´Ecole Sup´erieure Priv´ee d’Ing´enierie et de Technologies
Probabilit´e I
Corrig´e d’exercice №2 - S´erie d’exercices №2
Niveau : 4`eme ann´ee D.S & INFINI
Ann´ee universitaire : 2020-2021
Exercice 2 :
´Enonc´e :
On consid`ere une exp´erience al´eatoire ayant la probabilit´e p ∈]0, 1] de r´eussir et q = 1 − p
d’´echouer. On r´epete l’exp´erience ind´ependamment jusqu’a l’obtention de n ≥ 1 succ`es et l’on note
par Xn le nombre d’essais n´ecessaires a l’obtention de ces n succes.
1. Reconnaˆıtre la loi de X1.
2. D´eterminer la loi de Xn dans le cas g´en´eral, n ∈ N∗.
3. D´eterminer la fonction g´en´eratrice de Xn et en d´eduire son esp´erence.
(Indication : en utilisant le d´eveloppement de Taylor, on a, pour |x| < 1 : f (x) = 1
(cid:80)+∞
(1−x)n =
k=0 Cn−1
n+k−1 xk)
Solution :
1. Reconnaˆıtre la loi de X1.
Il s’agit d’une exp´erience al´eatoire a deux issues possibles (soit succes, soit ´echec), bien
´evidemment ici il s’agit d’une ´epreuve de Bernoulli avec probabilit´e de succ`es p. De plus,
la v.a. X1 d´esigne le nombre d’´epreuves de Bernoulli ind´ependantes n´ecessaires pour obte-
nir le premier succes. Alors X1 suit une loi g´eom´etrique de parametre p et on note X ∼ G(p).
2. D´eterminer la loi de Xn dans le cas g´en´eral, n ∈ N∗.
D’une part, la v.a. Xn d´esigne le nombre d’´epreuves n´ecessaires pour obtenir n succ`es. Donc,
il nous faut au moins n r´ep´etitions pour avoir les n succ`es. Ceci implique que :
Xn(Ω) = {n, n + 1, . . . , +∞}, n ∈ N∗.
Publicité
D’autre part, on pose (Yi)i∈N∗ une suite de v.a. de mˆeme loi de Bernoulli de param`etre p,
ind´ependantes testant la r´eussite de chaque exp´erience. Soit m ≥ n, on d´efinit les ´ev`enements
suivants :
A : ”Xn = m”,
B : ”Y1 + · · · + Ym−1 = n − 1”,
C : ”Ym = 1”
1
Alors on remarque que l’´ev`enement A = B ∩ C, ce qui entraine en utilisant l’ind´ependance
que :
∀m ∈ Xn(Ω), P(Xn = m) = P(Y1 + · · · + Ym−1 = n − 1, Ym = 1)
= P(Y1 + · · · + Ym−1 = n − 1) × P(Ym = 1)
= Cn−1
= Cn−1
= Cn−1
m−1pn−1(1 − p)m−1−(n−1) × p
m−1pn−1(1 − p)m−n × p
m−1pn(1 − p)m−n
3. D´eterminer la fonction g´en´eratrice de Xn et en d´eduire son esp´erance.
- D´etermination de la fonction g´en´eratrice : Par d´efinition de la fonction g´en´eratrice,
on a pour z ∈ [−1, 1] :
GXn(z) =
(cid:88)
P(Xn = k) zk
=
=
=
k∈Xn(Ω)
(cid:88)
Publicité
k∈Xn(Ω)
(cid:88)
k∈Xn(Ω)
Cn−1
k−1 pn(1 − p)k−n zk
Cn−1
k−1 pnqk−n zk
+∞
(cid:88)
k=n
Cn−1
k−1 pnqk−n zk
k(cid:48)=k−n=
+∞
(cid:88)
k(cid:48)=0
k(cid:48)+n−1pnqk(cid:48)
Cn−1
zk(cid:48)+n
= (pz)n
= (pz)n
+∞
(cid:88)
k(cid:48)=0
+∞
(cid:88)
k(cid:48)=0
k(cid:48)+n−1qk(cid:48)
Publicité
Cn−1
zk(cid:48)
k(cid:48)+n−1(qz)k(cid:48)
Cn−1
En utilisant le fait que :
On en d´eduit que :
+∞
(cid:88)
k(cid:48)=0
k(cid:48)+n−1 xk(cid:48)
Cn−1
=
1
(1 − x)n
GXn(z) = (pz)n
1
(1 − qz)n = (
pz
1 − qz
)n
- D´etermination de l’esp´erance : D’apr`es le cours et en utilisant le lien entre la fonc-
tion g´en´eratrice d’une variable al´eatoire discr`ete et ses moments, l’esp´erance de Xn se
2
calcule par :
Or ∀z ∈] − 1, 1[, on a :
G
(cid:48)
Xn(z) =
Publicité
(cid:16)
E(Xn) = G
(cid:48)
Xn(1).
(
)n(cid:17)(cid:48)
pz
1 − qz
(cid:16) p(1 − qz) + pqz
(1 − qz)2
(pz)n−1
(1 − qz)n+1
= n
= np
(cid:17)
(
pz
1 − qz
)n−1
D’o`u,
E(Xn) = G
(cid:48)
Xn(z)|z=1 =
n
p
.
3