Probabilité I - Corrigé d’exercice №1 - Série d’exercices №2

École Supérieure Privée d’Ingénierie et de Technologies

Probabilité I

Corrigé d’exercice №1 - Série d’exercices №2

Niveau : 4ème année D.S & INFINI

Année universitaire : 2020-2021

Exercice 1 :

Énoncé :

Soit X une v.a. à valeurs dans N. On définit sa fonction génératrice GX par :

∀z ∈ [−1, 1], GX (z) = k (3 + 2z2)3, où k ∈ R.

1. Déterminer la constante k.

2. Déterminer la loi de probabilité de la v.a. X.

3. Calculer l’espérance et la variance de X.

Solution :

1. Déterminer la constante k.

Par définition de la fonction génératrice, on a :

GX (1) =

+∞

(cid:88)

n=0

P(X = n) = 1 ⇒ k (3 + 2)3 = 1 ⇒ 125k = 1 ⇒ k =

1

125

2. Déterminer la loi de probabilité de la v.a. X.

Notons que :

D’une part X est bien une v.a. a valeurs discretes, autrement dit son espace d’arrivée noté

E est une partie de N (E ⊆ N) ou bien N tout entier.

D’autre part, il est clair que la fonction génétratice GX est un polynôme de degré 6, donc :

∀n ≥ 7, G(n)

X (z) = 0, z ∈ [−1, 1]

Or comme P(X = n) = 1

n! G(n)

X (0), alors on déduit que :

∀n ≥ 7, P(X = n) = 0, et par la suite E ⊆ {0, . . . , 6}.