Probabilité & Statistique

LSL

Nom

USL

R llement different

de celle la?

X

X

Acceptable

CTQ

Nous somme encore entrain dutiliser lune et de jeter lautre !

Fethi Derbeli 2017

Nouvelle vision qualit

Notre souci devient :

Est ce que nous somme lobjectif avec le minimum de variation?

Nouvelle vision

LSL

Nom

USL

CTQ

distribution

t

o

C

CTQ

Fethi Derbeli 2017

Perte en qualit en

s loignant de

lobjectif

Co t de la Variabilit /Objectif

LSL

Nom

USL

t

o

C

t

o

C

LSL

Nom

USL

Fethi Derbeli 2017

lobjectif: minimum de

variabilit

lobjectif: variabilit la

limite dacceptation

Co t de la Variabilit / hors Objectif

LSL

Nom

USL

Pas lobjectif: minimum

de variabilit

Pas lobjectif: variabilit

la limite dacceptation

t

o

C

t

o

C

LSL

Nom

USL

Fethi Derbeli 2017

Types de donn es darriv e

(cid:1) Attributs (donn es qualitatives)

(cid:1) Cat gories

(cid:1) Oui, Non

(cid:1) Passe, Ne passe pas

(cid:1) Machine 1, Machine 2, Machine 3

(cid:1) Bon/Mauvais

(cid:1) Variables (donn es quantitatives)

(cid:1) Donn es discontinues

(cid:1)Pannes d quipements de maintenance, rupture de fibres, nombre de

blocages

(cid:1) Donn es continues

(cid:1)Les subdivisions d cimales ont un sens

(cid:1)Dimensions, rendement chimique, dur e de cycle

Fethi Derbeli 2017

Types d'analyses statistiques

(cid:1) Tabulaire

(cid:1) distribution des fr quences, tableau des fr quences

(cid:1) Num rique

(cid:1) moyenne, m diane, tendue, variance, cart type

(cid:1) Graphique

(cid:1) bo te moustaches, histogramme

Fethi Derbeli 2017

Les analyses de donn es n cessaires lam lioration

(cid:1) D terminer si le processus est stable

(cid:1) Si le processus nest pas stable, identifier et supprimer les causes (X) dinstabilit

(variation vidente et non al atoire)

(cid:1) Situer la moyenne du processus. R pond-il ses objectifs ?

(cid:1) Si ce nest pas le cas, identifier les variables (X) qui affectent la moyenne et

d terminer les r glages optima pour atteindre les objectifs.

(cid:1) Estimer lampleur de la variabilit totale. Est-elle acceptable en ce qui

concerne les exigences du client (limites de sp cifications)?

(cid:1) Si ce nest pas le cas, identifier les sources de variabilit et supprimer ou r duire

leur influence sur le processus.

(cid:1) Nous allons maintenant examiner des statistiques qui peuvent aider ce

processus.

Fethi Derbeli 2017

R partitions statistiques

(cid:1) On peut d crire le comportement de nimporte quel

processus ou syst me en indiquant de multiples points de

donn es pour la m me variable

(cid:1) sur une certaine dur e

(cid:1) pour plusieurs produits

(cid:1) sur diverses machines, etc.

(cid:1) Laccumulation de ces donn es peut tre consid r e

comme une r partition de valeurs repr sent e par:

(cid:1) des graphiques points

(cid:1) des histogrammes

(cid:1) des courbes normales ou autre r partition arrondie

Fethi Derbeli 2017

Mesures de tendance centrale

" Moyenne: moyenne arithm tique dun ensemble de valeurs

Refl te linfluence de toutes les valeurs

Fortement influenc e par les valeurs extr mes

n

nx

== 1

n

n

x

" M diane: refl te les 50% - le nombre central une fois quun

ensemble de chiffres a t tri

Ne tient pas forc ment compte de toutes les valeurs dans le

calcul

Est dure avec les valeurs extr mes

" Mode:

La valeur la plus fr quente dans les ensembles de donn es

" Pourquoi utiliser la moyenne au lieu de la m diane dans nos

efforts dam lioration du processus ?

Fethi Derbeli 2017

Exercice

Nous allons calculer ensemble la

moyenne et la m diane de la s rie de

donn es n 1.

Moyenne =

M diane =

Faites maintenant la s rie de donn es

n 2 et 3 en groupes.

S rie n 2

S rie n 3

Moyenne =

M diane =

Moyenne =

M diane =

Fethi Derbeli 2017

Set#1

98

102

108

105

89

92

114

90

97

100

104

Set#2

105

109

116

76

148

87

86

70

137

99

119

Set#3

107

169

131

84

81

67

81

122

52

233

46

Mesures de dispersion

tendue

Distance num rique entre les valeurs les plus lev es et

les valeurs les plus basses d'une s rie de donn es

Tr s sensible aux valeurs extr mes des donn es

tendue interquartile (IQR)

Distance extr me entre le 1er et le 3 me quartile d'une

s rie de donn es divis e en 4 groupes gaux

Utilis e pour g n rer des bo tes moustaches

Range

=

min

max

IQR

=

3 QQ

1

Variance ( 2; s2 )

Moyenne des carr s des carts de chaque point de

donn es individuel par rapport la valeur moyenne

Pas du tout sensible aux valeurs extr mes des

donn es

2

s

=

cart type ( ; s)

Racine carr e de la variance ; distance moyenne des

donn es par rapport la moyenne

Mesure la plus commun ment utilis e pour

quantifier une variation

s

=

Fethi Derbeli 2017

n

=

1i

n

1i

=

(X

i

2

)X

1n

(X

i

2

)X

1n

Exercice

Nous allons calculer ensemble

l' tendue, la variance et l' cart type de

la s rie de donn es n 1.

tendue =

Variance = s2 =

cart type = s =

Faites maintenant la s rie de donn es

n 2 et 3 en groupes.

S rie n 2

S rie n 3

tendue =

Variance = s2 =

cart type = s =

tendue =

Variance = s2 =

cart type = s =

Fethi Derbeli 2017

Set#1

98

102

108

105

89

92

114

90

97

100

104

Set#2

105

109

116

76

148

87

86

70

137

99

119

Set#3

107

169

131

84

81

67

81

122

52

233

46

Probabilit

(cid:1) Nous avons pr c demment d fini les valeurs d' chantillon et les

param tres de population.

(cid:1) Une fonction de distribution de probabilit est une formule math matique

qui rapproche les valeurs des caract ristiques avec leur probabilit

d'occurrence dans la population.

(cid:1) Une collection de valeurs de probabilit est appel e une distribution.

(cid:1) Lorsque la caract ristique mesur e peut prendre une valeur quelconque

(d pendant de la finesse de la m thode de mesure), sa distribution de

probabilit est continue.

(cid:1) Les distributions normales, exponentielles et de Weibull sont des exemples.

(cid:1) Lorsque la caract ristique mesur e ne peut prendre qu'une valeur bien

sp cifique, sa distribution de probabilit est discr te.

(cid:1) Bin me et Poisson sont des exemples.

Fethi Derbeli 2017

Distributions de probabilit

DISTRIBUTION BINOMIALE (distribution discr te finie)

1.1. VARIABLE DE BERNOULLI

D finition : Une variable al atoire discr te qui ne prend que les valeurs 1 et 0 avec

les probabilit s respectives p et q = 1- p est appel e variable de BERNOULLI.

Plus g n ralement, on utilisera une variable de Bernoulli lorsquon effectue une

preuve qui na que deux issues : le succ s ou l chec. On affecte alors 1 la

variable en cas de succ s et 0 en cas d chec.

Distribution de probabilit s Param tres de la distribution

Fethi Derbeli 2017

Distributions de probabilit

DISTRIBUTION BINOMIALE

a) On effectue une preuve de Bernoulli. Elle na donc que deux issues : le succ s

avec une probabilit p ou l chec avec une probabilit q.

b) On r p te n fois cette preuve.

c) Les n preuves sont ind pendantes entre elles, ce qui signifie que la probabilit

de r alisation de l v nement succ s est la m me chaque preuve et est

toujours gale p.

Dans cette situation, on sint resse la variable X = nombre de succ s au cours

des n preuves. La probabilit dobtenir k succ s, cest- -dire p(X = k ).

La probabilit d'avoir k succ s suivis de (n-k) checs est pk qnk car ces r sultats

sont ind pendants les uns des autres.

La probabilit d'avoir k succ s et (n-k) checs dans un autre ordre de r alisation

est toujours pk qnk . Donc tous les v nements l mentaires qui composent

l v nement (X =k) ont m me probabilit .

Combien y en a-t-il? Autant que de fa ons dordonner les k succ s par rapport

aux (n-k) checs ? Il suffit de choisir les k places des succ s parmi les n possibles

k mani res de choisir

et les (n-k) checs prendront les places restantes. Or il y a Cn

k places parmi n.

Fethi Derbeli 2017

Distributions de probabilit

Finalement, on obtient pour 0 d k d n :

On dit que la variable al atoire X suit une loi binomiale de param tres n et p. On

note : X <> B(n,p).

Param tres descriptifs de la distribution

Fethi Derbeli 2017

Distributions de probabilit

DISTRIBUTION G OM TRIQUE ( distribution discr te d nombrable)

a) On effectue une preuve de Bernoulli.

b) On r p te l preuve jusqu lapparition du premier succ s.

c) Toutes les preuves sont ind pendantes entre elles, ce qui signifie que la probabilit

de r alisation de l' v nement succ s est la m me chaque preuve et est

toujours gale p.

Dans cette situation, on sint resse la variable X = nombre de fois quil faut r p ter

l preuve pour obtenir le premier succ s.

DISTRIBUTION DE PROBABILIT S

On dit que la variable al atoire X suit une loi g om trique de param tre p .

On note : X <> G(p).

PARAM TRES DESCRIPTIFS DE LA DISTRIBUTION

Fethi Derbeli 2017

Distributions de probabilit

DISTRIBUTION DE POISSON ( distribution discr te d nombrable)

Beaucoup de situations sont li es l tude de la r alisation d'un v nement dans

un intervalle de temps donn (arriv e de clients qui se pr sentent un guichet d'une

banque en une heure. Les ph nom nes ainsi tudi s sont des ph nom nes

d'attente.

Pour d crire les r alisations dans le temps d'un v nement donn , on peut :

" soit chercher le nombre de r alisations de l v nement dans un intervalle de

temps donn qui est distribu suivant une loi de Poisson.

" soit chercher le temps entre deux r alisations successives de l v nement qui est

distribu suivant une loi exponentielle.

La loi de Poisson peut tre interpr t e comme un cas limite d'une loi binomiale et la

seconde comme un cas limite d'une loi g om trique.

Fethi Derbeli 2017

Distributions de probabilit

DISTRIBUTION DE PROBABILIT S

Nous cherchons d terminer la loi de probabilit de la variable X = nombre de

r alisations dun v nement donn pendant un intervalle de temps t , sachant que

le nombre moyen de r alisations de cet v nement par unit de temps est .

Il sagit dune loi binomiale B(n, p) ou t = .

D finition : La distribution de Poisson de param tre est celle dune variable

discr te X qui prend ses valeurs dans N selon la fonction de densit :

On crit : X <> P( ).

Fethi Derbeli 2017

Distributions de probabilit

DISTRIBUTION EXPONENTIELLE (distribution continue)

. SITUATION CONCR TE

On se place dans le cas d'un ph nom ne d'attente et on sint resse la variable

al atoire qui repr sente le temps d'attente pour la r alisation dun v nement ou le

temps d'attente entre la r alisation de deux v nements successifs.

Si on se place dans le cas o lintensit du processus de Poisson est constante, ce

temps dattente suit une loi exponentielle de param tre .

La loi exponentielle de param tre d crit la distribution d'une variable

continue X qui ne prend que des valeurs positives selon la fonction de densit :

On note X <> Exp( )

Fethi Derbeli 2017

Distributions de probabilit

DISTRIBUTION NORMALE ( distribution continue)

SITUATION CONCR TE

Donc d s que nous seront dans une situation o la distribution d pend de causes

en grand nombre et ind pendantes

dont les effets s'additionnent

dont aucune n'est pr pond rante

alors nous serons en pr sence de la distribution normale.

Une variable al atoire continue suit une loi normale si lexpression de sa

fonction de densit de probabilit s est de la forme :

La loi d pend des deux r els m et appel s param tres de la loi normale.

On note : X <> N(m, ).

Fethi Derbeli 2017

Distributions de probabilit

loi normale centr e r duite not e N(0,1).

Donc si X <> N(m, ) , on pose

On peut r sumer la correspondance de la fa on suivante:

et T <> N(0,1).

APPROXIMATIONS PAR DES LOIS NORMALES

Fethi Derbeli 2017

Exemple

Exercice 1: Supposons qu'une tentative pour obtenir

une communication t l phonique choue (par

exemple, parce que la ligne est occup e) avec la

probabilit 0.25 et r ussisse avec la probabilit 0.75.

On suppose que les tentatives sont ind pendantes les

unes des autres.

Quelle est la probabilit dobtenir la communication si

lon peut effectuer trois tentatives au maximum?

Fethi Derbeli 2017

Solution :

" Nous nous int ressons la variable X = nombre de tentatives n cessaires

pour obtenir la communication , ce que lon peut consid rer comme le

nombre dessais faire pour obtenir le premier succ s. X suit une loi

g om trique de param tre p = 0.75

" On cherche d terminer p(X d 3) = p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3)

" On peut obtenir la communication au 1er essai. On a pour cela une

probabilit

p(X = 1) = 0.75.

On peut obtenir la communication au 2 me essai. On a pour cela une

probabilit

p(X= 2) = 0.25 0.75 = 0.1875.

On peut obtenir la communication au 3 me essai. On a pour cela une

probabilit

p(X= 3) =0.252 0.75 = 0.0469.

Finalement la probabilit dobtenir la communication en trois essais

maximum est

p(X d 3) = 0.75 + 0.1875 + 0.0469 = 0.9844 soit 98.5 %.

Fethi Derbeli 2017

Exemple

Exercice 2 : Un fabricant de pi ces de machine pr tend qu'au

plus 10% de ses pi ces sont d fectueuses. Un acheteur a

besoin de 120 pi ces. Pour disposer d'un nombre suffisant de

bonnes pi ces, il en commande 140. Si l'affirmation du fabricant

est valable, quelle est la probabilit que l'acheteur re oive au

moins 120 bonnes pi ces?

Fethi Derbeli 2017

Solution :

" Appelons X la variable al atoire correspondant au nombre de bonnes pi ces dans le lot de 140 pi ces .

" X prend ses valeurs entre 0 et 140. De plus pour chaque pi ce, on na que deux ventualit s : elle est bonne ou

elle est d fectueuse. La probabilit quune pi ce soit d fectueuse est 0.1. Par cons quent elle est bonne avec la

probabilit 0.9. On est donc dans une situation type : X suit la loi binomiale de param tres n = 140 et p = 0.9.

X <> B(140,0.9)

" On veut d terminer la probabilit que lacheteur re oive au moins 120 bonnes pi ces sur les 140, soit p(X e

120) . A priori, il nous faudrait calculer la somme des probabilit s p(X = 120) + p(X = 121) +.......+ p(X = 140) ce

qui serait pouvantablement long. On essaie donc dapprocher la loi binomiale par une loi tabul e :

on pourra approcher la loi binomiale par une loi normale. On

choisit la loi normale qui a la m me esp rance et le m me cart-type.

Donc X qui suit la loi B(140, 0.9) sera approch e par Y qui suit la loi N(126, 3.55).

" Pour remplacer une loi discr te par une loi continue, il est pr f rable dutiliser la correction de continuit : p(X e

120) E p(Y > 119.5) . On se ram ne enfin la loi normale centr e r duite :

Conclusion : lacheteur a 97 chances sur 100 de recevoir 120 bonnes pi ces sur les 140 achet es.

Fethi Derbeli 2017

Exercice 3 : Les statistiques ant rieures d'une compagnie

d'assurances permettent de pr voir qu'elle recevra en

moyenne 300 r clamations durant l'ann e en cours. Quelle

est la probabilit que la compagnie re oive plus de 350

r clamations pendant l'ann e en cours ?

Fethi Derbeli 2017

Solution :

" La variable X qui nous int resse est le nombre de r clamations re ues pendant une ann e . Il sagit du

nombre de r alisations dun v nement pendant un intervalle de temps donn . X suit donc une loi de Poisson.

Le nombre moyen de r alisations dans une ann e est 300. Cette valeur moyenne est aussi le param tre de la

loi de Poisson. Donc X suit la loi P(300).

" On cherche d terminer p(X > 350). Il ny a pas de table de la loi de Poisson pour cette valeur du param tre

. Il nous faut donc approcher X qui suit la loi de Poisson P(300) par Y qui suit la loi normale de m me

esp rance et de m me cart-type, cest - dire N(300, 300).

" Ici aussi, on remplace une loi discr te par une loi continue. Il faut donc appliquer la correction de continuit :

p(X > 350) = p(X e 351) E p(Y > 350.5). On se ram ne finalement la loi normale centr e r duite

La compagnie dassurances a donc 1.70/1000 de chances de recevoir plus de 350 r clamations en un an.

Fethi Derbeli 2017

Distributions de probabilit

Fethi Derbeli 2017

Distributions de probabilit

Fethi Derbeli 2017

La r partition normale

(cid:1) La r partition Normale est une r partition des donn es qui

poss dent certaines caract ristiques coh rentes

(cid:1) Ces caract ristiques sont tr s utiles pour nous permettre de

comprendre les propri t s du processus do viennent les

donn es

(cid:1) La plupart des ph nom nes naturels et des processus cr s

par lhomme sont r partis normalement, ou peuvent tre

repr sent s comme tels.

Fethi Derbeli 2017

Distribution normale

(cid:1) La distribution utilis e le plus commun ment dans les analyses

statistiques de proc d s industriels est la distribution normale.

(cid:1) La fonction de densit de probabilit (fdp) est :

y

=

1

2

(X

e

/22 )

2

Les propri t s significatives sont les suivantes :

La courbe est sym trique autour de la moyenne

Les valeurs de l'asym trie et du kurtosis = 0

La moyenne et l' cart type sont ind pendants

Moyenne = m diane

Le domaine en-dessous de la courbe de - + = 1

Fethi Derbeli 2017

La r partition normale

(cid:1) Caract ristique 1: on peut d crire une r partition

normale en connaissant seulement:

(cid:1) la moyenne et

(cid:1) la d viation standard

R partition N 1

R partition N 2

R partition N 3

Quest-ce qui diff rencie ces trois r partitions normales ?

Fethi Derbeli 2017

La courbe normale et ses probabilit s

(cid:1) Caract ristique 2: la surface en-dessous de la courbe peut

tre utilis e pour estimer la probabilit cumulative de la

survenance dun certain v nement.

r

u

e

l

a

v

a

l

e

d

t

i

l

i

b

a

b

o

r

P

40%

30%

n

o

l

l

i

t

n

a

h

c

l

20%

10%

Probabilit cumulative

de lobtention dune

valeur situ e entre ces

deux valeurs

68%

95%

99,73%

e

d

0%

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Nombre de d viations standard par rapport la moyenne

Fethi Derbeli 2017

68,26 % des donn es tomberont dans les limites de + / - 1 par rapport la moyenne

95,46 %

99,73 %

des donn es tomberont dans les limites de + / -2 par rapport la moyenne

des donn es tomberont dans les limites de + / -3 par rapport la moyenne

99,9937 %

des donn es tomberont dans les limites de + / -4 par rapport la moyenne

99,999943 % des donn es tomberont dans les limites de + / -5 par rapport la moyenne

99,9999998 % des donn es tomberont dans les limites de + / -6 par rapport la moyenne

68.26 %

95.46 %

99.73 %

-3.0

-2.0

-1.0

-0.0

1.0

2.0

3.0

Fethi Derbeli 2017

Test de Normalit

(cid:1) Dans certaine circonstances si n cessaire, de savoire si les

donn es sont normalement distribu es.

(cid:1) Pour savoir si la distribution est normale on conduit un test

de normalit , on peut utiliser Minitab

(cid:1) Pour faire un test de normalit on a besoin de lister quelques

concepts fondamentales concernant le test dhypoth se.

(cid:1) Pour conduire un test dhypoth se, on a besoin de statuer

notre hypoth se et d cider le niveau de risque quon prend

pour se tromper.

Fethi Derbeli 2017

Graphiques de probabilit normale

(cid:1) Nous pouvons tester si un ensemble de donn es peut tre d crit

comme normal gr ce un test appel le graphique de probabilit

normale.

(cid:1) Si la r partition est proche de la normale, le graphique de probabilit

normale sera en ligne droite.

(cid:1) Minitab permet de cr er facilement un graphique de probabilit

normale

(cid:1) Produire un graphique normal pour chacune des 3 premi res

colonnes. Lequel para t normal ?

(cid:1) Maintenant, produire un histogramme pour chaque.

(cid:1) Que r v le-t-il ?

Fethi Derbeli 2017

R sultat de Minitab

Fethi Derbeli 2017

Graphiques de probabilit normale

Normal Probability Plots

Normal Probability Plots

Normal Probability Plots

y

c

n

e

u

q

e

r

F

300

200

100

0

y

c

n

e

u

q

e

r

F

300

200

100

0

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

60

70

80

90

100

110

120

130

0

10

20

30

40

50

60

70

80

C1

C2

C3

Normal Distribution

Positive Skewed Distribution

Negative Skewed Distribution

y

t

i

l

i

b

a

b

o

Pr

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

y

t

i

l

i

b

a

b

o

Pr

26

36

46

56

66

Normal

76

86

96

106

60

70

80

100

90

Pos Skew

110

120

130

0

10

20

Anderson-Darling Normality Test

A-Squared: 0.418

p-value: 0.328

Average: 70

Std Dev: 10

N of data: 500

Anderson-Darling Normality Test

A-Squared: 46.447

p-value: 0.000

Average: 70

Std Dev: 10

N of data: 500

30

40

Neg Skew

50

60

70

80

Anderson-Darling Normality Test

A-Squared: 43.953

p-value: 0.000

Fethi Derbeli 2017

y

c

n

e

u

q

e

r

F

100

50

0

y

t

i

l

i

b

a

b

o

Pr

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

Average: 70

Std Dev: 10

N of data: 500

R gles empiriques pour la d viation standard

(cid:1) Les r gles pr c dentes de la probabilit cumulative sappliquent m me si

un ensemble de donn es nes pas r parti parfaitement normalement.

(cid:1) Comparons les valeurs dune r partition th orique (parfaite) et dune

r partition empirique (concr te).

N om bre de

d viations

Standard

+/- 1

+/- 2

+/- 3

Th orique

N orm ale

E m pirique

N orm ale

68%

95%

60-75%

90-98%

99,7%

99-100%

Fethi Derbeli 2017

Pr visions utilisant la courbe normale

(cid:1) Les pr visions n cessitent 2 estimations et un tableau :

(cid:1) Estimation de = X barre

(cid:1) Estimation de = s

(cid:1) Tableau Z

(cid:1) Transformation en Z :

(cid:1) Z = (X- ) /

Fethi Derbeli 2017

Pr vision des niveaux de d fauts

La transformation en Z :

z

=

)

(

x

(

x

=

x

)

s

(cid:1)

(cid:1)

Cette transformation produit une valeur de distribution o : Moyenne = 0 et sigma = 1

La valeur Z indique combien de d viations standard entrent dans la distance

entre X (tout nombre int ressant, comme une limite de sp cification) et (la moyenne

d'une distribution donn e)

(cid:1)

Pour la pr vision des niveaux de d fauts (ou probabilit estim e), nous pouvons

utiliser la moyenne actuelle et l' cart type du proc d et substituer la limite inf rieure et la

limite sup rieure de la sp cification (unes unes) pour x

En utilisant cette m thode, nous pouvons calculer le score Z (ou Sigma) du proc d ,

les niveaux PPM et la probabilit de d faut

(cid:1)

Analysons un exemple.

Fethi Derbeli 2017

Calculer la note Z

La conversion Z:

z

=

)

(

x

=

)

(

xx

s

" Cette transformation convertit nimporte quelle distribution normale (avec

une moyenne d chantillon et un sigma d chantillon) en une r partition

standard qui a toujours une moyenne=0 et un sigma=1.

" Que lon mesure en mm, en pouces, Volts, etc. la r partition transform e

aura TOUJOURS une moyenne=0 & sigma=1. Toute distribution est

transform e en distribution normale standard gr ce au transformerZ .

" La valeur z (ou note z), indique l loignement dun chiffre particulier, X, de la

moyenne d chantillon, en unit s standard de d viation.

" Par exemple, si z = 2, le chiffre particulier X est 2 unit s standard de

d viation de la moyenne d chantillon.

" Pour pr dire les niveaux d chantillons, (ou le rendement estim ), nous

substituons X la limite inf rieure de sp cification (LIS) et la limite

sup rieure de sp cification (LSS).

" Nous pouvons ainsi calculer la proportion de produit hors sp cifications

partir dune moyenne d chantillon et de la d viation standard. Appliquons

cette id e aux donn es du shampoing.

Fethi Derbeli 2017

Exemple de transformation en Z

u Les donn es long terme r capitul es ici ont t collect es

partir du processus d'un tour automatique produisant des

broches pour garnitures nues (blank armature shafts)

USL

Moyenne EcartType

10.03

0.061

LIS (LSL) LSS (USL)

9.9

10.1

LSL

y

c

n

e

u

q

e

r

F

10

5

0

9.9

10.0

10.1

10.2

Diameter

Fethi Derbeli 2017

Exemple de transformation en Z (suite)

LIS

(LSL)

LSS

(USL)

Probl me pratique : D ter-miner le % de produits

hors sp cifications.

Probl me statistique : valuer la proportion de la

courbe nor-male en-dehors des limites sup rieure et

inf rieure de la sp cification. Nous y arrivons en

transformant les donn es en une distribution

normale standard et en calculant une valeur Z pour

chaque limite de la sp cification.

y

c

n

e

u

q

e

r

F

700

600

500

400

300

200

100

0

0.8

0.9

1. 0

1. 1

1. 2

1. 3

raw

LIS

(LSL)

LSS

(USL)

y

c

n

e

u

q

e

r

F

500

400

300

200

100

0

Fethi Derbeli 2017

-4

-3

-2

-1

0

C2

1

2

3

4

Exemple de transformation en Z (suite)

La fraction hors des limites de sp c. peut tre estim e de la fa on

suivante :

=Z U

=

)x-

(USL

-

.061

(

10.1

10.03

)

=Z L

=

)x-

(LSL

(

-9.9

10.03

)

.061

=

1.15

• =

2.13

Upper Spec

Upper Spec

Lower Spec

Lower Spec

0.85

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

Pr ( x d 0.9 ) + Pr ( x e 1.1 ) = Pr ( Z d -2.13 ) + Pr ( Z e 1.15 )

= 1.7 % + 12.5 %

E 14.2 %

Fethi Derbeli 2017

Transformation Z

O allons-nous trouver ces probabilit s ?

M thode 3 : utiliser les fonctions de r partition des probabilit s de Minitab.

ZLIS

ZLSS

Function de r partition cumulative

Normale avec moyenne = 0 et d v std

= 1,00

Function de r partition cumulative

Normale avec moyenne = 0 et d v std

= 1,00

x P( X <= x)

-2,3560 0,0092

x P( X <= x)

1,0340 0,8494

Probabilit ( Z < -2,356 ) = 0,0092

Probabilit ( Z < 1,034 ) = 0,8494

Question: Minitab donne-t-il un biseautage droite ou gauche de la r partition ?

Z

OU

?

Z

Fethi Derbeli 2017

Transformation Z

Calculer le Z long terme:

La pire estimation long terme de Z est calcul e en supposant que tous les d fauts sont dans

un biseau.

Nous pouvons pr sent calculer rebours un Z global partir du pourcentage total d fectueux.

Rappeler les informations suivantes:

Pr (Qt > 104) + Pr (Qt < 98) = Pr

( Z > 1,034 ) + Pr ( Z < -2,356 )

Z =...