Probabilité & Statistique

Fethi Derbeli 2017

Les analyses de données nécessaires à l’amélioration

(cid:1) Déterminer si le processus est stable

(cid:1) Si le processus n’est pas stable, identifier et supprimer les causes (X) d’instabilité

(variation évidente et non aléatoire)

(cid:1) Situer la moyenne du processus. Répond-il à ses objectifs ?

(cid:1) Si ce n’est pas le cas, identifier les variables (X) qui affectent la moyenne et

déterminer les réglages optima pour atteindre les objectifs.

(cid:1) Estimer l’ampleur de la variabilité totale. Est-elle acceptable en ce qui

concerne les exigences du client (limites de spécifications)?

(cid:1) Si ce n’est pas le cas, identifier les sources de variabilité et supprimer ou réduire

leur influence sur le processus.

(cid:1) Nous allons maintenant examiner des statistiques qui peuvent aider ce

processus.

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Répartitions statistiques

(cid:1) On peut décrire le comportement de n’importe quel

processus ou système en indiquant de multiples points de données pour la même variable (cid:1) sur une certaine durée (cid:1) pour plusieurs produits (cid:1) sur diverses machines, etc.

(cid:1) L’accumulation de ces données peut être considérée comme une répartition de valeurs représentée par: (cid:1) des graphiques à points (cid:1) des histogrammes (cid:1) des courbes normales ou autre répartition “arrondie”

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Mesures de tendance centrale

• Moyenne: moyenne arithmétique d’un ensemble de valeurs

– Reflète l’influence de toutes les valeurs – Fortement influencée par les valeurs extrêmes

n nx ∑ == 1 n n

x

• Médiane: reflète les 50% - le nombre central une fois qu’un

ensemble de chiffres a été trié – Ne tient pas forcément compte de toutes les valeurs dans le

calcul

– Est “dure” avec les valeurs extrêmes

• Mode:

– La valeur la plus fréquente dans les ensembles de données

• Pourquoi utiliser la moyenne au lieu de la médiane dans nos

efforts d’amélioration du processus ?

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Exercice

Nous allons calculer ensemble la moyenne et la médiane de la série de données n°1.

Moyenne = Médiane =

Faites maintenant la série de données n°2 et 3 en groupes.

Série n°2

Série n°3

Moyenne = Médiane =

Moyenne = Médiane =

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Set#1 98 102 108 105 89 92 114 90 97 100 104

Set#2 105 109 116 76 148 87 86 70 137 99 119

Set#3 107 169 131 84 81 67 81 122 52 233 46

Mesures de dispersion

Étendue

Distance numérique entre les valeurs les plus élevées et les valeurs les plus basses d'une série de données

– Très sensible aux valeurs extrêmes des données

Étendue interquartile (IQR)

Distance extrême entre le 1er et le 3ème quartile d'une

série de données divisée en 4 groupes égaux

– Utilisée pour générer des boîtes à moustaches

Range

=

min −

max

IQR

=

− 3 QQ 1

Variance (σ 2; s2 ) Moyenne des carrés des écarts de chaque point de

données individuel par rapport à la valeur moyenne – Pas du tout sensible aux valeurs extrêmes des

données

2

s

=

Écart type (σ ; s)

Racine carrée de la variance ; distance moyenne des

données par rapport à la moyenne

– Mesure la plus communément utilisée pour

quantifier une variation

s

=

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n

∑

= 1i

n

∑

1i =

(X

i

2

−

)X

− 1n

(X

i

2

−

)X

− 1n

Exercice

Nous allons calculer ensemble l'étendue, la variance et l'écart type de la série de données n°1. Étendue = Variance = s2 = Écart type = s =

Faites maintenant la série de données n°2 et 3 en groupes. Série n°2

Série n° 3

Étendue = Variance = s2 = Écart type = s = Étendue = Variance = s2 = Écart type = s =

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Set#1 98 102 108 105 89 92 114 90 97 100 104

Set#2 105 109 116 76 148 87 86 70 137 99 119

Set#3 107 169 131 84 81 67 81 122 52 233 46

Probabilité

(cid:1) Nous avons précédemment défini les valeurs d'échantillon et les

paramètres de population.

(cid:1) Une fonction de distribution de probabilité est une formule mathématique

qui rapproche les valeurs des caractéristiques avec leur probabilité d'occurrence dans la population.

(cid:1) Une collection de valeurs de probabilité est appelée une distribution.

(cid:1) Lorsque la caractéristique mesurée peut prendre une valeur quelconque (dépendant de la finesse de la méthode de mesure), sa distribution de probabilité est continue. (cid:1) Les distributions normales, exponentielles et de Weibull sont des exemples.

(cid:1) Lorsque la caractéristique mesurée ne peut prendre qu'une valeur bien

spécifique, sa distribution de probabilité est discrète. (cid:1) Binôme et Poisson sont des exemples.

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Distributions de probabilité

DISTRIBUTION BINOMIALE (distribution discrète finie)

1.1. VARIABLE DE BERNOULLI

Définition : Une variable aléatoire discrète qui ne prend que les valeurs 1 et 0 avec les probabilités respectives p et q = 1- p est appelée variable de BERNOULLI. Plus généralement, on utilisera une variable de Bernoulli lorsqu’on effectue une épreuve qui n’a que deux issues : le succès ou l’échec. On affecte alors 1 à la variable en cas de succès et 0 en cas d’échec.

Distribution de probabilités Paramètres de la distribution

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Distributions de probabilité

DISTRIBUTION BINOMIALE

a) On effectue une épreuve de Bernoulli. Elle n’a donc que deux issues : le succès avec une probabilité p ou l’échec avec une probabilité q. b) On répète n fois cette épreuve. c) Les n épreuves sont indépendantes entre elles, ce qui signifie que la probabilité de réalisation de l’événement « succès » est la même à chaque épreuve et est toujours égale à p. Dans cette situation, on s’intéresse à la variable X = nombre de succès au cours des n épreuves. La probabilité d’obtenir k succès, c’est-à-dire p(X = k ). ⇒ La probabilité d'avoir k succès suivis de (n-k) échecs est pk qn−k car ces résultats sont indépendants les uns des autres. ⇒ La probabilité d'avoir k succès et (n-k) échecs dans un autre ordre de réalisation est toujours pk qn−k . Donc tous les événements élémentaires qui composent l’événement (X =k) ont même probabilité. ⇒ Combien y en a-t-il? Autant que de façons d’ordonner les k succès par rapport aux (n-k) échecs ? Il suffit de choisir les k places des succès parmi les n possibles k manières de choisir et les (n-k) échecs prendront les places restantes. Or il y a Cn k places parmi n.

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Distributions de probabilité

Finalement, on obtient pour 0 ≤ k ≤ n :

On dit que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p. On note : X ∼> B(n,p).

Paramètres descriptifs de la distribution

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Distributions de probabilité

DISTRIBUTION GÉOMÉTRIQUE ( distribution discrète dénombrable)

a) On effectue une épreuve de Bernoulli. b) On répète l’épreuve jusqu’à l’apparition du premier succès. c) Toutes les épreuves sont indépendantes entre elles, ce qui signifie que la probabilité de réalisation de l'événement « succès » est la même à chaque épreuve et est toujours égale à p. Dans cette situation, on s’intéresse à la variable X = nombre de fois qu’il faut répéter l’épreuve pour obtenir le premier succès.

DISTRIBUTION DE PROBABILITÉS

On dit que la variable aléatoire X suit une loi géométrique de paramètre p . On note : X ∼> G(p).

PARAMÈTRES DESCRIPTIFS DE LA DISTRIBUTION

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Distributions de probabilité

DISTRIBUTION DE POISSON ( distribution discrète dénombrable)

Beaucoup de situations sont liées à l’étude de la réalisation d'un événement dans un intervalle de temps donné (arrivée de clients qui se présentent à un guichet d'une banque en une heure. Les phénomènes ainsi étudiés sont des phénomènes d'attente.

Pour décrire les réalisations dans le temps d'un événement donné, on peut : • soit chercher le nombre de réalisations de l’événement dans un intervalle de temps donné qui est distribué suivant une loi de Poisson. • soit chercher le temps entre deux réalisations successives de l’événement qui est distribué suivant une loi exponentielle. La loi de Poisson peut être interprétée comme un cas limite d'une loi binomiale et la seconde comme un cas limite d'une loi géométrique.

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Distributions de probabilité

DISTRIBUTION DE PROBABILITÉS Nous cherchons à déterminer la loi de probabilité de la variable X = « nombre de réalisations d’un événement donné pendant un intervalle de temps t », sachant que le nombre moyen de réalisations de cet événement par unité de temps est α. Il s’agit d’une loi binomiale B(n, p) ou αt = λ.

Définition : La distribution de Poisson de paramètre λ est celle d’une variable discrète X qui prend ses valeurs dans N selon la fonction de densité :

On écrit : X ∼> P(λ).

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Distributions de probabilité

DISTRIBUTION EXPONENTIELLE (distribution continue) . SITUATION CONCRÈTE On se place dans le cas d'un phénomène d'attente et on s’intéresse à la variable aléatoire qui représente le temps d'attente pour la réalisation d’un événement ou le temps d'attente entre la réalisation de deux événements successifs. Si on se place dans le cas où l’intensité α du processus de Poisson est constante, ce temps d’attente suit une loi exponentielle de paramètre α.

La loi exponentielle de paramètre α décrit la distribution d'une variable continue X qui ne prend que des valeurs positives selon la fonction de densité :

On note X ∼> Exp(α)

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Distributions de probabilité

DISTRIBUTION NORMALE ( distribution continue)

SITUATION CONCRÈTE

Donc dès que nous seront dans une situation où la distribution dépend de causes ⇒ en grand nombre et indépendantes ⇒ dont les effets s'additionnent ⇒ dont aucune n'est prépondérante alors nous serons en présence de la distribution normale. Une variable aléatoire continue suit une loi normale si l’expression de sa fonction de densité de probabilités est de la forme :

La loi dépend des deux réels m et σ appelés paramètres de la loi normale. On note : X ∼> N(m, σ).

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Distributions de probabilité

loi normale centrée réduite notée N(0,1).

Donc si X ∼> N(m, σ) , on pose On peut résumer la correspondance de la façon suivante:

et T ∼> N(0,1).

APPROXIMATIONS PAR DES LOIS NORMALES

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Exemple

Exercice 1: Supposons qu'une tentative pour obtenir une communication téléphonique échoue (par exemple, parce que la ligne est occupée) avec la probabilité 0.25 et réussisse avec la probabilité 0.75. On suppose que les tentatives sont indépendantes les unes des autres. Quelle est la probabilité d’obtenir la communication si l’on peut effectuer trois tentatives au maximum?

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Solution : • Nous nous intéressons à la variable X = « nombre de tentatives nécessaires pour obtenir la communication », ce que l’on peut considérer comme le nombre d’essais à faire pour obtenir le premier succès. X suit une loi géométrique de paramètre p = 0.75 • On cherche à déterminer p(X ≤ 3) = p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3) • → On peut obtenir la communication au 1er essai. On a pour cela une probabilité p(X = 1) = 0.75. → On peut obtenir la communication au 2ème essai. On a pour cela une probabilité p(X= 2) = 0.25×0.75 = 0.1875. → On peut obtenir la communication au 3ème essai. On a pour cela une probabilité p(X= 3) =0.252×0.75 = 0.0469. → Finalement la probabilité d’obtenir la communication en trois essais maximum est p(X ≤ 3) = 0.75 + 0.1875 + 0.0469 = 0.9844 soit 98.5 %.

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Exemple

Exercice 2 : Un fabricant de pièces de machine prétend qu'au plus 10% de ses pièces sont défectueuses. Un acheteur a besoin de 120 pièces. Pour disposer d'un nombre suffisant de bonnes pièces, il en commande 140. Si l'affirmation du fabricant est valable, quelle est la probabilité que l'acheteur reçoive au moins 120 bonnes pièces?

Fethi Derbeli 2017

Solution : • Appelons X la variable aléatoire correspondant au « nombre de bonnes pièces dans le lot de 140 pièces ». • X prend ses valeurs entre 0 et 140. De plus pour chaque pièce, on n’a que deux éventualités : elle est bonne ou elle est défectueuse. La probabilité qu’une pièce soit défectueuse est 0.1. Par conséquent elle est bonne avec la probabilité 0.9. On est donc dans une situation type : X suit la loi binomiale de paramètres n = 140 et p = 0.9. X ∼> B(140,0.9) • On veut déterminer la probabilité que l’acheteur reçoive au moins 120 bonnes pièces sur les 140, soit p(X ≥ 120) . A priori, il nous faudrait calculer la somme des probabilités p(X = 120) + p(X = 121) +.......+ p(X = 140) ce qui serait épouvantablement long. On essaie donc d’approcher la loi binomiale par une loi tabulée :

on pourra approcher la loi binomiale par une loi normale. On

choisit la loi normale qui a la même espérance et le même écart-type. Donc X qui suit la loi B(140, 0.9) sera approchée par Y qui suit la loi N(126, 3.55). • Pour remplacer une loi discrète par une loi continue, il est préférable d’utiliser la correction de continuité : p(X ≥ 120) ≅ p(Y > 119.5) . On se ramène enfin à la loi normale centrée réduite :

Conclusion : l’acheteur a 97 chances sur 100 de recevoir 120 bonnes pièces sur les 140 achetées.

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Exercice 3 : Les statistiques antérieures d'une compagnie d'assurances permettent de prévoir qu'elle recevra en moyenne 300 réclamations durant l'année en cours. Quelle est la probabilité que la compagnie reçoive plus de 350 réclamations pendant l'année en cours ?

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Solution : • La variable X qui nous intéresse est le « nombre de réclamations reçues pendant une année ». Il s’agit du nombre de réalisations d’un événement pendant un intervalle de temps donné. X suit donc une loi de Poisson. Le nombre moyen de réalisations dans une année est 300. Cette valeur moyenne est aussi le paramètre de la loi de Poisson. Donc X suit la loi P(300). • On cherche à déterminer p(X > 350). Il n’y a pas de table de la loi de Poisson pour cette valeur du paramètre λ. Il nous faut donc approcher X qui suit la loi de Poisson P(300) par Y qui suit la loi normale de même espérance et de même écart-type, c’est à- dire N(300,√ 300). • Ici aussi, on remplace une loi discrète par une loi continue. Il faut donc appliquer la correction de continuité : p(X > 350) = p(X ≥ 351) ≅ p(Y > 350.5). On se ramène finalement à la loi normale centrée réduite

La compagnie d’assurances a donc 1.70/1000 de chances de recevoir plus de 350 réclamations en un an.

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Distributions de probabilité

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Distributions de probabilité

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La répartition normale

(cid:1) La répartition “Normale” est une répartition des données qui

possèdent certaines caractéristiques cohérentes

(cid:1) Ces caractéristiques sont très utiles pour nous permettre de comprendre les propriétés du processus d’où viennent les données

(cid:1) La plupart des phénomènes naturels et des processus créés par l’homme sont répartis normalement, ou peuvent être représentés comme tels.

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Distribution normale

(cid:1) La distribution utilisée le plus communément dans les analyses statistiques de procédés industriels est la distribution normale.

(cid:1) La fonction de densité de probabilité (fdp) est :

y

=

1

2σ

π

−

(X

−

e

/22μ)

2 σ

Les propriétés significatives sont les suivantes : La courbe est symétrique autour de la moyenne Les valeurs de l'asymétrie et du kurtosis = 0 La moyenne et l'écart type sont indépendants Moyenne = médiane Le domaine en-dessous de la courbe de - ∞ à + ∞ = 1

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La répartition normale

(cid:1) Caractéristique 1: on peut décrire une répartition

normale en connaissant seulement: (cid:1) la moyenne et

(cid:1) la déviation standard

Répartition N°1

Répartition N°2

Répartition N°3

Qu’est-ce qui différencie ces trois répartitions normales ?

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La courbe normale et ses probabilités

(cid:1) Caractéristique 2: la surface en-dessous de la courbe peut être utilisée pour estimer la probabilité cumulative de la survenance d’un certain “évènement”.

r u e l a v

a l e d é t i l i

b a b o r P

40%

30%

n o

l l i t n a h c é ’ l

20%

10%

Probabilité cumulative de l’obtention d’une valeur située entre ces deux valeurs

68%

95%

99,73%

e d

0%

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Nombre de déviations standard par rapport à la moyenne

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68,26 % des données tomberont dans les limites de + / - 1 σ par rapport à la moyenne

95,46 %

99,73 %

des données tomberont dans les limites de + / -2 σ par rapport à la moyenne

des données tomberont dans les limites de + / -3 σ par rapport à la moyenne

99,9937 %

des données tomberont dans les limites de + / -4 σ par rapport à la moyenne

99,999943 % des données tomberont dans les limites de + / -5 σ par rapport à la moyenne

99,9999998 % des données tomberont dans les limites de + / -6 σ par rapport à la moyenne

68.26 %

95.46 %

99.73 %

-3.0

σ

-2.0

σ

σ -1.0

-0.0

σ

1.0

σ

σ

2.0

3.0

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Test de Normalité

(cid:1) Dans certaine circonstances si nécessaire, de savoire si les

données sont normalement distribuées.

(cid:1) Pour savoir si la distribution est normale on conduit un test

de normalité, on peut utiliser Minitab

(cid:1) Pour faire un test de normalité on a besoin de lister quelques

concepts fondamentales concernant le test d’hypothèse.

(cid:1) Pour conduire un test d’hypothèse, on a besoin de statuer notre hypothèse et décider le niveau de risque qu’on prend pour se tromper.

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Graphiques de probabilité normale

(cid:1) Nous pouvons tester si un ensemble de données peut être décrit

comme “normal” grâce à un test appelé le graphique de probabilité normale.

(cid:1) Si la répartition est proche de la normale, le graphique de probabilité

normale sera en ligne droite.

(cid:1) Minitab permet de créer facilement un graphique de probabilité

normale

(cid:1) Produire un graphique normal pour chacune des 3 premières

colonnes. Lequel paraît normal ?

(cid:1) Maintenant, produire un histogramme pour chaque.

(cid:1) Que révèle-t-il ?

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Résultat de Minitab

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Graphiques de probabilité normale

Normal Probability Plots

Normal Probability Plots

Normal Probability Plots

y c n e u q e r F

300

200

100

0

y c n e u q e r F

300

200

100

0

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

60

70

80

90

100

110

120

130

0

10

20

30

40

50

60

70

80

C1

C2

C3

Normal Distribution

Positive Skewed Distribution

Negative Skewed Distribution

y t i l i

b a b o Pr

.999 .99 .95

.80

.50

.20

.05 .01 .001

.999 .99 .95 .80

.50

.20

.05 .01 .001

y t i l i

b a b o Pr

26

36

46

56

66 Normal

76

86

96

106

60

70

80

100 90 Pos Skew

110

120

130

0

10

20

Anderson-Darling Normality Test A-Squared: 0.418 p-value: 0.328

Average: 70 Std Dev: 10 N of data: 500

Anderson-Darling Normality Test

A-Squared: 46.447 p-value: 0.000

Average: 70 Std Dev: 10 N of data: 500

30

40 Neg Skew

50

60

70

80

Anderson-Darling Normality Test

A-Squared: 43.953 p-value: 0.000

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y c n e u q e r F

100

50

0

y t i l i

b a b o Pr

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

Average: 70 Std Dev: 10 N of data: 500

Règles empiriques pour la déviation standard

(cid:1) Les règles précédentes de la probabilité cumulative s’appliquent même si

un ensemble de données n’es pas réparti parfaitement normalement.

(cid:1) Comparons les valeurs d’une répartition théorique (parfaite) et d’une

répartition empirique (concrète).

N om bre de déviations Standard +/- 1σ

+/- 2 σ

+/- 3 σ

Théorique N orm ale

E m pirique N orm ale

68%

95%

60-75%

90-98%

99,7%

99-100%

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Prévisions utilisant la courbe normale

(cid:1) Les prévisions nécessitent 2 estimations et un tableau :

(cid:1) Estimation de µ = X barre

(cid:1) Estimation de σ = s

(cid:1) Tableau Z

(cid:1) Transformation en Z :

(cid:1) Z = (X- µ ) / σ

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Prévision des niveaux de défauts

La transformation en Z :

z

=

)

( − μx σ

( x

=

x

)

− s

(cid:1)

(cid:1)

Cette transformation produit une “valeur” de distribution où : Moyenne = 0 et sigma = 1

La valeur Z indique combien de déviations standard “entrent” dans la distance

entre X (tout nombre intéressant, comme une limite de spécification) et µ (la moyenne

d'une distribution donnée)

(cid:1)

Pour la prévision des niveaux de défauts (ou probabilité estimée), nous pouvons

utiliser la moyenne actuelle et l'écart type du procédé et substituer la limite inférieure et la

limite supérieure de la spécification (unes à unes) pour x

En utilisant cette méthode, nous pouvons calculer le score Z (ou Sigma) du procédé,

les niveaux PPM et la probabilité de défaut

(cid:1)

Analysons un exemple.

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Calculer la note Z

La conversion Z:

z

=

) µ

( x − σ

=

)

( xx − s

• Cette “transformation” convertit n’importe quelle distribution normale (avec une moyenne d’échantillon et un sigma d’échantillon) en une répartition standard qui a toujours une moyenne=0 et un sigma=1.

• Que l’on mesure en mm, en pouces, Volts, etc. la répartition transformée aura TOUJOURS une moyenne=0 & sigma=1. Toute distribution est transformée en distribution normale standard grâce au “transformer”Z .

• La valeur z (ou note z), indique l’éloignement d’un chiffre particulier, X, de la

moyenne d’échantillon, en unités standard de déviation.

• Par exemple, si z = 2, le chiffre particulier X est à 2 unités standard de

déviation de la moyenne d’échantillon.

• Pour prédire les niveaux d’échantillons, (ou le rendement estimé), nous

substituons à X la limite inférieure de spécification (LIS) et la limite supérieure de spécification (LSS).

• Nous pouvons ainsi calculer la proportion de produit hors spécifications à partir d’une moyenne d’échantillon et de la déviation standard. Appliquons cette idée aux données du shampoing.

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Exemple de transformation en Z

u Les données à long terme récapitulées ici ont été collectées à partir du processus d'un tour automatique produisant des broches pour garnitures nues (blank armature shafts)

USL

Moyenne EcartType 10.03

0.061

LIS (LSL) LSS (USL) 9.9

10.1

LSL

y c n e u q e r F

10

5

0

9.9

10.0

10.1

10.2

Diameter

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Exemple de transformation en Z (suite)

LIS (LSL)

LSS (USL)

Problème pratique : Déter-miner le % de produits hors spécifications. Problème statistique : Évaluer la proportion de la courbe nor-male en-dehors des limites supérieure et inférieure de la spécification. Nous y arrivons en “transformant” les données en une distribution normale standard et en calculant une valeur Z pour chaque limite de la spécification.

y c n e u q e r F

700

600

500

400

300

200

100

0

0.8

0.9

1. 0

1. 1

1. 2

1. 3

raw

LIS (LSL)

LSS (USL)

y c n e u q e r F

500

400

300

200

100

0

Fethi Derbeli 2017

-4

-3

-2

-1

0

C2

1

2

3

4

Exemple de transformation en Z (suite)

La fraction hors des limites de spéc. peut être estimée de la façon suivante :

=Z U

=

)x-

(USL σ - .061

( 10.1

10.03

)

=Z L

=

)x-

(LSL σ

( -9.9

10.03

)

.061

=

1.15

- =

2.13

Upper Spec Upper Spec

Lower Spec Lower Spec

0.85

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

Pr ( x ≤ 0.9 ) + Pr ( x ≥ 1.1 ) = Pr ( Z ≤ -2.13 ) + Pr ( Z ≥ 1.15 )

= 1.7 % + 12.5 % ≅ 14.2 %

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Transformation Z

Où allons-nous trouver ces probabilités ? Méthode 3 : utiliser les fonctions de répartition des probabilités de Minitab.

ZLIS

ZLSS

Function de répartition cumulative Normale avec moyenne = 0 et dév std = 1,00

Function de répartition cumulative Normale avec moyenne = 0 et dév std = 1,00

x P( X <= x)

-2,3560 0,0092

x P( X <= x)

1,0340 0,8494

Probabilité ( Z < -2,356 ) = 0,0092

Probabilité ( Z < 1,034 ) = 0,8494

Question: Minitab donne-t-il un biseautage à droite ou à gauche de la répartition ?

Z

OU ?

Z

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Transformation Z

Calculer le Z à long terme:

La pire estimation à long terme de Z est calculée en supposant que tous les défauts sont dans un biseau. Nous pouvons à présent calculer à rebours un Z global à partir du pourcentage total défectueux. Rappeler les informations suivantes:

Pr (Qté > 104) + Pr (Qté < 98) = Pr

( Z > 1,034 ) + Pr ( Z < -2,356 )

Z = ?

= 0.1506 + 0,0092 ≅ 15,06 % + 0,92 % ≅ 15,98 % % de produit hors spéc.

Pire cas: % dans un biseau = 15,98 %

Probabilité ( Z > ? ) = 0,1598 Choisir une méthode

N’importe quel tableau Z Fonction Wizard d’Excel Fonctions de répartition des probabilités Minitab Conseil: vous recherchez maintenant une note Z à partir d’une probabilité cumulative.

Réponse: Z LT = 0,9952

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Exemple de transformation en Z (suite)

(cid:1) Où obtenons-nous ces probabilités ?

(cid:1) Méthode 1 : chercher les valeurs dans une table (probabilité

pour une distribution

normal standardisée)

(cid:1) Méthode 2 : utiliser les tableaux informatiques d'EXCEL.

(cid:1) Lorsque Z(inférieur) = - 2.13

Proportion en-dessous de la spéc. inf. = L = 0.017

(cid:1) Lorsque Z(supérieur) = 1.15

Proportion au-dessus de la spéc. sup. = U = 0.1250

(cid:1) Additionner L + U = .142

Processus global Z = 1.07

(cid:1) Faisons la démonstration des deux méthodes

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Table de conversion

Comment décider s'il faut additionner ou soustraire 1.5 d'une

évaluation Sigma

Convertir DE

Z court terme

Z long terme

Z court terme

Pas d'action

+ 1.5

σ

Convertir EN

Z long terme

- 1.5 σ

Pas d'action

• Les données à court terme sont sans causes attribuables. Par conséquent,

elles ne représentent que l'effet des causes aléatoires.

• Les données à long terme reflètent l'influence des causes aléatoires aussi

bien que celle des phénomènes attribuables.

• Si les données de probabilité ou de défaut ont été collectées sur un grand

intervalle de production, considérez la situation comme étant à long terme. Dans les autres cas, partez du principe qu'il s'agit de court terme.

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Dérive

(cid:1) Question : Qu'est-ce qui peut causer un décalage de 1.5σ

(cid:1)

(cid:1)

Équipe de production

Opérateur

(cid:1) Machine

(cid:1)

(cid:1)

(cid:1)

(cid:1)

(cid:1)

(cid:1)

Usure de l'outil

Arrêt pour réparation

Étalonnage

Température

Humidité

Nouvelle matière

(cid:1) LES DERIVES EXISTENT ! Nous devons donc en tenir

compte.

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Conclusions

(cid:1) Les Statistiques nous permettent de comprendre les

processus d’une façon à nous permettre de prédire le future performance au lieu de seulement détecter les problèmes actuels

(cid:1) Nous donne une idée de ce qui se passe

(cid:1) Nous permet de comprendre le comportement de la population

entière via des échantillons représentative du processus

(cid:1) Nous permet de prendre des décisions avec un certain niveau

de confiance

(cid:1) Savoir la capabilité actuelle du processus et prendre

ulterierement les décisions pour améliorer

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Questions?

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