Predicate Logic Exercises and Solutions

b. Il ny a pas de grand champion qui nait caus e de tort `a personne

c. Il faut quune porte soit ouverte ou ferm ee

A.3 Corrig es

1. no 1, p 15

(14) a. Jean est plus grand que Marie

b. Paul a vu L ea et elle ne la pas vu

c. Si Jean est un homme, alors il est mortel

d. Un chat est entr e

e. Certains enfants ne sont pas malades

f. Tous les el ephants ont une trompe

g. Tous les hommes naiment pas Marie

h. Il y a une chanson quaucun enfant ne chante

G(j, m)

V (p, l) ' V (l, p)

H(j) M (j)

x(C(x) ' E(x))

x(E(x) ' M (x))

x(E(x) T (x))

x(H(x) A(x, m))

6= x(H(x) A(x, m))

xy((C(x) ' E(y)) C(y, x))

= x y(C(x) ' E(y) ' C(y, x))

i. Si tous les hommes aiment Marie, alors elle est contente

j. Tous les fermiers appr ecient un ministre

2. no 2, p 15

(x(H(x) A(x, m)) C(m))

xy((F (x) ' M (y)) A(x, y))

6= yx((F (x) ' M (y)) A(x, y))

Un H nest pas M

Un H est M

Tout H est M

x(H(x) M (x))

x(H(x) ' M (x))

x(H(x) ' M (x))

x(H(x) ' M (x)) x(H(x) M (x)) x(H(x) M (x))

Aucun H nest M

x(H(x) M (x))

x(H(x) ' M (x))

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Universit e Paris Diderot LG102(1) 08/09

ChA. Logique des pr edicats

3. no 3, p 15

(15) a. Bien que personne ne fasse de bruit, Jean narrive pas `a se concentrer

(x(P (x) B(x)) ' C(j))

b. Si personne ne fait de bruit, Jean r epondra au moins `a une question

(x(P (x) B(x)) y(Q(y) ' R(j, y)))

c. Tout le monde a menti `a quelquun dans sa vie

" `a la m eme personne

" pour chaque personne, il y a quelquun a qui...

d. Tous les etudiants, sauf Jean, sont pr esents

" Autre possibilit e, toujours fausse2

yx((P (x) ' P (y)) M (x, y))

xy((P (x) ' P (y)) M (x, y))

x((E(x) ' x 6= j) P (x))

(x(E(x) P (x)) ' P (j))

e. Aucun enfant ne fait jamais aucune b etise

" Tout enfant fait des b etises3

x(E(x) y(B(y) ' F (x, y)))

" Aucun enfant ne fait de b etise x(E(x) B(x)) x(E(x) y(B(y) ' F (x, y)))

x(E(x) B(x))

f. Tout le monde a lu un livre de logique

" Un livre a et e lu par tout le monde

" Tout le monde a lu un livre di erent

xy((LdL(x) ' P (y)) L(y, x))

yx((LdL(x) ' P (y)) L(y, x))

4. no 4, p 15

" Phrase (1a) :

Proc edons en essayant de faire appara 1tre des propri et es ind ependantes :

Quand quelquun

fait conance `a quelquun qui a tromp e tout le monde

, il a tort

z

}|

{

Premier niveau : Quand quelquun , il a tort

lind eni quelquun combin e avec la conditionnelle a une valeur universelle

{z

|

}

Deuxieme niveau : x = x fait conance a quelquun qui

ambigu 1t e : quelquun peut etre lu existentiellement ou universellement.

x ((P x ' x) T x)

y ((P y ' y) ' C(x, y))

y ((P y ' y) C(x, y))

Troisi`eme niveau : y = y a tromp e tout le monde

z (P z T r(y, z))

Si on met tout ensemble, cela donne :

x

P x ' y

P y ' z (P z T r (y, z))

' C(x, y)

(cid:18) (cid:16)

" Phrase (1b) : deux formules equivalentes (il y en a dautres)

(cid:17)

(cid:18)

T x

!

(cid:19)(cid:19)

x (GCx ' y (P y ' CT (x, y)))

x (GCx ' y (P y CT (x, y)))

" Phrase (1c) : on peut discuter sur le ou (inclusif ou exclusif)

x (P x (Ox ( F x))

2`a moins de violer la pr esupposition que Jean est etudiant.

3Premi`ere formule : on pose pour simplier que B(x) = x fait des b etises. Pour etre rigoureux, il faut bien s ur

d ecomposer aussi ce pr edicat, cest fait dans la seconde formule.

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