Problèmes de Mathématiques
Deux structures algébriques
Énoncé
Deux structures algébriques
Le problème est constitué de deux parties indépendantes.
Partie 1
Soit (E, ≤) un ensemble ordonné, muni d’une loi de composition ∗ telle que :
∀ x, a, b ∈ E,
(cid:26) (x ≤ a et x ≤ b) ⇒ x ≤ a ∗ b
a ∗ b ≤ a et a ∗ b ≤ b
1. Montrer que la loi ∗ est commutative, associative, et que : ∀ a ∈ E, a ∗ a = a.
2. Montrer qu’un élément a est neutre pour ∗ si et seulement s’il est maximum pour ≤.
3. (E, ∗) peut-il être un groupe ?
4. Dans le cas général, si le neutre de E existe, quels sont les éléments inversibles de E ?
5. Donner un exemple de la situation décrite dans l’énoncé :
(a) ou max(E) existe et ou E n’est pas réduit à un singleton.
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(b) où max(E) n’existe pas.
Partie 2
Soit E un ensemble non vide muni d’une loi T vérifiant :
∀ a, b, c ∈ E,
a T a = b T b
(a T c) T (b T c) = a T b
a T (a T b) = b
(1)
(2)
(3)
Pour simplifier l’écriture, on notera e l’élément de E défini par : ∀ a ∈ E, a T a = e.
On définit ensuite une loi ∗ en posant : ∀ a, b ∈ E, a ∗ b = a T (e T b).
1. Montrer que e est neutre pour la loi ∗.
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2. Montrer que tout élément a de E possède un symétrique a0 pour la loi ∗.
3. Montrer successivment que, pour tous a, b, c de E :
(a) (a T b)0 = b T a
(b) a T (b T c) = (a T b) T c0
(c) (a T b) T c = a T (b T c0)
(d) (a T b)0 = a0 T b0
(e) a ∗ b = a T b0.
4. En déduire que la loi ∗ est associative et commutative. Conclusion ?
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Jean-Michel Ferrard
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5. Montrer que, dans ZZ ou IR, on définit ainsi l’addition à partir de la soustraction !
6. On remplace la condition (3) par (a T (b2 T b)) T b = a :
(a) Montrer que (E, ∗) est un groupe.
(b) En choisissant pour E l’ensemble des permutations d’un ensemble X et en définissant
la loi T par f T g = f ◦ g−1, montrer que (E, ∗) peut ne pas être abélien.
7. On remplace la condition (3) par a T b2 = a.
(a) Montrer que (E, ∗) est un groupe, non nécessairement abélien (exemple ?).
(b) Si on remplace de plus (2) par (a T b) T (a T c) = c T b, montrer que (E, ∗) est abélien.
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