Probl`emes de Math´ematiques
Familles obtusangles ou acutangles
´Enonc´e
Familles obtusangles ou acutangles
NB : Pour la d´efinition des matrices de Gram, voir le probleme consacr´e a ces matrices.
E est un espace euclidien de dimension n ≥ 1.
On note < u, v > le produit scalaire de deux vecteurs u et v de E, et kuk la norme associ´ee.
Partie I : Familles strictement obtusangles
Soit (u) = u1, . . . , um une famille de m vecteurs de E.
On dit que (u) est obtusangle si pour tous indices i, j distincts de {1, . . . , m}, < ui, uj > ≤ 0.
On que cette famille est acutangle si pour tous i, j distincts, on a < ui, uj > ≥ 0.
On d´efinit de mˆeme les familles :
– strictement obtusangles (in´egalit´es < ui, uj > < 0 pour i 6= j)
– strictement acutangles (in´egalit´es < ui, uj > > 0 pour i 6= j).
1. Soit u1, . . . , um une famille strictement obtusangle et li´ee.
existe donc m scalaires λ1, . . . , λm, non tous nuls, tels que
m
X
k=1
λkuk = 0.
Quitte `a remplacer ces scalaires par leurs oppos´es, on peut supposer que l’un au moins
des λk est strictement positif. On va montrer qu’alors tous les λk sont strictement positifs.
On note I l’ensemble (non vide) des indices i de {1, . . . , m} tels que λi > 0.
Soit J le compl´ementaire de I dans {1, . . . , m}. On suppose par l’absurde J 6= ∅.
L’´egalit´e
m
X
k=1
λkuk = 0 s’´ecrit alors
X
i∈I
λiui =
X
j∈J
(−λj)uj.
Soit v le vecteur de E d´esign´e par cette ´egalit´e.
(a) Montrer que v est nul. [ S ]
(b) Soit j un ´el´ement de J. Consid´erer < v, uj > et conclure. [ S ]
2. D´eduire de ce qui pr´ec`ede qu’une famille strictement obtusangle de m vecteurs est de rang
m ou de rang m − 1, et que toute famille strictement obtusangle de E est n´ecessairement
form´ee d’au plus n + 1 vecteurs. [ S ]
3. Dans cette question on va prouver qu’il existe effectivement dans E des familles stricte-
ment obtusangles et de cardinal n + 1.
On va mˆeme montrer qu’il existe une famille u0, u1, . . . , un form´ee de n + 1 vecteurs
unitaires, et telle que les produits scalaires < ui, uj > (pour tous indices i, j distincts)
soient ´egaux `a une mˆeme quantit´e strictement n´egative c.
Pour la commodit´e de la notation, une telle famille de E sera dite “sp´eciale”.
(a) Montrer que si une telle famille existe, alors u0 + u1 + · · · + un =
−→
0 et c = −
1
n
. [ S ]
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Familles obtusangles ou acutangles
´Enonc´e
(b) On va construire une telle famille u0, . . . , un par r´ecurrence sur n = dim E.
Montrer qu’une telle famille existe quand n = 1 ou quand n = 2. [ S ]
(c) On suppose qu’en dimension n − 1, il existe des familles “sp´eciales” v0, . . . , vn−1.
1
n − 1
D’apres (a), les produits scalaires deux a deux des vecteurs vk sont ´egaux `a −
.
Montrer qu’il existe une famille sp´eciale u0, . . . , un dans E. Conclure. [ S ]
4. Montrer que toute sous-famille de n vecteurs extraits d’une mˆeme famille “sp´eciale” (u) =
u0, u1, . . . , un de E est une base de E. [ S ]
5. Dans cette question, on prouve que les familles “sp´eciales” de E sont les images de l’une
d’entre elles par les endomorphismes orthogonaux de E.
(a) Montrer que si u0, . . . , un est une famille “sp´eciale” de E, et si f est un endomor-
phisme orthogonal de E, alors la famille vk = f (uk) est encore “sp´eciale”. [ S ]
(b) R´eciproquement, soient (u) = u0, . . . , un et (v) = v0, . . . , vn deux familles “sp´eciales”.
i. Montrer qu’il existe un unique f ∈ L(E) tq : ∀j ∈ {0, . . . , n − 1}, f (uj) = vj. [ S ]
ii. Montrer alors que f (un) = vn. [ S ]
iii. Etablir que f est un endomorphisme orthogonal de E. [ S ]
Partie II : Bases associ´ees
Dans cette partie E est un espace euclidien de dimension n ≥ 1.
1. Soit (e) = e1, . . . , en une base de E. Montrer qu’il existe une base unique (be) = be1, . . . , ben
de E telle que, pour tous indices i de j, < bei, ej > = δij =
On dira alors que (be) est la base associ´ee `a (e). Ces deux bases jouant le mˆeme rˆole dans
les ´egalit´es pr´ec´edentes, il est clair que (e) est la base associ´ee `a (be). [ S ]
.
(cid:26) 1 si i = j
0 si i 6= j
2. Quelles sont les bases de E qui sont leur propre associ´ee ? [ S ]
3. Soit x un vecteur de E. Montrer que les composantes xi de x dans la base (e) sont les
produits scalaires < bei, x > de x avec les vecteurs de la base associ´ee (be).
Autrement dit les coordonn´ees contravariantes d’un vecteur dans une base sont les coor-
donn´ees covariantes de ce vecteur dans la base associ´ee. [ S ]
4. Soient x et y deux vecteurs de E. On note xi, yi leurs composantes dans la base (e) et
bxi, byi leurs composantes dans la base (be) (dans les deux cas, ce sont les composantes au
sens usuel, c’est-`a-dire les coordonn´ees contravariantes.)
Exprimer tr`es simplement < x, y > et kxk2 en fonction de ces composantes. [ S ]
5. On note G la matrice de Gram de la base (e) et bG celle de la base associ´ee (be).
Interpr´eter G et bG comme des matrices de passage. En d´eduire que bG = G−1. [ S ]
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Familles obtusangles ou acutangles
´Enonc´e
6. Dans cette question, on suppose que la base (e) est obtusangle.
On va montrer que la base associ´ee (be) est acutangle.
On pose α =
kejk2, et on d´efinit la matrice A = In −
1
α
G.
n
X
j=1
(a) Montrer que A est `a coefficients positifs ou nuls. [ S ]
(b) Montrer que A et G sont diagonalisables `a l’aide d’une mˆeme matrice de passage. [ S ]
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(c) Montrer que les valeurs propres de A sont dans [0, 1[ (utiliser la question I-3). [ S ]
(d) Montrer que la suite des Bm = In + A + A2 + · · · + Am converge vers αG−1.
Indication : utiliser une r´eduite de A `a la forme diagonale. [ S ]
(e) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que la base (be) est acutangle. [ S ]
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Familles obtusangles ou acutangles
Corrig´e
Corrig´e du probl`eme
1.
(a) On calcule le carr´e scalaire de v, en utilisant les deux expressions de ce vecteur :
kvk2 = <
X
i∈I
λiui,
X
j∈J
(−λj)uj > =
X
X
i∈I
j∈J
λi(−λj) < ui, uj >
Dans cette somme les λi(−λj) sont ≥ 0 et les < ui, uj > sont < 0.
On en d´eduit que kvk2 ≤ 0, ce qui n’est possible que si v est nul. [ Q ]
(b) Puisque v est nul, il en est de mˆeme du produit scalaire < v, uj > .
Mais < v, uj > = <
λiui, uj > =
λi < ui, uj >
X
X
i∈I
i∈I
Dans cette somme, les λi sont > 0 et les < ui, uj > sont < 0.
Donc < v, uj > < 0, ce qui est absurde.
Conclusion : si Pm
k=1 λkuk = 0 est une relation lin´eaire (les λk ´etant non tous nuls)
entre les vecteurs d’une famille strictement obtusangle u1, . . . , um, alors tous les λk
sont non nuls et de mˆeme signe.
[ Q ]
2. Soit u1, . . . , um une famille strictement obtusangle de m vecteurs de E.
Supposons que cette famille soit de rang strictement inf´erieur `a m − 1.
Alors u1, . . . , um−1 sont li´es : Il existe λ1, . . . , λm−1 non tous nuls tels que
On peut alors ´ecrire
m
X
λkuk =
−→
0 en posant λn = 0.
λkuk =
−→
0 .
m−1
X
k=1
k=1
Mais ce r´esultat contreduit celui de la question pr´ec´edente (en tant que coefficients non
tous nuls reliant les vecteurs d’une famille strictement obtusangle, les λk doivent ˆetre tous
non nuls et de mˆeme signe.)
Conclusion : la famille u1, . . . , um est au moins de rang m − 1.
Le rang m − 1 ou m de (u) est n´ecessairement inf´erieur ou ´egal `a n = dim E.
On en d´eduit l’in´egalit´e : m ≤ n + 1.
Conclusion : toute famille strictement obtusangle de E est au plus de cardinal n + 1. [ Q ]
3.
(a) La famille (u) est li´ee : Il existe des scalaires non tous nuls λk tels que
λkuk =
−→
0 .
n
X
k=0
On sait en fait depuis 1-b que les λk sont tous non nuls.
∀j ∈ {0, . . . , n}, on a alors : 0 = < uj,
λkuk > =
n
X
n
X
λk < uj, uk > = λj +c
X
λk.
Si σ =
n
X
k=0
k=0
k=0
λk, on trouve 0 = λj + c(σ − λj). Tous les λj sont donc ´egaux `a
k6=j
cσ
c − 1
.
Avec ce r´esultat, l’´egalit´e
λkuk =
−→
0 donne donc
n
X
k=0
uk =
−→
0 .
n
X
k=0
Les λj ´etant ´egaux non nuls, l’´egalit´e 0 = λj + c(σ − λj) devient 0 = λj + c nλj.
1
n
On en d´eduit effectivement que c = −
[ Q ]
.
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Familles obtusangles ou acutangles
Corrig´e
(b) – On suppose que E est une droite vectorielle. La famille u0, u1 d´efinie par un vecteur
unitaire u0 et le vecteur oppos´e u1 = −u0 convient.
– On suppose que E est un plan vectoriel. Soit e1, e2 une base orthonorm´ee de E.
1
2
√
3
2
1
2
√
3
2
e1 +
On pose u0 = e1, u1 = −
Si on identifie E au plan complexe, u0, u1, u2 sont les images de 1, j, j2.
Ces trois vecteurs unitaires conviennent car leurs produits scalaires deux `a deux
sont ´egaux `a −1/2.
e2 et u2 = −
e1 −
e2.
[ Q ]
(c) Soit un un vecteur unitaire particulier de E.
L’hyperplan F orthogonal `a un est euclidien de dimension n − 1.
Il existe donc une famille “sp´eciale” v0, . . . , vn−1 de F .
On va maintenant construire les vecteurs unitaires u0, . . . , un−1.
Pour construire uj, on va modifier vj en restant dans le plan engendr´e par vj et un.
√
On cherche donc uj sous la forme λun ±
Puisque < uj, un > = λ, on doit poser λ = −1/n.
1 − λ2 vj.
Pour tout entier j de {0, . . . , n − 1}, on choisit uj = −
un +
1 −
1
n
r
1
n2 vj.
Par construction, pour tout j de {0, . . . , n − 1}, uj est unitaire et < uj, un > = −
1
n
1
Il reste `a montrer que pour tous i, j distincts dans {0, . . . , n − 1}, < ui, uj > = −
n
Effectivement, en utilisant l’orthogonalit´e de un avec vi, vj et la valeur de < vi, vj > :
.
.
< ui, uj > = < −
r
un +
1 −
1
n
r
un +
1 −
1
n
1
n2 vj >
=
(cid:16)
1
n2 +
1 −
(cid:17)(cid:16)
1
n2
−
1
n2 vi , −
(cid:17)
1
n − 1
= −
1
n
Conclusion :
Dans tout espace euclidien E de dimension n ≥ 1, il existe des familles “sp´eciales”,
c’est-`a-dire des familles strictement obtusangles (u) = u0, . . . , un de n + 1 vecteurs
unitaires tels que, pour tous indices i, j distincts < ui, uj > soit ind´ependant de i, j.
Rappelons des propri´et´es d´ej`a d´emontr´ees pour une telle famille :
– Les produits scalaires < ui, uj > (avec i 6= j) valent n´ecessairement −1/n.
– La somme u0 + u1 + · · · + un est nulle.
– Le rang de cette famille est n (il ne peut bien sˆur pas ˆetre ´egal `a n + 1).
[ Q ]
4. La d´emonstration est analogue `a celle de la question (2).
Il suffit par exemple de montrer que u1, . . . , un est une base de E.
Si tel n’´etait pas le cas, on pourrait ´ecrire Pn
tous nuls, puis Pn
k=0 λkuk =
Mais cela contredirait une propri´et´e des familles strictement obtusangles (tous les λk
doivent en effet ˆetre non nuls et de mˆeme signe.) [ Q ]
−→
0 en ajoutant λ0u0 avec λ0 = 0.
−→
0 avec des coefficients λk non
k=1 λkuk =
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Familles obtusangles ou acutangles
Corrig´e
5.
(a) En effet les vecteurs vk sont unitaires (conservation de la norme) et pour tous indices
distincts i, j, ils v´erifient (par conservation du produit scalaire) :
< vi, vj > = < f (ui), f (uj) > = < ui, uj > = −
1
n
.
[ Q ]
(b)
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i. Cela r´esulte de ce que u0, . . . , un−1 et v0, . . . , vn−1 forment une base de E.
En effet un endomorphisme de E est d´etermin´e de mani`ere unique par les images
d’une base de E. Et le fait que f transforme la base u0, . . . , un−1 en la base
v0, . . . , vn−1 montre que f est un automorphisme. [ Q ]
ii. On sait que un = −(u0 + · · · + un−1) et vn = −(v0 + · · · + vn−1). Par lin´earit´e,
les ´egalit´es f (u0) = v0, . . . , f (un−1) = vn−1 impliquent donc f (un) = vn. [ Q ]
iii. Pour tous i, j de {0, . . . , n}, on a :
1
n
< f (ui), f (uj) > = < vi, vj > = −
= < ui, uj > .
On a donc les ´egalit´es < f (ui), f (uj) > = < ui, uj > pour 0 ≤ j ≤ n − 1.
Or u0, . . . , un−1 forment une base de E.
La lin´earit´e de f et la bilin´earit´e du produit scalaire implique alors < f (x), f (y) >
= < x, y > pour tous vecteurs x et y de E.
L’application f est donc un endomorphisme orthogonal de E. [ Q ]
Partie II : Bases associ´ees
1. – D´emonstration 1 :
On sait que l’application ϕ qui `a tout vecteur a de E associe la forme lin´eaire ϕa d´efinie
sur E par ϕa(x) = < a, x > est un isomorphisme de E sur son dual E∗.
On sait d’autre part qu’il existe dans E∗ une unique base (e∗) = e∗
de (e), telle que pour tous indices i, j, on ait l’´egalit´e e∗
Les conditions impos´ees aux vecteurs bei s’´ecrivent donc : ∀i ∈ {1, . . . , n}, ϕ(bei) = e∗
i .
Le probl`eme pos´e admet donc une solution unique :
La famille (be) est l’image r´eciproque par l’isomorphisme ϕ de la base (e∗) de E∗. A ce
titre, la famille (be) est une base de E.
n, dite duale
i (ej) = δij.
1, . . . , e∗
– D´emonstration 2 :
On a vu dans I-5 qu’un vecteur x de E est d´etermin´e de mani`ere unique par la donn´ee
des produits scalaires < x, ej > (ses coordonn´ees covariantes dans la base (e)).
En particulier, pour tout i de {1, . . . , n}, il existe un unique bei de E tel que :
< bei, ej > =
La famille (be) est une base de E.
En effet, pour tous scalaires λ1, . . . , λn, et pour tout indice j :
(cid:26) 1 si i = j
0 si i 6= j
.
n
X
i=1
λi bei =
−→
0 ⇒ <
n
X
i=1
λi bei, ej > = 0 ⇒
n
X
i=1
λi < bei, ej > = 0 ⇒ λj = 0
[ Q ]
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Corrig´e
2. Ce sont les bases (e) de E qui v´erifient < ei, ej > = δij pour tous indices i, j.
Autrement dit, ce sont les bases orthonorm´ees de E.
[ Q ]
3. Reprenons les notations utilis´ees dans la premi`ere d´emonstration de la question 1.
On sait que pour tout x de E, x =
On en d´eduit x =
n
X
i=1
ϕ(bei)(x)ei =
n
X
i=1
n
X
i=1
e∗
i (x)ei.
< bei, x > ei.
On aurait pu aussi ´ecrire, pour tout indice i :
x =
n
X
j=1
xjej ⇒ < bei, x > = < bei,
n
X
j=1
xjej > =
n
X
j=1
xj < bei, ej > =
n
X
j=1
xj δij = xi
NB : par sym´etrie, puisque (e) est la base associ´ee de (be), on a x =
n
X
i=1
< ei, x > bei.
[ Q ]
4. D’apres ce qui pr´ecede, pour tout x de E et tout indice i : xi = < bei, x > et bxi = < ei, x > .
n
X
n
X
n
X
On trouve imm´ediatement : < x, y > = <
xiei, y > =
xi < ei, y > =
xi byi.
Par sym´etrie : < x, y > =
i=1
bxi yi. Enfin, kxk2 =
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n
X
i=1
n
X
i=1
i=1
i=1
xi bxi.
[ Q ]
5. Pour tout x de E, x =
n
X
i=1
< bei, x > ei.
n
X
En particulier : ∀j ∈ {1, . . . , n}, bej =
< bei, bej > ei.
i=1
La matrice de passage de la base (e) `a la base (be) est donc la matrice de terme g´en´eral
< bei, bej > , c’est-`a-dire la matrice de Gram bG de la base (be). De mˆeme, par sym´etrie, la
matrice de passage de (be) `a (e) est la matrice de Gram G de la base (e).
On en d´eduit que les deux matrices G et bG sont inverses l’une de l’autre. [ Q ]
6.
(a) Le coefficient d’indice (i, j) de A s’´ecrit aij = δij −
1
α
< ei, ej > .
Si i 6= j, aij = −
1
α
< ei, ej > et il est positif ou nul car la famille (e) est obtusangle.
Si i = j, ce coefficient vaut aii = 1 −
1
α
keik2 et aii ≥ 0 car keik2 ≤ α.
On en d´eduit que la matrice A est `a coefficients positifs ou nuls.
[ Q ]
(b) A et G sont diagonalisables car elles sont sym´etriques `a coefficients r´eels.
Soit P une matrice de passage telle que D = P −1GP soit diagonale. Alors :
∆ = P −1AP = P −1(cid:16)
[ Q ]
P −1GP = In −
P = In −
In −
1
α
1
α
1
α
G
(cid:17)
D est encore diagonale.
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Corrig´e
(c) Avec ces notations, les valeurs propres λi de A sont les coefficients diagonaux de
1
α
µi, o`u les µi sont les coefficients diagonaux de D (les
∆, c’est-`a-dire les λi = 1 −
valeurs propres de G.)
Or les valeurs propres µi de G v´erifient 0 ≤ µi ≤ α (voir I-3).
Comme de plus la matrice G est inversible, ses valeurs propres sont non nulles.
Les valeurs propres λi de A v´erifient donc 0 < (1 − λ)α ≤ α, c’est-`a-dire 0 ≤ λi < 1.
[ Q ]
(d) Comme dans la question (b), soit P une matrice de passage telle que la matrice
∆ = P −1AP soit diagonale.
Puisque A = P ∆P −1, on a Ak = P ∆kP −1 pour tout exposant k.
Par lin´earit´e, on en d´eduit :
Bm = I + A + A2 + · · · + Am = P ∆mP −1 avec ∆m = In + ∆ + ∆2 + · · · + ∆m.
Rappelons que le i-`eme coefficient diagonal de ∆ est une valeur propre λi de A.
Le i-`eme coefficient diagonal de ∆m vaut donc : 1 + λi + λ2
i + · · · + λm
i =
Puisque 0 ≤ λi < 1, la limite de ce coefficient quand m tend vers +∞ est
1 − λm+1
i
1 − λi
1
1 − λi
On en d´eduit que la suite de terme g´en´eral ∆m converge vers la matrice diagonale
dont les coefficients diagonaux successifs sont les βi =
, c’est-`a-dire vers la
matrice inverse de In − ∆.
La suite des Bm = P ∆mP −1 converge donc vers la matrice B d´efinie par :
1
1 − λi
B = P (In − ∆)−1P −1 = (P (In − ∆)P −1)−1 = (In − P ∆P −1)−1
= (In − A)−1 =
(cid:17)−1
(cid:16) 1
α
G
= α G−1
[ Q ]
(e) On sait que la matrice A est `a coefficients positifs ou nuls. Il en est donc de mˆeme
des matrices Ak (pour k ∈ IN) et des matrices Bm = I + A + A2 + · · · + Am.
Par passage a la limite, la matrice B = α G−1 est donc a coefficients positifs.
Puisque α > 0, il en est donc de mˆeme de la matrice G−1 c’est-`a-dire de la matrice
de Gram bG de la famille (be).
Ce dernier r´esultat signifie que pour tous indices i, j, on a < bei, bej > ≥ 0.
Conclusion : la base (be) est une famille acutangle. [ Q ]
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