Institut Supérieur des Arts Multimédia de la Manouba.
Département Informatique.
Probabilités et Statistiques (2ème année Licence Informatique)
Ce polycopié est en cours de rédaction. N’hésitez pas à transmettre toutes remarques ou à signaler
toutes coquilles ou erreurs à mon adresse électronique : [email protected]
Yousri Henchiri, MA
Email: [email protected] 10 décembre 2021
Yousri HENCHIRI
Université De La Manouba
Table des matières
1 Probabilités élémentaires
1.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Les probabilités d’un événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Notion de variable aléatoire et distribution de probabilité . . . . . . . . . . . . . .
2 Lois associées aux variables de comptage (Lois discrètes)
2.1 Loi uniforme discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Loi Bernoulli 2.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Lois associées aux variables de mesurage (Lois continues)
3.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 La loi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Références
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1 Probabilités élémentaires
1.1 Notions de base
(cid:17) Expérience aléatoire (dite aussi épreuve) : c’est une expérience dont les résultats sont dûs au hasard et même si elle est répétée dans les mêmes conditions ne donne pas souvent les mêmes résultats.
(cid:73) Exemple :
Nous supposons qu’une population animale est composée à part égale d’individus des deux sexes (F : Femelle, M : Mâle). Nous considérons l’épreuve suivante : "extraire trois individus de cette population".
(cid:17) Univers Ω : C’est l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire noté
par Ω.
(cid:73) Exemple :
Les différents résultats possibles de l’épreuve décrite ci-dessus sont
FFF, FFM, FMF, MFF, MMF, MFM, FMM, MMM.
(cid:17) Événements :
(cid:230) Quelques événements particuliers :
(cid:63) ∅ est l’événement impossible et Ω est l’événement certain. (cid:17) (cid:63) Ac (cid:16) ¯A
est l’événement complémentaire (ou contraire) de A. C’est l’événement qui
se réalise si A ne l’est pas. Autrement dit, Ac = {x | x ∈ Ω mais x /∈ A}.
Figure 1 – Représentation d’un ensemble A et de son complémentaire Ac.
(cid:63) L’union : Si A et B sont deux événements. A ∪ B est l’événement qui se réalise dès
que A ou B s’est réalisé. Autrement dit, A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.
(cid:63) L’intersection : Si A et B sont deux événements. A ∩ B est l’événement qui se réalise dès que A et B s’est réalisé. Autrement dit, A ∩ B = {x | x ∈ A et x ∈ B}.
(cid:63) L’événement A \ B est défini par l’ensemble des éléments de A qui n’appartiennent
pas à B. Autrement dit, A \ B = {x | x ∈ A et x /∈ B} (cid:0)A \ B = A ∩ Bc(cid:1).
(cid:63) L’inclusion au sens large : A ⊆ B signifie (x ∈ A ⇒ x ∈ B, ∀x).
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Figure 2 – Représentation de l’union de deux ensembles A et B.
Figure 3 – Représentation de l’intersection de deux ensembles A et B.
Figure 4 – Représentation de A \ B.
(cid:63) L’inclusion au sens strict : A ⊂ B signifie (x ∈ A ⇒ x ∈ B).
(cid:63) Les événements A et B sont disjoints, incompatibles ou mutuellement exclusifs si
A ∩ B = ∅.
Figure 5 – Représentation de deux ensembles, A et B, disjoints.
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(cid:73) Exercice :
Soient Ω = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}, A = {1, 5, 7}, B = {1, 5, 7, 11, 13}, C = {3, 5, 7, 9} et D = {11, 13}. Nous avons,
(cid:46) L’événement Ac = {3, 9, 11, 13}. (cid:46) L’événement A implique l’événement B.
(cid:46) A ∪ B = {1, 5, 7, 11, 13}.
(cid:46) B ∪ C = Ω.
(cid:46) C et D sont deux événements mutuellement exclusifs.
(cid:230) Classes particulières d’événements :
Considérons une suite E1, E2, . . . , Em de sous-ensembles non-vides de Ω et disjoints deux à deux, c-à-d
Ei ∩ Ej = ∅,
i (cid:54)= j,
i, j = 1, . . . , m.
et supposons que E1 ∪ E2 ∪ . . . ∪ Em = Ω, nous définissons dans ce cas une classe d’évé- nements mutuellement exclusifs et exhaustifs et constitue une partition de l’ensemble fondamental Ω. Une telle classe est encore appelée un système complet (ou exhaustif ) d’événements.
Par extension, nous pouvons partitionner un événement E quelconque en événements mutuellement exclusifs E1, E2, . . . , Em de telle façon :
Ei (cid:54)= ∅,
Ei ⊂ E, Ei ∩ Ej = ∅, E = E1 ∪ E2 ∪ . . . ∪ Em.
i = 1, . . . , m. i = 1, . . . , m. i (cid:54)= j,
i, j = 1, . . . , m.
1.2 Les probabilités d’un événement
La probabilité d’un événement A peut s’obtenir de manière fréquentiste, notamment lorsqu’il est possible de faire une expérience plusieurs fois et de compter le nombre de succès de l’expé- rience. En effet, si on effectue n fois une expérience indépendamment et que dans nA fois des cas, l’événement A est réalisé, alors, la probabilité P de l’événement A est alors définie par
P(A) = lim n↑+∞
nA n
,
Cette probabilité, fondée sur l’expérience, est appelée probabilité empirique. Sa valeur est com-
prise entre 0 et 1, c’est à dire entre l’événement impossible et l’événement certain.
De manière plus probabiliste, lorsque le nombre de résultats possibles de l’expérience est fini
et que ces résultats sont équiprobables,la probabilité P de l’événement A est obtenue par
P(A) =
Card(A) Card(Ω)
=
nombre de cas où A se réalise nombre de cas possibles
.
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(cid:73) Exercice :
Pour tester un vaccin V , nous disposons de 10 volontaires. Trois d’entre eux appartiennent à la même famille. Deux personnes sont tirées au hasard. Quelle est la probabilité que deux personnes tirées soient de la même famille (l’événement est noté par F ) ?
P(F ) =
Card(F ) Card(Ω)
=
(cid:1) (cid:0)3 2 (cid:1) = (cid:0)10 2
3 45
=
1 15
,
où (cid:0)3
2
(cid:1) = 3!
2!1! = 3 et (cid:0)10
2
(cid:1) = 10!
2!8! = 45.
Axiomes des probabilités
Soit Ω, l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire et F est la collection de tous les événements possibles de Ω. Un événement A est un sous-ensemble de Ω qui définit un résultat ou une combinaison de résultats. Soit A ∈ F , définir la probabilité P(A) d’obtenir un événement A consiste à associer à ce dernier un nombre réel sur [0, 1] mesurant la vraisemblance (la crédibilité) de sa réalisation et satisfaisant aux axiomes suivants : Axiome 1. (Non-négativité) 0 (cid:54) P(A) (cid:54) 1, pour chaque événement A ∈ F , Axiome 2. (Normalisation) P(Ω) = 1, Axiome 3. (Additivité) Pour toute suite d’événements A1, A2, . . . deux à deux disjoints (ou incom-
patibles) Ai ∩ Aj = ∅, i /∈ j,
Le triplet (Ω, F , P) définit un espace probabilisé.
(cid:16) ∞ (cid:91)
P
(cid:17)
Ai
=
i=1
∞ (cid:88)
i=1
P(Ai).
Propriétés
(cid:17) P(Ac) = 1 − P(A).
Démonstration. Ω = (A ∪ Ac), d’après l’axiome (3). P(A ∪ Ac) = P(A) + P(Ac) = P(Ω) = 1 d’après l’axiome (2). Donc P(Ac) = 1 − P(A).
(cid:17) P(∅) = 0.
Démonstration. Ω = Ω ∪ ∅, d’après l’axiome (3). P(Ω ∪ ∅) = P(Ω) + P(∅) = 1 = P(Ω) d’après l’axiome (2). Donc P(∅) = 0.
(cid:17) Si A ⊂ B, alors P(A) (cid:54) P(B).
Démonstration. Du fait que A ⊂ B, nous pouvons exprimer B par
B = A ∪ (Ac ∩ B),
A et Ac ∩ B étant mutuellement exclusifs, d’après l’axiome (3)
P(B) = P(A) + P(Ac ∩ B).
Donc P(B) − P(A) = P(Ac ∩ B) (cid:62) 0. Alors, P(B) (cid:62) P(A).
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(cid:17) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Démonstration. Pour obtenir une formule donnant P(A ∪ B), remarquant d’abord que A ∪ B peut être écrit comme l’union de deux éléments disjoints A et Ac ∩ B. Nous tirons alors de l’axiome (3) que P(A ∪ B) = P(A ∪ (Ac ∩ B)) = P(A) + P(Ac ∩ B), de plus, comme B = (A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B), nous tirons de nouveau de cet axiome
ou encore
Donc,
P(B) = P(A ∩ B) + P(Ac ∩ B),
P(Ac ∩ B) = P(B) − P(A ∩ B).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
(cid:17) Axiome des probabilités composées : Soient A1 et A2, deux résultats possibles d’une même expérience aléatoire, on suppose que A1 et A2 sont compatibles (A1 ∩A2 (cid:54)= ∅). Si l’obtention de A1 ne modifie pas la probabilité d’obtention de A2, on peut écrire :
P(A1 et A1) = P(A1 ∩ A2) = P(A1) × P(A2).
Cet axiome se généralise à k événements indépendants et s’écrit :
P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ . . . Ak−1 ∩ Ak) = P(A1) × P(A2) × . . . × P(Ak−1) × P(Ak).
1.3 Probabilité conditionnelle
La probabilité affectée à un événement dépend de l’information fournie par l’ensemble fonda- mental Ω. Ceci est particulièrement évident lorsqu’on utilise la définition classique de la probabilité. Il se peut cependant que des informations supplémentaires viennent modifier notre connaissance du problème étudié et, par voie de conséquence, les probabilités associées aux événements de Ω. Ainsi, si A1 et A2 sont deux événements, la probabilité conditionnelle de A2 étant donné A1, P(A2 | A1), indique la probabilité que A2 se produise sachant que A1 s’est déjà produit (P(A1) (cid:54)= 0)). Elle est définie par
P(A2 | A1) =
P(A1 ∩ A2) P(A1)
.
L’indépendance est un concept fondamental de la théorie des probabilités. Elle permet de
conceptualiser le fait que deux évènements ne peuvent pas interagir l’un sur l’autre.
Définition 1.1. Soient A et B deux évènements. On dit que A et B sont indépendants si seulement si
P(A ∩ B) = P(A) P(B),
et on écrit alors A ⊥⊥ B.
Il est équivalent de dire que, si les deux événements sont disjoints,
P(A | B) = P(B | A) = 0.
+ Remarque 1.1. Indépendance et intersection vide n’ont rien à voir. Deux évène-
ment disjoints sont nécessairement dépendants.
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+ Remarque 1.2. Si la réalisation ou la non réalisation de A n’affecte pas B, alors
P(B | A) = P(B).
En effet, comme A et B sont indépendants P(A ∩ B) = P(A) P(B), et donc
P(B | A) =
P(B ∩ A) P(A)
=
P(B) P(A) P(A)
= P(B),
(cid:0) P(A) /∈ 0(cid:1).
Théorème de Bayes
Dans certaines situations, nous ne possédons pas l’information nécessaire pour évaluer di- rectement P(A) ou même P(Bi | A). En revanche on connait P(A | Bi) et P(Bi). L’ensemble (cid:8)B1, B2, . . . , Bn (cid:9) supposé être une partition de Ω. Par définition, nous avons :
P(Bi | A) =
P(A ∩ Bi) P(A)
et P(A | Bi) =
P(A ∩ Bi) P(Bi)
,
comme P(A ∩ Bi) = P(A | Bi) P(Bi), nous avons
P(Bi | A) =
P(A | Bi) P(Bi) P(A)
.
Loi de probabilité totale
Supposons que B1, B2, . . . , Bn soient des événements mutuellement exclusifs tels que
n (cid:91)
i=1
Bi = Ω.
Cela revient à dire en d’autres termes qu’exactement un des événements B1, B2, . . . , Bn se
produira. En écrivant,
A = A ∩ Ω = A ∩ (B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bn) =
n (cid:91)
i=1
(cid:0)A ∩ Bi
(cid:1)
et en utilisant le fait que les événements A ∩ Bi, i = 1, . . . , n, mutuellement exclusifs, nous
obtenons :
P(A) =
n (cid:88)
i=1
P(A ∩ Bi) =
n (cid:88)
i=1
P(A | Bi) P(Bi).
Cette relation est souvent nommée la loi de probabilité totale et montre que sachant B1, B2, . . . , Bn
sont des événements dont un seul peut se réaliser, nous pouvons calculer P(A) en commençant par conditionner selon les Bi.
Alors, la formule de Bayes généralisée est la suivante :
P(Bi | A) =
P(A | Bi) P(Bi) i=1 P(A | Bi) P(Bi)
(cid:80)n
.
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(cid:73) Exercice :
Un laboratoire a mis au point un alcootest. Nous savons que 2% des personnes contrôlées par la police sont réellement en état d’ébriété. Les premiers essais ont conduit aux résultats suivants :
• lorsqu’une personne est réellement en état d’ébriété, 95 fois sur 100 l’alcootest se
révèle positif,
• lorsqu’une personne n’est pas en état d’ébriété, 96 fois sur 100 l’alcootest se révèle
négatif.
Quelle est la probabilité pour qu’une personne soit réellement en état d’ébriété lorsque l’alcootest est positif ?
Solution.
Appelons
et
E = "la personne contrôlée est en état d’ébriété".
Les indications fournies peuvent s’écrire :
A = "l’alcootest est positif".
P(E) = 0.02, P(A | E) = 0.95, P(Ac | Ec) = 0.96,
et nous cherchons à calculer P(E | A). D’après la formule de Bayes, nous avons :
P(E | A) =
P(E) P(A | E) P(E) P(A | E) + P(Ec) P(A | Ec)
=
0.02 × 0.95 0.02 × 0.95 + 0.98 × 0.04
= 0.3265
(cid:73) Exercice :
Dans un élevage de moutons, nous estimons que 30% sont atteints par une certaine maladie. Nous disposons d’un test pour cette maladie. Si un mouton n’est pas atteint, il a 9 chances sur 10 d’avoir une réaction négative au test ; s’il est atteint, il a 8 chances sur 10 d’avoir une réaction positive. Nous soumettons tous les moutons de l’élevage au test.
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(a) Quelle est la probabilité qu’un mouton de cet élevage ne soit pas malade ?
(b) Quelle est la probabilité conditionnelle qu’un mouton ait une réaction positive au test
sachant qu’il n’est pas malade ?
(c) Quelle est la probabilité qu’un mouton ne soit pas malade et ait une réaction positive
au test ?
(d) Quelle proportion des moutons de l’élevage réagit positivement au test ?
(e) Quelle est la probabilité qu’un mouton soit malade, sachant qu’il a réagi positivement ?
(f) Quelle est la probabilité qu’un mouton ne soit pas malade, sachant qu’il a réagi
négativement ?
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Solution.
Nous notons par M l’événement "le mouton est malade" et T l’événement "le mouton a une
réaction positive au test". L’énoncé donne :
(a)
(b)
(c)
P(M ) = 0.3, P(T c | M c) = 0.9, P(T | M ) = 0.8,
P(M c) = 1 − P(M ) = 1 − 0.3 = 0.7.
P(T | M c) = 1 − P(T c | M c) = 1 − 0.9 = 0.1.
P(T ∩ M c) = P(T | M c) P(M c) = 0.1 × 0.7 = 0.07.
(d) Nous pouvons utiliser la formule des probabilités totales ou raisonner directement, en distin- guant, parmi les moutons ayant réagi positivement, ceux qui sont malades de ceux qui ne le sont pas.
P(T ) = P(T ∩ M ) + P(T ∩ M c)
= P(T | M ) P(M ) + P(T | M c) P(M c) = 0.8 × 0.3 + 0.1 × 0.7 = 0.24 + 0.07 = 0.31.
(e) Nous pouvons utiliser directement la formule de Bayes ou bien la retrouver comme suit.
P(M | T ) =
P(T ∩ M ) P(T )
=
=
P(T | M ) P(M ) P(T | M ) P(M ) + P(T | M c) P(M c)
0.8 × 0.3 0.8 × 0.3 + 0.1 × 0.7
(cid:39) 0.774.
(f) Nous pouvons utiliser directement la formule de Bayes ou bien la retrouver comme suit.
P(M c | T c) =
P(T c ∩ M c) P(T c)
=
=
P(T c | M c) P(M c P(T c | M c) P(M c) + P(T c | M ) P(M )
0.9 × 0.7 0.9 × 0.7 + 0.2 × 0.3
(cid:39) 0.913.
1.4 Notion de variable aléatoire et distribution de probabilité
Le concept d’une variable aléatoire formalise la notion de grandeur variant selon le résultat d’une expérience aléatoire. C’est donc une variable associée à une expérience ou à un groupe d’expériences aléatoires, et servant à caractériser le résultat de cette expérience ou de ce groupe d’expériences.
Elle est dite discontinue ou discrète si elle varie elle-même de façon discontinue. Pour plusieurs répétitions d’une même expérience (par exemple plusieurs jets d’une même pièce de monnaie), le nombre de réalisations d’un événement aléatoire associé à ces expériences (par exemple le nombre
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de "face") est une variable aléatoire discontinue.
Considérons d’autre part une variable aléatoire susceptible de prendre n’importe quelle valeur réelle appartenant à un intervalle donné. Cet intervalle peut être (−∞, +∞). Une telle variable aléatoire est dite continue. Le poids d’un individu prélevé au hasard dans une population donnée est une variable aléatoire continue ne pouvant prendre que des valeurs positives.
Les variables aléatoires sont notées par des lettres majuscules (X, Y, Z, . . .) pour les distinguer
des variables déterministes (x, y, z, . . .).
Figure 6 – Illustration de l’application X et P.
Définition 1.2. Soit (Ω, F , P) un espace probabilisé associé à une expérience aléatoire. Une variable aléatoire X sur (Ω, F , P) est une application
X : Ω → R,
w (cid:55)→ X(w),
qui associe un nombre à chaque issue w ∈ Ω de l’expérience aléatoire et qui vérifie pour chaque B ⊂ R,
X −1(B) (cid:44)
w ∈ Ω | X(w) ∈ B
(cid:110)
(cid:111)
∈ F .
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• L’ensemble a ∈ R. • L’ensemble a ∈ R. • L’ensemble
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Définition 1.3. Soit (Ω, F , P) un espace probabilisé associé à une expérience aléatoire. L’application pX
pX : F → [0, 1], B (cid:55)→ pX (B),
est définie par
pX (B) (cid:44) P(X −1(B)) = P
(cid:16)(cid:110)
w ∈ Ω | X(w) ∈ B
(cid:111)(cid:17)
= P(X ∈ B),
pour chaque B ∈ F . Cette application est appelée mesure de probabilité image de X ou loi de probabilité de la variable alétoire X.
Quelques notations utiles
(cid:110)
w ∈ Ω | X(w) = a
(cid:111)
est un événement que l’on note par
(cid:110)
X = a
, pour chaque
w ∈ Ω | X(w) (cid:54) a
est un événement que l’on note par
(cid:111)
(cid:110)
X (cid:54) a
, pour chaque
(cid:111)
(cid:111)
(cid:110)
w ∈ Ω | a (cid:54) X(w) (cid:54) b
(cid:111)
est un événement que l’on note par
(cid:110)
a (cid:54) X (cid:54) b
(cid:111) ,
pour chaque a, b ∈ R.
• On écrit P(X = a) = P
(cid:16)(cid:8)X(w) = a(cid:9)(cid:17)
= P(X −1(a)).
Fonction de répartition
Soit X une variable aléatoire. La fonction de répartition de X est une fonction positive définie,
pour toute valeur x de X, par
FX (x) = pX
(cid:0)] − ∞, x](cid:1) = P
(cid:32)(cid:26)
w ∈ Ω | X(w) (cid:54) x
(cid:27)(cid:33)
(cid:44) P(X (cid:54) x),
x ∈ R.
Elle satisfait les propriétés suivantes : • FX est une fonction non-décroissante, • FX est continue à droite en chacun de ses points de discontinuité. • 0 (cid:54) FX (x) (cid:54) 1, • FX (−∞) = limx↓−∞ FX (x) = 0, FX (+∞) = limx↑+∞ FX (x) = 1.
Remarque 1.3. Tous les calculs de probabilité concernant X peuvent être fait en utilisant la fonction de répartition. Par exemple :
• P(a < X (cid:54) b) = P(a (cid:54) X < b) = P(a (cid:54) X (cid:54) b) = FX (b) − FX (a).
Démonstration. {X (cid:54) b} = {X (cid:54) a} + {a < X (cid:54) b} alors
P({X (cid:54) b}) = P({X (cid:54) a}) + P({a < X (cid:54) b}) ⇒ P(a < X (cid:54) b) = FX (b) − FX (a).
• P(X < b) = FX (b−) = lim n↑+∞
FX (b −
1 n
).
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Démonstration.
P(X < b) = P
(cid:91)
n(cid:62)1
(cid:32)
(cid:32)
(cid:110)
X (cid:54) b −
(cid:33)
(cid:111)
1 n
= P
lim n↑+∞
(cid:110)
X (cid:54) b −
(cid:32)
(cid:110)
X (cid:54) b −
= lim n↑+∞
P
(cid:33)
(cid:111)
1 n
(cid:33)
(cid:111)
1 n
= lim n↑+∞
FX
(cid:18)
b −
(cid:19)
.
1 n
(cid:73) Exercice :
Nous considérons la fonction de répartition suivante :
FX (x) =
0, x/2, 2/3, 11/12, 1,
si x < 0, si si si si
0 (cid:54) x < 1, 1 (cid:54) x < 2, 2 (cid:54) x < 3, 3 (cid:54) x.
a) Calculer P(X < 3). b) Calculer P(X = 1). c) Calculer P(X > 1/2).
Solution.
(a) P(X < 3) = lim n↑+∞
FX (3 −
1 n
) = FX (3−) =
11 12
.
(b) P(X < 1) = P(X (cid:54) 1) − P(X = 1).
lim n↑+∞
FX
(cid:16)
1 −
(cid:17)
1 n
= FX (1) − P(X = 1)
⇔
1 2
=
⇔ P(X = 1) =
2 3 2 3
− P(X = 1)
−
1 2
=
1 6
.
(c)
P (cid:0)X >
1 2
(cid:1) = 1 − P (cid:0)X (cid:54) 1 2 (cid:1) = 1 −
= 1 − FX
(cid:1)
(cid:0) 1 2
1 4
=
3 4
.
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Distribution et densité de probabilité
(cid:230) La fonction de masse ou la distribution de probabilité d’une variable aléatoire discrète :
Soit X une variable aléatoire discrète dont les valeurs sont x1, x2, . . . , xn. On pose
pX (xi) = P(X = xi),
i = 1, 2, . . . , n,
et on appelle distribution de probabilité, ou fonction de masse de X, ou loi de probabilité de X, l’ensemble des couples (xi, pX (xi)), où les pX (xi) vérifiant (cid:17) pX (xi) (cid:62) 0.
(cid:17)
+∞ (cid:88)
i=1
pX (xi) = 1.
Dans ce cas discret, la fonction de répartition FX est définie par
FX (x) = P(X (cid:54) x) =
(cid:88)
xi(cid:54)x
pX (xi) (cid:44) (cid:88) xi(cid:54)x
P(X = xi).
Cette fonction est constante par intervalles (ou en escalier).
Figure 7 – Illustration de la fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète.
(cid:73) Exercice :
Une urne contient 20 boules numérotées de 1 à 20. On pige 5 boules au hasard, sans remise. Calculer la probabilité qu’au moins une boule soit supérieure à 14.
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-2-10120.00.20.40.60.81.0ecdf(x)xFn(x)Yousri HENCHIRI
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Solution. Posons X : max des boules tirées. On cherche
P(X (cid:62) 15) = 1 − P(X < 15) = 1 − P(X (cid:54) 14) = 1 −
(cid:1) (cid:0)14 5 (cid:1) . (cid:0)20 5
(cid:230) Densité de probabilité
Figure 8 – Illustration de la densité d’une variable aléatoire continue.
Pour une variable aléatoire continue, la probabilité d’apparition de l’événement X = x1 est nulle, autrement dit, P(X = x1) = 0, car il est impossible de tomber exactement sur cette valeur. La fonction masse pX (x) n’a donc aucun sens pour les variables continues. Il faut donc considérer la probabilité que X soit compris dans un intervalle, P(x1 (cid:54) X (cid:54) x2). Lorsque cet intervalle tend vers 0, la valeur de dFX (x) tend vers une fonction que l’on appelle fonction densité de probabilité. Cette fonction est donc la dérivée de la fonction de répartition. Elle s’écrit :
dx
dFX (x) dx
= F (cid:48)
X (x) = fX (x).
La densité joue la même rôle qui la joue la fonction de masse dans le cadre discret. Pour résumer, une densité de probabilité est une fonction qui vérifie :
(cid:17) ∀x, (cid:17) (cid:82)
Publicité
fX (x) (cid:62) 0, R fX (t) dt = (cid:82) +∞
−∞ fX (t) dt = 1.
Dans ce cas continu, la fonction de répartition FX est donnée par
FX (x) = P(X (cid:54) x) = pX (] − ∞, x]) (cid:44)
(cid:90) x
−∞
f (t) dt.
Les moments d’une variable aléatoire
La loi de probabilité d’une variable aléatoire peut être considérée comme l’analogue sur le plan théorique de la distribution d’un caractère sur le plan expérimental. En conséquence, certaines
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Figure 9 – Illustration de la fonction de répartition d’une variable aléatoire continue.
grandeurs associées à la distribution d’un caractère possèdent leurs analogues pour une loi de probabilité. Nous considérons successivement le cas des variables discrètes et celui des variables continues.
(cid:17) Variable aléatoire discrète
Soit X une variable aléatoire discrète pouvant prendre les valeurs xi avec les probabili- tés pX (xi), i = 1, . . . , n, on appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X le nombre :
m1 (cid:44) E(X) =
xipX (xi).
n (cid:88)
(cid:16)
X − E(X)
(cid:17)
La variable nulle, c’est à dire
i=1
est appelée variable centrée. Son espérance mathématique est
E(X − E(X)) = 0.
Nous appelons moment d’ordre k de la loi de probabilité de X (ou espérance mathéma-
tiques de X k), le nombre
mk (cid:44) E(X k) =
n (cid:88)
i=1
xk i pX (xi).
Nous pouvons aussi considérer le moment centré d’ordre k, c’est à dire :
E((X − E(X))k) =
n (cid:88)
(xi − m)kpX (xi).
i=1
La variance de la variable X, est le moment centré d’ordre 2 de X, est donnée par
V ar(X) = E((X − m)2) =
n (cid:88)
i=1
(xi − m)2pX (xi) =
n (cid:88)
i=1
x2 i pX (xi) −
(cid:16) n (cid:88)
i=1
(cid:17)2
xipX (xi)
.
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468101214160.00.20.40.60.81.0xF(x)Yousri HENCHIRI
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(cid:73) Exercice :
Soit X une variable aléatoire qui prend les valeurs 1, 2, . . . , n, avec
pX (xi) = 1/n,
i = 1, . . . , n.
Calculer E(X) et V ar(X).
Solution.
E(X) = (1/n)(1 + 2 + . . . + n) =
n(n + 1)/2 n
=
n + 1 2
.
E(X 2) =
2n2 + 6n − 1 6
.
V ar(X) = E(X 2) −
(cid:16)
(cid:17)2
E(X)
=
n2 − 1 12
.
(cid:17) Variable aléatoire continue
Nous supposons que la loi de probabilité d’une variable aléatoire X est définie au moyen d’une densité fX (x). Les définitions et les résultats qui précèdent se transposent facilement, le symbole de sommation (cid:80) étant remplacé par le symbole d’intégration (cid:82) +∞ −∞ . Ainsi, nous avons :
et le moment d’ordre k est :
E(X) (cid:44)
E(X k) (cid:44)
(cid:90) +∞
−∞
(cid:90) +∞
−∞
xfX (x) dx,
xkfX (x) dx.
(cid:73) Exercice :
Soit la densité de probabilité de X suivante :
fX (x) =
(cid:40) 1
b−a , 0,
si sinon.
a (cid:54) x (cid:54) b,
Déterminer l’espérance mathématique de X et son moment centré d’ordre 2.
Solution.
E(X) =
(cid:90) +∞
−∞
xfX (x) dx =
(cid:90) b
a
x b − a
dx =
1 b − a
x2 2
(cid:12) (cid:12) (cid:12)
b
a
=
a + b 2
.
E(X 2) =
(cid:90) +∞
−∞
x2fX (x) dx =
(cid:90) b
a
x2 b − a
dx =
b3 − a3 3(b − a)
.
V ar(X) = E(X 2) −
(cid:16)
E(X)
(cid:17)2
=
(b − a)2 12
.
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Exemples
(cid:73) Exercice :
Une urne contient 11 boules, dont 3 blanches, 3 rouges et 5 bleues. Vous pigez 3 boules sans remise. Vous gagnez 1$ pour chaque boule rouge choisie et vous perdez 1$ pour chaque boule blanche choisir. Combien espérez-vous gagner d’argent à ce jeu ?
Solution.
Nous posons X : "montant gagné". La fonction de masse de X est
pX (−3) = pX (3) =
pX (−2) = pX (2) =
pX (−1) = pX (1) =
pX (0) =
(cid:1) .
1 (cid:0)11 3 2.5 (cid:1) . (cid:0)11 3 3.3 + 3.(cid:0)5 (cid:1) 2 (cid:0)11 (cid:1) 3 (cid:1) + 5.3.3 (cid:1) (cid:0)11 3
(cid:0)5 3
.
.
Le montant que l’on peut espérer gagner est la moyenne des valeurs de X pondérée par la fonction
de E(X) =
3 (cid:88)
xpX (x) = 0, par symétrie de la fonction de masse autour de 0, et donc le jeu est
x=−3 parfaitement équitable ici.
(cid:73) Exercice :
Soit la densité de probabilité
fX (x) =
(cid:26) c x, 0,
si sinon.
0 (cid:54) x (cid:54) 4,
(a) Déterminer c. (b) Déterminer P(1 (cid:54) X (cid:54) 2). (c) Déterminer E(X) et V ar(X).
Solution. (a) fX est une densité de probabilité alors
(cid:90) +∞
−∞
fX (x) dx = 1 ⇔
⇔
(cid:90) 4
0 (cid:90) 4
fX (x) dx = 1
c x dx = 1
0 (cid:90) 4
x dx = 1
⇔ c
⇔ c
0 x2 2
donc
c =
4
(cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 1 8
= 1.
.
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(b) P(1 (cid:54) X (cid:54) 2) = (cid:82) 2 (c) E(X) = (cid:82) +∞ −∞ xfX (x) dx = 1 E(X 2) = (cid:82) 4 x3 8 dx = 1 0 V ar(X) = E(X 2) − (cid:0) E(X)(cid:1)2
(cid:12) 4 (cid:12) (cid:12) 0
x4 4
8
= 8.
1 f (x) dx = 3 16 . (cid:82) 4 0 x2 dx = 8 3 .
8
= 8 − (cid:0) 8
3
(cid:1)2
= 8 9 .
(cid:73) Exercice :
Nous supposons X admet une densité de probabilité
fX (x) =
(cid:26) 3 x2, 0,
si sinon.
0 (cid:54) x (cid:54) 1,
Calculer la densité de fY (y) où Y = 1 − X 4.
Solution. On a
FY (y) = P(Y (cid:54) y) = P(1 − X 4 (cid:54) y) = P(1 − y (cid:54) X 4) = P((1 − y)1/4 (cid:54) X)
(cid:90) 1
=
3x2 dx
= 3
Alors
(1−y)1/4 x3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) 3
1
(1−y)1/4
= x3(cid:12) (cid:12) (cid:12)
1
(1−y)1/4
= 1 − (1 − y)1/4,
avec
y ∈ (0, 1).
fY (y) =
dFY (y) dy
=
3 4
1 (1 − y)1/4
1(y ∈ (0, 1)) =
3 4
1 (1 − y)1/4
1(0,1)(y).
(cid:73) Exercice :
Soit X une variable aléatoire continue, caractérisée par la fonction de répartition FX et la densité fX . Trouver la densité de la variable aléatoire Y, avec Y = 2X.
Solution. On a
Alors
FY (y) = P(Y (cid:54) y) = P(2X (cid:54) y) = P(X (cid:54) y/2) = FX (y/2).
fY (y) =
dFY (y) dy
=
dFX (y/2) dy
=
1 2
fX (y/2).
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(cid:73) Exercice :
Soit la densité de probabilité de X est donnée par
fX (x) =
(cid:26) 1, 0,
si sinon.
Publicité
0 (cid:54) x (cid:54) 1,
Trouver E(exp(X)).
Solution.
Soit Y = exp(X). x ∈ (0, 1) et y ∈ (1, e).
FY (y) = P(Y (cid:54) y) = P(exp(X) (cid:54) y)
= P(X (cid:54) log(y)) = FX (log(y))
(cid:90) log(y)
=
fX (x) dx
0 (cid:12) log(y) (cid:12) (cid:12)
0
= x
= log(y) avec
y ∈ (1, e).
Donc la densité de la variable Y est donnée par :
fY (y) =
dFY (y) dy
=
1 y
1(y ∈ (1, e)) =
1 y
1(1,e)(y).
Alors,
E(exp(X)) = E(Y ) =
(cid:90) +∞
−∞
yfY (y) dy
=
(cid:90) e
1
1 dy = y
(cid:12) e (cid:12) (cid:12) 1
= e − 1.
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2 Lois associées aux variables de comptage (Lois discrètes)
Dans ce chapitre nous passons en revue certaines lois discrètes connues.
2.1 Loi uniforme discrète
Une variable aléatoire X suit une loi uniforme discrète si elle prend ses valeurs dans l’ensemble
{1, . . . , n} et que la loi de probabilité (la fonction de masse) de X est donnée
pX (k) = P(X = k) (cid:44) 1 n
,
k = 1, . . . , n.
Les événements {X = k} sont donc tous équiprobables sur l’ensemble Ω = {1, . . . , n} et on a X(Ω) =
désigne l’ensemble des entiers naturels de 1 à n).
1, n (cid:75)
(cid:74)
( (cid:74)
1, n (cid:75)
Proposition 2.1. Si X suit une loi uniforme sur l’ensemble {1, . . . , n} alors
E(X) = (n + 1)/2, E(X 2) = ((2n + 1)(n + 1))/6
et V ar(X) = (n2 − 1)/12.
Démonstration. Laissée en exercice.
Proposition 2.2. Si X suit une loi uniforme sur l’ensemble {1, . . . , n} alors sa fonction de répartition, FX , est donnée par
FX (k) (cid:44) k n
1(k ∈
) =
1, n (cid:75)
(cid:74)
k n
1(1(cid:54)k<n) + 1(k(cid:62)n) =
0, k n , 1,
si (cid:98)k(cid:99) < 1, si 1 (cid:54) (cid:98)k(cid:99) < n, si n (cid:54) (cid:98)k(cid:99).
Démonstration. Laissée en exercice.
Figure 10 – La fonction de masse pour la loi uniforme : U{1,...,4} et U{1,...,6}.
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1.02.03.04.0kP(X=k)=0.25123456kP(X=k)=0.1666667Yousri HENCHIRI
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Figure 11 – La fonction de masse et la fonction de répartition pour la loi uniforme U{1,...,8}.
(cid:73) Exercice :
Soit la variable aléatoire X le nombre indiqué sur un jeu de dé roulé. Calculer E(X), E(X 2) et V ar(X).
Solution.
E(X) = 21
6 = 7
2 , E(X 2) = 91
6
et V ar(X) = 91
6 − ( 7
1 )2 = 35 12 .
2.2 Loi Bernoulli
On considère une seule épreuve donnant lieu à un succès avec probabilité égale à p (pour un certain 0 (cid:54) p (cid:54) 1). Posons X la variable aléatoire binaire qui prend la valeur 1 si l’issue de l’expérience est un succès et 0 sinon. Dans ce cas, on écrit X ∼ Ber(1, p) ou X ∼ Ber(p). La fonction de masse (La loi de probabilité) de X est donnée par
pX (k) = P(X = k) =
(cid:26)
p, si k = 1, 1 − p, si k = 0.
ou
pX (k) = P(X = k) (cid:44)
(cid:19)
(cid:18)1 k
pkq1−k, p + q = 1, k = 0, 1,
avec (cid:0)1
k
(cid:1) =
1!
k!(1−k)! et X(Ω) = {0, 1}.
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12345678kP(X=k)=0.125024680.00.20.40.60.81.0kP(X≤k)Yousri HENCHIRI
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Figure 12 – La fonction de masse pour la loi Bernoulli : Ber(1, 0.2), Ber(1, 0.5) et Ber(1, 0.8).
Proposition 2.3. Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors sa fonction de répartition, FX , est donnée par
FX (k) (cid:44) (1 − p)1(0(cid:54)k<1) + 1(k(cid:62)1) =
si 0, 1 − p si si 1,
(cid:98)k(cid:99) < 0 0 (cid:54) (cid:98)k(cid:99) < 1 1 (cid:54) (cid:98)k(cid:99).
Démonstration. Laissée en exercice.
Proposition 2.4. Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors
E(X) = p, E(X 2) = p
et V ar(X) = E(X 2) − (E(X))2 = p(1 − p).
Démonstration. Laissée en exercice.
Remarque 2.1. Lorsque X = −1 et X = +1 avec P(X = 1) = p et P(X = −1) = 1 − p, on parle de loi de Rademacher de paramètre p, noté X ∼ R(p).
(cid:73) Exercice :
On lance un dé une fois. La variable X est le nombre de 6 obtenu. Alors
X ∼ Ber(1, 1/6).
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0.00.20.40.60.81.00.20.30.40.50.60.70.8kP(X=k)0.00.20.40.60.81.00.30.40.50.60.7kP(X=k)0.00.20.40.60.81.00.20.30.40.50.60.70.8kP(X=k)Yousri HENCHIRI
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2.3 Loi binomiale
On considère à présent une suite de n épreuves indépendantes, avec probabilité de succès de chaque épreuve toujours égale à p (pour un certain 0 (cid:54) p (cid:54) 1 fixe). Posons X la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus parmi les n épreuves effectuées. La variable X prend alors une valeur parmi 0, 1, . . . , n (avec probabilité 1). On écrit X ∼ Bin(n, p) et la fonction de masse (la distribution de probabilités) de X est donnée par
pX (k) = P(X = k) (cid:44)
(cid:19)
(cid:18)n k
pkqn−k, p + q = 1, k = 0, . . . , n,
avec (cid:0)n
k
(cid:1) =
n!
k!(n−k)! et on a X(Ω) =
.
0, n (cid:75)
(cid:74)
Il est clair que X peut être regardé comme la somme de n variables indépendantes de Bernoulli
Yi de même probabilité de succès p.
X = Y1 + Y2 + . . . + Yn.
Figure 13 – La fonction de masse pour une loi binomiale : Bin(10, 0.2), Bin(10, 0.5) et Bin(10, 0.8).
Proposition 2.5. Si X suit une loi binomiale sur FX , est donnée par
0, n (cid:75) (cid:74)
alors sa fonction de répartition,
FX (k) (cid:44)
(cid:32) k
(cid:88)
j=0
(cid:19)
(cid:18)n j
(cid:33)
pj(1−p)n−j
1(0(cid:54)k<n)+1(k(cid:62)n) =
0,
k (cid:88)
j=0
(cid:19)
(cid:18)n j
pj(1 − p)n−j
1,
si
si
si
(cid:98)k(cid:99) < 0
0 (cid:54) (cid:98)k(cid:99) < n
(cid:98)k(cid:99) (cid:62) n.
Démonstration. Laissée en exercice.
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02468100.000.050.100.150.200.250.30kP(X=k)02468100.000.050.100.150.200.25kP(X=k)02468100.000.050.100.150.200.250.30kP(X=k)Yousri HENCHIRI
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Proposition 2.6. Si X suit une loi binomiale de paramètres (n, p) alors
E(X) = np
et V ar(X) = np(1 − p) = npq.
Démonstration.
E(X) =
=
=
=
n (cid:88)
k=0 n (cid:88)
k=1 n (cid:88)
k=1
n−1 (cid:88)
y=0
(cid:19)
(cid:19)
(cid:18)n k
(cid:18)n k
k
k
pk(1 − p)n−k
pk(1 − p)n−k
(cid:19)
(cid:18)n − 1 n k − 1
pk(1 − p)n−k,
avec k
(cid:19)
(cid:18)n k
= n
(cid:19)
(cid:18)n − 1 k − 1
(cid:18)n − 1 y
n
(cid:19)
py+1(1 − p)n−(y+1),
avec
y = k − 1
= np
n−1 (cid:88)
y=0
(cid:18)n − 1 y
(cid:19)
py(1 − p)n−1−y
= np,
avec
n−1 (cid:88)
y=0
(cid:19)
(cid:18)n − 1 y
py(1 − p)n−1−y = 1.
E(X 2) =
=
n (cid:88)
k=0 n (cid:88)
k2
k2
(cid:19)
pk(1 − p)n−k
(cid:19)
pk(1 − p)n−k
(cid:18)n k
(cid:18)n k
k=1 n (cid:88)
= n
k=1
(cid:19)
(cid:18)n − 1 k − 1
k
pk(1 − p)n−k,
avec k2
(cid:19)
(cid:18)n k
= k
n! (k − 1)!(n − k)!
= kn