Problèmes de Mathématiques
Calcul de cos
π
5
et cos
π
17
à l’aide de radicaux
Énoncé
Calcul de cos
π
5
et cos
π
17
à l’aide de radicaux
PREMIÈRE PARTIE
1. Donner les solutions de (E) : z5 − 1 = 0, sous forme trigonométrique.
2. Soit Q le polynôme tel que z5 − 1 = (z − 1)Q(z).
Avec le changement de variable ω = z +
1
z
, exprimer les racines de Q avec des radicaux.
3. En déduire cos
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2π
5
, cos
4π
5
, cos
π
5
, sin
2π
5
, sin
4π
5
et sin
π
5
à l’aide de radicaux.
DEUXIÈME PARTIE
Dans toute la suite du problème, on pose θ =
π
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Tous les calculs demandés doivent être effectués de manière exacte (autrement dit les réponses
qui utiliseraient des valeurs approchées fournies par la calculatrice ne sont pas acceptées).
Publicité
.
1. Montrer que : ∀ a ∈ IR, ∀ h ∈]0, 2π[, ∀ n ∈ IN∗ :
sin(
nh
2
cos(a + kh) =
n−1
X
k=0
h
2
)
) cos(a + (n − 1)
sin(
h
2
)
2. On pose
(cid:26) x1 = cos 3θ + cos 5θ + cos 7θ + cos 11θ
x2 = cos θ + cos 9θ + cos 13θ + cos 15θ
(a) Montrer que x1 > 0.
(b) Montrer que x1 + x2 =
1
2
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.
(c) On se propose de calculer la valeur de x1x2.
i. Développer l’expression x1x2, puis linéariser les produits obtenus.
ii. En déduire que x1x2 = −2(x1 + x2) = −1.
(d) Donner une expression de x1 et de x2 à l’aide de radicaux.
(
3. On pose
y1 = cos 3θ + cos 5θ, y2 = cos 7θ + cos 11θ
y3 = cos θ + cos 13θ, y4 = cos 9θ + cos 15θ
(a) En s’inspirant de la méthode précédente, calculer les produits y1y2 et y3y4.
(b) En déduire des expressions de y1, y2, y3 et de y4 à l’aide de radicaux.
4. Donner finalement une expression de cos
π
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à l’aide de radicaux.
c(cid:13)EduKlub S.A.
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Jean-Michel Ferrard