École Supérieure Privée d’Ingénierie et de Technologies
Probabilités I
Série d’exercices №2 : Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable
aléatoire réelle
Niveau : 4ème année D.S & INFINI
Année universitaire : 2020-2021
Exercice 1 :
Soit X une v.a. à valeurs dans N. On définit sa fonction génératrice GX par :
∀z ∈ [−1, 1], GX (z) = k (3 + 2z2)3, où k ∈ R.
1. Déterminer la constante k.
2. Déterminer la loi de probabilité de la v.a. X.
3. Calculer l’espérance et la variance de X.
Exercice 2 :
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On considère une expérience aléatoire ayant la probabilité p ∈]0, 1] de réussir et q = 1 − p
d’échouer. On répete l’expérience indépendamment jusqu’a l’obtention de n ≥ 1 succès et l’on note
par Xn le nombre d’essais nécessaires a l’obtention de ces n succes.
1. Reconnaˆıtre la loi de X1.
2. Déterminer la loi de Xn dans le cas général, n ∈ N∗.
3. Déterminer la fonction génératrice de Xn et en déduire son espérence.
(Indication : en utilisant le développement de Taylor, on a, pour |x| < 1 : f (x) = 1
(cid:80)+∞
(1−x)n =
k=0 Cn−1
n+k−1 xk)
Exercice 3 :
1. Donner la fonction caractéristique de Y dans les cas suivants :
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(a) Si Y suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0.
(b) Si Y suit une loi exponentielle symétrique de paramètre λ > 0 (i.e. la densité de Y est
donnée par :∀y ∈ R, f (y) = λ
2 e−λ|y|).
2. En déduire E(Y ) et V(Y ) dans chacunes des situations précédentes (P(λ) et loi exponentielle
symétrique).
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Exercice 4 :
Une variable aléatoire X est dite une variable χ2
n, chi-carrée à n ≥ 1 degrés de liberté, si
où les Xi sont i.i.d ∼ N (0, 1), 1 ≤ i ≤ n.
X = X 2
1 + X 2
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2 + . . . + X 2
n,
1. Si X ∼ χ2
2. À l’aide des fonctions caractéristiques, montrez que si X ∼ χ2
n, calculer E(X) et V(X).
n, Y ∼ χ2
m, X et Y étant
indépendantes, alors X + Y ∼ χ2
n+m.
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