PROBABILITES et STATISTIQUES

W

blanche, on a 5+2 chances sur 12 de tirer une boule soit rouge soit blanche. L'autre r gle

dit seulement que si on tire une boule, on a 100% de chances de &tirer une boule&

D finition 1-1 : Soit W

tout v nement A associe un nombre r el P(A), et qui a les trois propri t s :

un ensemble. Une loi de probabilit P sur W

est une fonction qui

1,

P(A)

) = 1

a) 0

b) P (W

c) Pour toute famille finie ou d nombrable (An)n

I d' v nements deux deux

disjoints :

(W

, P) s'appelle un espace de probabilit . "

P(

n

An) = (cid:229)

I

n

P(An) .

I

Exemple 1-4 : On lance un d et on observe la face du dessus. On posera :

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

et on supposera que le d est parfaitement quilibr , de sorte que la probabilit de chaque

face est la m me :

P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) =

1

.

6

Remarquons qu'alors, la probabilit de tout v nement est calculable en utilisant la

propri t c) de la d finition. Par exemple, comme {1, 3, 4} est la r union des trois

ensembles 2 2 incompatibles {1}, {3} et {4}, on a :

P({1, 3, 4}) = P({1}) + P({3}) + P({4}) =

1

+

6

1

+

6

1

=

6

3

=

6

1

."

2

Plus g n ralement, soit W

un ensemble fini :

1, w

= {w

2, ...., w

n}

D finir une loi de probabilit P sur W

revient se donner n r els positifs ou nuls p1, p2,

n

...., pn tels que (cid:229)

pk = 1, et poser, pour tout indice k, P({w

k}) = pk. La loi de

k=1

probabilit sur W

est alors compl tement d termin e car, tant donn un v nement A,

P(A) est calculable en additionnant les probabilit s pk de chacun des v nements

l mentaires {w

Il en est de m me si W

remplac es par les sommes de s ries.

est un ensemble d nombrable, les sommes finies sont alors

k} qui composent A.

, P) un espace de probabilit . R pondre aux questions en utilisant la

Exercice 1-2 : Soit (W

d finition 1-1 :

a) Si A est un v nement de probabilit P(A) connue, que vaut P(Ac) ?

b) Si A

B, comparer P(A) et P(B).

c) Calculer P(A ou B) en fonction de P(A et B), P(A) et P(B).

6

W

W

d) Montrer que P(A ou B)

d' v nements.

P(A)+P(B). G n raliser cette in galit un nombre fini

On pourrait aussi d montrer les propri t s suivantes :

Proposition 1-1 : a) Pour toute famille finie ou d nombrable (An)n

P(

n

An )

I

P(An) .

I

(cid:229)

n

I d' v nements :

b) Si (An)n

est une suite croissante d' v nements :

lim

+

une suite d croissante d' v nements :

An ) =

P(

n

n

P(An)

c) Si (An)n

P(

n

An ) =

n

lim

+

P(An) "

3- Le cas o les v nements l mentaires sont quiprobables

, P) un espace de probabilit correspondant une exp rience al atoire dont

Soit (W

l'ensemble des r sultats possibles est fini :

1, w

= {w

2, ...., w

n}

Supposons que chaque r sultat "a autant de chances d' tre r alis qu'un autre", soit, en

termes probabilistes, que P est telle que :

1}) = P({w

P({w

2}) = ... = P({w

n})

Comme la somme de ces n nombres est 1, leur valeur commune est gale 1/n . Soit

maintenant un v nement A. Sa probabilit est :

P(A) =

k / w

P({w

A

k

k}) = card(A) .

1

=

n

Cette loi de probabilit est souvent appel e loi uniforme sur W

par une m thode directe dans ce cas revient donc d nombrer des ensembles.

card(A)

card(W

)

. Calculer des probabilit s

Exercice 1-3 : Un jeune enfant qui ne sait pas lire prend les 6 jetons d'un jeu de Scrabble

qui composaient le mot "CARTON". Il r aligne ces jetons au hasard. Avec quelle

probabilit recompose-t-il ce mot ? M me question s'il a pris les 8 jetons qui composaient

le mot "INSTITUT".

Exercice 1-4 : 20 sujets sont au programme d'un oral d'examen. Le candidat tire au sort

3 de ces sujets et traite l'un de ces trois. Combien doit-il avoir r vis de sujets pour avoir

au moins 9 chances sur 10 de pouvoir traiter un sujet qu'il a r vis ?

Remarque sur le choix du mod le probabiliste

Comme dans tout probl me de mod lisation, il n'y a pas d'automatisme qui permette

d'associer un espace de probabilit une exp rience al atoire "concr te". M me dans des

7

W

(cid:229)

cas d' cole, il n'y a jamais un seul "bon" choix : reprenons l'exemple de l'urne

introduisant le paragraphe 2. Deux mod les peuvent tre consid r s comme naturels :

• On peut distinguer les 12 boules contenues dans l'urne en posant :

= {B1, B2, N, V1, V2, V3, V4, R1, R2, R3, R4, R5}

On munit alors W

• On peut aussi choisir de ne repr senter que la couleur de la boule tir e, en posant :

de la probabilit uniforme.

et en d finissant P par :

= {B, N, V, R}

P({B}) = 2/12

P({N}) = 1/12

P({V}) = 4/12

P({R}) = 5/12 .

Il est clair cependant qu'il est difficile de justifier le deuxi me mod le sans faire appel

l'id e d' quiprobabilit des tirages, id e qui par contre est clairement exprim e dans le

premier mod le.

Un autre exemple, celui-l c l bre, est du type de celui de l'aiguille de Buffon : quelle est

la longueur moyenne d'une corde d'un cercle de rayon r, comment repr senter le tirage au

hasard d'une telle corde ?

Dans des cas concrets de mod lisation, les hypoth ses sur lesquelles reposent la

d finition du mod le doivent tre clairement nonc es, de telle sorte qu'elles puissent tre

comment es et ventuellement remises en question, soit directement, soit par leurs

implications th oriques, soit par une confrontation avec des donn es exp rimentales.

4- Exercices

Exercice 1-5 : Soit (W

Montrer que si P(A) = P(B) = 0,9 , alors, P(A

B) !

0,8 .

, P) un espace de probabilit , et soient A et B deux v nements.

Dans le cas g n ral, montrer que P(A

B) !

P(A)+ P(B) - 1 .

Exercice 1-6 : Deux personnes sont tir es au sort dans un groupe de 30 compos de 10

femmes et 20 hommes. Avec quelle probabilit ces deux personnes sont-elles des

hommes ? Avec quelle probabilit sont-elles des femmes ?

Exercice 1-7 : Deux amis font partie d'un groupe de n personnes, auxquelles on a

distribu au hasard des num ros d'ordre pour constituer une file d'attente.

a) Avec quelle probabilit sont-ils les deux premiers ?

b) Avec quelle probabilit sont-ils distants de r places, c'est- -dire s par s par r-1

personnes. Repr senter ces probabilit s par un diagramme en b tons.

Exercice 1-8 : Un tiroir contient en vrac les 20 chaussettes de 10 paires diff rentes. On en

sort au hasard 4 chaussettes. Avec quelle probabilit obtient-on :

a) 2 paires

b) au moins une paire

8

W

W

II- Probabilit s conditionnelles

1- D finition

Lan ons un d parfaitement quilibr . Un bon mod le probabiliste en est donn par :

muni de la loi de probabilit P uniforme.

= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Notons A l' v nement "le d donne au moins 4 points" et B l' v nement "le r sultat est

impair". Supposons qu'on ne retienne le r sultat du lancer que s'il est dans B. Dans cette

nouvelle exp rience, l' v nement A est r alis quand on obtient un 5, et c'est avec la

probabilit relative

P({5})

P({1, 3, 5})

=

1/6

3/6

= 1/3. Plus g n ralement la probabilit relative

de A sous la condition que B est r alis est

P(A et B)

P(B)

. On l'appelle aussi probabilit de

A sachant que B, ou probabilit conditionnelle de A relative B, etc&

D finition 2-1 : Soit (W

P(B)

, P) un espace de probabilit , et soit B un v nement tel que

0. La probabilit de A sachant que B est not e P(A | B), et est d finie par :

P(A | B) =

P(A

B)

P(B)

"

Exercice 2-1 : a) Soit B un v nement tel que P(B)

associe P( A | B ) est une loi de probabilit sur W

b) Donner une propri t de A qui implique P(A | B) = 1, qui implique P(A | B) = 0, qui

0. Montrer que l'application qui A

.

implique P( A | B ) =

P(A)

P(B)

.

Exercice 2-2 : Un couple a deux enfants. Sous l'une des conditions suivantes :

a) l'a n est un gar on,

b) l'un des enfants est un gar on,

avec quelle probabilit le couple a-t-il un fils et une fille ?

2- Deux r sultats de d composition

Les deux r sultats de ce paragraphe utilisent " l'envers" la d finition 2-1, c'est- -dire

donnent un moyen de calcul de probabilit s connaissant des probabilit s conditionnelles.

Ils sont tr s utiles dans la pratique.

9

W

Exemple 2-1 : Une urne contient deux boules blanches et une boule noire. Une personne

tire une boule et la garde, une deuxi me personne tire une boule. Avec quelle probabilit

les deux boules tir es sont-elles blanches ? On peut r pondre cette question en utilisant

la d finition 2-1. En effet, notons A l' v nement "la premi re personne a tir une boule

blanche" et B l' v nement "la deuxi me personne a tir une boule blanche". D'apr s la

d finition, P(A et B) = P(B | A) P(A). Mais P(A) est connue, c'est 2/3. P(B | A) est aussi

connue : c'est 1/2 car, la premi re personne ayant tir une boule blanche, la deuxi me

personne tire une boule au hasard dans une urne qui contient une boule blanche et une

boule noire. Ainsi, P(A et B) vaut (2/3).(1/2) = 1/3 ."

La proposition suivante, parfois appel "th or me des probabilit s compos es",

g n ralise ce proc d de calcul :

Proposition 2-1 : Soit (W

v nements. On a :

P(An et An-1 et& et A1) =

, P) un espace de probabilit , et soient A1, A2,&, An des

= P(An | An-1 et& et A1) P(An-1 | An-2 et& et A1) & P(A2 | A1) P(A1). "

Cet nonc est constamment utilis dans le contexte des "cha nes de Markov", qui

interviennent naturellement dans les probl mes concrets o A1, A2,&, An repr sente une

succession (temporelle) d' v nements, la probabilit de r alisation du n-i me v nement

An tant conditionn e par "le pass " (probabilit sachant que A1 et & et An-1 ont eu lieu).

En voici un exemple simple :

Exercice 2-3: On sait que si le flash d'un appareil photo n'a pas eu panne durant les n

premiers d clenchements (n entier positif ou nul), la probabilit pour qu'il fonctionne au

(n+1)-i me est gale p (0 < p <1 ).

a) Quel est la probabilit pour qu'il n'ait pas de panne au cours des 100 premiers

d clenchements ?

b) Sachant qu'il a fonctionn n fois, avec quelle probabilit fontionnera-t-il au moins 100

fois de plus ?

Soient C1, C2, &, Cn n v nements deux deux disjoints et dont la r union est

l'ensemble de tous les r sultats possibles W

. En termes ensemblistes, {C1, C2, &, Cn}

est donc une partition de W

; en termes probabilistes, on l'appelle un syst me complet

d' v nements . Soit A un v nement. On a bien s r :

et les ensembles (A

A = (A

C1), (A

P(A) = P(A

C1)

(A

C2), &, (A

C1) + P(A

&

(A

Cn)

C2)

Cn) sont deux deux disjoints. Ainsi :

C2) + & + P(A

Cn)

10

et en utilisant la d finition 2-1, on obtient le r sultat :

Proposition 2-2 : Soit (W

syst me complet d' v nements. Soit A un v nement. On a :

, P) un espace de probabilit , et soit {C1, C2, &, Cn} un

P(A) = P(A | C1) P(C1) + P(A | C2) P(C2) + & + P(A | Cn) P(Cn) "

(Remarquons sans d monstration que ce r sultat se g n ralise un syst me complet

d nombrable d' v nements.)

Exercice 2-4 : En mars 1994 (enqu te sur l'emploi INSEE 1994), la population active en

France comprend 44,7% de femmes. Le taux de ch mage chez les hommes est 10,8% ; il

est chez les femmes 14,3% . On tire au sort une personne parmi les actifs.

a) Avec quelle probabilit est-elle au ch mage ?

b) Sachant qu'elle est au ch mage, avec quelle probabilit est-ce une femme ?

3- Ev nements ind pendants

Il est naturel de poser que, du point de vue de leur probabilit de r alisation, deux

v nements A et B sont ind pendants si le fait de savoir que B est r alis n'apporte pas

d'information sur les chances de r alisation de A, c'est- -dire si la probabilit de A

sachant que B est gale P(A), et donc si P(A

B) = P(A) P(B). Posons pour d finition

plus g n rale la suivante :

D finition 2-2 : Soit (W

I une famille

d' v nements. On dit que ces v nements sont ind pendants dans leur ensemble si,

Aj ) = (cid:213)

, P) un espace de probabilit , et soit (Ai)i

quelle que soit la partie finie J de I, P(

P(Aj). "

j J

j J

Exercice 2-5 : a) Montrer que si A et B sont ind pendants, A et Bc, Ac et B, Ac et Bc le

sont aussi. G n raliser cette remarque au cas d'une famille finie d' v nements

ind pendants dans leur ensemble.

b) Deux v nements A et B incompatibles sont-ils ind pendants ?

c) Par un diagramme donner un exemple d' v nements A, B, C deux deux ind pendants

mais qui ne sont pas ind pendants dans leur ensemble.

Remarque : Lan ons deux d s, chacun parfaitement quilibr . L'ensemble des r sultats

possibles est :

= { (i, j), 1

i

6, 1

j

6 } = {1, &, 6} {1, &, 6}

11

W

Notons A l' v nement "le premier d donne 4". Comme le premier d est parfaitement

quilibr , la probabilit de A est 1/6. Notons B l' v nement "le deuxi me d donne 6".

Comme le deuxi me d est parfaitement quilibr , la probabilit de A est 1/6. De plus,

nous pouvons sans difficult supposer que les v nements A et B sont ind pendants.

Donc, la probabilit de (A et B), c'est- -dire de l' v nement l mentaire (4, 6), est gale

(1/6).(1/6) = 1/36, et de m me bien s r pour tout autre couple (i, j). Ce raisonnement

confirme le choix de la loi uniforme sur W

pour repr senter l'exp rience al atoire du

lancer de deux d s.

Exercice 2-6 : On lance deux d s. Avec quelle probabilit la somme des points obtenus

est-elle gale 11 ? 10 ?

Plus g n ralement, consid rons une exp rience al atoire dont (W

probabiliste. Si cette exp rience est r p t e n fois de fa on ind pendante, on choisira

= W n , qu'on munira de la probabilit produit ~P, c'est-

comme ensemble de r sultats ~W

-dire telle que, quels que soient les sous-ensembles A1, A2,&, An de W

, P) est un mod le

:

~

P(A1 A2,& An) = P(A1) P(A2)& P(An) . "

4- Exercices

Exercice 2-7 : Avec quelle probabilit une famille de 3 enfants comporte-t-elle au moins

un gar on ?

Exercice 2-8 : Dans un groupe de 20 personnes, quelle est la probabilit pour qu'il n'y ait

jamais plus d'un anniversaire par jour ? Et dans un groupe de 50 personnes ? (on fera

comme si toutes les ann es avaient 365 jours).

Exercice 2-9 : Une exp rience est conduite pour tudier la m moire des rats. Un rat est

mis devant trois couloirs. Au bout de l'un d'eux se trouve de la nourriture qu'il aime, au

bout des deux autres, il re oit une d charge lectrique. Cette exp rience l mentaire est

r p t e jusqu' ce que le rat trouve le bon couloir. Sous chacune des hypoth ses suivantes

:

(H1) le rat n'a aucun souvenir des exp riences ant rieures,

(H2) le rat se souvient de l'exp rience imm diatement pr c dente,

(H3) le rat se souvient des deux exp riences pr c dentes,

avec quelle probabilit la premi re tentative r ussie est-elle la k-i me ? Repr senter

graphiquement les r ponses.

12

Exercice 2-10 : Pour d cider d'un traitement th rapeutique, on utilise un test qui est positif

99 fois sur 100 si une personne est effectivement malade. Mais si une personne n'est pas

malade, le test est positif une fois sur 100. On sait par ailleurs que 5 personnes sur 100

ont cette maladie.

a) Si le test d'une personne est positif, avec quelle probabilit cette personne est-elle

effectivement malade ?

b) Si le test d'une personne est n gatif, avec quelle probabilit cette personne n'est-elle

effectivement pas malade ?

Calculer ces probabilit s quand on sait que 5 personnes sur 1000 ont cette maladie.

Exercice 2-11 : La probabilit de fermeture du relai i des circuits d crits ci-dessous est pi.

Tous les relais fonctionnent ind pendamment. Dans chacun des cas suivants, quelle est la

probabilit pour que le courant passe entre A et B ?

a) A et B sont s par s par n relais reli s en s rie.

b) A et B sont s par s par n relais reli s en parall le.

c)

d)

A

1

3

2

4

A

1

3

5

2

4

B

B

Exercice 2-12 : On transmet un message compos de n symboles binaires '0' ou '1'. Lors

de la transmission, chaque symbole est perturb avec la probabilit p et se transforme

alors en symbole oppos . Par pr caution, le message est transmis deux fois. Si les deux

messages transmis co ncident, l'information est consid r e comme correcte.

a) Avec quelle probabilit le i-i me symbole du premier message transmis est-il

identique au i-i me symbole du deuxi me message transmis ?

b) Avec quelle probabilit les deux messages transmis sont-ils identiques ?

c) Trouver la probabilit pour que, malgr la co ncidence des deux messages,

l'information s'av re erron e. (Application num rique : n = 100 p = 0,001 ).

13

Exercice 2-13 : Un candidat d'un jeu t l vis am ricain est face trois portes. Derri re

l'une d'elles se trouve le prix, - une voiture -. Le candidat se place devant la porte de son

choix. Le pr sentateur de l' mission, qui lui sait o se trouve la voiture, ouvre alors l'une

des deux autres portes et indique au candidat que la voiture ne s'y trouve pas. Le candidat

peut son tour ouvrir une porte. S'il d couvre la voiture, il la gagne.

Un candidat d cide d'adopter l'une des trois strat gies suivantes :

a) ouvrir la porte devant laquelle il s'est plac l'issu de son premier choix,

b) ouvrir l'autre porte,

c) tirer pile ou face et, s'il obtient pile, ouvrir la porte devant laquelle il s'est

plac l'issu de son premier choix, ouvrir l'autre porte s'il obtient face.

L'une de ces trois strat gies est-elle pr f rable aux autres ?

14

III- Variables al atoires : g n ralit s

1- D finitions

Dans beaucoup de situations, le d tail du r sultat d'une exp rience al atoire ne nous

int resse pas, mais seulement une valeur num rique fonction de ce r sultat. Par exemple,

on peut se demander quel est le nombre de pannes d'un ordinateur sur une dur e d'un an,

sans tre int ress par les dates auxquelles ont lieu ces pannes. Etudions un exemple plus

simple :

Exemple 3-1 : On lance deux d s, et on regarde la somme des points obtenus. On choisit

pour mod le probabiliste du lancer des deux d s :

i

muni de la loi de probabilit P uniforme, qui affecte chaque v nement l mentaire (i, j)

= { (i, j) , 1

6 , 1

6 }

j

la probabilit P{(i, j)} = 1/36. Avec quelle probabilit la somme des points obtenus est-

elle gale, par exemple, 5 ? C'est la probabilit de l'ensemble des v nements

l mentaires (i, j) qui r alisent cette condition.

Introduisons l'application S de W

par :

dans

, qu'on dira tre unevariable al atoire , d finie

(i, j)

La question pos e est le calcul de la probabilit de l' v nement { (i, j)

c'est- -dire de l' v nement { (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) }. On notera cet v nement, de

/ S(i, j) = 5 },

S(i, j) = i + j

fa on simplifi e, { S = 5 }. On trouve :

P({ S = 5 }) = P({ (i, j)

Remarquons que S prend ses valeurs dans {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} et que, par

/ S(i, j) = 5 }) = P({ (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) }) = 4/36 .

cons quent :

12

P({ S = k }) = P(

k=2

k {2,&,12}

{ S = k } ) = P(W

) = 1 . "

Abordons maintenant le cas g n ral, dans lequel l'ensemble des valeurs prises par une

variable al atoire n'est pas forc ment fini ou d nombrable :

D finition 3-1 : On appellevariable al atoire une application X d finie sur un espace de

probabilit (W

La fonction de r partition F d'une variable al atoire X est la fonction de

d finie, pour tout r el x, par :

, P) et valeurs r elles.

dans

F(x) = P({ X x }) "

15

W

"

W

W

W

(cid:229)

Exercice 3-1 : Repr senter la fonction de r partition de la variable al atoire S de l'exemple

3-1.

Exercice 3-2 : Soit X une variable al atoire, et soit F sa fonction de r partition. Pour a et b

r els (a < b), exprimer en fonction de F :

P( X > a ),

P( a < X

b ),

P( X < a ) (utiliser la proposition 1-1-b), P( X !

a), P( X = a ), P( a

X < b ), &

Cet exercice montre que la connaissance de la fonction de r partition F d'une variable

, la probabilit

I }). On peut d montrer qu'elle permet aussi, - en principe tout du moins -, de

al atoire X permet de calculer, pour n'importe quel intervalle I de

P({ X

calculer la probabilit P({ X B }) pour n'importe quel sous-ensemble B de

r sum que la fonction de r partition de X d termine la loi ou la loi de probabilit de X.

. On dit en

(Le vocabulaire est justifi par le fait que l'application qui un sous-ensemble B de

associe P({ X B }) est une loi de probabilit sur

On peut montrer sans difficult que, si F est la fonction de r partition d'une variable

).

al atoire :

a) F est croissante,

b) F est continue droite en tout point,

c)

F(x) = 0

lim

x

lim

+

x

F(x) = 1.

et inversement, mais la d monstration n'est pas l mentaire, qu'une fonction F de

dans

qui v rifie les propri t s a), b) et c) est la fonction de r partition d'une variable

al atoire.

Exercice 3-3: Soit X une variable al atoire. On suppose que sa fonction de r partition F

est donn e par :

F(x) = 0

1

+

3

=

2

(1- e-x )

3

si

si

x < 0

x !

0

a) Dessiner le graphe de F.

b) Calculer :

P( X > -2 ), P( X

]1-1/n, 1] ), P( X = 1 ), P( X

] -1/n, 0] ), P ( X = 0 )

2- Variables al atoires discr tes, variables al atoires densit

• Une variable al atoire X qui prend ses valeurs dans un sous-ensemble fini ou

d nombrable { xi , i

est dite discr te. Notons :

pi = P(X=xi).

pi = 1.

I

Les pi sont des r els de [0, 1] et tels que (cid:229)

i

I } de

16

La donn e des pi d finit la loi de la variable al atoire X, puisque pour tout sous-ensemble

A de

:

La fonction de r partition F de X s'exprime, pour tout a r el, par :

P(X A) =

pi .

A

i / xi

F(a) =

pi

a

i / xi

Nous avons vu sur un exemple (exercice 3-1) que, tout du moins quand il n'y a qu'un

nombre fini de xi par intervalle born , F est constante par morceaux, et que ses

discontinuit s sont situ es aux points d'abscisse xi, la hauteur du saut correspondant tant

pi.

• On dit qu'une variable al atoire X est densit s'il existe une fonction f de

positive ou nulle, et telle que, pour tout sous-ensemble B de

:

dans

,

P( X

B ) = (cid:242)

B

f(x) dx .

On appelle cette fonction f la fonction de densit de probabilit de la variable al atoire X.

Exercice 3-4 : On fait tourner une aiguille autour d'un axe et on rep re la position sur

laquelle elle s'arr te par un angle Q

a) Quelles valeurs proposer pour P( 0

Et pour P(Q

b) Peut-on proposer une fonction f qui soit la densit de la loi de Q

I) lorsque I est un sous-intervalle de [0, 2p [ ?

de [0, 2p [.

< p

Q

< 3p /2 ) ?

), P( p /2

), P( p

< 2p

?

Q

Q

Remarquons que si X est une variable al atoire densit , la densit f v rifie

n cessairement :

+

f(x) dx = 1.

-

De plus, quels que soient a et b ( a < b ) :

P( X = a ) = 0

P( a < X < b) = P( a

X < b) = P( a < X

b) = P( a

X

b

f(x) dx

b) = (cid:242)

a

La fonction de r partition F de X est donn e par :

a

f(x) dx

F(a) = (cid:242)

-

et elle est continue.

Exercice 3-5 : Soit X une variable al atoire densit f d finie par :

f(x) = c x si

1

x

4

= 0

sinon

17

(cid:229)

(cid:229)

(cid:242)

a) Calculer la valeur de c.

b) Que vaut P( 1

c) Calculer et repr senter graphiquement la fonction de r partition de X.

2 ) ?

X

• Concluons ce paragraphe en signalant qu'une variable al atoire peut n' tre ni discr te, ni

densit , mais mixte :

Exercice 3-6 : Reprendre l'exemple de l'exercice 3-3, et montrer qu'on peut crire :

P( X

B )

f(x) dx

= (cid:242)

B

=

1

+ (cid:242)

3

B

f(x) dx

si

si

0 B

0 B ,

o f est une fonction d terminer.

3- Couples de variables al atoires

, P) un espace de probabilit , et soient X et Y deux variables al atoires d finies

Soit (W

sur cet espace. Le couple (X, Y) d finit ce que l'on peut appeler une variable al atoire

valeurs dans

, il associe en effet le vecteur (X(w

2 : tout w

), Y(w

de W

)).

La loi de (X, Y), souvent appel e loi conjointe de (X, Y), est d termin e par la donn e,

pour tout sous-ensemble C de

2, de la probabilit P({ (X, Y)

C }).

On montre que la loi conjointe de (X, Y) est d termin e d s qu'on conna t

P(X A et Y B ) pour tout couple (A, B) de sous-ensembles de

. On montre aussi

qu'il suffit pour cela de conna tre la fonction de r partition F du couple (X, Y) qui est

d finie par :

"

(x, y)

2

F(x, y) = P({ X x et Y y }) .

Remarquons que si la loi conjointe de (X, Y) est connue, on en d duit les lois de X et de

:

Y, appel es dans ce contexte lois marginales. En effet, pour tout sous-ensemble A de

{ X A } = { X A et Y

} = { (X, Y) A

} ,

et on tire :

P ( X A ) = P ( (X, Y) A

) .

Exercice 3-7 : Soient (X, Y) un couple de variables al atoires dont la loi est telle que, si i

j

et j sont deux entiers tels que 0

i, P{ (X, Y) = (i, j) } =

2 et -i

i

1

9 .

a) Repr senter graphiquement les valeurs prises par le couple (X, Y).

b) Quelle sont les lois marginales de X et Y ?

18

4- Variables al atoires ind pendantes

D finition 3-2 : Soient X et Y deux variables al atoires d finies sur un espace de

probabilit (W

, P). On dit qu'elles sont ind pendantes si pour tout couple (A, B) de sous-

, les v nements { X A } et { Y B }sont ind pendants, c'est- -dire si :

ensembles de

P ( X A et Y B ) = P( X A ) P( Y B ) "

Exercice 3-8 : a) Soient (X, Y) un couple de variables al atoires de loi donn e par :

P{ (X, Y) = (-1, 0) } = P{ (X, Y) = (1, 0) } =

= P{ (X, Y) = (0, -1) } = P{ (X, Y) = (0, 1) } =

1

.

4

X et Y sont-elles ind pendantes ?

b) m me question avec les donn es de l'exercice 3-7.

Exercice 3-9 : Supposons X et Y discr tes, et pl...