Année Universitaire
2020 - 2021
TD2
Module
Nombre de pages
: Probabilités et Inférence Statistique
: 2
Exercice 1
Une urne contient 6 boules noires, 4 boules rouges et 2 boules blanches. On tire
la variable aléatoire indiquant le nombre de
simultanément 3 boules de l’urne. Soit
boules rouges tirées.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire
2. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire
3. Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire
.
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.
.
Exercice 2
Soit
une variable aléatoire ayant la fonction de densité suivante :
où est un réel strictement positif.
1. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire
2. Calculer l’espérance de la variable aléatoire
.
.
1
XXXXX220()0sinonxsixfx=XX
Exercice 3
Une usine utilise une machine automatique pour remplir des flacons contenant un certain
produit en poudre. On suppose que le poids de poudre par flacon est une variable
aléatoire qui suit une loi normale de moyenne
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et d’écart-type =1,1 mg. Les flacons
sont vendus comme contenant 100 mg de produit.
1. La machine est réglée sur =101,2 mg. Quelle est la probabilité que le poids du
produit dans un flacon soit inférieur au poids annoncé de 100 mg ?
2. Sur quelle valeur de
faut-il régler la machine pour que 4% des flacons aient un
poids inférieur au poids annoncé de 100 mg ?
3. La machine est réglée sur =101 mg. Quelle est la probabilité que la différence
(en valeur absolue) entre le poids réel du produit (versé par la machine) et le poids
annoncé de 100 mg ne dépassera pas 1 mg ?
Exercice 4
Avant de décider s’il doit mettre un nouveau produit sur le marché, le directeur du
marketing de la compagnie Nova Inc. aimerait estimer la demande pour ce produit. Sur
la base de son expérience, il affirme que la demande suit approximativement une loi
normale de moyenne 𝜇 = 70 000 unités. Il précise également qu’il y a 10% de chances que
la demande soit supérieure à 80 000 unités.
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1. À partir de ces données, déterminer l’écart-type de la variable aléatoire
désignant la demande.
2. Calculer la probabilité que la demande pour ce nouveau produit soit :
• Supérieure à 85 000 unités.
• Entre 60 000 et 70 000 unités.
•
Inférieure à 50 000 unités.
Exercice 5
Calculer les probabilités suivantes :
1.
3.
5.
7.
,
,
,
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,
,
,
,
,
2.
4.
6.
8.
2
X212X(10.22)?PX(10)Xtdl(2)?PX212X(5)?PX(20)Xtdl(1.5)?PX−212X(0)?PX(12)Xtdl(1.12)?PX220X(11.2016.40)?PX(30)Xtdl(1.4)?PX−