´Ecole Sup´erieure Priv´ee d’Ing´enierie et de Technologies
Probabilit´es I
S´erie d’exercices №1 : Outils fondamentaux pour les probabilit´es
Niveau : 4`eme ann´ee D.S & INFINI
Ann´ee universitaire : 2020-2021
Exercice 1 :
Soit (Ω, A, P) un espace de probabilit´e, et A, B et (Ai)1≤i≤n des ´ev´enements de A.
1. Comparer les nombres P(A ∪ B) et P(A) − P(B).
2. Comparer les nombres P(∪n
i=1Ai) et 1 −
n
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(cid:88)
i=1
P( ¯Ai).
Exercice 2 :
Tous les meilleurs joueurs du monde sont inscrits au tournoi de tennis Roland Garros pour
lequel le 1er prix est de deux millions d’euros. On estime a priori que Rafael Nadal a 4 chances sur
10 de gagner, Roger Federer 3 chances sur 10 et Malek Jaziri 1 chance sur 20. Si par hasard Rafael
Nadal se blesse et annule sa participation au dernier moment, que deviennent les chances de Roger
et Malek Jaziri de remporter le 1er prix ?
Indication : On pourra noter N (resp. F et J) l’´ev´enement :
”Rafael Nadal (resp. R. Federer et M. Jaziri) gagne le tournoi ”.
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Exercice 3 :
Soit X une variable al´eatoire r´eelle `a valeurs dans N telle que :
∀n ∈ N∗, P(X = n) =
4
n
P(X = n − 1)
1. D´eterminer la loi de la v.a.r X.
2. Calculer FX (2), o`u FX est la fonction de r´epartition de X.
3. Trouver E(X) l’esp´erance de X.
Exercice 4 :
Soit µ une mesure de probabilit´e sur R de fonction de r´epartition F. Soit X ∼ U([0, 1]).
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Montrer que Y = F−1(X) est une v.a de loi µ.
1
Exercice 5 :
On consid`ere une fonction f d´efinie par :
(cid:40)
f (x) =
−x2
2
xe
0
si x ≥ 0
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sinon
.
1. V´erifier que f est bien une fonction de densit´e de probabilit´e d’une variable al´eatoire X.
2. D´eterminer la loi de la v.a Y = X 2.
3. Calculer E(X) et puis V(X).
2