École Supérieure Privée d’Ingénierie et de Technologies
Probabilités I
Série d’exercices №1 : Outils fondamentaux pour les probabilités
Niveau : 4ème année D.S & INFINI
Année universitaire : 2020-2021
Exercice 1 :
Soit (Ω, A, P) un espace de probabilité, et A, B et (Ai)1≤i≤n des événements de A.
1. Comparer les nombres P(A ∪ B) et P(A) − P(B).
2. Comparer les nombres P(∪n
i=1Ai) et 1 −
n
(cid:88)
i=1
Publicité
P( ¯Ai).
Exercice 2 :
Tous les meilleurs joueurs du monde sont inscrits au tournoi de tennis Roland Garros pour
lequel le 1er prix est de deux millions d’euros. On estime a priori que Rafael Nadal a 4 chances sur
10 de gagner, Roger Federer 3 chances sur 10 et Malek Jaziri 1 chance sur 20. Si par hasard Rafael
Nadal se blesse et annule sa participation au dernier moment, que deviennent les chances de Roger
et Malek Jaziri de remporter le 1er prix ?
Indication : On pourra noter N (resp. F et J) l’événement :
”Rafael Nadal (resp. R. Federer et M. Jaziri) gagne le tournoi ”.
Exercice 3 :
Soit X une variable aléatoire réelle à valeurs dans N telle que :
∀n ∈ N∗, P(X = n) =
4
Publicité
n
P(X = n − 1)
1. Déterminer la loi de la v.a.r X.
2. Calculer FX (2), où FX est la fonction de répartition de X.
3. Trouver E(X) l’espérance de X.
Exercice 4 :
Soit µ une mesure de probabilité sur R de fonction de répartition F. Soit X ∼ U([0, 1]).
Montrer que Y = F−1(X) est une v.a de loi µ.
1
Exercice 5 :
On considère une fonction f définie par :
(cid:40)
f (x) =
Publicité
−x2
2
xe
0
si x ≥ 0
sinon
.
1. Vérifier que f est bien une fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire X.
2. Déterminer la loi de la v.a Y = X 2.
3. Calculer E(X) et puis V(X).
2