Polynésie session 2013
Exercice 1 8 points
Dans cet exercice les résultats sont à arrondir à 10 − 3.
Les trois parties sont indépendantes.
Un fabricant produit des tondeuses dans deux usines. Le coût de fabrication est de 160 € par machine.
L’usine A produit 400 unités par mois et l’usine B en produit 600.
Le fabricant a fait réaliser un test de conformité, dans les mêmes conditions, dans les deux usines sur une très grande quantité de
tondeuses fabriquées.
Une tondeuse est déclarée conforme si le test est positif.
Dans l’usine A, le test est positif dans 90% des cas.
Dans l’usine B, le test est positif dans 95% des cas.
Une tondeuse conforme est vendue 250 €, sinon, elle est bradée à un sous-traitant pour 100 €.
Partie A : Probabilités conditionnelles
On prélève, au hasard, une tondeuse produite par ce fabricant.
On note A, l’évènement : « La tondeuse est produite dans l’usine A ». On note C, l’évènement : « La tondeuse est conforme ».
1.
À l’aide de l’énoncé, donner les probabilités suivantes :
P C et
)P A , P A (C),
(
)
(
AP C .
(
)
A
2.
3.
Calculer P(A C) puis
En déduire la probabilité que la tondeuse soit conforme.
P A C .
(
)
Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Calculer la probabilité de l’évènement E : « exactement 240 tondeuses sont conformes ».
Partie B : Loi binomiale
On admet que chaque tondeuse qui sort des usines a une probabilité de 7% d’être non conforme.
On note X la variable aléatoire qui indique le nombre de tondeuses conformes dans un lot de 250 tondeuses prises au hasard dans
le stock. On admet que le nombre de tondeuses fabriquées est suffisamment grand pour assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
1.
2.
Interpréter ce résultat.
3.
4.
a. Montrer que Y = 150 X – 15 000.
b.
Calculer l’espérance mathématique de X.
On note Y la variable aléatoire qui donne le bénéfice réalisé sur un lot de 250 tondeuses.
Calculer l’espérance mathématique de Y. Interpréter le résultat obtenu.
Partie C : Approximation d’une loi binomiale par une loi normale
On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire X par la loi normale de moyenne m = 232,5 et d’écart type = 4. On note Z la
variable aléatoire suivant cette loi normale.
1.
2.
donner une valeur numérique de P(Z > 239,5).
3.
et 245 », c’est-à-dire la probabilité de l’évènement : « 224,5 ≤ Z ≤ 245,5 ».
Justifier le choix des valeurs de m et de .
On veut calculer la probabilité que le nombre de tondeuses conformes de ce lot de 250 soit au moins égal à 240. Pour cela,
Donner une valeur approchée de la probabilité de l’évènement : « le nombre de tondeuses conformes est compris entre 225
Exercice 2 12 points
Partie A : Droite de régression
Une marque a lancé sur le marché un nouveau produit destiné aux entreprises. Elle a relevé à six dates précises le taux
d’équipement des entreprises concernées pour ce nouveau produit.
On a présenté dans le tableau suivant ce taux noté y en fonction du rang t du nombre de mois écoulés depuis le lancement. Ce taux
est écrit sous la forme d’un nombre décimal compris entre 0 et 1, et non pas en pourcentage.
t
y
1
0,03
4
0,09
6
0,18
8
0,33
10
0,50
12
0,70
Représenter le nuage des six points dans le repère de l’annexe à rendre avec la copie.
À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite de régression de y en t ainsi que le coefficient de corrélation
Tracer la droite obtenue sur le graphique précédent.
Si la tendance se poursuit, quel sera, à 1 % près, le taux d’équipement des entreprises concernées pour ce nouveau produit
1.
2.
linéaire de cette série statistique. Arrondir à 0,001.
3.
4.
15 mois après le lancement.
5.
Expliquer pourquoi cette droite de régression ne pourra pas servir de modèle très longtemps.
Partie B : Étude d’une fonction et calcul intégral
On considère la fonction f définie sur [ 0 ; + ∞ [ par
f t
( )
Publicité
1
1 50 e
0,4
t
et on désigne par C sa courbe représentative dans le
repère défini dans la partie A.
On rappelle que lim e
1.
x
x
. Donner la limite en + ∞ de la fonction f et interpréter graphiquement le résultat.
0
2.
Justifier que
f
t
'( )
20 e
( 1 50 e
0,4
t
0,4
t
2
)
où f ′ est la fonction dérivée de la fonction f et en déduire le sens de variation de f
sur [ 0 ; + ∞ [.
3.
Tracer la courbe C sur le graphique de la partie A.
4. a. Montrer que f (t) peut s’écrire sous la forme
f
t
( )
e
0,4
e
0,4
t
.
t
50
b.
En déduire que la fonction F définie sur [ 0 ; + ∞ [ par F(t ) =
1
0,4
ln (e 0,4 t + 50) est une primitive de f sur [ 0 ; + ∞ [.
5.
Calculer la valeur exacte de l’intégrale
24
12
f
t
( ) d
t
. En déduire la valeur moyenne de f sur [12 ; 24] arrondie à 10 – 2.
Partie C : Application économique
Le modèle donné par la droite de régression ayant ses limites, on considère que la fonction f définie dans la partie B est un
meilleur modèle d’approximation du taux d’équipement des entreprises concernées pour ce nouveau produit. La variable t est le
temps écoulé, exprimé en mois, depuis le lancement du produit.
1.
de deux ans.
2.
3.
Déterminer graphiquement, au bout de combien de mois le taux d’équipement dépassera 95%.
Donner une interprétation de la valeur moyenne de f sur [12 ; 24].
Déterminer une estimation à 0,1% près du taux d’équipement des entreprises concernées pour ce nouveau produit au bout
ANNEXE
CORRECTION
Exercice 1 8 points
Partie A : Probabilités conditionnelles
1.
L’usine A produit 400 unités par mois et l’usine B en produit 600 donc P(A) =
400
400
600
0,4
et
)P A = 1 – P(A) = 0,6
(
Dans l’usine A, le test est positif dans 90% des cas donc P A (C) = 0,9, Dans l’usine B, le test est positif dans 95% des cas donc
P C = 0,95 et
AP C = 1 – P A (C) = 0,1.
)
)
(
Publicité
(
A
0,4
0,6
A
B
0,9
0,1
0,95
0,05
C
C
C
C
2.
P A C =
(
P(A C) = P A (C) × P(A) = 0,4 × 0,9 = 0,36
)
P C = 0,6 × 0,95 = 0,57
)P A ×
)
(
(
A
3.
P(C) = P(A C) + (
P A C = 0,36 + 0,57 = 0,93
)
Partie B : Loi binomiale
1.
On a une succession de 250 expériences aléatoires, identiques et indépendantes, chacune d’elles a deux issues :
réussite : la tondeuse est conforme (p = 0,93)
échec : la tondeuse n’est pas conforme (q = 1 – p = 0,07)
donc la variable aléatoire X qui compte le nombre de tondeuses conformes suit une loi binomiale de paramètres (250 ; 0,93).
P(E) = P(X = 240) = 0,017.
2.
Sur un lot de 250 tondeuses, la probabilité d’avoir 240 tondeuses conformes est de 1,7 %
3.
L’espérance mathématique de X est 250 × 0,93 = 232,5
4. a. Le coût de fabrication est de 160 € par machine donc 160 × 250 = 40 000
Une tondeuse conforme est vendue 250 €, sinon, elle est bradée à un sous-traitant pour 100 €, donc sur un lot de 250 tondeuses, le
prix de vente est 250 X + 100 (250 – X) = 150 X + 25 000
Le bénéfice réalisé sur un lot de 250 tondeuses est donc 150 X + 25 000 – 40 000 donc Y = 150 X – 15 000.
E(Y) = 150 E(X) – 15 000 donc E(Y) = 150 × 232,5 – 15 000 = 19 875
b.
En vendant un grand nombre de lots de 250 tondeuses, le bénéfice moyen est de 19 875 € par lot de 250 tondeuses.
Partie C : Approximation d’une loi binomiale par une loi normale
1.
la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres (250 ; 0,93) d’espérance 232,5 et d’écart-type =
16, 275 soit ≈ 4,034
250 0,93 0,07
=
On approche la loi de la variable aléatoire X par une loi normale de même espérance m = 232,5 et d’écart type = 4.
2.
P(Z > 239,5) = 0,04
3.
P( 224,5 ≤ Z ≤ 245,5) = 0,977
Exercice 2 12 points
Partie A : Droite de régression
1.
y = 0,062 t – 0,118
2.
Le coefficient de corrélation est r = 0.,966 donc l’ajustement est bon.
Si t = 15 alors y = 0,062 × 15 – 0,118 = 0,812 donc, le taux d’équipement des entreprises concernées pour ce nouveau
Cette droite de régression ne pourra pas servir de modèle très longtemps puisqu’après 18 mois le taux d’équipement
4.
produit 15 mois après le lancement est de 81,2 %
5.
dépassera 100 %.
Partie B : Étude d’une fonction et calcul intégral
1.
donc
0
0
0,4
x
t
lim e
donc lim ( ) 1
t
f t
.
lim e
x
A long terme, le taux d’équipement des entreprises concernées pour ce nouveau produit est de 100 %.
t
v(t) = e – 0, 4 t donc v '(t) = – 0,4 e – 0,4 t
2.
La dérivée de u(t) = 1 + 50 e – 0,4 t est donc u '(t) = – 0,14 × 50 e – 0,4 t soit – 20 e – 0,4 t
Publicité
La dérivée de
1
u
est
'u
2
u
donc
f
t
'( )
20 e
( 1 50 e
0,4
t
0,4
t
2
)
soit
f
t
'( )
20 e
( 1 50 e
0,4
t
0,4
t
2
)
La fonction exponentielle est strictement positive sur R donc pour tout t de [ 0 ; + ∞ [,f '(t) > 0 donc la fonction f est strictement
croissante sur [ 0 ; + ∞ [.
4. a.
f
t
( )
1
1 50 e
0,4
t
e – 0,4 t × e 0,4 t = 1 donc
f
t
( )
0,4
t
e
e
0,4
e
t
0,4
e
( 1 50 e
0,4
t
.
t
50
0,4
t
)
0,4
t
e
0,4
t
e
50 e
0,4
t
e
0,4
t
b.
Publicité
La dérivée de ln u est
'u
u
donc F’(t) =
1
0,4
0,4 e
t
0,4
e
e
50
0,4
t
e
0,4
0,4
t
t
50
donc F’(t) = f (t) donc la fonction F définie sur [ 0 ;
+ ∞ [ par F(t ) =
1
0,4
ln (e 0,4 t + 50) est une primitive de f sur [ 0 ; + ∞ [.
t
( ) d
t
= F(24) – F(12) =
1
0,4
ln (e 0,4 × 24 + 50) –
1
0,4
ln (e 0,4 × 12 + 50) donc
24
12
f
t
( ) d
t
=
1
0,4
ln (e 9,6 + 50) –
1
0,4
24
f
12
5.
ln (e 4,8 + 50).
t
( ) d
12
24
f
t
est égale environ à 11,147.
La valeur moyenne de f sur [12 ; 24] est égale à
1
24 12
24
12
f
t
( ) d
t
soit
1
12
24
12
f
t
( ) d
t
soit 0,93 à 10 – 2 près.
Le taux d’équipement des entreprises concernées pour ce nouveau produit au bout de deux ans est f (24) soit 0,997 donc
Partie C : Application économique
1.
99,7 %
2.
3.
Il faudra attendre 18 mois pour que le taux d’équipement dépasse 95%.
Le taux d’équipement moyen entre le douzième et le vingt-quatrième mois est de 93 %.