont plus dispersées autour de son espérance (qui

est de zéro).

– Réécrivons l’équation [3] pour la période suivante :

St+2∆t − St+∆t = µSt+∆t∆t + σSt+∆t(∆t)1/2ξt+∆t

– Si on ne veut pas être en mesure de prédire l’erreur ξt+∆t, il faut que cette dernière soit indépendante de {Su : u ∈

{0, ∆t, ..., t + ∆t}}.

– Pour cette raison, on introduit le mouvement brownien puisqu’il est un processus gaussien dont les incréments sont

mutuellement indépendants :

St+∆t − St = µSt∆t + σSt (Zt+∆t − Zt)

– Notons que la loi de (Zt+∆t − Zt) est la même que la loi de (∆t)1/2ξt : elles sont toutes deux de loi N (0, ∆t).

Soit Z = {Zt : t ≥ 0} un mouvement brownien construit sur un espace probabilisé ﬁltré (Ω, F, F, P ) tel que la ﬁltration F

est celle engendrée par le mouvement brownien, augmentée de tous les évènements de probabilité nulle, c’est-‘a-dire que pour

tout t ≥ 0,

– Le prix de l’actif risqué aujourd’hui (t = 0) est connu avec certitude.

– S0 est donc (∅, Ω)−mesurable donc F0−mesurable.

– Reprenons l’équation [3] en prenant t = 0.

(Z∆t − Z0)

}

F∆t−mesurable, ind´ependant de F0

}

S∆t =

Ft = σ(N et Zs : 0 ≤ s ≤ t)

+ µS0∆t

| {z }

F0−mesurable

|{z}

F0−mesurable

σS0

|{z}

F0−mesurable

F∆t−mesurable

DRAFT

Version

σSk∆t

| {z }

Fk∆t−mesurable

F(k+1)∆t−mesurable

+ µSk∆t∆t

| {z }

Fk∆t−mesurable

Sk∆t

|{z}

Fk∆t−mesurable

(cid:0)Z(k+1)∆t − Zk∆t

F(k+1)∆t−mesurable, ind´ependant de Fk∆t

}

(cid:1)

}

– Ce qui implique que S(k+1)∆t est F(k+1)∆t−mesurable.

– Notre processus S habite sur le même espace probabilisé ﬁltré que le mouvement brownien Z qu’on a utilisé pour le

construire.

– Lorsque les intervalles de temps de longueur ∆t deviennent de longueur inﬁnitésimale, on obtient une équation du type

– On constate que S∆t est F∆t−mesurable.

– On peut montrer par induction que Sn∆t est Fn∆t− mesurable, quel que soit l’entier positif n.

– En effet, supposons qu’il existe k ∈ {0, 1, 2, ...} tel que Sk∆t est Fk∆t−mesurable. Alors

S(k+1)∆t =

Preliminary

dX(t) =

– Cette dernière équation est un exemple d’équation différentielle stochastique.

dSt = µStdt + σStdZt

Déﬁnition 2.1. On appelle équation différentielle stochastique, la différentielle stochastique d’un processus d’Itô assortie de

conditions aux bornes. Un exemple de ce type d’équation est :

µ(X(t), t)

}

coef f icient de d´erive

dt +

σ(X(t), t)

}

coef f icient de dif f usion

dZ(t)

(4)

avec X0 = c où Zt désigne le processus de Wiener standard, et les fonctions σ : R × [0, ∞) → R et µ : R × [0, ∞) → R

sont des fonctions mesurables.

Remarque 2.1.

– Dans le cas général, X0 est une variable aléatoire ce qui implique dans la formulation ci-dessus que c

est aléatoire.

– Cette condition pourrait s’écrire :

X (0, w) = c (w)

(l’égalité est donc réalisé presque surement).

De telle équations différentielles sous sa forme générale devrait soulever quelques interrogations :

(i) Le terme σStdZt n’est pas bien déﬁni, particulièrement si on se rappelons que les trajectoires du mouvement brownien

sont nulle part différentiables !

(ii) Existe-t-il une solution à cette équation ? et

(iii) Si cette solution existe, est-elle unique et comment faisons-nous pour la trouver ?

Remarque 2.2. Notons que la solution à une équation différentielle stochastique n’est pas, comme dans le cas des équations

différentielles ordinaires, une fonction mais est un processus stochastique.

(i) Que signiﬁons-nous par σ(X(t), t)dZ(t) ? On n’a pas déﬁni ce terme.

– Dans les faits, l’équation [4] a la forme différentielle de l’équation intégrale :

X(t) = X(0) +

µ(X(u), u)du +

σ(X(u), u)dZ(u)

Z t

et on connait maintenant la signiﬁcation du terme

σ(X(u), u)dZ(u).

– Il n’existe pas toujours de solution à cette équation et on verra quelques résultats nous donnant des conditions sur les

fonctions σ et µ qui feront en sorte qu’une solution existe.

(ii) & (iii) Pour répondre aux questions (ii) et (iii), nous avons besoin de quelques outils supplémentaires.

– Le processus de Wiener standard Zt se caractérise donc par des paramètres µ (Xt, t) = 0 et σ (Xt, t) =

– Quant au processus de Wiener général , ses paramètres sont constants ; µ (Xt, t) = µ et σ (Xt, t) = σ. Sa différentielle

Remarque 2.3.

1 pour tout t.

stochastique s’écrira de ce fait :

dXt = µdt + σdZt

DRAFT

Version

E [dZ1,t.dZ2,t] = rtdt

V [dZ1,t.dZ2,t] = o (dt)

Proposition 2.1. Soit (Zt, t ≥ 0) un processus de Wiener standard :

– E (dZt) = 0; V (dZt) = dt

– V (cid:0)dZ 2

(cid:1) = o (dt)

– dZt.dt = o (dt)

– (dZt, t ≥ 0) est un processus stationnaire au sens large.

– E (dZt1 .dZt2 ) = 0 pour t1 6= t2

– Si (Z1,t, t ≥ 0) et (Z2,t, t ≥ 0) sont deux processus de Wiener standards, on a :

– La proposition suivante décrit les règles de calcul liées aux différentielles stochastiques et plus particulièrement à dZt.

– Le principe en est relativement simple ; en considérant que dZt peut d’écrire Zt+dt − Zt.

– Les propriétés de Zt permettent d’évaluer les moments de dZt.

où rt est le coefﬁcient de corrélation de dZ1,t et dZ2,t.

Démonstration.

–

Preliminary

E (dZt) = E (Zt+dt) − E (Zt)

(cid:1)

= 0

V (dZt) = E (cid:0)dZ 2

= E (cid:0)Z 2

= (t + dt) + t − 2t

t+dt

(cid:1) + E (cid:0)Z 2

(cid:1) − 2E (Zt+dt.Zt)

= dt

– dZ 2

t = U 2

t dt d’où,

V (cid:0)dZ 2

t dt(cid:1)2

(cid:1)2i

t dt2(cid:1) − E (cid:0)U 2

(cid:1) = E (cid:0)U 4

E (cid:0)U 4

= dt2.

= dt2. (cid:0)E (cid:0)U 4

= o (dt)

(cid:1) − E (cid:0)U 2

(cid:1) − 1(cid:1)

La dernière égalité se justiﬁe par le fait que les variables Ut sont normales centrées réduites.

– Pour montrer que dZtdt = o (dt) (donc non aléatoire, il sufﬁt de montrer que V (dZtdt) est inﬁniment petit par rapport

à dt et de ce fait sera considéré comme négligeable.

V (dZtdt) = (dt)2 E (cid:0)dZ 2

= (dt)3

= o (dt)

(cid:1)

– dZt est stationnaire si ses moments sont indépendants de t, or

et les moments d’ordre n (n > 3) sont nuls si n est impair et égaux à [(n − 1) (n − 3) ...] dt si n est pair.

– En particulier,

Comme dZ 2

t n’est pas o2 aléatoire Cov (cid:0)dZ 2

car les accroissements du processus de Wiener sont indépendants.

(cid:1)

t .dZt

t , dZt

(cid:1) = 0

E (cid:0)dZ 3

(cid:1) .E (dZt)

(cid:1) + E (cid:0)dZ 2

(cid:1) = E (cid:0)dZ 2

= Cov (cid:0)dZ 2

E (dZt) = 0 et V (dZt) = dt

DRAFT

Version

= rt {V [dZ1,t] .V [dZ2,t]}1/2

= rtdt

E [dZ1,tdZ2,t] = Cov (dZ1,t, dZ2,t)

E (dZt1 .dZt2 ) = 0 pour t1 6= t2

(cid:3) − E [dZ1,t.dZ2,t]2

–

Par ailleurs,

V [dZ1,tdZ2,t] = E (cid:2)dZ 2

= dt2 − r2

= o (dt)

1,t.dZ 2

2,t

t dt2

Preliminary

3 Fonctions du processus de Wiener et Lemme d’Itô

3.1 Exemple Introductif

– Lorsqu’on suppose que les cours ou les rendements des titres sont des processus stochastiques, on est amené à étudier

les relations entre ces différents processus.

– En particulier, lorsq’un processus est caractérisé par une différentielle stochastique, il s’agit de déterminer la différen-

tielle stochastique de toute fonction sufﬁsamment régulière de ce processus.

– Cette approche présente un intérêt pratique immédiat dés que l’on analyse l’évaluation de contrats conditionnels.

– En effet lorsqu’on cherche par exemple à déterminer le prix d’équilibre d’une option d’achat, dont le cours du titre

support du contrat est l’un des déterminants essentiels.

– Le processus stochastique qui modélise le prix de l’option doit de ce fait être caractérisé à l’aide des paramètres du

processus de prix (ou de rendement) du titre support.

– Si l’on introduit la dimension temporelle, les rendements seront supposés suivre un processus de Wiener se caractérisant

par une différentielle stochastique du type

dXt = µdt + σdZt

avec Zt est le processus de Wiener standard.

– Le problème est alors de caractériser le processus des cours compte tenu de l’approximation,

avec Yt désigne le cours au jour t.

– L’égalité précédente peut encore s’écrire

Xt = log

(cid:19)

(cid:18) Yt

Yt−1

Yt = Yt−1 exp (Xt)

– Pour déterminer les paramètres caractéristiques du processus Yt, il sufﬁt d’établir les relations liant les paramètres d’un

processus Xt avec ceux d’un processus Yt de la forme générale

– Le lemme d’Itô est l’équivalent stochastique du théorème fondamental du calcul.

– Il nous permettra de déterminer l’équation différentielle stochastique satisfaite par certains processus stochastiques

donnés.

– Le théorème fondamental du calcul stipule que si

: R → R représente la dérivée de la fonction f : R → R, alors

avec f est une fonction quelconque.

3.2 Le théorème fondamental du calcul

Yt = f (Xt, t)

DRAFT

Version

f (b) − f (a) =

2ZsdZs?

(x) dx

t2 =

2xdx

t =

Z b

Z t

Z 2

Exemple 3.1. si f (x) = x2, a = 0 et b = t, alors

Est-ce que cette règle est encore valable dans le contexte du calcul stochastique ? Est-ce que

– On a observé lors de la construction de l’intégrale stochastique que les trajectoires du processus

pouvaient être négatives à certains instants :

(5)

Z t

ZsdZs : 0 ≤ t ≤ T

Preliminary

– Or, le membre de gauche de l’égalité [5] est nécessairement non-négatif alors que celui de droite peut prendre des

valeurs négatives.

– Il y a contradiction et on conclut que l’équation [5] est fausse.

3.3 Le lemme d’Itô

– Le Lemme d’Itô appelé aussi théorème fondamental du calcul stochastique est le résultat le plus utilisé dans les modèles

ﬁnanciers en temps continu.

– Il permet de calculer la différentielle stochastique d’un processus Yt à partir de celle d’un processus Xt avec Yt et Xt

sont liés par une relation fonctionnelle du type,

Yt = f (Xt, t)

Lemme 3.1 (d’Itô (Première version)). Soit Z, un mouvement brownien construit sur l’espace probabilisé ﬁltré (Ω, F, F, P )

et f : R → R, une fonction dont les deux premières dérivées existent et sont continues. Alors ∀0 ≤ t ≤ T ,

f (Zt) − f (Z0)

P −p.s.

Z t

(Zs)dZs +

Z t

d2f

dz2 (Zs)ds

(6)

Sous sa forme différentielle, l’équation [6] s’écrit,

df (Zt) =

(Zt) dZt +

d2f

dz2 (Zt)dt

Exemple 3.2. Par exemple, si f (x) = x2, alors

En remplaçant dans l’équation d’Itô, nous obtenons

ce qui implique

Z 2

Z t

P −p.s....