´Ecole Sup´erieure Priv´ee d’Ing´enierie et de Technologies
Probabilit´e I
Corrig´e d’exercice №1 - S´erie d’exercices №2
Niveau : 4`eme ann´ee D.S & INFINI
Ann´ee universitaire : 2020-2021
Exercice 1 :
´Enonc´e :
Soit X une v.a. `a valeurs dans N. On d´efinit sa fonction g´en´eratrice GX par :
∀z ∈ [−1, 1], GX (z) = k (3 + 2z2)3, o`u k ∈ R.
1. D´eterminer la constante k.
2. D´eterminer la loi de probabilit´e de la v.a. X.
3. Calculer l’esp´erance et la variance de X.
Solution :
1. D´eterminer la constante k.
Par d´efinition de la fonction g´en´eratrice, on a :
GX (1) =
+∞
(cid:88)
n=0
P(X = n) = 1 ⇒ k (3 + 2)3 = 1 ⇒ 125k = 1 ⇒ k =
1
125
2. D´eterminer la loi de probabilit´e de la v.a. X.
Notons que :
D’une part X est bien une v.a. a valeurs discretes, autrement dit son espace d’arriv´ee not´e
E est une partie de N (E ⊆ N) ou bien N tout entier.
D’autre part, il est clair que la fonction g´en´etratice GX est un polynˆome de degr´e 6, donc :
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∀n ≥ 7, G(n)
X (z) = 0, z ∈ [−1, 1]
Or comme P(X = n) = 1
n! G(n)
X (0), alors on d´eduit que :
∀n ≥ 7, P(X = n) = 0, et par la suite E ⊆ {0, . . . , 6}.
1
Passons maintenant aux calculs de la probabilit´es de chaque ´eventualit´e :
P(X = 0) =
GX (0)
0!
=
27
125
G(cid:48)
X (z) =
1
125
(48z5 + 144z3 + 108z) ⇒ P(X = 1) =
= 0
G”
X (z) =
1
125
(240z4 + 432z2 + 108) ⇒ P(X = 2) =
G(cid:48)
X (0)
Publicité
1!
G(cid:48)(cid:48)
X (0)
2!
=
54
125
G(3)
X (z) =
1
125
(960z3 + 864z) ⇒ P(X = 3) =
G(3)
X (0)
3!
= 0
G(4)
X (z) =
1
125
(2880z2 + 864) ⇒ P(X = 4) =
G(4)
X (0)
4!
=
36
125
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G(5)
X (z) =
1
125
(5760z) ⇒ P(X = 5) =
G(5)
X (0)
5!
= 0
G(6)
X (z) =
1
125
(5760) ⇒ P(X = 6) =
G(6)
X (0)
6!
=
8
125
On remarque que les ´eventualit´es {X = 1}, {X = 3} et {X = 5} ne se r´ealisent pas ce qui
implique que X est une v.a. `a valeurs dans E = {0, 2, 4, 6}.
3. Calculer l’esp´erance et la variance de X.
D’apres le cours et en utilisant le lien entre la fonction g´en´eratrice d’une v.a discrete et ses
moments, on a :
— L’esp´erance de X est :
— La variance de X est :
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E[X] = G(cid:48)
X (1) =
12
5
V[X] = G
(cid:48)(cid:48)
X (1) + G(cid:48)
X (1) − (G(cid:48)
X (1))2 =
156
25
+
12
5
−
(cid:16) 12
5
(cid:17)2
=
72
25
.
2