PROBABILITES et STATISTIQUES

un ensemble fini : 1, w

= {w

2, ...., w

n}

Définir une loi de probabilité P sur W

revient à se donner n réels positifs ou nuls p1, p2,

n

...., pn tels que (cid:229)

pk = 1, et à poser, pour tout indice k, P({w

k}) = pk. La loi de

k=1 probabilité sur W est alors complètement déterminée car, étant donné un évènement A, P(A) est calculable en additionnant les probabilités pk de chacun des évènements élémentaires {w Il en est de même si W remplacées par les sommes de séries.

est un ensemble dénombrable, les sommes finies sont alors

k} qui composent A.

, P) un espace de probabilité. Répondre aux questions en utilisant la

Exercice 1-2 : Soit (W définition 1-1 : a) Si A est un évènement de probabilité P(A) connue, que vaut P(Ac) ? b) Si A

B, comparer P(A) et P(B).

c) Calculer P(A ou B) en fonction de P(A et B), P(A) et P(B).

6

W W d) Montrer que P(A ou B) £ d'évènements.

P(A)+P(B). Généraliser cette inégalité à un nombre fini

On pourrait aussi démontrer les propriétés suivantes : Proposition 1-1 : a) Pour toute famille finie ou dénombrable (An)n˛ P( n˛

An ) £ I

P(An) . I

(cid:229) n˛

I d'évènements :

b) Si (An)n˛

est une suite croissante d'évènements :

lim + ¥ une suite décroissante d'évènements :

An ) =

P( n˛

n fi

P(An)

c) Si (An)n˛

P( n˛

An ) =

n fi

lim + ¥

P(An) •

3- Le cas où les évènements élémentaires sont équiprobables

, P) un espace de probabilité correspondant à une expérience aléatoire dont

Soit (W l'ensemble des résultats possibles est fini : 1, w

= {w

2, ...., w

n}

Supposons que chaque résultat "a autant de chances d'être réalisé qu'un autre", soit, en

termes probabilistes, que P est telle que : 1}) = P({w

P({w

2}) = ... = P({w

n})

Comme la somme de ces n nombres est 1, leur valeur commune est égale à 1/n . Soit

maintenant un évènement A. Sa probabilité est :

P(A) =

k / w

P({w ˛ A k

k}) = card(A) .

1 = n

Cette loi de probabilité est souvent appelée loi uniforme sur W par une méthode directe dans ce cas revient donc à dénombrer des ensembles.

card(A) card(W ) . Calculer des probabilités

Exercice 1-3 : Un jeune enfant qui ne sait pas lire prend les 6 jetons d'un jeu de Scrabble

qui composaient le mot "CARTON". Il réaligne ces jetons au hasard. Avec quelle

probabilité recompose-t-il ce mot ? Même question s'il a pris les 8 jetons qui composaient le mot "INSTITUT".

Exercice 1-4 : 20 sujets sont au programme d'un oral d'examen. Le candidat tire au sort 3 de ces sujets et traite l'un de ces trois. Combien doit-il avoir révisé de sujets pour avoir au moins 9 chances sur 10 de pouvoir traiter un sujet qu'il a révisé ?

Remarque sur le choix du modèle probabiliste Comme dans tout problème de modélisation, il n'y a pas d'automatisme qui permette

d'associer un espace de probabilité à une expérience aléatoire "concrète". Même dans des

7

W (cid:229) cas d'école, il n'y a jamais un seul "bon" choix : reprenons l'exemple de l'urne

introduisant le paragraphe 2. Deux modèles peuvent être considérés comme naturels :

- On peut distinguer les 12 boules contenues dans l'urne en posant :

= {B1, B2, N, V1, V2, V3, V4, R1, R2, R3, R4, R5}

On munit alors W - On peut aussi choisir de ne représenter que la couleur de la boule tirée, en posant :

de la probabilité uniforme.

et en définissant P par :

= {B, N, V, R}

P({B}) = 2/12

P({N}) = 1/12

P({V}) = 4/12

P({R}) = 5/12 .

Il est clair cependant qu'il est difficile de justifier le deuxième modèle sans faire appel à

l'idée d'équiprobabilité des tirages, idée qui par contre est clairement exprimée dans le

premier modèle.

Un autre exemple, celui-là célèbre, est du type de celui de l'aiguille de Buffon : quelle est

la longueur moyenne d'une corde d'un cercle de rayon r, comment représenter le tirage au

hasard d'une telle corde ?

Dans des cas concrets de modélisation, les hypothèses sur lesquelles reposent la

définition du modèle doivent être clairement énoncées, de telle sorte qu'elles puissent être

commentées et éventuellement remises en question, soit directement, soit par leurs

implications théoriques, soit par une confrontation avec des données expérimentales.

4- Exercices

Exercice 1-5 : Soit (W Montrer que si P(A) = P(B) = 0,9 , alors, P(A

B) ‡

0,8 .

, P) un espace de probabilité, et soient A et B deux évènements.

Dans le cas général, montrer que P(A

B) ‡

P(A)+ P(B) - 1 .

Exercice 1-6 : Deux personnes sont tirées au sort dans un groupe de 30 composé de 10

femmes et 20 hommes. Avec quelle probabilité ces deux personnes sont-elles des

hommes ? Avec quelle probabilité sont-elles des femmes ?

Exercice 1-7 : Deux amis font partie d'un groupe de n personnes, auxquelles on a distribué au hasard des numéros d'ordre pour constituer une file d'attente. a) Avec quelle probabilité sont-ils les deux premiers ? b) Avec quelle probabilité sont-ils distants de r places, c'est-à-dire séparés par r-1 personnes. Représenter ces probabilités par un diagramme en bâtons.

Exercice 1-8 : Un tiroir contient en vrac les 20 chaussettes de 10 paires différentes. On en

sort au hasard 4 chaussettes. Avec quelle probabilité obtient-on :

a) 2 paires

b) au moins une paire

8

W W II- Probabilités conditionnelles

1- Définition

Lançons un dé parfaitement équilibré. Un bon modèle probabiliste en est donné par :

muni de la loi de probabilité P uniforme.

= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Notons A l'évènement "le dé donne au moins 4 points" et B l'évènement "le résultat est

impair". Supposons qu'on ne retienne le résultat du lancer que s'il est dans B. Dans cette

nouvelle expérience, l'évènement A est réalisé quand on obtient un 5, et c'est avec la

probabilité relative

P({5}) P({1, 3, 5})

=

1/6 3/6

= 1/3. Plus généralement la probabilité relative

de A sous la condition que B est réalisé est

P(A et B) P(B)

. On l'appelle aussi probabilité de

A sachant que B, ou probabilité conditionnelle de A relative à B, etc…

Définition 2-1 : Soit (W P(B) „

, P) un espace de probabilité, et soit B un évènement tel que

0. La probabilité de A sachant que B est notée P(A | B), et est définie par :

P(A | B) =

P(A

B)

P(B)

•

Exercice 2-1 : a) Soit B un évènement tel que P(B) „ associe P( A | B ) est une loi de probabilité sur W b) Donner une propriété de A qui implique P(A | B) = 1, qui implique P(A | B) = 0, qui

0. Montrer que l'application qui à A

.

implique P( A | B ) =

P(A) P(B)

.

Exercice 2-2 : Un couple a deux enfants. Sous l'une des conditions suivantes :

a) l'aîné est un garçon,

b) l'un des enfants est un garçon,

avec quelle probabilité le couple a-t-il un fils et une fille ?

2- Deux résultats de décomposition

Les deux résultats de ce paragraphe utilisent "à l'envers" la définition 2-1, c'est-à-dire donnent un moyen de calcul de probabilités connaissant des probabilités conditionnelles. Ils sont très utiles dans la pratique.

9

W Exemple 2-1 : Une urne contient deux boules blanches et une boule noire. Une personne

tire une boule et la garde, une deuxième personne tire une boule. Avec quelle probabilité

les deux boules tirées sont-elles blanches ? On peut répondre à cette question en utilisant

la définition 2-1. En effet, notons A l'évènement "la première personne a tiré une boule

blanche" et B l'évènement "la deuxième personne a tiré une boule blanche". D'après la

définition, P(A et B) = P(B | A) P(A). Mais P(A) est connue, c'est 2/3. P(B | A) est aussi

connue : c'est 1/2 car, la première personne ayant tiré une boule blanche, la deuxième

personne tire une boule au hasard dans une urne qui contient une boule blanche et une boule noire. Ainsi, P(A et B) vaut (2/3).(1/2) = 1/3 .•

La proposition suivante, parfois appelé "théorème des probabilités composées",

généralise ce procédé de calcul :

Proposition 2-1 : Soit (W évènements. On a : P(An et An-1 et… et A1) =

, P) un espace de probabilité, et soient A1, A2,…, An des

= P(An | An-1 et… et A1) P(An-1 | An-2 et… et A1) … P(A2 | A1) P(A1). •

Cet énoncé est constamment utilisé dans le contexte des "chaînes de Markov", qui interviennent naturellement dans les problèmes concrets où A1, A2,…, An représente une succession (temporelle) d'évènements, la probabilité de réalisation du n-ième évènement An étant conditionnée par "le passé" (probabilité sachant que A1 et … et An-1 ont eu lieu). En voici un exemple simple :

Exercice 2-3: On sait que si le flash d'un appareil photo n'a pas eu panne durant les n

premiers déclenchements (n entier positif ou nul), la probabilité pour qu'il fonctionne au

(n+1)-ième est égale à p (0 < p <1 ).

a) Quel est la probabilité pour qu'il n'ait pas de panne au cours des 100 premiers

déclenchements ?

b) Sachant qu'il a fonctionné n fois, avec quelle probabilité fontionnera-t-il au moins 100 fois de plus ?

Soient C1, C2, …, Cn n évènements deux à deux disjoints et dont la réunion est l'ensemble de tous les résultats possibles W . En termes ensemblistes, {C1, C2, …, Cn} est donc une partition de W ; en termes probabilistes, on l'appelle un système complet d'évènements . Soit A un évènement. On a bien sûr :

et les ensembles (A

A = (A C1), (A P(A) = P(A

C1) (A C2), …, (A C1) + P(A

…

(A

Cn)

C2) Cn) sont deux à deux disjoints. Ainsi : C2) + … + P(A

Cn)

10

et en utilisant la définition 2-1, on obtient le résultat :

Proposition 2-2 : Soit (W système complet d'évènements. Soit A un évènement. On a :

, P) un espace de probabilité, et soit {C1, C2, …, Cn} un

P(A) = P(A | C1) P(C1) + P(A | C2) P(C2) + … + P(A | Cn) P(Cn) •

(Remarquons sans démonstration que ce résultat se généralise à un système complet

dénombrable d'évènements.)

Exercice 2-4 : En mars 1994 (enquête sur l'emploi INSEE 1994), la population active en

France comprend 44,7% de femmes. Le taux de chômage chez les hommes est 10,8% ; il

est chez les femmes 14,3% . On tire au sort une personne parmi les actifs.

a) Avec quelle probabilité est-elle au chômage ?

b) Sachant qu'elle est au chômage, avec quelle probabilité est-ce une femme ?

3- Evènements indépendants

Il est naturel de poser que, du point de vue de leur probabilité de réalisation, deux

évènements A et B sont indépendants si le fait de savoir que B est réalisé n'apporte pas

d'information sur les chances de réalisation de A, c'est-à-dire si la probabilité de A

sachant que B est égale à P(A), et donc si P(A

B) = P(A) P(B). Posons pour définition

plus générale la suivante :

Définition 2-2 : Soit (W I une famille d'évènements. On dit que ces évènements sont indépendants dans leur ensemble si, Aj ) = (cid:213)

, P) un espace de probabilité, et soit (Ai)i˛

quelle que soit la partie finie J de I, P(

P(Aj). •

j˛ J

j˛ J

Exercice 2-5 : a) Montrer que si A et B sont indépendants, A et Bc, Ac et B, Ac et Bc le sont aussi. Généraliser cette remarque au cas d'une famille finie d'évènements indépendants dans leur ensemble. b) Deux évènements A et B incompatibles sont-ils indépendants ? c) Par un diagramme donner un exemple d'évènements A, B, C deux à deux indépendants mais qui ne sont pas indépendants dans leur ensemble.

Remarque : Lançons deux dés, chacun parfaitement équilibré. L'ensemble des résultats possibles est :

= { (i, j), 1 £

i £

6, 1 £

j £

6 } = {1, …, 6} {1, …, 6}

11

W Notons A l'évènement "le premier dé donne 4". Comme le premier dé est parfaitement

équilibré, la probabilité de A est 1/6. Notons B l'évènement "le deuxième dé donne 6".

Comme le deuxième dé est parfaitement équilibré, la probabilité de A est 1/6. De plus,

nous pouvons sans difficulté supposer que les évènements A et B sont indépendants.

Donc, la probabilité de (A et B), c'est-à-dire de l'évènement élémentaire (4, 6), est égale à

(1/6).(1/6) = 1/36, et de même bien sûr pour tout autre couple (i, j). Ce raisonnement confirme le choix de la loi uniforme sur W pour représenter l'expérience aléatoire du lancer de deux dés.

Exercice 2-6 : On lance deux dés. Avec quelle probabilité la somme des points obtenus

est-elle égale à 11 ? à 10 ?

Plus généralement, considérons une expérience aléatoire dont (W probabiliste. Si cette expérience est répétée n fois de façon indépendante, on choisira = W n , qu'on munira de la probabilité produit ~P, c'est- comme ensemble de résultats ~W à-dire telle que, quels que soient les sous-ensembles A1, A2,…, An de W

, P) est un modèle

:

~ P(A1 A2,… An) = P(A1) P(A2)… P(An) . •

4- Exercices

Exercice 2-7 : Avec quelle probabilité une famille de 3 enfants comporte-t-elle au moins

un garçon ?

Exercice 2-8 : Dans un groupe de 20 personnes, quelle est la probabilité pour qu'il n'y ait

jamais plus d'un anniversaire par jour ? Et dans un groupe de 50 personnes ? (on fera

comme si toutes les années avaient 365 jours).

Exercice 2-9 : Une expérience est conduite pour étudier la mémoire des rats. Un rat est

mis devant trois couloirs. Au bout de l'un d'eux se trouve de la nourriture qu'il aime, au

bout des deux autres, il reçoit une décharge électrique. Cette expérience élémentaire est répétée jusqu'à ce que le rat trouve le bon couloir. Sous chacune des hypothèses suivantes :

(H1) le rat n'a aucun souvenir des expériences antérieures, (H2) le rat se souvient de l'expérience immédiatement précédente, (H3) le rat se souvient des deux expériences précédentes,

avec quelle probabilité la première tentative réussie est-elle la k-ième ? Représenter graphiquement les réponses.

12

Exercice 2-10 : Pour décider d'un traitement thérapeutique, on utilise un test qui est positif

99 fois sur 100 si une personne est effectivement malade. Mais si une personne n'est pas

malade, le test est positif une fois sur 100. On sait par ailleurs que 5 personnes sur 100

ont cette maladie.

a) Si le test d'une personne est positif, avec quelle probabilité cette personne est-elle

effectivement malade ?

b) Si le test d'une personne est négatif, avec quelle probabilité cette personne n'est-elle

effectivement pas malade ?

Calculer ces probabilités quand on sait que 5 personnes sur 1000 ont cette maladie.

Exercice 2-11 : La probabilité de fermeture du relai i des circuits décrits ci-dessous est pi. Tous les relais fonctionnent indépendamment. Dans chacun des cas suivants, quelle est la

probabilité pour que le courant passe entre A et B ?

a) A et B sont séparés par n relais reliés en série.

b) A et B sont séparés par n relais reliés en parallèle.

c)

d)

A

1

3

2

4

A

1

3

5

2

4

B

B

Exercice 2-12 : On transmet un message composé de n symboles binaires '0' ou '1'. Lors

de la transmission, chaque symbole est perturbé avec la probabilité p et se transforme alors en symbole opposé. Par précaution, le message est transmis deux fois. Si les deux messages transmis coïncident, l'information est considérée comme correcte.

a) Avec quelle probabilité le i-ième symbole du premier message transmis est-il

identique au i-ième symbole du deuxième message transmis ?

b) Avec quelle probabilité les deux messages transmis sont-ils identiques ? c) Trouver la probabilité pour que, malgré la coïncidence des deux messages,

l'information s'avère erronée. (Application numérique : n = 100 p = 0,001 ).

13

Exercice 2-13 : Un candidat d'un jeu télévisé américain est face à trois portes. Derrière

l'une d'elles se trouve le prix, - une voiture -. Le candidat se place devant la porte de son

choix. Le présentateur de l'émission, qui lui sait où se trouve la voiture, ouvre alors l'une

des deux autres portes et indique au candidat que la voiture ne s'y trouve pas. Le candidat

peut à son tour ouvrir une porte. S'il découvre la voiture, il la gagne.

Un candidat décide d'adopter l'une des trois stratégies suivantes :

a) ouvrir la porte devant laquelle il s'est placé à l'issu de son premier choix,

b) ouvrir l'autre porte,

c) tirer à pile ou face et, s'il obtient pile, ouvrir la porte devant laquelle il s'est

placé à l'issu de son premier choix, ouvrir l'autre porte s'il obtient face.

L'une de ces trois stratégies est-elle préférable aux autres ?

14

III- Variables aléatoires : généralités

1- Définitions

Dans beaucoup de situations, le détail du résultat d'une expérience aléatoire ne nous

intéresse pas, mais seulement une valeur numérique fonction de ce résultat. Par exemple,

on peut se demander quel est le nombre de pannes d'un ordinateur sur une durée d'un an,

sans être intéressé par les dates auxquelles ont lieu ces pannes. Etudions un exemple plus

simple :

Exemple 3-1 : On lance deux dés, et on regarde la somme des points obtenus. On choisit

pour modèle probabiliste du lancer des deux dés :

i £ muni de la loi de probabilité P uniforme, qui affecte à chaque évènement élémentaire (i, j)

= { (i, j) , 1 £

6 , 1 £

6 }

j £

la probabilité P{(i, j)} = 1/36. Avec quelle probabilité la somme des points obtenus est-

elle égale, par exemple, à 5 ? C'est la probabilité de l'ensemble des évènements

élémentaires (i, j) qui réalisent cette condition. Introduisons l'application S de W par :

dans

, qu'on dira être unevariable aléatoire , définie

(i, j)˛ La question posée est le calcul de la probabilité de l'évènement { (i, j)˛ c'est-à-dire de l'évènement { (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) }. On notera cet évènement, de

/ S(i, j) = 5 },

S(i, j) = i + j

façon simplifiée, { S = 5 }. On trouve : P({ S = 5 }) = P({ (i, j)˛ Remarquons que S prend ses valeurs dans {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} et que, par

/ S(i, j) = 5 }) = P({ (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) }) = 4/36 .

conséquent :

12

P({ S = k }) = P(

k=2

k˛ {2,…,12}

{ S = k } ) = P(W

) = 1 . •

Abordons maintenant le cas général, dans lequel l'ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire n'est pas forcément fini ou dénombrable :

Définition 3-1 : On appellevariable aléatoire une application X définie sur un espace de probabilité (W La fonction de répartition F d'une variable aléatoire X est la fonction de définie, pour tout réel x, par :

, P) et à valeurs réelles.

dans

F(x) = P({ X£ x }) •

15

W " W W W (cid:229) Exercice 3-1 : Représenter la fonction de répartition de la variable aléatoire S de l'exemple

3-1.

Exercice 3-2 : Soit X une variable aléatoire, et soit F sa fonction de répartition. Pour a et b

réels (a < b), exprimer en fonction de F :

P( X > a ),

P( a < X £

b ),

P( X < a ) (utiliser la proposition 1-1-b), P( X ‡

a), P( X = a ), P( a £

X < b ), …

Cet exercice montre que la connaissance de la fonction de répartition F d'une variable

, la probabilité I }). On peut démontrer qu'elle permet aussi, - en principe tout du moins -, de

aléatoire X permet de calculer, pour n'importe quel intervalle I de P({ X˛ calculer la probabilité P({ X˛ B }) pour n'importe quel sous-ensemble B de résumé que la fonction de répartition de X détermine la loi ou la loi de probabilité de X.

. On dit en

(Le vocabulaire est justifié par le fait que l'application qui à un sous-ensemble B de associe P({ X˛ B }) est une loi de probabilité sur On peut montrer sans difficulté que, si F est la fonction de répartition d'une variable

).

aléatoire :

a) F est croissante,

b) F est continue à droite en tout point, c)

F(x) = 0

lim - ¥

x fi

lim + ¥

x fi

F(x) = 1.

et inversement, mais la démonstration n'est pas élémentaire, qu'une fonction F de

dans

qui vérifie les propriétés a), b) et c) est la fonction de répartition d'une variable

aléatoire.

Exercice 3-3: Soit X une variable aléatoire. On suppose que sa fonction de répartition F

est donnée par :

F(x) = 0 1 + 3

=

2 (1- e-x ) 3

si

si

x < 0 x ‡

0

a) Dessiner le graphe de F. b) Calculer :

P( X > -2 ), P( X˛

]1-1/n, 1] ), P( X = 1 ), P( X˛

] -1/n, 0] ), P ( X = 0 )

2- Variables aléatoires discrètes, variables aléatoires à densité

- Une variable aléatoire X qui prend ses valeurs dans un sous-ensemble fini ou dénombrable { xi , i˛ est dite discrète. Notons : pi = P(X=xi). pi = 1. I

Les pi sont des réels de [0, 1] et tels que (cid:229) i˛

I } de

16

La donnée des pi définit la loi de la variable aléatoire X, puisque pour tout sous-ensemble A de

:

La fonction de répartition F de X s'exprime, pour tout a réel, par :

P(X˛ A) =

pi . ˛ A

i / xi

F(a) =

pi £ a

i / xi Nous avons vu sur un exemple (exercice 3-1) que, tout du moins quand il n'y a qu'un nombre fini de xi par intervalle borné, F est constante par morceaux, et que ses discontinuités sont situées aux points d'abscisse xi, la hauteur du saut correspondant étant pi.

- On dit qu'une variable aléatoire X est à densité s'il existe une fonction f de positive ou nulle, et telle que, pour tout sous-ensemble B de

:

dans

,

P( X ˛

B ) = (cid:242) B

f(x) dx .

On appelle cette fonction f la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire X.

Exercice 3-4 : On fait tourner une aiguille autour d'un axe et on repère la position sur laquelle elle s'arrête par un angle Q a) Quelles valeurs proposer pour P( 0 £ Et pour P(Q b) Peut-on proposer une fonction f qui soit la densité de la loi de Q

I) lorsque I est un sous-intervalle de [0, 2p [ ?

de [0, 2p [. < p Q

< 3p /2 ) ?

), P( p /2 £

), P( p

< 2p

?

Q

£

Q

Remarquons que si X est une variable aléatoire à densité, la densité f vérifie

nécessairement :

+¥ f(x) dx = 1.

-¥

De plus, quels que soient a et b ( a < b ) :

P( X = a ) = 0

P( a < X < b) = P( a £

X < b) = P( a < X £

b) = P( a £

X £

b f(x) dx

b) = (cid:242) a

La fonction de répartition F de X est donnée par :

a f(x) dx

F(a) = (cid:242) -¥

et elle est continue.

Exercice 3-5 : Soit X une variable aléatoire à densité f définie par :

f(x) = c x si

1 £

x £

4

= 0

sinon

17

(cid:229) (cid:229)

˛ (cid:242) a) Calculer la valeur de c. b) Que vaut P( 1 £ c) Calculer et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.

2 ) ?

X £

- Concluons ce paragraphe en signalant qu'une variable aléatoire peut n'être ni discrète, ni

à densité, mais mixte :

Exercice 3-6 : Reprendre l'exemple de l'exercice 3-3, et montrer qu'on peut écrire :

P( X ˛

B )

f(x) dx

= (cid:242) B

=

1 + (cid:242) 3 B

f(x) dx

si

si

0ˇ B

0˛ B ,

où f est une fonction à déterminer.

3- Couples de variables aléatoires

, P) un espace de probabilité, et soient X et Y deux variables aléatoires définies

Soit (W sur cet espace. Le couple (X, Y) définit ce que l'on peut appeler une variable aléatoire à valeurs dans

, il associe en effet le vecteur (X(w

2 : à tout w

), Y(w

de W

)).

La loi de (X, Y), souvent appelée loi conjointe de (X, Y), est déterminée par la donnée, pour tout sous-ensemble C de

2, de la probabilité P({ (X, Y) ˛

C }).

On montre que la loi conjointe de (X, Y) est déterminée dès qu'on connaît P(X˛ A et Y˛ B ) pour tout couple (A, B) de sous-ensembles de . On montre aussi qu'il suffit pour cela de connaître la fonction de répartition F du couple (X, Y) qui est

définie par :

"

(x, y)˛

2

F(x, y) = P({ X£ x et Y£ y }) .

Remarquons que si la loi conjointe de (X, Y) est connue, on en déduit les lois de X et de : Y, appelées dans ce contexte lois marginales. En effet, pour tout sous-ensemble A de

{ X˛ A } = { X˛ A et Y˛

} = { (X, Y) ˛ A

} ,

et on tire :

P ( X˛ A ) = P ( (X, Y) ˛ A

) .

Exercice 3-7 : Soient (X, Y) un couple de variables aléatoires dont la loi est telle que, si i j £ et j sont deux entiers tels que 0 £

i, P{ (X, Y) = (i, j) } =

2 et -i £

i £

1 9 .

a) Représenter graphiquement les valeurs prises par le couple (X, Y).

b) Quelle sont les lois marginales de X et Y ?

18

4- Variables aléatoires indépendantes

Définition 3-2 : Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur un espace de probabilité (W , P). On dit qu'elles sont indépendantes si pour tout couple (A, B) de sous- , les évènements { X˛ A } et { Y˛ B }sont indépendants, c'est-à-dire si : ensembles de

P ( X˛ A et Y˛ B ) = P( X˛ A ) P( Y˛ B ) •

Exercice 3-8 : a) Soient (X, Y) un couple de variables aléatoires de loi donnée par :

P{ (X, Y) = (-1, 0) } = P{ (X, Y) = (1, 0) } =

= P{ (X, Y) = (0, -1) } = P{ (X, Y) = (0, 1) } =

1 . 4

X et Y sont-elles indépendantes ?

b) même question avec les données de l'exercice 3-7.

Exercice 3-9 : Supposons X et Y discrètes, et plus précisément que X prend ses valeurs dans le sous-ensemble fini ou dénombrable { xi , i˛ , et que Y prend ses valeurs I } de dans le sous-ensemble fini ou dénombrable { yj , j˛ J }de indépendantes si et seulement si pour tout couple (i, j) de I J :

. Montrer que X et Y sont

P(X=xi et Y=yj) = P(X=xi ) P(Y=yj).

Dans le cas général, on montre la proposition :

Proposition 3-1 : Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur un espace de probabilité (W , P), de fonctions de répartitions FX et FY. X et Y sont indépendantes si et seulement si, pour tout couple (x, y) de réels :

P( X £

x et Y £

y ) = FX(x) FY(y) •

Le résultat suivant est utile :

Proposition 3-2 : Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur un espace de , P). Soient f probabilité (W . Si X et Y sont indépendantes, alors, f (X) et y

et y (Y) sont des variables aléatoires indépendantes. •

deux applications de

dans

Enonçons enfin une extension de la définition :

Considérons une famille (Xi)i˛ probabilité (W , P).

I de variables aléatoires définies sur un espace de

19

On dit que c'est une famille de variables aléatoires indépendantes si pour toute famille (Ai)i˛ I) sont indépendants dans leur ensemble, autrement dit si pour tout sous-ensemble fini J de I :

I de sous-ensembles de

, les évènements {Xi

˛ Ai} (i˛

P( "

j˛ J Xj

˛ Aj ) = (cid:213)

j˛ J

P(Xj

˛ Aj).

I est une famille de variables aléatoires indépendantes, et si J et

On démontre que si (Xi)i˛ K sont deux parties finies et disjointes de I décrites par : J ={j1, …, jr} et y

une fonction de

r dans

K ={k1, …, ks} , s dans

, alors, f (Xj1

,…, Xjr

) et

) sont indépendantes. Et on peut généraliser ce résultat à plusieurs parties

une fonction de ,…, Xks

si f (Xk1 finies de I deux à deux disjointes.

5- Exercices

Exercice 3-10 : On équipe un local souterrain de 5 ampoules électriques. On suppose que les durées de vie de ces ampoules sont des variables aléatoires indépendantes, et de même

densité f donnée par :

f(x)

=

200 x2

= 0

sinon .

si x > 200

On contrôle l'état des ampoules après 300 heures d'utilisation. Avec quelle probabilité

deux (exactement) des ampoules sont-elles hors d'usage.

Exercice 3-11 : Une boîte contient 5 transistors, dont on sait que 3 sont défectueux. On

teste l'un après l'autre les transistors et on les met de côté, jusqu'à avoir trouvé les défectueux. On note N1 le nombre de tests effectués pour trouver le premier transistor défectueux, et N2 le nombre de tests complémentaires effectués pour trouver le deuxième. Décrire la loi conjointe de N1 et N2.

Exercice 3-12 : Soient X1,…, Xn des variables aléatoires indépendantes et suivant toutes la loi uniforme sur [0, 1]. On pose :

M = max (X1,…, Xn)

a) Quelle est la fonction de répartition de M ? Quelle est la densité de la loi de M ? b) Mêmes questions avec min (X1,…, Xn).

20

y IV- Caractéristiques numériques des variables aléatoires

1- Espérance

Soit X une variable aléatoire sur un espace de probabilité (W est la valeur moyenne des valeurs prises par X, pondérées par leur probabilité de

, P).